Что такое 2пи: Чему равно 2Пи?

19.06.2021 alexxlab

Содержание

2 Пи или не 2 Пи — вот в чём вопрос / Блог компании Wolfram Research / Хабр

Перевод поста Giorgia Fortuna «2 Pi or Not 2 Pi?».
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

Три месяца назад мир (или по крайней мере мир гиков) праздновал день Пи (03.14.15…). Сегодня (6/28 — 28 июня 2015 г.) другой математический день — день 2π, или день Тау (2π = 6.28319…).

Некоторые говорят, что день тау действительно является днём для празднования, и что τ (= 2π), а не π, должен быть самой важной константой. Все началось в 2001 году со вступительного слова знаменитого эссе Боба Пале, математика из университета Юты:

“Я знаю, что некоторые сочтут это богохульством, но я считаю, что π — это ошибка”.

Это вызвало в некоторых кругах празднование дня тау — или, как многие говорят, единственного дня, в который можно съесть два пи(рога) (2pies≈2π — игра слов в англ. языке).

Однако правда ли то, что τ — константа получше? В современном мире это довольно просто проверить, а Wolfram Language делает эту задачу ещё проще (действительно, недавний пост в блоге Майкла Тротта о датах в числе пи, вдохновлённый постом Стивена Вольфрама о праздновании векового дня числа пи, весьма активно задействовал Wolfram Language).

Я начала с рассмотрения 320000 препринтов на arXiv.org чтобы посмотреть, сколько в действительности формул содержат 2π по сравнению с теми, что содержат просто π или π с другими сомножителями.

Вот облако из некоторых формул, построенное с помощью функции WordCloud, содержащих 2π:

Я обнаружила, что лишь 18% рассматриваемых формул содержат 2π, из чего следует, что перейти на использование τ — не лучший выбор.

Но почему тогда сторонники использования τ считают, что мы должны перейти к использованию этого нового символа? Одна из причин заключается в том, что использование τ должно сделать тригонометрию проще для изучения и понимания. В конце концов, в тригонометрии мы используем не углы, а радианы, а в окружности содержится 2π радиан. Это означает, что четверти круга соответствует 1/2π радиан, или π/2, а не четверть чего-то! От этой несправедливости можно избавиться введением символа

τ, и тогда каждой части окружности будет соответствовать такая же часть от τ.

Например, четверти окружности соответствовал бы угол τ/4.

Лично у меня использование числа π не вызывает каких-то сильных негативных чувств, и честно говоря, я не думаю, что использование τ позволило бы студентам быстрее изучать тригонометрию. Давайте вспомним о двух самых важных тригонометрических функциях — синусе и косинусе. Пожалуй, самые важные в изучении тригонометрии формулы — sin= cos(2π) = 1, и sin() = cos(π) = –1. Я не только всегда предпочитала использовать косинус потому, что его значения легче запомнить (нет никаких дробных значений в π и 2π), но я и также всегда помнила, что синус и косинус отличаются тем, что одна функция принимает ненулевые значения в точках, кратных π, а другая принимает ненулевые значения в дробных частях π. Если использовать

τ, то мы потеряем эту симметрию, и у нас будут уравнения sin = cos(τ) = 1 и sin = cos = –1.

Учитывая вышесказанное, получается, что использование τ или π есть вопрос личного предпочтения. Это справедливое заключение, однако нам нужен более строгий подход для определения того, какая из констант более полезна.

Даже тот подход, которым я руководствовалась вначале, может привести к неправильным выводам. В Тау манифесте Майкл Хартл приводит некоторые примеры тех мест, где часто можно встретить 2π:

И в самом деле, все эти формулы выглядели бы проще, если бы мы использовали τ. Однако это всего лишь шесть формул из того огромного количества, которые ученые регулярно используют, и как я упоминала ранее, не так уж много математических выражений содержат 2π. Тем не менее, вполне возможно, что формулы, не содержащие 2π, будут более простыми, если будут записаны через

τ. Например, выражение 4π² запишется просто как τ².

Поэтому я вернулась к научным статьям, чтобы выяснить, сделает ли использование τ вместо 2π (и τ/2 вместо π) формулы более простыми. Например, вот те, которые станут более простыми с использованием τ:

А вот некоторые из тех, которые не станут:

Позвольте объяснить, что я подразумеваю под более простой формой записи на примере: если я возьму часть, содержащую π в нижней левой формуле таблицы с формулами Тау манифеста (см. выше):

Я могу заменить π на τ/2 с помощью функции ReplaceAll и получить:

Посмотрев на эти два выражения, можно увидеть, что второе проще. И дело здесь не в интуиции — во втором просто меньше символов. Для большей ясности можно рассмотреть соответствующие им древовидные графы посредством функции TreeForm:

Для получения численного представления их различия мы можем использовать количества ветвей дерева, которые соответствуют числу символов в исходных формулах:

Чтобы определить, упрощается ли формула в результате использования τ, я вычислила сложность каждой формулы (которая определяется количеством ветвей дерева), содержащей π, для формул из статей, в зависимости от того, какая из констант используется — π или τ. Для большей точности я сначала удалила все выражения, которые были равны или эквивалентны π или 2π. Я чувствовала, что будет несправедливо их учитывать, потому что они часто встречаются сами по себе, вне формул. Затем я сравнила случаи, когда использование

τ упрощало формулу с теми, когда усложняло, и лишь 43% формул стали проще с использованием τ, то есть в более чем половине случаев использование τ усложняет формулу. Иными словами, из этого сравнения следует, что мы должны продолжать использовать π. Тем не менее, это не конец истории.

Я заметила вот что: если выражение становится более или менее сложным, то это значит, что количество ветвей у него менее 40. В самом деле, если посмотреть на процент формул, которые становятся проще при использовании π или τ и имеют количество ветвей меньше определённого значения, то вы увидите следующую картину:

Ось х представляет верхнюю границу количества ветвей. Из этого следует, что почти для всех формул их сложность зависит от выбора символа только в случае, если число ветвей меньше 50.

Более важное наблюдение заключается в том, что по мере роста сложности формулы ситуация резко меняется. Даже если выбрать формулы со сложностью большей, чем 3, как рассмотренная ранее формула , то тогда лишь 48% формул станут проще с использованием π против 52% для

τ.

Приведенные ниже графики показывают, как процентные отношения формул, которые проще с использованием π или τ, изменяются в зависимости от сложности:

Как можно заметить, при числе ветвей более 48 графики начинают вести себя хаотично. Это следствие того, что лишь 0,4% формул выборки имеют сложность более 50. Мы ничего особо конкретного не можем сказать о них, и прошлый опыт говорит нам о том, что это нам очень-то и не нужно.

И из этого графика также следует то, что в повседневной жизни и для каких-то выражений, которые сложнее чего-то наподобие , в целях упрощения выражений нам однозначно следует использовать τ. Но есть еще один момент, которого я не коснулась. Что насчёт различных областей приложений?

Возможно, в физике формулы будут проще выглядеть с

τ, а в других областях — нет. Изначально я включила в поиск статьи из различных областей; однако, я не проверяла принадлежность формул, содержащих π, тем или иным областям знаний, а также то, принадлежат ли формулы, которые становятся проще с использованием τ, какому-то ограниченному подмножеству областей.

В самом деле, если рассмотреть лишь математические статьи, то результат окажется следующим:

Получается, что лишь 23% всех формул становятся проще с использованием τ, да и то лишь для довольно сложных выражений. Вот что-то наподобие этого:

можно проще записать через τ, однако большинство подобных выражений встречается весьма редко. Получается, что либо учёные из различных областей должны использовать различные соглашения в зависимости от специфичных для своих областей формул, либо все должны перейти на использование

τ, хотя на самом деле для некоторых областей это не имеет особого смысла. В конце концов, демократия предполагает удовлетворённость большинства, и невозможно угодить всем без исключения.

Тем не менее, вышеуказанная формула содержит ещё кое-что, на чём я бы хотела заострить внимание. Так она выглядит с τ:

Пускай выражение действительно проще записывается через τ, однако подобное улучшение столь незначительно, что становится пренебрежимо малым. Рассмотрим, например, эти два выражения вместе с количествами их ветвей:

И соответствующие им выражения в τ:

Первая формула проще в τ, но количество ветвей становится лишь на 1/13 меньше по сравнению с первоначальным количеством, в то время как второе выражение проще записывается в π, а после замены его сложность возрастает на 1/6. Другими словами, улучшение в первом случае составило 1/13, а во втором -1/6 (знак минус означает ухудшение). Среднее значение вектора составляет -0.044 — отрицательное число, что означает, что использование

τ в этих двух выражениях делает общий вектор на 0,044 хуже.

Подобный векторный подход отличается от ранее использованного подхода, при котором не учитывался размер уравнения. В нём считается количество улучшений, а не количество упрощенных выражений, и это переворачивает с ног на голову предыдущие выводы. Я получила эти векторы для формул, в которых сложность ограничена снизу — всё так же, как и в предыдущем примере. Получается, что общее улучшение при замене π на τ уменьшается с увеличением сложности:

а наименьшее ухудшение -0,04 достигается при сложности 5. Как можно заметить, общее улучшение всегда отрицательно; это означает, что пусть и большее количество формул имеют более короткую запись через

τ (в зависимости от области), но в целом сумма всех «упрощений» формул перевешивается всеми «усложнениями».

В итоге всего этого исследования у меня сформировалась такая позиция: думаю, нам стоит быть довольными нашим старым другом π и не переходить на использование τ.

У меня есть два заключительных замечания. Первое заключается в том, что если бы мы жили в мире, где активнее используется τ, то вывод был бы полностью противоположным. Если бы наши выражения уже записывались бы через τ, и мы исследовали бы вопрос о переходе на использование π и вопросы упрощения, то наш график сумм векторов выглядел бы следующим образом:

Подобное различие объясняется тем, что векторы, которые используются для построения графиков, зависят от исходных сложностей, и потому меняются при изменении оных.

Из этого следует, что для большинства формул, которые имеют сложность больше двух и меньше 18, улучшение от замены τ на π будет отрицательным. К сожалению для сторонников τ, мы живем всё таки в мире π.

Второе замечание, на которое навёл меня Майкл Тротт, заключается в том, что 2/3 из формул, указанных в Тау манифесте (зеленая таблица в начале поста), содержат не просто 2π, а комплексное выражение 2πi. Это говорит о том, что, возможно, сама постановка вопроса, на который я пыталась ответить, является некорректной. Быть может, лучшей будет следующая формулировка: будет ли смысл ввести новый символ τ для комплексного числа 2πi?

Это новое обозначение потребует также замены πi на τ/2, но это не повлияет на сложность πi. В общем, формулы, содержащие πi, либо уменьшат, либо сохранят свою сложность. Вот облако формул, которые станут проще:

Так они станут выглядеть после подстановки 2πi на τ:

Можно было бы возразить, что процент улучшения формул не будет достаточно высоким, и переход от 2πi к τ неоправданным. Однако факты говорят обратное: из всех формул, содержащих πi, 75% станут проще, а остальные 25% сохранят свой уровень сложности — то есть ни одна формула не станет сложнее. Это весомый аргумент, но я не в том положении, чтобы претворить эту идею; однако, полагаю, что равенство τ = 2πi перспективнее (и менее исторически сложно), чем τ = 2π.

Независимо от вашего мнения касательно τ, надеюсь, что вы прекрасно провели день Тау. Наслаждайтесь сегодняшним днём двух пи(рогов) — мнимых или каких бы то ни было.

Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.

Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов . …) + Таблицы Брадиса / / Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)², π², π³, π⁴ и др.

Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)², π², π³, π², корень квадратный из π, ln π, lg π, π^e, e^π, e^-π, e^1/(2π), iⁱ , e^-1/(2π) и др..

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679… (100 знаков после запятой)

π^e =	22.4592 =	22.45915 77183 61045 47342 71522…
e^π =	23.1407 =	23. 14069 26327 79269 00572 90864…
e^-π =	0.0432 =	0.04321 39182 63772 24977 44177…
e^1/(2π) =	4.8105 =	4.81047 73809 65351 65547 30357…
iⁱ =e^-1/(2π) =	0.2079 =	0.20787 95763 50761 90854 69556…
log _e π = ln π =	1.1447 =	1.14472 98858 49400 17414 34273 51353 05871 16472 94812 91531…
log ₁₀ π = lg π =	0.4971 =	0. 49714 98726 94133 85435 12682 88290 89887 36516 78324 38044…
log ₁₀ = lg =	0.3991 =	0.39908 99341 79057 52478 25035 91507 69595 02099 34102 92128

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.

TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

2 пи р формула чего?

1.Объясните, какое утверждение называется аксиомой. Приведите примеры аксиом. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. Сколько прямых можно провести … через две точки? Какое утверждение называется следствием? Сформулируйте два следствия из аксиомы параллельных прямых. Докажите одно из них. 2.Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. Чему равно отношение периметров подобных треугольников? Что такое коэффициент подобия? 3.Какие стороны в подобных треугольниках называются сходственными? Сформулируйте три признака подобия треугольников. Докажите первый признак подобия треугольников. 4.Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла. Как обозначаются данные величины? Запишите формулу, как связаны между собой синус, косинус и тангенс острого угла? Сформулируйте и докажите как связаны синусы, косинусы и тангенсы острых углов в прямоугольных треугольниках, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника.

Диагональ куба равна 10[tex]\sqrt{3}[/tex] см. Вычислите площадь поверхности куб и его объём

ПОМОГИ ПЖ ДАЮ МНОГО БАЛОВ

1. (4 балла) Какое из следующих утверждений верно?а) две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой,б) прямая называется перпендикуля … рной плоскости, если она перпендикулярнахотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости;в) две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой,г) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна клюбой прямой, лежащей в этой плоскости.

При якому значенні a графік рівняння ax + 4y = 0 проходить через точку А(12; — 4)?

Прямоугольный треугольник ABC вращается вокруг гипотенузы, длина которой 40 см. Найти объём тела вращения и площадь его поверхности, если известно, чт … о один из катетов треугольника ABC равен 10 см

Дано три точки на плоскости. A (1,-2) B (3,-6) C (1,2). Найти расстояние от точки пересечения O высоты hA (A маленькая) и медианы mB (B маленькая) до … вершины С

в основі піраміди лежить прямокутний трикутник зі сторонами 4см, 5см і 7см, висота піраміди дорівнює 12см, обчисліть обєм піраміди

дано паралелепіпед сторони основи 10 см і 17 см одна з діагоналей основи 21см більша діагональ паралелепіпеда 29см знайти обєм паралелепіпеда

линия пересечения шара плоскостью удаленной от центра на расстояние 8 м имеет длину 6π м. найдите объем шара

Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Сегодня поговорим об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 грамм. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и этот круг 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет.

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Вот как это делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12.

Но чем же число 12 лучше 10? Может быть тем, что у числа 12больше делителей? Посмотрите, на экране делители числа 10 и делители числа 12. А у числа 360 делителей еще больше, целых 24. Если в круге 360 градусов, его легко поделить на множество частей. И это не все.

В день равноденствия солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе, и проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца примерно 32 угловых минуты, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью.

– Замечательно! – сказали древние шумеры. – На небе есть подтверждения нашим вычислениям! А вот еще яркая звезда Юпитер!

Оказывается, Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Конечно, не 12, а 11,86 земных лет, но очень уж хотелось астрономам округлить до своего любимого числа.

Посмотрим на луну. Ее каждый найдет на небе, когда она полная, в отличии от Юпитера. Лунный месяц примерно 29,5 земных суток. А если у нас в году будет 12 месяце, а год – 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток). Что-то близкое к числу 360. Астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней и 12 месяцев по 30 дней, но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. Но нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса.

А что же такое радианы? Что такое угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам (изображение на экране, 5:20 мин).

А как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему же равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу (5:44). У нас появляется число Пи. Число Пи известно людям с глубокой древности, потому что люди, видя на небе круглое солнце и луну, хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делала круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926… Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2Пиr (6:50).

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2Пиr. Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2Пи раз. 360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Подписывайтесь на мой канал!

ДИН-2ПИ

Ответственный за установку:
Горемычкие Е.А.
Россия, Московская обл., г.Дубна, ул. Жолио-Кюри, 6
тел. +7 (49621) 6-54-86
e-mail: Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.

Основные направления исследований:

Традиционными направлениями экспериментальных работ, проводимых и развиваемых на спектрометре, являются:

1. Исследования жидких металлов (Na, Ga, Pb, K, Li) и жидкометаллических систем с примесями (расплавы K-O, Pb-K, Na-Pb, Li-H).

2. Исследования водных ионных и гидрофобных растворов, в том числе водных дисперсий углеродных частиц (фуллерены, шунгит, сажи).

3. Исследования квантовых жидкостей как в «объемном» состоянии, так и в условиях ограниченной геометрии и пленок⁴Не атомарной толщины.

4. Исследования многокомпонентных кристаллических и аморфных систем, включающих твердые растворы, оксиды и гидриды металлов, суперионные проводники и тройные примесные системы.

5. Исследования реакторных материалов в широком диапазоне температур для решения проблем безопасности ЯЭУ.

Режим дифракции по времени пролета на спектрометре ДИН-2ПИ был, в частности, использован для получения структурной информации о расплавах K, Na, Pb, Pb-K, Na-Pb, Li-N.

Основные характеристики

Замедлитель	вода, 300 К
Расстояние от замедлителя до образца, м	20. 023
Расстояние от образца до детектора, м	7.0
Углы рассеяния	5° – 135°
Размеры пучка на образце, мм²	70 × 120
Поток нейтронов на образце для Е₀ = 10 мэВ, см^-2 с^-1	10³
Диапазон начальной энергии, мэВ	1 – 30
Энергетическое разрешение ΔЕ₀/Е₀, %	4 – 10
Отношение эффект/фон в упругом пике для стандартного ванадиевого образца,Е₀ = 50 мэВ	2000

Окружения образца

Имеется рефрижератор замкнутого цикла, загружаемый снизу; диапазон температур от 5 до 300 К; лучшие условия по фону.

Публикации

Blagoveshchenskii N.M., A.G.Novikov, V. V.Savostin, Collective microdynamics of liquid lithium: an inelastic neutron scattering study, Physics of Solid State, 2010, v. 52, ? 5, p. 969 – 973.
Blagoveshchenskii N.M., V.A.Morozov, A.G.Novikov, M.A.Pashnev, A.L.Shimkevich, O.V.Sobolev, Quasielastic neutron scattering and diffusion in liquid lithium and lithium-hydrogen melt., J. of Physics: Condens. Matter, 2008, v. 20, p. 104201 – 104204.
Blagoveshchenskii N.M., Yu.V.Lisichkin, V.A.Morozov, A.G.Novikov, V.V.Savostin, A.L.Shimkevich. Structure and possible cluster formation in liquid lead-potassium alloys. Applied Physics A, 2002, v. 74, p. S1107.
Blagoveshchenskiy N.M., A.S.Kolokol, A.G.Novikov, M.A.Pashnev, D.V.Savostin, V.V.Savostin and A.L.Shimkevich. Atomic dynamics of liquid lithium and lithium-hydrogen melt investigated by inelastic neutron scattering. J. Phys. Conf. Series. 98 (2008) 022005.
Blagoveshchenskiy N.M., N.I.Loginov, V.A.Morozov, A.G.Novikov, M.A.Pashnev, V. V.Savostin and A.L.Shimkevich, Investigations of diffusion processes in liquid lithium and lithiumhydrogen melt by quasielastic neutron scattering. J. Phys. Confer. Series. 98 (2008) 022014.
Blagoveshchenski? N.M., A.G.Novikov, E.Osava, and N.N.Rozhkova, Quasielastic scattering of neutrons by a water dispersion of nanodiamonds, Physics of Solid State, 2010, v. 52, ? 5, p. 904 – 907.
Kalinin I., H.Lauter, A.Puchkov. Experimental study of zero sound and single-particle excitations in 4He. Physica B, 2006, v. 385-386, p. 44-46.
Kalinin I.V., E.Kats, M.Koza, V.V.Lauter, H.Lauter, and A.V.Puchkov, Detection of a superfluid phase in solid helium, JETP Letters, 2008, Vol.87, No.11, pp.645-648.
Kulikov S.A., I.V.Kalinin, V.M.Morozov, A.G.Novikov, A.V.Puchkov, A.N.Chernikov, E.P.Shabalin, Measurement of cold neutron spectra using a model cryogenic moderator of the IBR-2M reactor, Physics of Particles and Nuclear Letters, 2010,Vol.7, No.1, pp. 57-60.
Lauter H.J., I.V.Bogoyavlenskii, A.V.Puchkov, H.Godfrin, A.Skomorokhov, J.Klier, P.Leiderer. Surface excitations in thin helium film in silica aerogel. Appl. Phys. A, 2002, v. 74, p. S1547.
Novikov A.G., M.N.Rodnikova, O.V.Sobolev. Reorientation and diffusion motions in liquid ethylene glycol. Physica B, 2004, v. 350, p. 363.
Padureanu I., A.Radulescu, A.G.Novikov, V.V.Savostin, Zh.A.Kozlov, Collective motions in liquid gallium. Rom. J. Phys., 2003, v. 48, p. 97.
Radulescu A., I. Padureanu, S.N. Rapeanu, A. Beldiman, M. Ion, Zh.A. Kozlov, V.A. Semenov. Low-frequency collective modes in the superionic phase of lead fluoride studied by quasielastic cold neutron scattering. Phys. Rev. B, 1999, v. 59, p. 3270 – 3273.
14. Semenov V.A., Zh.A. Kozlov, L. Krachun, G. Mateescu, V.M. Morozov, A.I. Oprea, K. Oprea, A.V. Puchkov, Frequency spectrum of tantalum at temperatures of 293–2300 K, Physics of the Solid State, 2010, Vol. 52, No. 5, pp. 988–991.
Skomorokhov A.N., D.M. Trots, M. Knapp, N.N. Bickulova, H. Fuess. Structural behaviour of b-CuB2-bBSe (d = 0, 0.15, 0.25) in dependence on temperature studied by synchrotron powder diffraction. J. of Alloys and Compounds, 2006, v. 421, p. 64-71.
Skomorokhov A.N., D.M.Trots, I.L.Sashin, H.Fuess, E.L.Jadrowskii, S.G.Ovchinnikov, Phonon density of states in g-, b- and a- AgCuS, Физика Твердого Тела, 50, вып.2, 2008, с.307-310.
Trots D.M., A.N. Skomorokhov, M. Knapp, H. Fuess. High-temperature behaviour of average structure and vibrational density of states in the ternary superionic compound AgCuSe. The European Phys. J. B, 2006, v. 51, p. 507–512.
Глазков Ю.Ю., С.А.Данилкин, Ю.В.Лисичкин и др. Исследования конденсированных сред с помощью медленных нейтронов. Атомная энергия, 1996, т. 80, с. 391-399.
Кнотько А.В., А.В.Гаршев, М.Н.Пулькин, В.И.Путляев, С.И.Морозов. Связь динамики атомов кислорода и кинетики окисления твердых растворов на основе Bi2Sr2CaCu2O8. ФТТ, 2004, v. 46, p. 414.
Морозов С.И., А.С. Иванов. Низкоэнергетические тепловые возбуждения в системе V-O. Письма в ЖЭТФ, 2006, т. 84, вып. 9, с. 601-604.
Натканец И., А.В.Пучков. Нейтронная спектрометрия на импульсном реакторе ИБР-2. Поверхность (Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования), 1998, т. 3, стр. 5-19.

ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО — это… Что такое ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО?

ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО: величина, связанная с длиной волны X соотношением k = 2ПИ/Лямбда. В спектроскопии В. ч. часто наз. величину, обратную длине волны, т. е. k/2ПИ.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР

Смотреть что такое «ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО» в других словарях:

Волновое число — Размерность L−1 Единицы измерения СИ м−1 СГС см−1 … Википедия
волновое число — Величина, равная частному от деления 2π на длину гармонической волны. [ГОСТ 24346 80] волновое число (v[σ]) Величина, обратная длине волны излучения в вакууме. [ГОСТ 7601 78] волновое число Величина, обратная длине световой волны.… … Справочник технического переводчика
ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО — модуль волнового вектора; связан с круговой частотой w, фазовой скоростью волны vф и ее длиной соотношением: k=2?/??w/vф. В оптике и спектроскопии волновым числом часто называют величину, обратную длине волны: k=1/? … Большой Энциклопедический словарь
ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО — модуль волнового вектора; связан с круговой частотой (о, фазовой скоростью волны vф и её пространств. периодом (длиной волны l) соотношением: k=2p/l=w/vф. В оптике и спектроскопии В. ч. часто наз. величину, обратную длине волны: k=1/l. Физический … Физическая энциклопедия
волновое число — kampinis bangos skaičius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular wavenumber vok. Winkelwellenzahl, f rus. волновое число, n; волновое число с множителем 2π, n pranc. nombre d’ondes circulaire, m … Fizikos terminų žodynas
волновое число — модуль волнового вектора; связан с длиной волны λ соотношением: k = 2π/λ = ω/vф (где ω круговая частота, vф фазовая скорость волны). В оптике и спектроскопии волновым числом часто называют величину, обратную длине волны: k = 1/λ. * * * ВОЛНОВОЕ … Энциклопедический словарь
волновое число — коэффициент фазы; волновое число Величина, характеризующая изменение фазы бегущей вдоль линии синусоидальной волны тока (или напряжения) при перемещении волны на единицу длины линии, равная мнимой части коэффициента распространения … Политехнический терминологический толковый словарь
волновое число — bangos skaičius statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis elektromagnetinės bangos lauko stiprio kitimo erdvėje dažnį. Jis atvirkščiai proporcingas bangos ilgiui, t. y. σ = 1/λ; čia λ – bangos ilgis. … … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
волновое число — kampinis bangos skaičius statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, išreiškiamas formule: k = 2πσ; čia σ – bangos skaičius. atitikmenys: angl. angular repetency; angular wavenumber rus. волновое число, n pranc. nombre… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
волновое число — bangos skaičius statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, atvirkščias bangos ilgiui. atitikmenys: angl. wave number rus. волновое число … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
волновое число — bangos skaičius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave number vok. Wellenzahl, f rus. волновое число, n pranc. nombre d’onde, m … Fizikos terminų žodynas

Смартфон Xiaomi Redmi 4X 2GB 16GB Black: характеристики и инструкция

Смартфон Xiaomi Redmi 4X 2GB 16GB Black

Аккумулятор объемом 4100 mAh – сверхдолгий автономный режим

Приятный на ощупь и эргономичный 5-дюймовый корпус

Восьмиядерный процессор Snapdragon

Улучшенные показатели автономности!

Невероятное время работы от одного заряда!

Энергоемкий аккумулятор в 4100 mAh

Долговечный!

Наиболее заслуживающее похвалы и положительных отзывов пользователей качество Redmi – это, конечно, его сверхдолгий автономный режим в сравнение с конкурентами. В то же время, именно эта характеристика является отправной точкой для наших дизайнеров. Для них даже самая наималейшая деталь в разработке требует особого внимания, ведь все они взаимосвязаны между собой: если не будет произведен исключительно точный расчет и дизайн корпуса, то не получится выделить больше места для аккумулятора; если не будет разработан большой энергоемкий аккумулятор, то невозможно будет совместить тонкий корпус и высокую ёмкость заряда; если не будет произведено основательное усовершенствование на системном уровне, то более длительный автономный режим так и останется за рамками реальности. Объем аккумулятора в 4100 mAh уже поразителен сам по себе, но на самом деле мы больше гордимся длительностью использования смартфона.

Разноцветный металлик

На любой вкус

Вы любите яркие корпусы и цельнометаллический корпус? Тогда именно для Вас мы тщательно отобрали самые гармоничные и стильные расцветки металлического корпуса нового телефона Редми 4х Романтичный нежно розовый цвет сакуры, изящный цвет шампань, минималистичный матовый черный – чтобы максимально точно отобразить все эти цвета в металлическом материале, Xiaomi использует применяющуюся для люксовых моделей технологию анодирования. Также задействована технология алмазной огранки, благодаря которой смартфон получил блестящие края на обратной стороне корпуса. Один вид материала – два вида ощущений!

Приятный на ощупь

Обзор со всех сторон

Почему в эпоху больших экранов все еще находятся люди, предпочитающие 5-дюймовые дисплеи? Именно потому что такую комфортную «посадку» смартфона в руке, как у небольших смартфонов, очень трудно реализовать при больших габаритах. Но для создания удобного корпуса недостаточно только придерживаться классических параметров, поэтому, при разработке Redmi 4 X, наши дизайнеры осуществили множество технических усовершенствований.Например, чтобы корпус смартфона лучше лежал в руке, мы улучшили технологию формовки металла, а также повысили степень искривления дуги по бокам корпуса. Для обеспечения комфорта при длительной работе, углы смартфона стали более округленными, благодаря чему корпус не будет врезаться в руки даже при нажатии на самый дальний угол экрана. В экране используется часто встречаемое в дорогостоящих моделях смартфонов стекло 2.5D, за счет которого поверхность дисплея становится еще более гладкой на ощупь. С лицевой стороны Redmi 4X используется слегка изогнутое по краям стекло 2.5D, которое заменит собой врезающийся в руки прямой угол обычной рамки экрана, благодаря чему при работе со смартфоном Вы испытаете ощущение необычайной гладкости.

Закругленные углы корпуса	Дугообразные края корпуса	Металлическая текстура
При использовании смартфона одной рукой, нижние углы корпуса тесно касаются ладони, поэтому, для комфорта длительной работы со смартфоном , мы сделали его углы округлыми. Теперь Вы сможете наслаждаться чтением, и корпус смартфона не будет доставлять неприятных ощущений даже при работе с самыми отдаленными углами дисплея.	Каждый раз, работая с новым Redmi 4X, Вы сможете ощутить насколько удобен охват корпуса смартфона. Умеренное закругление корпуса по бокам позволит ему лучше лежать в руке, благодаря чему даже продолжительная работа со смартфоном будет максимально комфортной.	Мелкие абразивные частицы пескоструйного материала превратят поверхность корпуса в нежное, гладкое покрытие, которое, в дополнении с дугообразными краями корпуса, сделают эксплуатацию смартфона еще более приятной.

Восьмиядерный процессор

Мощь в кармане

Основная цель, которую мы преследуем – это стабильность и скорость в эксплуатации и продолжительность использования смартфона. В редми 4х используется восьмиядерный процессор Snapdragon от компании Qualcomm, который отличается от предыдущего поколения более мощными характеристиками и низкой энергозатратностью, что особенно важно для любителей игр – Вы обязательно останетесь довольны мгновенной скоростью реакции и суперчетким изображением.

Сканер отпечатков пальцев

Безопасность

Безусловно, самый удобный способ разблокировки смартфона не включает в себя ввод пароля. Во всех линейках Xiaomi и в том числе в 4X встроен сканер отпечатков пальцев, благодаря которому Вам не придется многократно вводить пароль, а для мгновенной разблокировки смартфона достаточно лишь прикоснуться к нему кончиком пальца. Помимо того, функция сканирования отпечатков пальцев также может быть использована для снятия селфи, оплаты покупок и просмотра личных файлов – теперь все стало максимально простым и безопасным!

Камера с высоким разрешением

Сохраните важные моменты

Казалось бы, перед нами — стандартная камера с разрешением 13 мегапикселей, но ее результат съемки превзойдет Ваши ожидания. В Xiaomi Redmi 4X встроены высококачественные линзы и светочувствительный элемент, благодаря чему Ваши снимки станут более качественными. Помимо того, трехсекундная фазовая фокусировка и множество других разнообразных функций позволят фотографиям быть более четкими. Например, Вы можете в специальном режиме заснять целую панораму, или же легко запечатлеть любой ночной пейзаж. Данная камера идеально подходит для фотографирования различных видов, но и не менее хороша для снятия селфи. 36-ой уровень автоматической коррекции лица в реальном времени превратят Ваши селфи в настоящий шедевр.

Самые любимые функции уже в стандартной комплектации

Красочные обои для экрана блокировки	Конфиденциальная двойная система
Что Вы будете испытывать, когда друзья будут наперебой восхищаться Вашими стильными обоями? Встроенное приложение Redmi 4X предлагает на выбор множество высококачественных обоев различной тематики от знаменитых издательств: «FHM», «BAZAAR», «National Geographic», Reuters, The Associated Press и др. При каждой разблокировке смартфона Вы сможете насладиться новостями из мира моды или же сверхчеткими красочными фотографиями.	Что будет, если Вашему знакомому понравится Ваш новый Redmi 4X, и он захочет разузнать его изнутри? Теперь Вы сможете смело сообщить ему свой пароль и позволить ознакомиться с содержанием вторичной системы. Две системы смартфона абсолютно не связаны между собой, именно поэтому Ваши личные данные, сообщения, платежные данные и др. останутся в неприкосновенности.
Одновременное использование двух аккаунтов	Многофункциональный
Redmi 4X также обладает функцией одновременного двойного запуска приложений, за счет которой Вы сможете одновременно быть онлайн с двух разных аккаунтов в социальных сетях или даже в играх.	Встроенное инфракрасное устройство позволяет с помощью нового Redmi 4X управлять телевизором, телеприставкой, кондиционером, вентилятором, DVD-плеером, зеркальным фотоаппаратом и остальными 11 видами техники. Если же Вы захотите переключить канал телевизора, то можете сначала просмотреть на смартфоне программу, и потом переключить на уже выбранный канал*.
Защита от мошеннических сообщений
Мошенники используют ложные базовые станции для отправки сообщений якобы с номера официальных предприятий: сообщения о различных выигрышах, обновлениях паролей и т. д., правдивость которых очень трудно определить на первый взгляд. Система защиты от мошеннических сообщений распознает ложные сообщения, а также тестирует и ограждает тройной защитой опасные ссылки и адреса веб-сайтов, находящиеся в них.

Redmi 4х – народный смартфон!

Объем продаж за 3 года – 110 миллионов смартфонов

Доступные для понимания инновации, любимый всеми дизайн и превосходящие ожидания впечатления от эксплуатации помогли Redmi заслужить признание и благоприятные отзывы пользователей. Объем продаж за 3 года составил 110 миллионов смартфонов, это значит, что еще большее количество людей получили удовольствие от использования новых коммуникационных технологий. Redmi – надежный, заслуживающий доверия высококачественный народный смартфон.

2 Пи или не 2 Пи? — Блог Вольфрама

Три месяца назад мир (или, по крайней мере, мир компьютерных фанатов) праздновал День Пи века (14. 03.15…). Сегодня (28.06) — еще один математический день: 2π-день или день Тау (2π = 6,28319…).

Некоторые говорят, что День Тау — это действительно день, который стоит праздновать, и что τ (= 2π) должно быть самой заметной константой, а не π. Все началось в 2001 году со знаменитой вступительной строки в эссе Боба Пале, математика из Университета штата Юта:

«Я знаю, что некоторые назовут это богохульством, но я считаю, что π неверно.”

Который породил в некоторых кругах празднование Дня Тау — или, как многие говорят, единственного дня, когда вам разрешается съесть два пирога.

Но правда ли, что τ — лучшая константа? В современном мире это довольно легко протестировать, а язык Wolfram Language значительно упрощает эту задачу. (Действительно, недавняя запись в блоге Майкла Тротта о датах в пи — сама по себе вдохновленная публикацией Стивена Вольфрама «День Пи века» — широко использовала язык Wolfram Language.) Я начал с просмотра 320 000 препринтов из arXiv. org, чтобы увидеть на практике, сколько формул включает 2π, а не только π или другие числа, кратные π.

Вот облако некоторых формул, содержащих 2π:

Я обнаружил, что только 18% рассмотренных формул содержат 2π, из чего следует, что τ, в конце концов, не будет лучшим выбором.

Но тогда почему сторонники τ считают, что мы должны перейти на этот новый символ? Одна из причин заключается в том, что использование τ упростит понимание и изучение геометрии и тригонометрии.В конце концов, когда мы изучаем тригонометрию, мы измеряем углы не в градусах, а в радианах, а в круге 2π радиана. Это означает, что 1/4 круга соответствует 1/2 π радиан или π / 2, а не четверти чего-то! Это парадоксальное безумие можно было бы разрешить с помощью символа τ, потому что каждое отношение круга будет иметь коэффициент соответствия τ. Например, 1/4 будет иметь угол τ / 4.

Лично я не испытываю сильных чувств против π, и, честно говоря, я не думаю, что студенты выучили бы тригонометрию быстрее, если бы они использовали τ. Подумайте о двух наиболее важных тригонометрических функциях, синусе и косинусе. Лучше всего помнить о них, что sin = cos (2 π) = 1 и sin = cos (π) = –1. Я не только всегда предпочитал косинус просто потому, что его легче запомнить (нет дробей в π и 2 π), я также всегда осознавал, что синус и косинус разные, потому что один ненулевой на целых кратных π, а другой ненулевые на некоторых его долях. Если вместо этого использовать τ, эта симметрия будет потеряна, и мы останемся с равенствами sin = cos (τ) = 1 и sin = cos = –1.

Учитывая эти наблюдения, кажется, что выбор τ или π — это личный выбор. Это справедливо, но это не строгий подход к определению, какая константа более полезна.

Даже подход, который у меня был вначале, мог привести к неправильному выводу. Манифест Тау , Майкл Хартл, дает несколько примеров мест, где 2π наиболее часто используется:

И действительно, все эти формулы было бы проще, если бы мы использовали τ. Однако это всего лишь шесть из огромного количества формул, которые регулярно используют ученые, и, как я уже упоминал ранее, не многие математические выражения включают 2π. Тем не менее, могло случиться так, что формулы, не содержащие 2π, были бы проще, если бы они были записаны в τ. Например, выражение 4 π² просто превратилось бы в (τ²).

По этой причине я просмотрел научные статьи, чтобы увидеть, не упростит ли использование τ вместо 2π (и τ / 2 вместо π) их формулы. Например, это те, которые были бы проще в τ:

А вот те, кто не хочет:

Позвольте мне теперь объяснить, что я имею в виду под словом «проще», рассмотрев пример: если я возьму член, содержащий π, в нижней левой формуле таблицы уравнений манифеста Тау :

Я могу заменить π на τ / 2 с помощью ReplaceAll, и я получаю:

Просто взглянув на эти два выражения, вы увидите, что второе проще.Об этом говорит не только ваша интуиция; ясно, что в заменяемом выражении меньше символов и констант. Мы можем посмотреть на соответствующие им TreeForms, чтобы явно продемонстрировать это:

Чтобы получить числовую разницу, мы можем посмотреть количество листьев (количество листьев на деревьях), которое соответствует количеству символов и констант в исходных формулах:

Чтобы увидеть, оказывает ли τ общее упрощающее влияние, я вычислил сложность каждой формулы (определяемой как их количество листьев, как вычислено выше), включая π, которое появилось в статьях при использовании π и τ. Чтобы быть более точным, я сначала удалил все формулы, которые были либо равны π, либо 2 π. Я чувствовал, что было бы несправедливо рассматривать и их, потому что очень часто, если они появляются сами по себе, они не обозначают формулы. Затем я сравнил количество раз, когда формулы τ были лучше, с количеством раз, когда они не были, и только 43% формул, сложность которых вообще изменилась, были на самом деле лучше, а это означает, что использование τ сделает более половины из них более привлекательными. сложный. Другими словами, основываясь на этом сравнении, мы должны продолжать использовать π.Однако это еще не конец истории.

Одно наблюдение, которое я сделал, заключается в том, что если выражение становится более или менее сложным, оно, вероятно, будет иметь количество листьев меньше 40. Фактически, если вы посмотрите на процент формул, которые лучше подходят при использовании π или τ и у которых количество листьев меньше фиксированного числа, вы получите это изображение:

, где ось x представляет верхнюю границу количества листьев. Это говорит о том, что почти все формулы, которые становятся более простыми, имеют сложность менее 50, независимо от того, какой символ мы выбираем.

Более уместным наблюдением является то, что ситуация резко меняется по мере увеличения сложности формул. Уже при рассмотрении только формул со сложностью больше 3, как было ранее, только 48% проще по π против 52%, которые проще по τ. На приведенном ниже графике показано, как процент формул, которые лучше соответствуют π или τ, изменяется в зависимости от сложности:

Как видите, когда количество листьев превышает 48, ситуация становится хаотичной.Это связано с тем, что только 0,4% формул имеют сложность более 50. Их недостаточно, чтобы мы могли сделать что-то стабильное и разумное в отношении них, и предыдущее наблюдение говорит нам, что мы не должны сильно беспокоиться о них в любом случае.

Этот график говорит мне, что в повседневной жизни и для всего более сложного, чем такие простые выражения, как, например, мы должны использовать τ для простоты. Но есть еще кое-что, что я не учел. А как насчет разных предметов?

Может быть, формулы в физике выглядят проще по τ, а формулы по другим предметам — нет.Первоначальный поиск, который я сделал, включал статьи на разные темы; однако я изначально не проверял, было ли большинство π-содержащих формул от ограниченного подмножества этих предметов, или те, которые стали проще с τ, были в основном от ограниченного подмножества. Фактически, если я ограничу анализ только статьями по математике, ситуация станет следующей:

По сути, только 23% формул выигрывают от использования τ, и эти преимущества появляются только тогда, когда сложность достаточно высока.Например, что-то в этом роде:

было бы выражением, которое было бы проще в τ, и вы, вероятно, не видели многих выражений этого типа. Это говорит о том, что либо ученые, занимающиеся разными предметами, должны использовать разные соглашения в зависимости от формул для конкретных областей, либо все научные дисциплины должны переключиться на τ, даже если для некоторых из них это действительно не имеет смысла. Ведь при демократии побеждает большинство, и всех невозможно уместить.

Однако приведенная выше формула показывает еще кое-что, на что я хочу обратить внимание. С τ это становится таким:

И это небольшое улучшение: даже если выражение может быть проще в τ, улучшение может быть настолько небольшим, что не имеет значения. Рассмотрим, например, эти два выражения вместе с их количеством листьев:

И соответствующие выражения в τ:

Первая формула проще по τ, но количество листов только на 1/13 меньше исходной сложности, тогда как второе выражение проще по π, а замененное выражение на 1/6 выше исходной сложности.Другими словами, улучшение в первом случае составило 1/13, а во втором -1/6 (знак минус указывает на отрицательное улучшение, поскольку выражение в τ было хуже). Среднее значение вектора равно –0,044, отрицательное число, что означает, что использование τ в этих двух выражениях ухудшает весь вектор на 0,044, хотя каждое из π и τ улучшает одну формулу.

Этот векторный подход отличается от подхода «один счет на уравнение», который я использовал ранее. Он рассматривает количество улучшений, а не просто двоичное или двоичное, и полностью меняет предыдущие выводы.Я вычислил эти векторы для формул, имеющих ограниченную снизу сложность, так же, как и в предыдущем примере. Я заметил, что общее улучшение перехода от π к τ, вычисленное как среднее значение этих векторов, по мере увеличения сложности выглядит следующим образом:

, где наименьшее ухудшение , -0,04, достигается при сложности 5. Как вы можете видеть, улучшение остается ниже 0 все время, что означает, что, хотя большее количество формул может быть короче с τ (в зависимости от поля), в среднем это уменьшение длины перевешивается увеличением длины в формулах, которые становятся длиннее.

Подчеркну свою точку зрения в конце этого научного исследования: я думаю, мы должны быть довольны нашим старым другом π и не переключаться на τ.

У меня есть два заключительных замечания. Во-первых, если бы мы уже жили в мире τ, вывод был бы другим, и мы предпочли бы придерживаться τ. Если бы наши выражения уже были в τ и мы изучали, упростит ли их переход на π, наш векторный граф выглядел бы так:

Это различие в поведении связано с тем, что векторы, используемые для построения графиков, зависят от исходной сложности и поэтому изменяются при изменении оригинала.

Это показывает, что для формул, которые имеют сложность больше 2 (большинство из них имеют) и для которых сложность не всегда больше 18, улучшение переключения с τ на π снова будет отрицательным, что говорит о том, что мы не должны принимать выключатель. К сожалению для сторонников τ, мы живем не в мире τ.

Второе наблюдение, которое сделал мне Майкл Тротт, заключается в том, что 2/3 формул, показанных в The Tau Manifesto (зеленая таблица в начале), содержат не просто 2π, а комплексное число. 2π и .Это говорит о том, что, возможно, вопрос, на который я пытался ответить, неправильный. Лучше мог бы быть такой: имеет ли смысл иметь новый символ τ для комплексного числа 2π i ?

Это новое соглашение также потребует изменения с π i на τ / 2, но это не повлияет на сложность π i . В общем, формулы, содержащие член π i внутри, либо упростятся, либо сохранят свою сложность. Чтобы дать вам представление, вот облако формул, которое можно было бы упростить:

Которые после замены τ = 2π i становятся такими:

Вы можете возразить, что процент улучшенных формул может быть недостаточно высоким, и переход с 2π i на τ не стоит затраченных усилий.Однако данные показывают обратное: из всех формул, имеющих член π i , 75% будут проще, а остальные 25% сохранят свою первоначальную сложность — хуже не будет. Это сильный аргумент, и я не в состоянии это сделать, но я думаю, что равенство τ = 2π i выглядит более многообещающим (и менее разрушительным с исторической точки зрения), чем τ = 2π.

Что бы вы ни думали о τ, я надеюсь, что вы хорошо проведете день Тау. Пожалуйста, наслаждайтесь сегодня двумя пи (е) — воображаемыми или нет.

Radian — определение математического слова

Radian — определение математического слова — Math Open Reference

Единица измерения углов.
Один радиан — это угол, образованный дугой в центре окружности. длина которого равна радиусу окружности.

Попробуйте это Перетащите оранжевую точку. Обратите внимание, что радиан — это фиксированный угол независимо от размера круга.

Радиан — это единица измерения углы используется в основном в тригонометрия.Используется вместо градусов. В то время как полный круг составляет 360 градусов, полный круг составляет чуть более 6 радиан.

Полный круг имеет 2π радиан (примерно 6,28).

Как видно на рисунке выше, радиан определяется дуга окружности. Длина дуги равна радиус круга. Из-за этого радиан имеет фиксированный размер независимо от размера круга. Перетащите оранжевую точку и убедитесь, что это так.

Напомним, что длина окружности окружности 2πR, то есть 2π, или примерно 6.28 радиан в полном круге. Поскольку полный круг также равен точно 360 °, каждый радиан составляет примерно 57,296 °.

Для преобразования между градусами и радианами

Для угла, размер которого составляет D градусов или R радиан:

	точно	Примерно
Данные градусы (D)		0,017 D радиан
Данные радианы (R)		57,3 R градуса

Конвертер градусов / радиан

В полях ниже введите либо количество градусов, либо количество радианов (не оба сразу) и нажмите «преобразовать».

Общие углы в градусах и радианах

Одна из причин использования радианов заключается в том, что обычные углы оказываются удобными долями числа пи, как вы можете видеть:

	точные радианы	Приблизительные радианы
30 °		0,52
45 °		0,785
60 °		1,048
90 °		1.57
180 °		3,142
270 °		4,71
360 °		6,28

Другие ракурсы

Общий

Типы углов

Угловые отношения

математиков хотят попрощаться с Pi

«Я знаю, что некоторые назовут это богохульством, но я считаю, что число» пи «неверно.

Это первая строчка переломного эссе, написанного в 2001 году математиком Бобом Пале из Университета штата Юта. В своей книге «Пи — это неверно!» Пале утверждал, что на протяжении тысячелетий люди сосредотачивали свое внимание и преклонялись перед неверная математическая константа.

Дважды пи, а не само число пи, является поистине священным числом круга, утверждал Пале. Мы должны праздновать и символизировать значение, равное приблизительно 6,28 — отношению длины окружности к ее радиусу. — а не к 3.Такое отношение длины окружности к диаметру (геометрическое свойство в значительной степени не имеет значения).

В прошлом году последователи Palais дали новой константе 2pi имя: tau. С тех пор движение тау неуклонно росло, и его участники надеются заменить пи, как оно появляется в учебниках и калькуляторах, на тау, истинного кумира математики. Вчера, 28 июня, они даже отметили День тау на математических мероприятиях по всему миру.

Но действительно ли Пи «неправильное»? И если да, то почему тау лучше?

Математики не говорят, что число Пи было вычислено неправильно.Его значение, как всегда, составляет примерно 3,14. Скорее они утверждают, что значение 3,14 не имеет наибольшего значения, когда речь идет о кругах. Первоначально Пале утверждал, что число пи должно быть изменено на 6,28, в то время как другие предпочитают вообще давать этому числу новое имя.

Кевин Хьюстон, математик из Университета Лидса в Великобритании, который снял видео на YouTube, чтобы объяснить все преимущества тау по сравнению с пи, сказал, что наиболее убедительным аргументом в пользу тау является то, что это гораздо более естественное число для использования в области математики, включающие круги, такие как геометрия, тригонометрия и даже продвинутое исчисление.

«При измерении углов математики используют не градусы, а радианы», — с энтузиазмом сказала Хьюстон Life’s Little Mysteries, дочернему сайту LiveScience. «В круге 2 радиана на дюйм. Это означает, что одна четверть круга соответствует половине числа пи. То есть, одна четверть соответствует половине. Это безумие. Точно так же три четверти круга — это три половины числа пи. Три четверти соответствует трем половинкам! » [Настоящая круговая диаграмма: Любимые пироги Америки]

«Давайте теперь воспользуемся тау», — продолжил он.«Четверть круга — это одна четверть тау. Одна четверть соответствует одной четверти! Разве это не разумно и легко запомнить? Точно так же три четверти круга — это три четверти тау». По его словам, приравнять тау к полному угловому повороту окружности «так легко, и это предотвратит глупые ошибки студентов-математиков, физиков и инженеров».

Лучшее средство обучения

Помимо предотвращения ошибок, как выразился Пале в своей статье, «возможность произвести впечатление на учеников красивым и естественным упрощением превратилась в абсурдное упражнение по запоминанию и догматизму.»

В самом деле, другие защитники тау заявили, что заметили значительное улучшение способности студентов изучать математику, особенно геометрию и тригонометрию, где факторы 2pi проявляются больше всего, когда студенты учатся с помощью тау, а не пи.

Хотя 2pi встречается в вычислениях гораздо чаще, чем само число пи (на самом деле, математики часто случайно опускают или добавляют этот дополнительный множитель 2 в своих вычислениях), «нет необходимости искоренять число пи», — сказал Хьюстон.«Вы могли бы сказать, что я не анти-пи, я за-тау. Следовательно, любой мог использовать пи, когда у него было вычисление, включающее половину тау».

Тау, 19-я буква греческого алфавита, была независимо выбрана в качестве символа для 2pi Майклом Хартлом, физиком и математиком, автором «Манифеста Тау», и Питером Харремоэсом, датским теоретиком информации. В электронном письме Хьюстон объяснил свой выбор: «Он немного похож на пи и является греческим« т », поэтому хорошо сочетается с идеей поворота (поскольку тау используется в углах, можно говорить об одной четверти оборота и т. Д. .) «

Пи слишком глубоко укоренилось в нашей культуре и нашей математике, чтобы поддаться тау в одночасье, но движение идет вперед.« Изменения будут постепенными », — сказал Хьюстон.

Эта статья была предоставлена Life’s Little Mysteries, a сестринский сайт LiveScience. Подпишитесь на нас в Twitter @llmysteries, затем присоединяйтесь к нам на Facebook . Следите за Натали Вулчовер в Twitter @nattyover.

Геометрия прибора и эффективность обнаружения

Геометрия прибора и эффективность обнаружения: 2? против.4?

Опубликовано 5 февраля, 2019

Термины «2π» и «4π» часто используются при описании нескольких аспектов обнаружения и количественной оценки радиации. Эти же термины также используются для обсуждения сертификации калибровки радиоактивных эталонов. Однако кажется, что фактическое значение этих терминов сомнительна для многих людей.Более того, термины «2π» и « 4π » , используемые в радиационной защите, могут подразумевать дополнительную информацию, которая может быть неправильно выведена непосвященным. Неправильное или неполное недооценка всех значений и использования этих терминов может потенциально привести к очень большим ошибкам в расчетах поверхностного (или переносимого по воздуху) загрязнения. Эта статья, таким образом, пытается объяснить использование этих терминов и их значение в различных применениях, поскольку они применяются к обнаружению альфа- и бета-загрязнения с помощью портативных приборов.

Основы геометрии

Окружность любого круга (т. Е. Длина линии, определяющей круг) может быть вычислена путем умножения радиуса этой окружности (т. Е. Расстояния от центра до края) на удвоенное значение π (c = 2πr). Это также основа радианной меры, в которой вместо градусов используются числа, кратные π. В радианах 2π = 360 °.Другими словами, в радианах 2π представляет собой полный двумерный круг.

Трехмерный аналог окружности круга — это площадь поверхности сферы. Площадь поверхности любой сферы можно рассчитать с помощью уравнения A = 4π ². Это используется в трехмерном измерении углов, в котором используется стерадиан. Термин стерадиан происходит от «стерео радиан» и определяется как телесный угол, проходящий в центре сферы единичного радиуса на единицу площади на ее поверхности.Таким образом, «4π» (оставив «r ^2» невысказанным) представляет собой всю сферу. Также достаточно легко увидеть, что «2π» представляет ровно половину сферы. Просто тогда, когда мы говорим о чем-то как «4π», мы имеем в виду, что что-то аналогично сфере. Точно так же «2π» относится к до полусферы или полушария. Как это применимо к радиоактивным источникам и детекторам излучения?

Инструменты

Сначала несколько слов об эффективности детектора.Для целей этой статьи эффективность определяется как отношение отсчетов с поправкой на фон, наблюдаемых детектором для каждого радиоактивного распада, происходящего в источнике

(отсчет / распад или к / д).

Эффективность также можно умножить на 100, чтобы выразить ее в процентах, например, если мой источник калибровки указан как 10000 dpm (распадов в минуту), а детектор показывает 1100 cpm (отсчетов в минуту) на фоне 50 cpm, КПД составит:

Эффективность в c / d точно такая же, как при определении для cpm / dpm или cps / dps.

Когда известна эффективность конкретного изотопа, скорректированную по фону скорость образца можно использовать для определения активности поверхности или образца путем деления скорости счета с поправкой на фон на эффективность. Используя эффективность, определенную выше, если я получаю 250 копий в минуту на протирании с фоном 50 копий в минуту, активность на этой протирании будет:

Детектор 2π — это детектор, который может видеть только одну сторону радиоактивного источника; все портативные детекторы загрязнения изначально имеют 2π.Другими словами, если источник излучает излучение во всех направлениях (то есть в стерадиане 4π), детектор никогда не сможет увидеть более половины этого излучения или будет иметь 50% эффективность. На самом деле «теоретический максимум» эффективности всегда будет несколько ниже 50% по нескольким причинам. Прежде всего, для реальной 2π-геометрии центр источника должен пересекаться с плоской плоскостью полусферы детектирования, чтобы получить полное 50% покрытие; источник должен физически соприкасаться с лицевой стороной детектора, хотя в действительности источник всегда удерживается, по крайней мере, на небольшом расстоянии от окна детектора (см. рисунок 1).Все другие факторы включают потерю обнаружения из-за расстояния и экранирования (например, входное окно детектора).

Хотя лабораторные счетчики «4π» существуют, они не особо распространены. Обычно они состоят из сферического газового пропорционального счетчика, в котором образец подвешен в центре. Это правда, что анализаторы гамма-спектра, в которых измеряемый образец содержится в стакане Маринелли, который окружает детектор (как показано на рисунке 2), имеют размер почти 4π, они не имеют отношения к этой пленочной статье.Точно так же можно утверждать, что некоторые приборы для измерения интенсивности воздействия имеют значение 4π, но приборы для измерения интенсивности воздействия обычно не используются для измерения поверхностного загрязнения.

Источники

Общие

Идеальный точечный радиоактивный источник излучает излучение во всех направлениях, и, следовательно, по своей природе имеет «4π.«Этот идеальный источник должен быть невесомым и безразмерным, что позволит сделать его излучение чистым и беспрепятственным. Реальный источник, такой как калибровочный эталон, отличается от идеального во многих отношениях, в первую очередь из-за самопоглощения и обратного рассеяния Источник обычно представляет собой металлический диск диаметром от 0,5 до 2 дюймов, радиоактивный материал которого высушен или нанесен на поверхность гальваническим способом. Радиоактивный материал может быть защищен тонким (майларовым, каптоновым или другим) покрытием, а может и не быть защищен им………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. .в зависимости от конкретного макияжа и предполагаемого использования источника. С практической точки зрения, мы все еще можем рассматривать любой источник как «точечный источник», если он невелик по сравнению с размером области детектора.

Самопоглощение

Самопоглощение — это «самоэкранирование ~ излучения источника за счет защитного покрытия или даже от толщины самого осажденного радиоактивного материала (см. Рисунок 3).Хотя самопоглощение в некоторой степени существует во всех радиоактивных источниках, оно наиболее существенно в источниках изотопов, которые испускают альфа-частицы (например, ²³⁰ Th) или изделиях бета-излучения с более низкой энергией (например, ¹⁴ C). Вот почему производители источников прилагают все усилия, чтобы слой радиоактивного материала оставался тонким на калибровочных стандартах. Если источник сделан с точным количеством радиоактивного материала, последующий анализ покажет, что там явно меньше радиоактивного материала, если самопоглощение является значительным.

Обратное рассеяние

Обратное рассеяние означает, что некоторая часть частиц, испускаемых в направлениях, отличных от детектора, отскакивает от материала, на котором установлен источник, и меняет направление, часто в сторону детектора. Обратное рассеяние увеличит излучение от источника в направлении детектора, показывая очевидное увеличение активности по сравнению с количеством, из которого он был изготовлен (см. Рисунок 4).Обратное рассеяние гораздо более существенно для бета-частиц, чем для альфа-частиц, и более существенно для бета-частиц с более высокой энергией, таких как частицы из ⁹⁰ Y. Один из методов, используемых производителями источников для преодоления или, по крайней мере, минимизации эффекта обратного рассеяния, заключается в использовании так называемый подвес в невесомости. В одном из этих креплений. изотоп помещается на кусок очень тонкого майлара (или другого материала), который подвешен в более прочном металлическом кольце (см. рисунок 5). Хотя они очень хорошо минимизируют обратное рассеяние, эти источники также очень хрупкие и не рекомендуются для общего использования.

Для пояснения самопоглощение и обратное рассеяние описаны отдельно. На самом деле они оба существуют одновременно в источнике в большей или меньшей степени.

2π и 4π in Описание источников и КПД прибора

При покупке источников для калибровки приборов желательно знать активность изотопа в этом стандарте с высокой степенью точности, часто в пределах: 5%.Обычно это достигается нанесением или нанесением гальванического покрытия точно известного количества радиоактивного стандарта на держатель или основу. Затем это количество материала будет указано в Сертификате калибровки, который прилагается к источнику. Тогда он будет считаться источником «4π», и эффективность прибора, определенная с использованием этой активности, будет эффективностью 4π.

К сожалению, самопоглощение и обратное рассеяние могут изменить количество частиц, фактически испускаемых активной стороной источника, как описано выше.Эти эффекты компенсируются помещением источника в высокоточный безоконный пропорциональный счетчик газа и определением скорости выброса частиц из источника. Поскольку в этом типе детектора источник фактически находится в активном объеме детектора, излучение не ослабляется расстоянием и не должно проходить через окно детектора. Эффективность детектора в этом типе приборов составляет 100%; обнаруживаются все альфа- или бета-частицы, которые покидают поверхность источника.Скорость эмиссии частиц, определенную таким образом, можно рассматривать как активность «2π». Эффективность прибора, определенная с использованием этой скорости излучения, будет равна 2π.

Практически во всех случаях эффективность «2π» фактически бесполезна; при количественной оценке загрязнения мы пытаемся определить количество присутствующего радиоактивного материала, а не только точное количество выбросов с поверхности.

Итак, дилемма такова: мы хотим определить эффективность 4π для наших детекторов, но активность, указанная в сертификате источника, даст нам ошибочное значение.Если мы используем скорость излучения 2π, мы получим эффективность, которая будет точной, но не даст нам полезной информации о количестве загрязнения, присутствующего на поверхности. Например, если я измерю скорость счета на загрязненной поверхности, скорректирую ее с учетом фона и разделю на эффективность 2π, расчетная активность на этой поверхности будет примерно вдвое меньше фактической.

Вероятно, лучшее решение — получить «эффективную активность 4 π» для калибровочного стандарта, умножив интенсивность излучения 2 π на 2, поскольку 2 π x 2 «» 4π.Например, у меня есть источник ¹⁴ C с сертифицированной 4π-активностью 3,477 кБк (килобеккерели, или тысячи распадов в секунду). Активность в dpm выглядит следующим образом:

Это фактическое количество ¹⁴ C на источнике.

Пример самопоглощения

Мой детектор блинов G-M на расстоянии 1 см от этого источника показывает 8000 импульсов в минуту на фоне 50 импульсов в минуту.Эффективность рассчитывается как:

Этот «КПД» не учитывает самопоглощение и на меньше, чем на истинный КПД.

Когда я заказал этот источник, я также настоял на том, чтобы производитель также предоставил мне скорость излучения 2π бета. Это указано как 78 891 бета-излучение в минуту (эпм). Следовательно, эффективная 4π: активность составляет:

Расчет эффективности с использованием тех же параметров, перечисленных выше, на основе эффективной активности дает:

Это точный коэффициент полезного действия, который следует использовать с прибором.Эффективности, определенные с использованием сертифицированной активности и поправки на самопоглощение с использованием эффективной активности, различаются почти на 25% и могут вызвать завышение количества ¹⁴ C на поверхности, если будет использоваться неправильная эффективность.

Пример обратного рассеяния

С другой стороны, неспособность компенсировать обратное рассеяние приведет к переоценке количества бета-излучателей с более высокой энергией, таких как ⁹⁰ Y или ³² P.У меня есть, например, источник ⁹⁰ Sr / Y с сертифицированной активностью 0,0946) мкКи. Вычисляется:

Мой детектор блинов G-M на расстоянии 1 см от этого источника на фоне 50 импульсов в минуту показывает 59000 импульсов в минуту. Эффективность рассчитывается как:

Этот источник установлен на латунной пластине, и производитель сообщил мне, что при обратном рассеянии скорость эмиссии 2π-частиц составляет 128 100 эпм.Эффективная активность π 4 составляет:

В этом примере эффективность, определенная на основе сертифицированной активности, с поправкой на обратное рассеяние варьируется примерно на 0%. Однако в этом случае ошибка будет недооценивать количество загрязнения ⁹⁰ Sr / Y (если вы не обеспечивали активность на латунном столе).Иногда производители приборов указывают номинальную эффективность 2π для данного прибора вместо эффективности 4π. Я подозреваю, что это так, что человек, сравнивающий два похожих детектора, вероятно, купит тот, у которого более высокая эффективность. Разве вы не предпочтете получить для ¹⁴ C эффективность 10%, чем 5%? Поэтому не забудьте прочитать мелкий шрифт, и если указанная эффективность равна 2π, просто разделите эту эффективность пополам, чтобы определить фактическую эффективность, которую вы можете ожидать получить.

Конечно, остаются и другие факторы для расчета правильной эффективности для обеспечения уровней поверхностного загрязнения с помощью ручных инструментов, которые не являются предметом данной статьи.Сюда входит компенсация физического размера источника (или области загрязнения) и типа загрязненного материала.

Сводка

Все радиоактивные источники по своей природе имеют 4π, так как они испускают излучение во всех направлениях. Когда активность в калибровочном стандарте выражается в единицах Ки, Бк или dpm, эта активность не учитывает обратное рассеяние и самопоглощение.

С другой стороны, все портативные приборы для обнаружения излучения по своей природе имеют 2π, в том смысле, что они никогда не смогут обнаружить более половины выбросов частиц от радиоактивного источника.

При определении активности на поверхности или в образце мы хотим знать, что такое активность 4π (то есть общая присутствующая активность). Следовательно, для портативных инструментов используйте только с КПД 4π.Эта эффективность лучше всего приближается к удвоению скорости излучения 2π.

Рекомендации

1. Требовать, чтобы источники альфа- и бета-калибровки поставлялись как с полной активностью (например, dpm, мкКи, кБк), так и со скоростью миссии 2π (например, epm, αpm, ßpm).

2. Определите эффективность счета прибора, разделив скорректированную по фону скорость счета на удвоенную скорость эмиссии 2π частиц.Это «отказоустойчивый» метод, который «автоматически» корректирует самопоглощение и обратное рассеяние. Он применяется ко всем источникам калибровки — альфа, бета с низкой энергией и бета с высокой энергией — независимо от того, установлены ли они на майларе, пластик, алюминий или нержавеющая сталь.

3. Если у вас есть источники калибровки, сертификаты калибровки которых не указывают скорость излучения 2π, обратитесь к производителю источника. В зависимости от изотопа, количества радиоактивного материала и типа подложки (например,g., пластик, нержавеющая сталь), производитель может предоставить точные поправки на обратное рассеяние и самопоглощение.

Автор

Пол Р. Штайнмайер — физик-медик в Radiation Safety Associates, Inc. и соавтор журнала Mathematics Review или Health Physics Techniques. Он разработал Ludlum Measurements Model 44-110 Tritium Frisker и является экспертом в использовании, калибровке и ремонте портативных детекторов излучения.Пол руководил многочисленными мелкими и крупномасштабными проектами по загрязнению и снятию с эксплуатации. Он также является исполнительным директором и помощником RSO в RSA Laboratories, Inc.

Телефон: 860 / 228-0487

Фокс: 860 / 228-4402

Эл. Почта: [email protected]

Перепечатано из журнала RSO Magazine Ma

Измерение углов Измерение углов

Понятие угла

Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии.Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов .

Есть две обычно используемые единицы измерения углов. Более знакомая единица измерения — это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. Пока мы будем рассматривать только углы от 0 ° до 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы.

Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ‘. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунды, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ’30 «. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению на часы в минуты и секунды.

Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут как 7,5 & deg.

Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x ось, а другая сторона выше оси x .

радианы

Другое распространенное измерение углов — радианы.Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла. Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2 π , следовательно, 360 ° равняется 2 π радиан. Следовательно,

1 ° равняется π /180 радиан

а также

1 радиан равен 180/ π градуса

Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор.

Краткая заметка об истории радианов

Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей работе Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией. e ^iθ = cos θ + i sin θ

где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги

Альтернативное определение радианов иногда дается в виде отношения. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора

Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r круга и углу θ между радиусами, если он измеряется в радианах.Поскольку площадь всего круга составляет πr ², а сектор относится к всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтому

Углы общие

Ниже приведена таблица общих углов как при измерении в градусах, так и при измерении радиан. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в терминах π . Его, конечно, можно было бы дать десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π .

Уголок	Градусов	Радианы
	90 °	π /2
	60 °	π /3
	45 °	π /4
	30 °	π /6

Упражнения

Эдвин С.Кроули написал книгу Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии, Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.

Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.

2. Уменьшите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.

3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину продолжающейся дуги.
(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.
(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.

4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол, стянутый в центре.
(а). l = 0,16296, r = 12,587.
(б). l = 1,3672, r = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.
(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус составляет 3200 футов.

7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.

9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?

23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?

Подсказки

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286, умноженное на 60, равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.

3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Это можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.

6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.

9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

ответы

1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.
(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535 радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.

5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.
(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.

6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.

7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет 2102,5 a — 1997,5 a , что равно 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.

9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.

23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.

Насчет цифр точности.

Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.

Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим числом цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.

Интуитивное руководство по углам, градусам и радианам — лучшее объяснение

Очевидно, что окружности должны иметь 360 градусов. Верно?

Неправильно. Большинство из нас понятия не имеют, почему в круге 360 градусов. Мы запоминаем магическое число как «размер круга» и вводим себя в заблуждение при изучении продвинутой математики или физики с их так называемыми «радианами».

«Радианы упрощают математику!» эксперты говорят, без простой причины (дискуссии с участием серии Тейлора непростые).Сегодня мы узнаем, что такое радианы на самом деле, и узнаем, почему они упрощают математику.

Откуда берутся ученые степени?

До чисел и языка у нас были звезды. Древние цивилизации использовали астрономию, чтобы отмечать времена года, предсказывать будущее и умиротворять богов (когда приносили человеческие жертвы, им лучше приходить вовремя, ).

Как это относится к углам? Ну, дружище, дайте мне загадку: разве не странно, что у круга 360 градусов, а в году 365 дней? И разве не странно, что созвездия просто кружат по небу в течение года?

В отличие от пирата, держу пари, сухопутные жители не могут определять времена года по ночному небу.Вид на Большую Медведицу из Нью-Йорка в 2008 году (попробуйте любой город):

Созвездия каждый день делают круг (видео). Если вы смотрите в одно и то же время каждый день (полночь), они также будут образовывать круг в течение года. Вот теория о том, как стали поступать ученые степени:

Люди заметили, что созвездия ежегодно совершают полный круг
Каждый день они немного отставали («на градус»)
Поскольку в году около 360 дней, круг имеет 360 градусов

Но, но… почему не 365 градусов по кругу?

Немного расслабиться: у них было солнечных часов, и они не знали, что год должен иметь удобные 365.242199 градусов как у вас.

360 достаточно близко для работы правительства. Оно прекрасно вписывается в вавилонскую систему счисления с основанием 60 и хорошо делится (на 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 30, 45, 90… вы поняли).

Основание математики на Солнце кажется совершенно разумным

Земле повезло: ~ 360 — большое количество дней в году. Но это кажется произвольным: на Марсе у нас будет примерно ~ 680 градусов по кругу в течение более длительного марсианского года. А в некоторых частях Европы использовали градианы, когда круг делится на 400 частей.

Многие объяснения здесь заканчиваются словами: «Ну, степень произвольна, но нам нужно выбрать или номер ». Не здесь: мы увидим, что вся предпосылка степени находится в обратном направлении .

Правило радианов, градусы слюни

Градус — это величина, на которую мне, наблюдателю, нужно наклонить голову, чтобы увидеть вас, движущегося человека. Он немного эгоцентричен, тебе не кажется?

Предположим, вы увидели, как друг бежит по большой трассе:

«Привет, Билл, как далеко ты зашел?»
«Ну, у меня был действительно хороший темп, думаю, я прошел 6 или 7 миль…»
«Шуддуп.Как далеко я повернул голову, чтобы увидеть, как вы двигаетесь? »
«Что?»
«Я буду использовать короткие слова для вас. Я посреди трассы. Вы бегали. Насколько… сильно… я… повернул… свою… голову? »
«Рывок».

Эгоистичный, правда? Вот как мы занимаемся математикой! Мы пишем уравнения в виде «Эй, как далеко я повернул голову, чтобы увидеть, как движется планета / маятник / колесо?». Бьюсь об заклад, вы никогда не задумывались о чувствах, надеждах и мечтах маятника.

Как вы думаете, уравнения физики должны быть простыми для движущегося или наблюдателя?

Радианы: Бескорыстный выбор

Большая часть физики (и жизни!) Включает в себя выход из вашей системы отсчета и взгляд на вещи с другой точки зрения.Вместо того чтобы гадать, как далеко мы наклонили голову, подумайте, как далеко переместился другой человек .

градуса измеряют углы по тому, насколько мы наклонили голову. Радианы измеряют углы как пройденное расстояние .

Но абсолютная дистанция не так полезна, поскольку пробег 10 миль — это разное количество кругов в зависимости от трассы. Делим на радиус, чтобы получить нормализованный угол:

Вы часто видите это как

или угол в радианах (тета) — длина дуги, деленная на радиус (r).

Круг имеет 360 градусов или 2 радиана на дюйм — полный круг равен 2 * пи * r / r. Таким образом, радиан составляет около 360 / (2 * пи) или 57,3 градуса.

Не уподобляйтесь мне, запоминая эту мысль: «Отлично, еще одна единица. 57,3 градуса — это так странно ». Потому что это странно, когда ты все еще думаешь о себе!

Перемещение 1 радиан (единица) — это совершенно нормальное расстояние для путешествия. Другими словами, наша идея «чистого угла 90 градусов» означает, что движитель проходит очень нечистых единиц пи / 2.Подумай об этом — «Эй, Билл, ты можешь пробежать для меня на 90 градусов? Это что? Ах да, с твоей точки зрения это будет пи / 2 мили. Странность двусторонняя.

Радианы — это чуткий способ делать математические вычисления — переход от наклона головы к точке зрения движущегося.

Что в имени?

Радианы — это количество расстояний в «единицах радиуса», и я думаю, что радиан — это сокращение для этого понятия.

Строго говоря, радианы — это просто число вроде 1.5 или 73 и не имеют единиц измерения (при вычислении «радианы = пройденное расстояние / радиус» мы видим, что длина делится на длину, поэтому любые единицы будут отменены).

Но с практической точки зрения мы не математические роботы, и радианы можно рассматривать как «расстояние», пройденное по единичной окружности.

Использование радианов

Я все еще привык думать в радианах. Но мы довольно часто сталкиваемся с понятием «расстояние движущегося»:

При измерении определенных скоростей вращения мы используем «обороты в минуту», а не «градусы в секунду».Это сдвиг к контрольной точке движущегося («Сколько кругов он прошел?») И от произвольной меры градуса.
Когда спутник вращается вокруг Земли, мы понимаем его скорость в «милях в час», а не в «градусах в час». Теперь разделите на расстояние до спутника, и вы получите орбитальную скорость в радианах в час.
Синус, эта замечательная функция, определяется в радианах как

Эта формула работает, только если x выражается в радианах! Почему? Итак, синус в основном связан с расстоянием , пройденным на , а не с наклоном головы.Но мы отложим это обсуждение на другой день.

Radian Пример 1: Колеса автобуса

Рассмотрим реальный пример: у вас есть автобус с радиусом колес 2 метра (это автобус-монстр-грузовик). Я скажу, с какой скоростью вращаются колеса, а вы скажете, с какой скоростью движется автобус. Готовый?

«Колеса вращаются на 2000 градусов в секунду». Вы бы подумали:

Хорошо, колеса идут 2000 градусов в секунду. Это означает, что он совершает 2000/360 оборотов или 5 и 5/9 оборотов в секунду.Окружность = 2 * пи * r, поэтому он движется, ммм, 2 * 3,14 * 5 и 5/9 … где мой калькулятор …

Ок. А теперь представьте себе машину с колесами радиусом 2 метра (тоже монстра). «Колеса машины вращаются на 6 радиан в секунду». Вы бы подумали:

Радианы — это расстояние вдоль единичной окружности — мы просто масштабируем по реальному радиусу, чтобы увидеть, как далеко мы ушли. 6 * 2 = 12 метров в секунду. Следующий вопрос.

Ух ты, в машине было легче разобраться, чем в автобусе! Никаких сумасшедших формул, никакого плавающего числа Пи — просто умножьте , чтобы преобразовать скорость вращения в линейную.Все потому, что радианы говорят о двигателе.

Обратное тоже легко. Предположим, вы едете со скоростью 90 футов в секунду по шоссе (60 миль в час) на колесах диаметром 24 дюйма (радиус 1 фут). Как быстро вращаются колеса?

Ну, 90 футов в секунду / радиус 1 фут = 90 радиан в секунду.

Это было легко. Я подозреваю, что рэперы поют около 24-дюймовых дисков именно по этой причине.

Radian Пример 2: sin (x)

Пришло время более крутого примера. Исчисление касается многих вещей, и одна из них — это то, что происходит, когда числа становятся действительно большими или очень маленькими.

Выберите число градусов (x) и поместите sin (x) в свой калькулятор:

Когда вы делаете x маленьким, например, 0,01, sin (x) также становится малым. И отношение sin (x) / x кажется примерно 0,017 — что это значит? Еще более странно, что значит умножать или делить на градус? У вас могут быть квадратные или кубические градусы?

Радианы спешат на помощь! Зная, что они относятся к пройденному расстоянию (это не просто соотношение!), Мы можем интерпретировать уравнение следующим образом:

x — это расстояние, которое вы прошли по кругу
sin (x) — это то, насколько высоко вы находитесь в круге

Итак, sin (x) / x — это отношение того, как высоко вы находитесь, к тому, как далеко вы зашли: количество энергии, которое пошло «вверх».Если вы двигаетесь вертикально, это соотношение составляет 100%. Если вы двигаетесь по горизонтали, это соотношение составляет 0%.

Когда что-то перемещается на небольшое расстояние, например, от 0 до 1 градуса с нашей точки зрения, оно в основном идет прямо вверх. Если пойти еще на меньшую величину, от 0 до 0,00001 градуса, получится , на самом деле идет прямо вверх. Пройденное расстояние (x) очень близко к высоте (sin (x)).

По мере уменьшения x соотношение приближается к 100% — больше движения идет вверх. Радианы помогают нам интуитивно понять, почему sin (x) / x приближается к 1, когда x становится крошечным.Мы просто немного продвигаемся в вертикальном направлении. Кстати, это также объясняет, почему sin (x) ~ x для малых чисел.

Конечно, вы можете строго доказать это, используя исчисление, но интуиция в радианах поможет вам понять это.

Помните, что эти отношения работают только при измерении углов в радианах. В градусах вы сравниваете свой рост на окружности (sin (x)) с тем, насколько наблюдатель наклонил голову (x градусов), и быстро становится уродливо.

Так в чем же смысл?

У
градусов есть свое место: в нашей жизни мы являемся фокусом и хотим видеть, как вещи влияют на нас. Насколько я наклоняю телескоп, вращаю сноуборд или поворачиваю рулевое колесо?
В соответствии с законами природы мы — наблюдатели, описывающие движения других. Радианы о них, а не о нас. Мне потребовалось много лет, чтобы понять, что:
градусов — это произвольных , потому что они основаны на Солнце (365 дней ~ 360 градусов), но они на назад, , потому что они с точки зрения наблюдателя.
Поскольку радианы выражены в единицах движения, уравнения «встают на свои места». Преобразовать вращательную скорость в линейную легко, и такие идеи, как sin (x) / x, имеют смысл.
Равные углы можно увидеть с нескольких точек зрения, а понимание радианов делает математические и физические уравнения более интуитивно понятными. Счастливая математика.
Другие сообщения этой серии
Наглядное, интуитивно понятное руководство по мнимым числам
Интуитивная арифметика с комплексными числами
Понимание того, почему работает комплексное умножение
Интуитивное руководство по углам, градусам и радианам
Интуитивное понимание формулы Эйлера
Интерактивное руководство по преобразованию Фурье
Интуитивное руководство по свертке
Интуитивное понимание синусоидальных волн
Интуитивное руководство по линейной алгебре
Интуиция программиста для умножения матриц
Мнимое умножение vs.Мнимые экспоненты
Интуитивное руководство по гиперболическим функциям
Что такое период синусоидальной функции?
Обновлено 30 ноября 2020 г.
Автор: Элиза Хансен
Период синусоидальной функции равен 2π , что означает, что значение функции одинаково каждые 2π единиц.
Синусоидальная функция, такая как косинус, тангенс, котангенс и многие другие тригонометрические функции, является периодической функцией , что означает, что она повторяет свои значения через равные промежутки времени или «периоды».»В случае синусоидальной функции этот интервал равен 2π.
TL; DR (слишком долго; не читал)
TL; DR (слишком долго; не читал)
Период функции синуса составляет 2π.
Например, sin (π) = 0. Если вы прибавите 2π к значению x , вы получите sin (π + 2π), который равен sin (3π). как sin (π), sin (3π) = 0. Каждый раз, когда вы добавляете или вычитаете 2π из нашего значения x , решение будет таким же.
Вы можете легко увидеть период на графике, как расстояние между «совпадающими» точками.Поскольку график y = sin ( x ) выглядит как единый шаблон, повторяющийся снова и снова, вы также можете думать об этом как о расстоянии по оси x перед графиком. начинает повторяться.
На единичной окружности 2π — это полный оборот по окружности. Любая величина, превышающая 2π радиан, означает, что вы продолжаете двигаться по кругу — это повторяющийся характер синусоидальной функции и еще один способ проиллюстрировать, что каждые 2π единицы значение функции будет одинаковым.
Изменение периода функции синуса
Период основной функции синуса
y = \ sin (x)
равен 2π, но если x умножить на константу, это может измениться стоимость периода.
Если x умножить на число больше 1, это «ускорит» функцию, и период будет меньше. Функция не займет много времени, чтобы начать повторяться.
y = \ sin (2x)
удваивает «скорость» функции.Период равен всего π радиан.
Но если x умножить на дробь от 0 до 1, это «замедлит» функцию, а период будет больше, потому что для повторения функции требуется больше времени.
y = \ sin \ bigg (\ frac {x} {2} \ bigg)
снижает «скорость» функции вдвое; требуется много времени (4π радиан), чтобы он завершил полный цикл и снова начал повторяться.
Найдите период функции синуса
Допустим, вы хотите вычислить период модифицированной функции синуса, например
y = \ sin (2x) \ text {или} y = \ sin \ bigg (\ frac { x} {2} \ bigg)
Коэффициент x является ключевым; назовем этот коэффициент B .
Итак, если у вас есть уравнение в форме y = sin ( Bx ), тогда:
\ text {Period} = \ frac {2π} {| B |}
Бары | | означает «абсолютное значение», поэтому, если B — отрицательное число, вы должны просто использовать положительную версию. Если бы, например, B было −3, вы бы просто выбрали 3.
Эта формула работает, даже если у вас есть сложный вариант синусоидальной функции, например
y = \ frac {1} { 3} × \ sin (4x + 3)
Коэффициент x — это все, что имеет значение для вычисления периода, так что вы все равно должны:
\ text {Period} = \ frac {2π} {| 4 |} \\ \, \\ \ text {Period} = \ frac {π} {2}
Найдите период любой триггерной функции
Чтобы найти период косинуса, тангенса и других триггерных функций, вы используйте очень похожий процесс.
No related posts.