Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac{π}{2}\), \(-\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac{π}{2}\). \(\frac{π}{2}\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\)\(\frac{π}{2}\). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac{3π}{2}\). Для этого дробь \(\frac{3}{2}\) переведем в смешанный вид \(\frac{3}{2}\)\(=1\)\(\frac{1}{2}\), т.е. \(\frac{3π}{2}\)\(=π+\)\(\frac{π}{2}\). Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\).
Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{6}\).
\(\frac{π}{4}\) – это половина от \(\frac{π}{2}\) (то есть, \(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\)\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\) – это половина четверти окружности.
\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\)\(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.
\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\)\(=\)\(\frac{π}{3}\)\(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\).
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\),\(π\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)
Обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\), для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π + π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=π+\)\(\frac{π}{6}\). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\).
Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\). Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\)\(=-\)\(\frac{3π}{3}\)\(-\)\(\frac{π}{3}\)\(=-π-\)\(\frac{π}{3}\). Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\).
Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\), для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π-π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π}{4}\)\(-\)\(\frac{π}{4}\)\(=2π-\)\(\frac{π}{4}\). Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\), надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\).
Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{π}{4}\),\(-\)\(\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{6}\),\(\frac{11π}{6}\), \(\frac{2π}{3}\),\(-\)\(\frac{3π}{4}\).
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Еще один вывод:
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\). Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\)\(=\)\(\frac{6π}{2}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(=3π+\)\(\frac{π}{2}\)\(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac{16π}{3}\). Вновь преобразования: \(\frac{16π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π + π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π}{3}\)\(+\)\(\frac{π}{3}\)\(=5π+\)\(\frac{π}{3}\)\(=4π+π+\)\(\frac{π}{3}\). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{3}\) – и мы найдем место точки \(\frac{16π}{3}\).
Нанесем на окружность число \(-\)\(\frac{21π}{2}\).
Обозначим \(-\)\(\frac{29π}{6}\).
\(-\)\(\frac{29π}{6}\)\(=-\)\(\frac{30π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-5π+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-4π-π+\)\(\frac{π}{6}\). Для обозначение \(-\)\(\frac{29π}{6}\), на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac{π}{6}\).
Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки \(-8π\),\(-7π\), \(\frac{11π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{3}\),\(\frac{17π}{6}\),\(-\)\(\frac{20π}{3}\),\(-\)\(\frac{11π}{2}\).
Скачать статью| 1 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata — d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 5 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x относительно x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 относительно x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x относительно x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 16 | Trovare la Derivata — d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 относительно x | |
| 20 | Trovare la Derivata — d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata — d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 25 | Trovare la Derivata — d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata — d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x относительно x | |
| 30 | Trovare la Derivata — d/dx | ( натуральный логарифм x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata — d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) относительно x | |
| 34 | Trovare la Derivata — d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata — d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata — d/dx | y=16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata — d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) относительно x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) относительно x | |
| 42 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/( квадратный корень x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) относительно x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata — d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 относительно x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 относительно x | |
| 51 | Trovare la Derivata — d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata — d/dx | x натуральный логарифм x | |
| 53 | Trovare la Derivata — d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) относительно x | |
| 59 | Trovare la Derivata — d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x относительно x | |
| 61 | Trovare la Derivata — d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata — d/dx | квадратный корень x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) относительно x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata — d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) относительно x | |
| 69 | Trovare la Derivata — d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 72 | Trovare la Derivata — d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata — d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata — d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata — d/d@VAR | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata — d/dx | кубический корень x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) относительно x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) относительно x | |
| 82 | Trovare la Derivata — d/d@VAR | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata — d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata — d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata — d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 относительно x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x относительно x | |
| 92 | Trovare la Derivata — d/dx | 16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata — d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x | |
| 96 | Trovare la Derivata — d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) относительно x | |
| 98 | Trovare la Derivata — d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x^2 |
Число Пи — значение, история, кто придумал
Все окружности похожи
Если сравнить окружности отличных друг от друга размеров, то можно заметить следующее: размеры разных окружностей пропорциональны. А это значит, что при увеличении диаметра окружности в некоторое количество раз, увеличивается и длина этой окружности в такое же количество раз. Математически это записать можно так:
| C1 | C2 | ||
| = | |||
| d1 | d2 | (1) |
где C1 и С2 – длины двух разных окружностей, а d1 и d2 – их диаметры.
Это соотношение работает при наличии коэффициента пропорциональности – уже знакомой нам константы π. Из отношения (1) можно сделать вывод: длина окружности C равна произведению диаметра этой окружности на независящий от окружности коэффициент пропорциональности π:
C = πd.
Также эту формулу можно записать в ином виде, выразив диаметр d через радиус R данной окружности:
С = 2πR.
Как раз эта формула и является проводником в мир окружностей для семиклассников.
Еще с древности люди пытались установить значение этой константы. Так, например, жители Месопотамии вычисляли площадь круга по формуле:
| C2 | |||
| S | = | , | |
| 12 |
где S – площадь круга, C – длина окружности (круга). Если в эту формулу подставить уже знакомые школьнику выражения площади круга S = πr2 и длины окружности С = 2 πR, то мы получим:
| (2πR)2 | ||
| πR2 | = | |
| 12 |
, откуда π = 3.
В древнем Египте значение для π было точнее. В 2000-1700 годах до нашей эры писец, именуемый Ахмесом, составил папирус, в котором мы находим рецепты разрешения различных практических задач. Так, например, для нахождения площади круга он использует формулу:
| 8 | 2 | |||||
| S | = | ( | d | ) | ||
| 9 |
Из каких соображений он получил эту формулу? – Неизвестно. Вероятно, на основе своих наблюдений, впрочем, как это делали и другие древние философы.
По стопам Архимеда
— Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
— Они равны.
— Почему ?
— Каждое из них равно π.
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.
Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: «переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным».
Решение будет таковым: нужно образовать «крышу» для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π.
Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют «Архимедовым» числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π. В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:
| 10 | 6336 | 14688 | 1 | |||||||||
| 3 | < | < | π | < | < | 3 | ||||||
| 71 | 1 | 1 | 7 | |||||||||
| 2017 | 4673 | |||||||||||
| 4 | 2 | |||||||||||
можно записать проще: 3,140 909 < π < 3,1 428 265…
Как видим из неравенств, Архимед нашел довольно-таки точное значение с точностью до 0,002. Самое удивительно то, что он нашел два первых знака после запятой: 3,14… Именно такое значение чаще всего мы используем в несложных расчетах.
Практическое применение
Едут двое в поезде:
− Вот смотри, рельсы прямые, колеса круглые.
Откуда же стук?
− Как откуда? Колеса-то круглые, а площадь
круга пи эр квадрат, вот квадрат-то и стучит!
Как правило, знакомятся с этим удивительным числом в 6-7 классе, но более основательно им занимаются к концу 8-го класса. В этой части статьи мы приведем основные и самые важные формулы, которые пригодятся вам в решении геометрических задач, только для начала условимся принимать π за 3,14 для удобства подсчета.
Пожалуй, самая известная формула среди школьников, в которой используется π, это – формула длины и площади окружности. Первая – формула площади круга – записывается так:
где S – площадь окружности, R – ее радиус, D – диаметр окружности.
Длина окружности, или, как ее иногда называют, периметр окружности, вычисляют по формуле:
С = 2 πR = πd,
где C – длина окружности, R – радиус, d – диаметр окружности.
Понятно, что диаметр d равен двум радиусам R.
Из формулы длины окружности можно легко найти радиус окружности:
| C | C | ||
| R= | = | ||
| 2π | d |
Обозначения для этих формул остаются те же.
Диаметр окружности можно найти по формуле:
где D – диаметр, С – длина окружности, R – радиус окружности.
Это базовые формулы, знать которые должен каждый ученик. Также иногда приходится вычислять площадь не всей окружности, а только ее части – сектора. Поэтому представляем вам её – формулу для вычисления площади сектора окружности. Выглядит она так:
| α | |||
| S | = | πR2 | |
| 360˚ |
где S – площадь сектора, R – радиус окружности, α – центральный угол в градусах.
Такое загадочное 3,14
И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.
Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием «Пи». Фильм получил множество наград.
Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют «День числа Пи». К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.
Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.
Давайте развлечемся!
Вашему вниманию предлагаются интересные ребусы с числом Пи. Разгадайте слова, какие зашифрованы ниже.
1. π р
2. π L
3. π k
Ответы: 1. Пир; 2. Надпил; 3. Писк.
Число Пи — справочные материалы
Чему равно число Пи
Как запомнить число Пи
Число Пи в Excel
Число Пи на клавиатуре и в Word
Фотографии числа Пи
Калейдоскоп формул для пи
Калейдоскоп формул для пи«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть “геометрическое” число $\pi$. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.
Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой.»
— из интервью И. М. Гельфанда
«Калейдоскоп» ниже состоит из нескольких «алгебраических» формул для $\pi$ с краткими комментариями. Он также опубликован (с сокращениями) в журнале «Квант» (№5 за 2020 год).2$ (последнее равенство — это, по сути, основная теорема арифметики). Более серьезное обсуждение вопроса можно найти, например, в книге «Введение в теорию чисел» Харди и Райта.
4. Формула Валлиса
Если подставить $x=\pi/2$ в разложение Эйлера синуса в бесконечное произведение, то получается равенство $$ \frac\pi2= \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot\ldots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot\ldots} $$ Впрочем, Джон Валлис нашел эту формулу уже в середине XVII века, почти за 100 лет до формулы Эйлера, вычисляя некоторые интегралы.
В упоминавшейся выше статье Ягломов при помощи элементарной тригонометрии доказывается и формула Валлиса. А J. Wästlund нашел и доказательство (в духе «геометрического суммирования»), непосредственно связывающее произведение Валлиса с площадью круга — см. его статью (AMM, 2007) или лекцию Д. Кнута.
При помощи формулы Валлиса можно доказать, что если подкинуть монету $2n$ раз, то вероятность того, что орлов и решек выпадет в точности поровну, приблизительно равна $1/\sqrt{\pi n}$. наверх
3,14 способа запомнить число π с большой точностью
Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше ее диаметра. Неважно, какого размера окружность, — как заметили по меньшей мере еще 4 тыс. лет назад, соотношение всегда остается одним и тем же. Вопрос только, чему оно равняется.
Чтобы высчитать его приблизительно, достаточно обыкновенной нитки. Грек Архимед в III веке до н.э. применял более хитрый способ. Он чертил внутри и снаружи окружности правильные многоугольники. Складывая длины сторон многоугольников, Архимед все точнее определял вилку, в которой находится число π, и понял, что оно приблизительно равно 3,14.
Методом многоугольников пользовались еще почти 2 тыс. лет после Архимеда, это позволило узнать значение числа π вплоть до 38-й цифры после запятой. Еще один-два знака — и можно с точностью до атома рассчитать длину окружности с диаметром как у Вселенной.
Пока одни ученые использовали геометрический метод, другие догадались, что число π можно рассчитывать, складывая, вычитая, деля или умножая другие числа. Благодаря этому «хвост» вырос до нескольких сотен цифр после запятой.
С появлением первых вычислительных машин и особенно современных компьютеров точность повысилась на порядки — в 2016 году швейцарец Петер Трюб определил значение числа π до 22,4 трлн знаков после запятой. Если напечатать этот результат в строчку 14-м кеглем нормальной ширины, то запись получится немногим короче, чем среднее расстояние от Земли до Венеры.
В принципе ничто не мешает добиться еще большей точности, но для научных расчетов в этом давно нет нужды — разве что для тестирования компьютеров, алгоритмов и для исследований в математике. А исследовать есть что. Даже про само число π известно не все. Доказано, что оно записывается в виде бесконечной непериодической дроби, то есть цифрам после запятой нет предела, и они не складываются в повторяющиеся блоки. Но вот с одинаковой ли частотой появляются цифры и их комбинации, неясно. Судя по всему, это так, но пока никто не привел строгого доказательства.
Дальнейшие вычисления проводятся в основном из спортивного интереса — и по той же причине люди пытаются запомнить как можно больше цифр после запятой. Рекорд принадлежит индийцу Раджвиру Мине, который в 2015 году назвал на память 70 тыс. знаков, сидя с завязанными глазами почти десять часов.
Наверное, чтобы превзойти его результат, нужен особый талант. Но просто удивить друзей хорошей памятью способен каждый. Главное — использовать одну из мнемонических техник, которая потом может пригодиться и для чего-нибудь еще.
Структурировать данные
Самый очевидный способ — разбить число на одинаковые блоки. Например, можно представить π как телефонную книгу с десятизначными номерами, а можно — как причудливый учебник истории (и будущего), где перечислены годы. Много так не запомнишь, но, чтобы произвести впечатление, хватит и пары десятков знаков после запятой.
Превратить число в историю
Считается, что самый удобный способ запомнить цифры — придумать историю, где им будет соответствовать количество букв в словах (ноль было бы логично заменить пробелом, но тогда большинство слов сольется; вместо этого лучше использовать слова из десяти букв). По этому принципу построена фраза «Можно мне большую упаковку кофейных зерен?» на английском языке:
May — 3,
I — 1
have — 4
a — 1
large — 5
container — 9
of — 2
coffee — 6
beans — 5
На эту тему
В дореволюционной России придумали похожее предложение: «Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) Пи узнать число, уже знает(ъ)». Точность — до десятого знака после запятой: 3,1415926536. Но проще запомнить более современный вариант: «Она и была, и будет уважаемая на работе». Есть и стихотворение: «Это я знаю и помню прекрасно — пи, многие знаки мне лишни, напрасны». А советский математик Яков Перельман сочинил целый мнемонический диалог:
— Что я знаю о кругах? (3,1415)
— Вот и знаю я число, именуемое пи — молодец! (3,1415927)
— Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать! (3,14159265359)
Американский математик Майкл Кит и вовсе написал целую книгу Not A Wake, в тексте которой содержится информация о первых 10 тыс. цифр числа π.
Заменить цифры буквами
Кому-то легче запомнить бессвязные буквы, чем случайные цифры. В этом случае цифры заменяются первыми буквами алфавита. Первое слово в названии рассказа Cadaeic Cadenza Майкла Кита появилось именно таким образом. Всего в этом произведении закодировано 3835 знаков числа пи — правда, тем же способом, что в книге Not a Wake.
В русском языке для подобных целей можно использовать буквы от А до И (последняя будет соответствовать нолю). Насколько удобно будет запоминать составленные из них комбинации — вопрос открытый.
Придумать образы для комбинаций цифр
Чтобы добиться по-настоящему выдающихся результатов, предыдущие методы не годятся. Рекордсмены используют технику визуализации: изображения запомнить легче, чем цифры. Сначала нужно сопоставить каждую цифру с согласной буквой. Получится, что каждому двухзначному числу (от 00 до 99) соответствует двухбуквенное сочетание.
Допустим, один — это «н», четыре — «р», пять — «т». Тогда число 14 — это «нр», а 15 — «нт». Теперь эти пары следует дополнить другими буквами, чтобы получилось слова, например, «нора» и «нить». Всего понадобится сто слов — вроде бы много, но за ними стоят всего десять букв, поэтому запомнить не так уж сложно.
Число π предстанет в уме как последовательность образов: три целых, нора, нить и т.п. Чтобы лучше запомнить эту последовательность, изображения можно нарисовать или распечатать на принтере и поставить перед глазами. Некоторые люди просто раскладывают соответствующие предметы по комнате и вспоминают числа, разглядывая интерьер. Регулярные тренировки по этому методу позволят запомнить сотни и даже тысячи знаков после запятой — или любую другую информацию, ведь визуализировать можно не только числа.
Марат Кузаев, Кристина Недкова
pi-topCEED Sonic pi Lab — P-TECH.org
Студенты получат доступ к программе Sonic Pi через приборную панель pi-topCEED и начнут создавать свой музыкальный код.
Студенты начнут работу с интерфейсом Sonic Pi. В нем есть три основных окна. Самое большое из них предназначено для написания кода и называется Панель программирования. Есть также панель вывода, которая отображает информацию о программе в процессе ее выполнения. Когда учащиеся нажимают на кнопку помощи в верхней части окна, появляется третья панель, отображающая справочную документацию. Здесь содержится информация о различных кодах, которые они могут попробовать использовать, а также о различных звуках синтезатора, сэмплах и многом другом.
Попросите студентов выполнить следующие действия:
- Запустите Sonic Pi с рабочего стола или из меню приложений.
- Выберите буфер1 и введите
- Нажмите на значок воспроизведения в верхней части экрана. Что происходит?
- Что произойдет, если вы наберете 60 и нажмете на значок воспроизведения?
Это пример ошибки в их коде. В последующих заданиях, если на панели ошибок появится текст, они будут знать, что у них есть ошибка, которую нужно исправить. Это может быть неправильное написание слова, например, play.
Теперь наберите:
- Нажмите на значок воспроизведения в верхней части экрана. Что происходит?
- Компьютер играет каждую ноту последовательно (одну за другой), но это происходит так быстро, что для нас они звучат так, как будто играют одновременно.
Нам нужно сказать компьютеру, чтобы он делал паузу между каждой нотой. Мы можем сделать это, набрав после каждой ноты следующее:
- Значение, введенное после слова sleep, представляет время в секундах. Значение 1 означает одну секунду. Что бы вы набрали за полсекунды?
- Теперь напишите последовательность игры и сна, чтобы получилась круто звучащая мелодия!
Теперь, когда студенты освоили основы Sonic Pi, они могут закодировать мелодию! Они могут следовать следующим шагам, как зациклить мелодию.
Студенты также могут посмотреть дополнительные видео (доступны части 3-10) из серии видео «Введение в Sonic Pi» (см. раздел «Дополнительные ресурсы»), чтобы узнать более сложные возможности кодирования.
SIN (функция SIN)
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает синус заданного угла.
Синтаксис
SIN(число)
Аргументы функции SIN описаны ниже.
Замечание
Если аргумент задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или преобразуйте в радианы с помощью функции РАДИАНЫ.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|---|---|---|
|
=SIN(ПИ()) |
Синус пи радиан (0, приблизительно). |
0,0 |
|
=SIN(ПИ()/2) |
Синус пи/2 радиан. |
1,0 |
|
=SIN(30*ПИ()/180) |
Синус угла 30 градусов. |
0,5 |
|
=SIN(РАДИАНЫ(30)) |
Синус 30 градусов. |
0,5 |
Вычисление Пи (π) — Maths Careers
В некотором смысле Пи (π) — это действительно простое число — вычисление Пи просто включает в себя разделение любой окружности на диаметр окружности.
С другой стороны, Пи (π) — это первое число, которое мы узнаем в школе, где мы не можем записать его как точную десятичную дробь — это загадочное число, состоящее из вечных цифр, которое очаровывало людей на протяжении тысячелетий. .
Узнаем, что можем начать записывать Pi (π) = 3.141592653589… .. но мы никогда не сможем это закончить. Пи (π) продолжается вечно и не имеет повторяющихся цифр — это то, что называется иррациональным числом. Фактически, если вы достаточно долго будете искать цифры числа Пи (π), вы сможете найти любое число, включая дату вашего рождения.
Пи (π) — тоже действительно полезное число. Он появляется повсюду в математике, а также имеет бесчисленное множество применений в инженерии и науке. Многие вещи круглые, и всякий раз, когда что-то круглое, обычно становится важным число Пи (π).Например, если инженер хочет рассчитать объем водопровода, он будет использовать следующую формулу для цилиндра:
(где радиус трубы, а высота трубы.)
Расчет числа Пи (π)
Поскольку у Pi (π) так много важных применений, нам нужно иметь возможность начать его вычисление, по крайней мере, с точностью до нескольких десятичных знаков. Кто-то должен был придумать приблизительное значение числа Пи (π), которое появляется на вашем калькуляторе — оно не было получено по волшебству!
Измерительные круги
Первый и наиболее очевидный способ вычисления числа Пи (π) — взять самый совершенный круг, который вы можете, а затем измерить его длину и диаметр, чтобы вычислить число Пи (π).Именно так поступили бы древние цивилизации, и именно так они впервые осознали, что внутри каждого круга скрыто постоянное соотношение. Проблема с этим методом заключается в точности — можете ли вы доверять своей рулетке, чтобы она показывала Пи (π) с точностью до 10 или более десятичных знаков?
Использование многоугольников для аппроксимации числа Пи (π)
Древнегреческий математик Архимед придумал остроумный метод вычисления аппроксимации числа Пи (π). Архимед начал с того, что вписал правильный шестиугольник внутри круга, а затем описал другой правильный шестиугольник за пределами того же круга.Затем он смог вычислить точные окружности и диаметры шестиугольников и, следовательно, смог получить грубое приближение Pi (π), разделив длину окружности на диаметр.
Затем Архимед нашел способ удвоить количество сторон своих шестиугольников. Затем он мог найти более точное приближение Pi (π), используя многоугольники с большим количеством сторон, которые были ближе к окружности. Он проделал это четыре раза, пока не использовал 96-сторонние многоугольники. Архимед точно рассчитал длину окружности и диаметр и, следовательно, мог приблизительно определить число Пи (π) между и.С тех пор дробь остается одним из самых популярных и запоминающихся приближений числа Пи (π).
Примерно через 600 лет после Архимеда китайский математик Цзу Чунчжи использовал аналогичный метод, чтобы вписать правильный многоугольник с 12 288 сторонами. Это привело к приближению числа Пи (π) с точностью до шести знаков после запятой. Прошло почти 600 лет, прежде чем был разработан совершенно новый метод, улучшающий это приближение.
Вычисление числа Пи (π) с использованием бесконечного ряда
Математики в конце концов обнаружили, что на самом деле существуют точные формулы для вычисления Pi (π).Единственная загвоздка в том, что каждая формула требует от вас делать что-то бесконечное количество раз. (Что имеет смысл, учитывая, что цифры числа Пи (π) продолжаются вечно). Одна из удивительных вещей, которые интересуют людей в отношении числа Пи (π), заключается в том, что существует не одна формула, а большое количество разных формул для людей. учиться.
Один из самых известных и красивых способов вычисления Пи (π) — использовать серию Грегори-Лейбница:
Если вы будете продолжать этот паттерн вечно, вы сможете точно вычислить, а затем просто умножьте его на 4, чтобы получить.. Однако если вы начнете складывать первые несколько членов, вы начнете получать приближение для числа Пи (π). Проблема с серией, приведенной выше, заключается в том, что вам нужно сложить много членов, чтобы получить точное приближение Пи (π). Вам нужно сложить более 300 членов, чтобы получить число Пи (π) с точностью до двух десятичных знаков!
Еще одна серия, которая сходится быстрее, — это серия Nilakantha, которая была разработана в 15-м веках. Сходится быстрее означает, что вам нужно выработать меньше терминов, чтобы ваш ответ стал ближе к Пи (π).
Nilakantha Серия:
Математики также нашли другие более эффективные ряды для вычисления Pi (π). Компьютерные программы могут складывать все больше и больше членов, вычисляя Pi (π) с необычайной степенью точности. В 2014 году мировым рекордом было то, что компьютер вычислил число Пи (π) с точностью до 13 300 000 000 000 знаков после запятой.
До появления компьютеров вычислить Пи (π) было намного сложнее. В 19 -м столетии Уильяму Шанксу потребовалось 15 лет, чтобы вычислить Пи (π) с точностью до 707 знаков после запятой.К сожалению, позже выяснилось, что он ошибся и был прав только с 527 десятичными знаками! Девять или десять цифр числа Пи (π), которые вы видите на своем калькуляторе, были известны, вероятно, с 1400 года.
Теперь, когда вы знаете, как вычислить Пи (π), вы всегда можете попробовать свои силы в запоминании десятичных знаков числа Пи (π). Самый последний рекорд был установлен в День Пи в 2019 году компанией Google, которая вычислила Пи с точностью до 31,4 триллиона знаков после запятой !. С другой стороны, вы можете просто использовать следующую мнемонику для изучения первых шести десятичных знаков числа Пи (π): «Как бы я хотел вычислить Пи»
Длина каждого слова соответствует цифре в Пи (π).
| Как | Я | желаю | Я | может | рассчитать | Пи |
| 3 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 |
Статья Хейзел Льюис
что такое пи? — Символ Пи, Расчет значения Пи, Примеры
Пи — иррациональное число, это отношение длины окружности к ее диаметру.Символ пи — это π. Ее также называют константой Архимеда, которая была названа в честь греческого математика Архимеда, который создал алгоритм для аппроксимации значения числа Пи. Значение пи иррационально, что означает, что количество чисел после десятичных знаков бесконечно. Значение пи используется как 3,1415929 или 22/7. Символ пи используется при вычислении площади поверхности, объема и окружности трехмерных фигур.
Значение «пи» постоянно, что означает, что его нельзя изменить.Это иррациональное число, которое обычно приближается к 3,14. Обозначается символом «π». «Пи» используется в различных формулах для измерения площади поверхности и объема различных твердых форм. «Пи» определяется как отношение длины окружности к диаметру окружности. Давайте разберемся в этом. Мы знаем, что диаметр круга — это самый длинный отрезок прямой, проходящий через центр круга. Представьте, что линия диаметра изогнута так, что покрывает часть окружности круга.Теперь π определяется как общее количество раз, когда диаметр наматывается на окружность круга. Это ясно видно из рисунка, показанного ниже.
Теперь, когда мы поняли, что такое пи, и заметили, что значение пи постоянно, давайте посмотрим, как его вычислить. Значение пи можно получить, разделив длину окружности круга на его диаметр. Пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Формула для вычисления π:
π = Окружность / Диаметр
Одно важное утверждение, которое помогает нам запомнить значение числа Пи, — это «Как бы я хотел вычислить число Пи».Подсчитав количество букв в каждом слове, мы можем легко записать значение числа пи. поскольку «Как» насчитывает 3 букв. «Я» — 1 букв, «желание» — 4 букв, «Я» — 1 букв, «мог» — 5 букв, «вычислить» — 9 букв, «пи» — 2 букв. пи число, округленное до 6 десятичных знаков, равно 3,141592.
Один из самых простых способов рассчитать диаметр круга — использовать нить, обернутую вокруг окружности.Давайте сделаем небольшое упражнение, чтобы увидеть, как вычислить число Пи. К концу этого упражнения мы точно узнаем, что такое пи. Следуйте инструкциям, приведенным ниже, чтобы узнать, почему значение Пи является отношением длины окружности к диаметру круга.
Шаг 1: Нарисуйте круг диаметром 1 единицу.
Шаг 2: Теперь возьмите нить и поместите ее вдоль границы круга (окружности).
Шаг 3: Теперь поместите нить на линейку и отметьте длину.
Повторите процесс с диаметрами 2 единиц, 3 единиц, 4 единиц, 5 единиц и запишите свои наблюдения в таблицу.
| Диаметр | Окружность | Окружность / Диаметр |
|---|---|---|
| 1 шт. | 3,1 шт. | 3,1 / 1 |
| 2 шт. | 6,2 единицы (приблизительно) | 6,2 / 2 = 3.1 |
| 3 шт. | 9,3 шт. (Приблизительно) | 9,3 / 3 = 3,1 |
| 4 шт. | 12,4 шт. (Приблизительно) | 12,4 / 4 = 3,1 |
| 5 шт. | 15,5 единиц (приблизительно) | 15,5 / 5 = 3,1 |
Мы можем заметить, что отношение длины окружности к диаметру всегда одно и то же, что составляет 3,1.
Как уже говорилось, значение пи — это иррациональное число, что означает, что после числа 3 идут бесконечные числа.100 десятичных знаков числа Пи состоят из цифр от 0 до 9. Всего восемь нулей, восемь единиц, двенадцать двоек, одиннадцать троек, десять четверок. восемь пятерок, девять шестерок, восемь семерок, двенадцать восьмерок и четырнадцать девяток. Из рисунка ниже видно, что значение пи начинается с 3, а десятичная цифра 100 -го содержит число 9.
Значение пи — иррациональное число. Значение пи не ограничивается и не повторяется. Значение числа Пи, округленное до 100 знаков после запятой, составляет 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679.Для простоты расчетов его часто приближают к 3,14.
Важные примечания
Некоторые важные моменты, касающиеся символа «пи», приведены ниже.
- «пи» — математическая константа, представляющая собой отношение длины окружности к ее диаметру. Это иррациональное число, которое часто приближается к 3,14159.
- В зависимости от задачи, для простоты вычислений, используйте значение пи как 22/7 или 3,14
- Основная формула круга с числом Пи,
а) Окружность = π × Диаметр единиц
б) Площадь = πr 2 квадратных единиц
Темы, связанные с Что такое pi
Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с пи.
Часто задаваемые вопросы о значении Pi
Что такое Пи в математике?
Пи в математике — это константа, которая представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. Это иррациональное число, которое часто приближается к 3,14159. Обозначается греческой буквой «π». Это пишется как «пирог».
Что такое символ Пи?
Пи — это «π». Это греческий алфавит. Символ пи чаще всего встречается при измерениях при вычислении окружности кругов, площади поверхности и объема трехмерных фигур.
Каково значение числа Пи?
Значение пи равно 3,1415929 или 22/7. Значение пи — иррациональное число. Это означает, что десятичные разряды после 3 бесконечны. Значение пи широко используется в концепциях измерения площади поверхности, объема трехмерных фигур и т. Д.
Какие первые 100 цифр числа Пи?
Первые 100 цифр числа пи: 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679.Значение пи начинается с цифры 3, за которой следует десятичная точка. Поскольку пи — иррациональное число, цифры после десятичной точки бесконечны. 100-я цифра после десятичной точки — 9.
Закончится ли когда-нибудь ценность Pi?
Число пи никогда не закончится. Это иррациональное число. Это непрерывный и неповторяющийся номер. Количество десятичных знаков после десятичной точки увеличивается до бесконечности.
Почему важно значение числа Пи?
Значение пи важно по следующим причинам.Их,
- Пи в математике используется для вычисления площади и длины окружности кругов.
- Любая круглая форма зависит от числа пи.
- π встречается во многих формулах тригонометрии, чтобы исследовать взаимосвязь между длинами и углами треугольников, а также в геометрии, где мы изучаем формы, размеры, относительное положение и свойства пространства.
- Он также широко используется в области архитектуры и робототехники.
- Пи (π) считается очень важным, поэтому 14 марта отмечается как день Пи.
Какова формула вычисления числа Пи?
Формула для значения Пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. В форме отношения это π = Окружность / Диаметр.
Какими двумя способами мы можем использовать значение числа «пи»?
Значение пи может быть использовано как 3,1415929 или 22/7 в зависимости от удобства для вычисления определенных измерений, таких как площадь поверхности и объем. Оба они дают одинаковый результат.
Является ли значение пи одинаковым для любой окружности и диаметра круга?
По мере увеличения диаметра круга увеличивается и длина окружности. Но отношение длины окружности к диаметру, которое является значением числа пи, всегда одно и то же.
Перечислите некоторые важные формулы, в которых используется значение числа Пи.
Некоторые важные формулы, в которых используется значение числа Пи, следующие.
- Площадь круга = πr 2 , где r — радиус
- Окружность круга = π × Диаметр
- Объем цилиндра = πr 2 h, где r — радиус, а h — высота цилиндра.
Пи столбца (отношение длины окружности к ее диаметру)
Что касается значения π, древние цивилизации использовали свое собственное значение. Поскольку правильный шестиугольник, вписанный в круг с радиусом 1, имеет периметр 6, выясняется, что Пи имеет значение больше 3. В Древнем Египте они получили приближение
(приблизительно 3,16)
, поместив правильный восьмиугольник на круг, а в древней Вавилонии использовали
.
Архимед пришел к выводу в своей работе Kyklu metresis (мера круга), что Пи удовлетворяет
.
В древней Индии мы можем найти пример использования = 3,1622776 или
.
В Китае использовали
или
или
для Pi.
В период Эдо в Японии, Jinkoki (1627) Йошида Мицуёси использовал 3,16 для Пи, но, поскольку люди признали, что это значение не было точным, поле под названием Enri ( en означает круг, а ri означает теорию), в которой были вычислены более точные значения Pi, начали развиваться.Ученые-васаны, такие как Мурамацу Сигекиё, Секи Такакадзу, Камата Тошикиё, Такебе Катахиро и Мацунага Ёсисуке, вычислили более точные значения Пи и получили результаты, которые можно сравнить с европейской математикой.
В Европе Viete (1540-1603) обнаружил первую формулу, которая выражает π:
После этого Wallis (1616-1703) Формула:
Грегори (1638-1675) и Лейбниц (1646-1716) Формула:
Более того, Ньютон (1642-1727) и Эйлер (1707-1783) обнаружили ряд, который сходится быстрее, что позволило им вычислить значения числа Пи с точностью до большего количества десятичных знаков.Если использовать соотношение
, обнаруженный Дж. Мачином (1680-1752),
, мы можем получить значение 3,14159 для π с точностью до пяти десятичных знаков с первыми 4 членами разложения Тейлора tan -1 . В недавнем компьютерном вычислении использовались следующие уравнения:
или
* tan -1 : тангенс дуги. Функция, обратная касательной.
Расчет числа Пи в васане
кругов — Как на самом деле рассчитывается значение $ \ pi $ (Pi)?
Вот $ \ pi $ с точностью до 48 десятичных цифр: $$ \ mathtt {3.{-24}) $ может быть представлено длинным целым числом $ \ mathtt {1000000000000000000000375L} $.
$ \ pi $ определяется как отношение длины окружности $ C $ к ее диаметру $ D $. То есть $ \ pi = C / D $. Эквивалентно $ \ pi $ можно также определить как отношение полуокружности окружности $ H = C / 2 $ к ее радиусу $ r = D / 2 $. То есть $ \ pi = C / D = H / r $. И при $ r = 1 $, $ \ pi = H $.
Метод Архимеда — это итеративный алгоритм сжатия.
Единичный круг ($ r = 1 $) зажат между вписанным правильным многоугольником
и описанный правильный многоугольник (оба изначально правильные шестиугольники).{th}} $ описанный многоугольник
имеет гемипериметр $ C_n $, который немного больше, чем $ H $.
А поскольку $ \ pi = H $,
$$ I_n <\ pi На каждой итерации алгоритма
количество сторон каждого многоугольника удваивается, так что
$ I_n $ немного увеличивается, а $ C_n $ немного уменьшается.
Фактически, полуокружность $ H $ сжимается все сильнее и сильнее между
два гемипериметра $ I_n $ и $ C_n $.
В пределе, когда $ n $ приближается к бесконечности, $ I_n $ и $ C_n $ сходятся к $ \ pi $.2 $ член справа с $ N $, разделите обе части на $ 2r $,
вычлените член $ 1/2 $ и замените каждый $ r $ справа на $ r ‘$
(что означает предыдущее значение $ r $).
Это дает нам итерационное уравнение для корня $ r $.
$$ r = \ frac {1} {2} \ left (r ‘+ \ frac {N} {r’} \ right) $$ Основная функция $ \ mathtt {archimedes} $ использует метод Архимеда
для вычисления $ \ pi $ с точностью до $ d $ десятичных цифр.
Сначала он инициализирует рабочий показатель $ x $,
длинные целые константы $ \ mathtt {i4} $ и $ \ mathtt {i2} $,
длинные целые переменные $ M_n $, $ I_n $ и $ C_n $,
и индекс итерации $ n $.Затем он входит в цикл $ \ mathtt {while} $ и выполняет итерацию
пока $ I_n $ и $ C_n $ не сойдутся в $ \ pi $. $$ $$ $$ $$ Вот часть вывода для $ \ mathtt {archimedes (48)} $.{24} $ бортики. Свойства кругов изучаются на протяжении более 2000 [латексных] лет.Все круги имеют одинаковую форму, но на их размеры влияет длина радиуса, отрезка от центра до любой точки на окружности. Отрезок, проходящий через центр окружности, соединяющий две точки на окружности, называется диаметром. Диаметр вдвое больше радиуса. См. Изображение ниже. Выполнение задания по манипуляции математикой «Лаборатория пи» поможет вам лучше понять «пи». [латекс] \ begin {array} {ccc} A & = & 100 \ pi \ hfill \\ \\ & \ приблизительно & 100 \ cdot 3.14 \ hfill \\ & \ приблизительно & 314 \ text {квадратные дюймы} \ hfill \ end {array} [/ latex] Круг имеет радиус [латекс] 10 [/ латекс] сантиметров.Приблизьте его окружность ⓐ и площадь ⓑ. Решение Круг имеет радиус [латекс] 42,5 [/ латекс] сантиметра. Приблизьте его окружность ⓐ и площадь ⓑ. Решение Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще один пример того, как найти длину окружности. В следующем видео-примере мы находим площадь круга. Преобразует дробь [латекс] \ frac {22} {7} [/ latex] в десятичное число.Если вы используете калькулятор, десятичное число заполнит дисплей и отобразит [латекс] 3,14285714 [/ латекс]. Но если мы округлим это число до двух десятичных знаков, мы получим [латекс] 3,14 [/ латекс], десятичное приближение [латекс] \ пи [/ латекс]. Когда у нас есть круг с радиусом, заданным в виде дроби, мы можем заменить [latex] \ frac {22} {7} [/ latex] на [latex] \ pi [/ latex] вместо [latex] 3.14 [/ latex] . И поскольку [latex] \ frac {22} {7} [/ latex] также является приближением к [latex] \ pi [/ latex], мы будем использовать символ [latex] \ приблизительно [/ latex], чтобы показать, что мы имеют приблизительную стоимость. Круг имеет радиус [латекс] \ frac {14} {15} [/ латекс] метр. Приблизьте его окружность ⓐ и площадь ⓑ. Решение Сопряжение. Может быть, с кем-нибудь новым и другим. Для каждого круглого предмета измерьте диаметр и окружность в сантиметрах с помощью линейки. Чтобы измерить длину окружности, один раз прокатите круглый предмет по листу бумаги и измерьте расстояние за один полный оборот. Запишите данные в следующую таблицу: Если диаметр объекта равен нулю, какой будет окружность? Почему? Нанесите данные выше на график ниже. Проведите через точки прямую линию с помощью линейки. Вблизи правого верхнего угла графика попытайтесь найти место, где проведенная линия проходит через пересечение линий сетки графика. На диаграмме ниже показан пример. В этом примере значение x для перекрестка составляет 8 см, значение y для перекрестка — 25 см. Используя свой собственный график, найдите пересечение, через которое проходит ваша линия.Запишите значение x для этого перекрестка и значение y для этого перекрестка. Разделите значение y на значение x, чтобы получить отношение длины окружности к диаметру. Напишите свое соотношение на доске. Значение Y пересечения: __________ Соотношение = y-значение x-value = ______________ Записав коэффициенты на доске, подумайте, все ли получили примерно одинаковые коэффициенты. Это отношение, представляющее собой наклон прямой, называется пи (π).Выведенная вами формула: длина окружности = пи * диаметр. Это уравнение вида y = mx, где наклон m равен pi (π). HW : Используя коэффициенты для всего класса, рассчитайте среднее соотношение для всего класса: Используйте этот калькулятор окружности, чтобы найти площадь, длину окружности, радиус или диаметр окружности. Учитывая любую одну переменную A, C, r или d круга, вы можете вычислить три других неизвестных. Единицы: Обратите внимание, что единицы длины показаны для удобства.На расчеты они не влияют. Единицы измерения указывают порядок результатов, например футы, футы 2 или футы 3 . Можно заменить любой другой базовый блок. г = д / 2 A = πr 2 = πd 2 /4 С = 2πr = πd Используя приведенные выше формулы и дополнительные формулы, вы можете вычислить свойства данного круга для любой данной переменной.2 \] \ [C = 2 \ pi r \] \ [d = 2r \] Вычислить r, C и d | Учитывая A \ [r = \ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \] \ [C = 2 \ pi r = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \] \ [d = 2r = 2 \ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \] Вычислить A, r и d | Учитывая C \ [C = 2 \ pi r = 2 \ pi \ frac {d} {2} = \ pi d \]
def huge_int (n, x):
возврат (n * 10 ** x)
def огромный_sqrt (N, x):
rp = 0
г = N // 2
N = N * огромное_инт (1, х)
а r! = rp:
rp = r
r = (rp + (N // rp)) // 2
возврат (r)
def архимед (d):
х = 2 * г + 6
i4 = огромное_инт (4, х)
i2 = огромное_инт (2, х)
Mn = огромное_инт (1, х)
В = 1
Сп = 2
п = 0
а In! = Cn:
Mn = i2 + огромный_sqrt (Mn, x)
Ln = огромный_sqrt (i4-Mn, x)
Kn = 2 * Ln * huge_int (1, x) // огромное_sqrt (Mn, x)
In = 3 * (2 ** n) * Ln // огромное_инт (1, d + 6)
Cn = 3 * (2 ** n) * Kn // огромное_инт (1, d + 6)
напечатайте n, 6 * 2 ** n
печать Cn
печать в
Распечатать
п = п + 1
печать "СДЕЛАНО"
0 6
3464101615137754587054892683011744733885610507620
3000000000000000000000000000000000000000000000000
1 12
32153173472477670643
9531596686336954275
3105828541230249148186786051488579940188826815839
2 24
3159659942097500483316634977833210486227538453357
3132628613281238197161749469491736244649776915481
3 48
3146086215131434971098098794237254156265359587343
3139350203046867207135146821208421189150350589362
4 96
3142714599645368298168859093772123871000969091511
31410319508 638111352926459660107036412216162
..
.
78 1813388729421943762059264
3141592653589793238462643383279502884197169399378
3141592653589793238462643383279502884197169399373
79 3626777458843887524118528
3141592653589793238462643383279502884197169399375
3141592653589793238462643383279502884197169399374
80 7253554917687775048237056
3141592653589793238462643383279502884197169399375
3141592653589793238462643383279502884197169399375
СДЕЛАНО
приложений с Pi | Предалгебра
Результаты обучения
Размер круга можно измерить двумя способами. Расстояние вокруг круга называется его окружностью.
Архимед обнаружил, что для кругов всех размеров деление длины окружности на диаметр всегда дает одно и то же число.Значение этого числа — пи, обозначаемое греческой буквой [латекс] \ пи [/ латекс] (произносится «пирог»). Однако точное значение [latex] \ pi [/ latex] не может быть вычислено, поскольку десятичная дробь никогда не заканчивается и не повторяется (мы узнаем больше о таких числах в «Свойствах действительных чисел»).
Если нам нужна точная длина окружности или площадь круга, мы оставляем в ответе символ [латекс] \ пи [/ латекс]. { 2} \ text {)} \ hfill \\ A = \ pi \ cdot 100 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Мы пишем [latex] \ pi [/ latex] после [latex] 100 [/ latex ].Таким образом, точное значение площади [латекс] A = 100 \ pi [/ latex] квадратных дюймов.
Чтобы приблизить площадь, мы должны заменить [латекс] \ pi \ приблизительно 3,14 [/ латекс].
Не забудьте использовать квадратные единицы, такие как квадратные дюймы, при вычислении площади. пример
ⓐ Найдите длину окружности, если [латекс] r = 10 [/ латекс]. Напишите формулу длины окружности. [латекс] C = 2 \ pi \ mathit {\ text {r}} [/ латекс] Заменить [латекс] 3.14 [/ latex] на [латекс] \ pi [/ latex] и 10 на, [latex] r [/ latex]. [латекс] C \ приблизительно 2 \ влево (3,14 \ вправо) \ влево (10 \ вправо) [/ латекс] Умножить.{2} [/ латекс] Умножить. [латекс] A \ около 314 \ текст {квадратные сантиметры} [/ латекс] пример
ⓐ Найдите длину окружности, если [латекс] r [/ латекс] = [латекс] 42,5 [/ латекс]. Напишите формулу длины окружности. [латекс] C = 2 \ pi \ mathit {\ text {r}} [/ латекс] Заменить [латекс] 3,14 [/ латекс] на [латекс] \ pi [/ латекс] и [латекс] 42,5 [/ латекс] вместо [латекс] r [/ латекс] [латекс] C \ приблизительно 2 \ влево (3,14 \ вправо) \ влево (42,5 \ вправо) [/ латекс] Умножить. [латекс] C \ примерно 266,9 \ текст {сантиметры} [/ латекс] ⓑ Найдите площадь, когда [латекс] r = 42,5 [/ латекс]. Напишите формулу площади.{2} [/ латекс] Умножить. [латекс] A \ около 5671,625 \ text {квадратные сантиметры} [/ латекс] Примерное [латекс] \ pi [/ латекс] с дробью
пример
ⓐ Найдите длину окружности, когда [латекс] r = \ frac {14} {15} [/ latex]. Напишите формулу длины окружности. [латекс] C = 2 \ pi \ mathit {\ text {r}} [/ латекс] Заменить [latex] \ frac {22} {7} [/ latex] на [latex] \ pi [/ latex] и [latex] \ frac {14} {15} [/ latex] вместо [latex] r [/ латекс].{2} [/ латекс] Умножить. [латекс] A \ приблизительно \ frac {616} {225} \ text {квадратные метры} [/ латекс] Пи и передаточные числа
Пи и передаточные числа диаметр / см окружность / см 0 0 __________ __________ __________ __________ __________ __________ __ __ __________ __________ __________ Нахождение наклона (π!)
Пересечение x-значение: __________ Калькулятор кругов
Форма круга
r = радиус
d = диаметр
C = окружность
A = площадь
π = пи = 3.1415926535898
√ = квадратный корень Использование калькулятора
Формулы окружности через Pi π, радиус r и диаметр d
Радиус и диаметр:
д = 2р Площадь круга:
Окружность круга:
Расчет круга:
Зная площадь круга, вычислите радиус, длину окружности и диаметр. Положив r, C и d через A, получим следующие уравнения:
По длине окружности вычислите радиус, площадь и диаметр.2} {4} \]