Разное

Какие числа являются целыми: Что такое целое число? Ответ на webmath.ru

15.04.1978

Содержание

Что такое целое число? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определение целого числа

Определение

Целыми числами называются все натуральные числа, все числа противоположные им по знаку и нуль.

Обозначается множество целых чисел $Z$ .

$$Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}$$

Очевидным является такое вложение $N \subset Z$ .

На множестве целых чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение целых чисел

Суммой двух целых чисел $n$ и$p$ называется целое число$s$, которое вычисляется по правилу:
  • если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $s=n+p$ ;
  • если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $s=-(|n|+|p|)$ ;
  • если $n>0$ и $p \lt 0$   $|n| \geq|p|$ , то $s=|n|-|p|$ ;
  • если $n>0$ и $p \lt 0$   $|n| \lt |p|$ , то $s=-(|p|-|n|)$ ;
  • если $n \lt 0$ и $p>0$   $|n|>|p|$ , то $s=-(|n|-|p|)$ ;
  • если $n \lt 0$ и $p>0$   $|n| \leq|p|$ , то $s=|p|-|n|$ .

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Вычислить сумму целых чисел:

$\left.\begin{array}{llll}{1 ) 5+19} & { ;} & {2 ) 5+(-19)} & { ;} & {3 )-5+19} & { ;} \quad 4\end{array}\right)-5+(-19)$

Решение. 1) 1) $5+19=24$

2) первое слагаемое положительное, а второе отрицательное и модуль второго слагаемого больше модуля первого слагаемое, поэтому сумма будет равна

$$5+(-19)=-(|-19|-|5|)=-(19-5)=-14$$

3) первое слагаемое отрицательное, а второе положительное и модуль второго слагаемого больше первого, сумма при этом будет равна

$$-5+19=(|19|-|-5|)=(19-5)=14$$

4) оба слагаемых отрицательные числа, таким образом, их сумма равна

$$-5+(-19)=-(|-5|+|-19|)=-(5+19)=-24$$

Ответ.

$5+19=24$

$5+(-19)=-14$

$-5+19=14$

$-5+(-19)=-24$

Умножение целых чисел

Произведением двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $m$, вычисляемое по правилу:

  • если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $m=n \cdot p$ ;
  • если $n \lt 0$ и $p \lt 0$ , то $m=|n| \cdot|p|$ ;
  • если $n>0$ и $p \lt 0$ или если $n \lt 0$ и $p>0$ , то $s=-(|n| \cdot|p|)$ ;
  • если $n=0$ или $p=0$ , то $m=0$ .

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Слишком сложно?

Что такое целое число не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Найти произведение целых чисел:

$1)5 \cdot 9 \quad;\quad 2 ) 5 \cdot(-9) \quad;\quad 3 )-5 \cdot(-9) \quad;\quad 4 ) 5 \cdot 0$

Решение. 1) $5 \cdot 9=45$

2) первый множитель положительный, а второй отрицательный, произведение будет также числом отрицательным:

$$5 \cdot(-9)=-(5 \cdot|-9|)=-(5 \cdot 9)=-45$$

3) оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение число положительное:

$$-5 \cdot(-9)=|-5| \cdot|-9|=5 \cdot 9=45$$

4) при умножении на нуль всегда в результате получаем нуль:

$$5 \cdot 0=0$$

Ответ.

$5 \cdot 9=45$

$5 \cdot(-9)=-45$

$-5 \cdot(-9)=45$

$5 \cdot 0=0$

Вычитание целых чисел

Разностью двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $r$, вычисляемое по правилу

$$r=n+(-p)$$

т. е. разность двух целых чисел $n$ и $p$ есть сумма целого с числа $n$ и числа $(-p)$ , противоположного числу $p$. Следовательно, разность вычисляется по правилу сложения двух целых чисел.

Подробнее о вычитании чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Найти разность чисел:

$1 )-27-13 \quad;\quad 2 ) 27-(-5)$

Решение. По правилу вычитания целых чисел первое выражение примет вид:

$$-27-13=-27+(-13)$$

По правилу сложения целых чисел это равно:

$$-27-13=-27+(-13)=-(|-27|+|-13|)=$$

$$=-(27+13)=-40$$

Второе выражение запишется в виде:

$$27-(-5)=27+(-(-5))=27+5=32$$

Ответ.

$-27-13=-40$

$27-(-5)=32$

Деление целых чисел

Частным от деления целого числа $m$ на целое число $n$ ( $n \neq 0$ ) называется целое число $p$, которое удовлетворяет правилу: $m=n \cdot p$ . О числе $p$ говорят, что оно получено в результате деления числа $m$ на число $n$, и пишут:

$$p=m : n$$

На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима — не для любой пары целых чисел существует частное. Поэтому говорят, что множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.

Читать дальше: что такое частное чисел.

Целые числа: общее представление

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как  целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Целые числа. Определение, примеры

Вначале вспомним про натуральные числа ℕ. Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Определение 1. Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль. 

Множество целых чисел обозначается буквой ℤ.

Множество натуральных чисел ℕ — подмножество целых чисел ℤ. Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Из определения следует, что целым является любое из чисел 1, 2, 3.., число 0, а также числа -1, -2, -3,..

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39, -589, 10000000, -1596, 0 являются целыми числами.

Целые числа и координатная прямая

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0, а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число. 

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Положительные и отрицательные целые числа

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Определение 2. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс».

Например, число 7 — целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0. Другие примеры положительных целых чисел: 12, 502, 42, 33, 100500.

Определение 3. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус».

Примеры целых отрицательных чисел: -528, -2568, -1.

Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным. 

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число. 

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Определение 4. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа, которые больше нуля.

Определение 5. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа, которые меньше нуля.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа — это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Важно!

Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить — нет, не являются.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль.

Определение 7. Неположительные целые числа

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных  целых чисел: 52, 128, 0.

Примеры неположительных целых чисел: -52, -128, 0.

Неотрицательное число — это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число — это число, меньшее или равное нулю.

Термины «неположительное число» и «неотрицательное число» используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a — целое неотрицательное число.

Использование целых чисел при описании изменения величин

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.

Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом -30, а увеличение на 2 градуса — положительным целым числом 2.

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем -5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак «минус» говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 — другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

-2+(-3)=-5

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные

Тестирование онлайн

  • Округление чисел

Натуральные числа

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.

Округлить 8,759123… с точностью до целой части.

Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.

Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.

Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.

Целые числа — что это такое, примеры

Обновлено 20 июля 2021
  1. Целые числа — что это такое
  2. История их изучения
  3. Свойства целых чисел
  4. Вместо заключения

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Это весьма обширное понятие из математики, с которым школьники сталкиваются уже в 5 классе.

Целые числа — это…

Целые числа – это все положительные, все отрицательные числа и ноль. Главное, чтобы они не содержали дробной части.

Согласно этому определению, к целым числам можно отнести:

-1256, -35, -9, 0, 14, 95, 2020

и так далее. Ведь у них нет дробной части. А вот числа:

0.5, 13.1319, ½, -¾, — 237.3

и так далее не могут считаться целыми, так как у них есть какие-то цифры после запятой или они являются дробью.

Все многообразие целых чисел называется множеством целых чисел. Это официальный математический термин. И обозначается он буквой Z.

В это множество входят и так называемые натуральные числа (это что?). Это все те, которые имеют положительное значение, но опять же без дробной части. Проще говоря, все числа, которые мы используем при счете. Например, 1, 2, 5, 10, 100 и так далее.

Множество натуральных чисел обознается буквой N. И зависимость его и множества целых чисел наглядно показана на следующем рисунке.

Отсюда можно сделать важный вывод:

Любое натуральное число автоматически является еще и целым. Но при этом далеко не каждое целое число является еще и натуральным.

А можно представить это и в таком варианте. Целые числа — это:

  1. Натуральные числа;
  2. Ноль;
  3. Отрицательные числа.

Каким бы определением вы не пользовались, главное, чтобы было все понятно.

История изучения целых чисел

Опять же эту историю нужно разделить на три части. Ведь изучение натуральных чисел, а также открытие нуля и отрицательных чисел происходило независимо друг от друга. Да еще и в разных странах.

Изучение натуральных чисел

Тут все максимально просто. Эти числа возникли, как только человеку понадобилось считать – будь то куски мяса или количество бревен для дома.

Более точное изучение натуральных чисел начинается в Древнем Египте и Древней Месопотамии, а это более 6 тысяч лет назад.

А современные математики опираются на то, что после себя оставил древнегреческий ученый Пифагор. Он как раз активно собирал египетские и вавилонские данные, а после отразил их в своих трудах.

Открытие нуля

Конечно, египтяне, вавилоняне и даже греки знали о существовании нуля. Но не считали его числом, а потому не пользовались им. Это, кстати, приносило им немало сложностей. Они порой часами решали задачки, которые нынешний школьник посчитает за минуту.

Но официально число ноль появилось в 5-м веке. И «изобрели» его в Индии. Дело в том, что у местных жителей всегда существовало убеждение, что «ничто – это тоже что-то». Даже понятие Нирвана, которое обозначает состояние небытие, зародилось именно в Индии.

Потому-то там и придумали символ, который обозначал бы «ничто». Авторами его стали математики Брахмагупта и Ариабхата.

Как видите, индийский символ нуля очень похож на современный. Ну, разве что приплюснут и больше напоминает правильную окружность. Форма выбрана не случайно. По индийским поверьям, ноль символизирует круговорот жизни и мироздания. Его еще называют «змея вечности».

Когда арабы завоевали часть Индии, они переняли все математические знания. А во время крестовых походов многое, в том числе и цифры, перекочевали в Европу. Хотя потребовалось еще несколько сотен лет, чтобы «ноль» стал неотъемлемой частью европейской науки.

Открытие отрицательных чисел

Отрицательные числа первыми начали изучать китайцы во 2 веке до нашей эры. Их использовали в торговле и называли «долгами». А обычные числа – «имуществом». А для записи отрицательных чисел использовали перевернутый вид.

А вот в Европе к ним очень долго относились пренебрежительно, считая «несуществующими» и «абсурдными». Лишь в 12 веке математик Леонардо Фибоначчи (автор знаменитого числового ряда) описал их в своей книге «Книга Абака».

В середине 16 века математик Михаил Штифель посвятил им целый раздел в своей книге «Полная арифметика».

Но признание они получили лишь в 17 веке, после того как известный Рене Декарт создал свою систему координат.

В ней он также использовал нуль, привязав к нему положительные и отрицательные числа. Одни находились справа от него, а другие – слева.

Свойства целых чисел

Всем целым числам свойственны следующие характеристики:

  1. Замкнутость. При математических действиях с целыми числами, за исключением деления, получаются только целые числа.

    Если А и В – целые, то А+В=целое, А-В=целое и А*В=целое

  2. Ассоциативность. При сложении или умножении трех и более целых чисел их можно менять местами, и результат не изменится.

    (А + В) + С = А + (В + С)

  3. Коммутативность. При перестановке мест слагаемых (множителей) – сумма (произведение) не меняется.

    А + В = В + А, А * В = В * А

  4. Если ноль участвует в сложении или вычитании, то значение остается неизменным.

    А + 0 = 0, А – 0 = 0

  5. Противоположность. При сложении одинаковых чисел с разными знаками, получается всегда ноль.

    А + (-А) = 0

  6. Разность знаков. При умножении чисел с разными знаками, результат всегда отрицательный. Если знаки одинаковые, то результат всегда положительный.

    А * А = АА, А * (-А) = -АА, (-А) * (-А) = АА

Добавим: точно такое же правило действует и при делении. Минус на минус дают плюс. А минус на плюс или плюс на минус всегда дают минус.

Вместо заключения

Мы уже рассказали, с каким трудом в нашу жизнь попали отрицательные числа. Но сегодня они широко используются не только в математике.

  1. География. Высоту гор измеряют положительными значениями, а вот глубину водоемов – отрицательными. А уровень моря является нулем.
  2. История. Понятие «наша эра» разделила историю на положительное летоисчисление и отрицательное. Все, что происходило, более 2 тысяч лет назад можно описать как «в минус 125 году» или «в -3000 лет». Хотя больше принято говорить «125 год до н.э» и «3000 лет до н.э.».
  3. Медицина. Для определения остроты зрения врачи используют понятия отрицательных и положительных диоптрий. Идеальное зрение – это ноль. Минус – близорукость (не видит вдалеке), а плюс – дальнозоркость (не видит вблизи).
  4. Физика. Есть такие понятия, как положительно и отрицательно заряженные частицы. Одни называются протонами, а другие – электронами.

Ну и, наконец, слова положительный и отрицательный используются и в более разговорном смысле, как синонимы хорошего и плохого.

Например, в книгах и фильмах обязательно есть положительные и отрицательные герои. Также и наши черты характера, эмоции и поступки можно разделить на эти две категории.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Целые числа | Что ими является?

Преподаватель математики Дмитрий Айстраханов объясняет теорию целых чисел.

Математика – фундаментальная наука, как никогда востребованная в 21 веке. Однако развитие ее началось с создания, а затем усовершенствования навыков практического счета.

Натуральные числа как идеализация однородных, устойчивых и неделимых объектов возникли еще в доисторический период. Тогда человек решал простые бытовые задачи: подсчет голов домашнего скота, учет людей, дней и т.п. Сложение стало математической моделью процесса объединения нескольких множеств в одно. Для отделения части множества служило вычитание. Чтобы эта операция  была столь же полноценной, как сложение, был введен ноль и отрицательные числа.

Целыми числами являются натуриальные числа, отрицательные числа и ноль.

Первым шагом к созданию множества целых числе стало использование символа ноль (по-видимому, индийскими математиками) для обозначения цифры при позиционной записи чисел. Позже ноль стал признаваться полноценным числом, которое использовалось при необходимости обозначить полное отсутствие чего-либо или кого-либо.

Первые упоминания об использовании отрицательных чисел восходят к Древнему Китаю II в. до н.э. На заре своего развития отрицательные числа использовались в качестве арифметического эквивалента долга. Примечательно, что в Древней Греции, где, как известно, зародилась западная философия, основанная на принципах рациональности, отрицательные числа не признавались. Древнегреческий математик Диофант Александрийский уже в III в. н.э. знал «правило знаков» и умножал отрицательные числа для получения положительного конечного результата, однако отбрасывал отрицательные корни уравнений как невозможные.

В Европе отрицательные числа были «официально» признаны спустя тысячу лет и очень долгое время носили обидные прозвища – «абсурдные», «ложные», «мнимые». Ученые продолжали проводить корреляцию между отрицательным числом и понятием «долга» или «недостачи».  Сохранились сведения, что даже замечательный математик и философ Блез Паскаль, вычитая из ноля четыре, приходил к решению, равному нолю (потому что «нет ничего меньше, чем само ничто»). «Легализация» отрицательных чисел существенно упростила ряд математических операций: например, стал возможен перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, независимо от знака этого слагаемого.

Как мы уже поняли, отрицательные числа долгое время находились в статусе вспомогательного математического «инструмента». Лишь в XIX веке Уильям Гамильтон (ирландский математик) и Герман Грассман (немецкий физик и математик) создали вполне строгую и полную теорию отрицательных чисел.

Давайте зафиксируем самые важные теоретические положения данной темы. Все целые числа образуют множество целых чисел. Множество целых чисел бесконечно. Нельзя назвать наименьшее целое число, равно как нельзя назвать и наибольшее целое число. Наибольшее отрицательное число равняется «-1»; наименьшее положительное целое число равняется «1».

С целыми числами выполняются арифметические операции сложения, вычитания и умножения. Также целое число можно возвести в степень. Существуют ограничения на операцию деления. Целые числа делятся на другие целые числа с остатком. Множество целых чисел счетно и обозначается буквой Z. Теория чисел – раздел математики, изучающий свойства целых чисел. Действительное число считается целым, если не содержит дробной части. Модулем целого числа или абсолютной величиной называется само число с отброшенным знаком.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Большое внимание я уделяю поиску новых форм и методов стимулирования интереса учащихся к изучению математики, развитию их возможностей. Со мной Вы перестанете думать, что математика это сложно. Жду Вас на занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Орский Государственный Педагогический Институт имени Т.Г.Шевченко

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 3-7 классов.Математика-это моя жизнь. Математика-это не скучно. Математика-это моя любовь. Главным в обучении считаю системность и обязательность. Ответственная,исполнительная, целеустремленная, нацелена на результат.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Запорожский национальный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. При обучении всегда стараюсь приводить примеры из реальной жизни и показываю, как из жизненных ситуаций построить математическую модель. Считаю, что при изучении математики нельзя изучать новый материал, пока дети не усвоили предыдущий. Я люблю математику за то, что она развивает логическое и алгоритмическое мышление, пространственное воображение.

Курсы ЕГЭ

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Целые числа. Определение целого числа

Латинской буквой \mathbb{Z} обозначается множество целых чисел.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел.

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … . 

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+», если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «−», если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел:

+ \cdot + = +

+ \cdot — = —

— \cdot + = —

— \cdot — = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+», если количество множителей с отрицательным знаком четное и «−», если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+», а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «−».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a, b и c:

  1. a + b = b + a – переместительное свойство сложения;
  2. (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения;
  3. a \cdot b = b \cdot a – переместительное свойство умножения;
  4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) – сочетательное свойства умножения;
  5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c – распределительное свойство умножения.

Python проверьте, являются ли элементы списка целыми числами?



У меня есть список, который содержит цифры и Буквы в строковом формате.

mylist=['1','orange','2','3','4','apple']

Мне нужно придумать новый список который содержит только цифры:

mynewlist=['1','2','3','4']

Если у меня есть способ проверить, может ли каждый элемент в списке быть преобразован в целое число, я должен быть в состоянии придумать то, что я хочу, сделав что-то вроде этого:

for item in mylist:
    if (check item can be converted to integer):
        mynewlist.append(item)

Как проверить, что строка может быть преобразована в целое число? Или есть какой-то лучший способ сделать это?

python string list integer
Поделиться Источник Chris Aung     04 июня 2013 в 00:56

4 ответа




42

Попробуйте это:

mynewlist = [s for s in mylist if s.isdigit()]

Из документов :

str.isdigit()

Возвращает true, если все символы в строке являются цифрами и есть хотя бы один символ, в противном случае false.

Для 8-битных строк этот метод зависит от locale.


Как отмечалось в комментариях, isdigit() , возвращающий True , не обязательно указывает, что строка может быть проанализирована как int с помощью функции int() , а возвращающий False не обязательно указывает, что это невозможно. Тем не менее, описанный выше подход должен работать в вашем случае.

Поделиться arshajii     04 июня 2013 в 00:58



14

Быстро, просто, но, возможно, не всегда правильно:

>>> [x for x in mylist if x.isdigit()]
['1', '2', '3', '4']

Более традиционный, если вам нужно получить номера:

new_list = []
for value in mylist:
    try:
        new_list.append(int(value))
    except ValueError:
        continue

Примечание : Результат имеет целые числа. При необходимости преобразуйте их обратно в строки, заменив строки выше на:

try:
    new_list.append(str(int(value)))

Поделиться Mike Müller     04 июня 2013 в 00:58



10

Вы можете использовать исключительную обработку, так как str.digit будет работать только для целых чисел и может потерпеть неудачу и для чего — то подобного:

>>> str.isdigit(' 1')
False

Использование функции генератора:

def solve(lis):                                        
    for x in lis:
        try:
            yield float(x)
        except ValueError:    
            pass

>>> mylist = ['1','orange','2','3','4','apple', '1.5', '2.6']
>>> list(solve(mylist))                                    
[1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 1.5, 2.6]   #returns converted values

или, может быть, вы хотели этого:

def solve(lis):
    for x in lis:
        try:
            float(x)
            return True
        except:
            return False
...         
>>> mylist = ['1','orange','2','3','4','apple', '1.5', '2.6']
>>> [x for x in mylist if solve(x)]
['1', '2', '3', '4', '1.5', '2.6']

или используя ast.literal_eval , это будет работать для всех типов чисел:

>>> from ast import literal_eval
>>> def solve(lis):
    for x in lis:
        try:
            literal_eval(x)
            return True
        except ValueError:   
             return False
...         
>>> mylist=['1','orange','2','3','4','apple', '1.5', '2.6', '1+0j']
>>> [x for x in mylist if solve(x)]                               
['1', '2', '3', '4', '1.5', '2.6', '1+0j']

Поделиться Ashwini Chaudhary     04 июня 2013 в 01:00




6

Обычный способ проверить, может ли что-то быть преобразовано в int , — это try и посмотреть, следуя принципу EAFP:

try:
    int_value = int(string_value)
except ValueError:
    # it wasn't an int, do something appropriate
else:
    # it was an int, do something appropriate

Итак, в вашем случае:

for item in mylist:
    try:
        int_value = int(item)
    except ValueError:
        pass
    else:
        mynewlist.append(item) # or append(int_value) if you want numbers

В большинстве случаев цикл вокруг некоторого тривиального кода, заканчивающегося на mynewlist.append(item) , может быть превращен в понимание списка, выражение генератора или вызов map или filter . Но здесь вы не можете, потому что нет никакого способа поместить try / except в выражение.

Но если вы обернете его в функцию, вы сможете:

def raises(func, *args, **kw):
    try:
        func(*args, **kw)
    except:
        return True
    else:
        return False

mynewlist = [item for item in mylist if not raises(int, item)]

… или, если вы предпочитаете:

mynewlist = filter(partial(raises, int), item)

Это чище, чтобы использовать его таким образом:

def raises(exception_types, func, *args, **kw):
    try:
        func(*args, **kw)
    except exception_types:
        return True
    else:
        return False

Таким образом, вы можете передать ему ожидаемое исключение (или кортеж исключений), и они вернут True , но если возникнут какие-либо неожиданные исключения, они будут распространяться. Так:

mynewlist = [item for item in mylist if not raises(ValueError, int, item)]

… будет делать то, что ты хочешь, но:

mynewlist = [item for item in mylist if not raises(ValueError, item, int)]

… поднимет TypeError , как и должно быть.

Поделиться abarnert     04 июня 2013 в 02:35


Похожие вопросы:


Как проверить, являются ли все элементы в списке целыми числами

Если у меня есть такой список, как : List = [12,6,3,5,1.2,5.5] Есть ли способ проверить, все ли числа являются целыми числами? Я попробовал что-то вроде def isWhole(d): if (d%1 == 0 ) : for z in…


Haskell: список фильтров с целыми числами

Как бы я отфильтровал список так, чтобы возвращать только список тех, которые являются целыми числами? Например, фильтрация списка типа [1, 1.2, 2, 2.2] вернет [1, 2] .


Python: ошибки типа, числа, которые не являются целыми числами, и проблемы с переменными

Поэтому я пытаюсь создать программу, которая запрашивает 3 числа, а затем возвращает произведение этих чисел (определение объема кубоида) def cuboid (): A = input(‘Height ‘), B = input(‘Width ‘), C…


Дан эффективный алгоритм решения системы разностных ограничений, когда некоторые из x должны быть целыми числами

Это упражнение из CLRS 24.4-12,( не домашнее задание, я просто пытаюсь решить все упражнение в CLRS) Дайте эффективный алгоритм решения системы Ax ≤ b разностных ограничений, когда все элементы b…


проверка того, что все значения в поле являются целыми числами в MySQL

У меня есть столбец, который в настоящее время является числом с плавающей запятой, и мне нужно проверить, являются ли все значения в столбце целыми числами. Какой самый простой способ сделать это?


Отфильтруйте ключи массива, которые являются целыми числами

У меня есть несколько массивов (все они являются результатами из базы данных MySQL с использованием оператора PDO), вот один из них в качестве примера: Array ( [id] => 1 [0] => 1 [name] =>…


Как определить, являются ли первые два элемента значения целыми числами или символами?

Моя задача-сохранить число дня в значении. Например: today_str = 10-2-2018 date_numb = 10 OR: today_str = 3/5/2018 date_numb = 3 Подводя итог, я хочу проверить, являются ли его 2 целыми числами или…


Функция проверки списка списков имеет все целочисленные элементы от 0 до n и все списки имеют заданную длину?

Я хочу проверить следующее для списка кортежей: C = [[2, 2, 1, 3], [2, 2, 2, 1], [3, 3, 0, 3], [0, 2, 0, 3]] D = [[2, 2, 1, 3], [2, 2, 2, 1], [3, 3, 0, 3]] Я хочу проверить, имеет ли список длину n,…


Python — индексы списка должны быть целыми числами или срезами, а не str

новичок в python и по некоторым причинам я думал, что мой код был хорош, но по некоторым причинам я продолжаю получать эту ошибку: индексы списка должны быть целыми числами или срезами, а не str…


«индексы списка должны быть целыми числами» — Python

У меня есть вход, как показано ниже: custom_fields: [{id:360027795053,value:XXXX}, {id:360030272393,value:XXX}, {id:360027795613,value:XXX}, {id:360027795393,value:XXX}, {id:360027795413,value:XXX},…

Целые числа

В целые числа набор целые числа и их противоположности. Фракции а также десятичные дроби не входят в набор целых чисел.

Например, 2 , 5 , 0 , — 12 , 244 , — 15 а также 8 все целые числа.

Такие числа, как 8.5 , 2 3 а также 4 1 3 не целые числа.

(Обратите внимание, что число может быть целым, даже если оно записано как десятичное или дробное: например, — 3,00 а также 8 2 оба являются целыми числами, потому что они равны — 3 а также 4 , соответственно.)

В установленный целых чисел обычно обозначается символом .

ℤ знак равно { … , — 6 , — 5 , — 4 , — 3 , — 2 , — 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … }

Мы можем изобразить целые числа как точки на равном расстоянии друг от друга. числовая строка , как показано на рисунке. Стрелки слева и справа показывают, что целые числа продолжаются бесконечно в обоих направлениях.

Целые числа больше, чем 0 называются положительные целые числа . Их противоположности, которые меньше 0 , называются отрицательные целые числа . Ноль не является ни положительным, ни отрицательным.

Если два числа противоположны, они находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Например, 4 а также — 4 противоположности, и каждый 4 единиц с нуля.

Сумма, разность или произведение двух целых чисел является целым числом. Например,

Сумма: 3 + 4 знак равно 7

Разница: 3 — 5 знак равно — 2

Продукт: ( — 2 ) ( 3 ) знак равно — 6

Частное двух целых чисел не всегда является целым числом.

Например, 8 ÷ ( — 2 ) знак равно — 4 является целым числом, потому что делится равномерно.

Тем не мение, — 2 ÷ 8 знак равно — 2 8 знак равно — 1 4 не является целым числом. Когда частное целых чисел не делится равномерно, результатом будет дробная часть .

Пример:

Какое из следующих чисел является целым числом?

6.5 , 5 , 2 3 , — 24

6.5 больше целого числа 6 и меньше целого 7 . В .5 в конце числа указывает дробную часть. Итак, это не целое число.

Номер 5 имеет знак квадратного корня; его значение больше целого числа 2 но меньше целого 3 .С 5 не идеальный квадрат как 4 или 9 , 5 не является целым числом.

Номер 2 3 на долю больше, чем 0 но меньше чем 1 , так что это не целое число.

Номер — 24 находится в наборе { … , — 6 , — 5 , — 4 , — 3 , — 2 , — 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … } .

Так, — 24 целое число.

Целые числа — объяснение и примеры

Целые числа и целые числа, кажется, означают одно и то же, но на самом деле, поскольку эти два термина разные. По этой причине многие студенты недоумевают, когда сталкиваются с задачами, связанными с целыми числами и целыми числами.

В этой статье мы узнаем о целых и целых числах.После этого обсуждения вы больше не будете делать ошибок при использовании целых и целых чисел.

Что такое целое число?

В математике целые числа — это наборы целых чисел, включая положительные, отрицательные и нулевые числа, обычно представленные символом « Zahlen » Z = {…, -4, -3, -2, -1,0,1,2 , 3, 4…}. Следует отметить, что целое число никогда не может быть дробью, десятичной дробью или процентом.

С другой стороны, целые числа представляют собой набор положительных и нулевых чисел без десятичной точки или дробей. Целые числа представлены как W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ……………}.

Из приведенного выше определения целых чисел и целых чисел можно отметить, что все целые числа являются целыми числами, но не все целые числа являются целыми числами. Короче говоря, целые числа состоят из отрицательных, положительных и нулевых чисел, тогда как целые числа состоят только из положительных и нулевых чисел. Следовательно, целые числа содержатся в целых числах.

Если вы все еще сомневаетесь, что такое целое число и целое число? Тогда приведенная ниже блок-схема даст вам более полное представление.

Существует три типа целых чисел, а именно:

  • Положительные числа
  • Отрицательные числа
  • Нулевые

целые числа плюс положительные числа

знак (+) перед числовым значением. В большинстве случаев знак плюса игнорируется, просто он отображается без символа. Положительные числа больше, чем отрицательные числа, а также ноль.Положительные числа представлены справа от нуля в числовой строке.

Примеры положительных чисел: 1,2, 88, 800,9900 и т. Д.

Отрицательные числа обозначаются знаком тире или минус перед числовым значением. Эти числа представлены в числовой строке слева от начала координат. Примеры отрицательных чисел:…., — 800, -100, -10, -2, -1.

Ноль — нейтральное число в числовой строке. Это ни положительно, ни отрицательно.

Целые числа

Целые числа обладают множеством свойств. Эти свойства основаны на таких операциях, как сложение, вычитание, деление и умножение.

Например, , сумма двух целых чисел всегда является целым. Однако вычитание двух целых чисел может дать целое число.

Умножение двух целых чисел дает целое число. Деление на другой может не привести к получению дроби или целого числа.

Теперь давайте посмотрим на некоторые свойства целых чисел:

Свойство замыкания сложения и умножения подразумевает, что если x и y являются целыми числами, то произведение x * y и сумма x + y также являются целым количество.

Если x и y — целые числа; x + y = y + x и x * y = y * x

Добавление нуля к целому числу оставляет число неизменным; y + 0 = y

При умножении целого числа на 1 число не изменяется; если x — целое число, то x * 1 = x

X + (y + z) = (x + y) + z и x * (yz) = (xy) z

  • Распределительная собственность всего числа

x * (y + z) = (xy) + (xz) и x * (yz) = (xy) — (xz)

Если x — целое число, то; x * 0 = 0

  • Деление целого числа на ноль

Если x — целое число; тогда x / 0 = undefined.

Применение целых чисел

Целые и целые числа широко применяются в различных областях. Например, целые числа используются для определения совокупности данной группы величин. Население никогда не может быть отрицательным, поэтому используются целые числа.

В банковском деле целые числа используются для обозначения дебета или кредита.

Целые числа также используются для описания температуры тела ниже или выше нуля по Цельсию. Целые числа также используются в спорте для отображения разницы мячей.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Узнайте о натуральных, целых и целых числах

В математике вы встретите много ссылок на числа. Числа можно разделить на группы, и поначалу это может показаться несколько запутанным, но если вы будете работать с числами на протяжении всего обучения математике, они скоро станут для вас второй натурой. Вы услышите, как вам бросают множество терминов, и вскоре вы сами будете использовать эти термины очень хорошо.Вы также скоро обнаружите, что некоторые числа будут принадлежать более чем одной группе. Например, простое число — это также целое и целое число. Вот разбивка того, как мы классифицируем числа:

Натуральные числа

Натуральные числа — это то, что вы используете, когда считаете объекты один к одному. Вы можете считать гроши, кнопки или куки. Когда вы начинаете использовать 1,2,3,4 и так далее, вы используете счетные числа или, чтобы дать им надлежащее название, вы используете натуральные числа.

Целые числа

Целые числа легко запомнить. Это не дроби и не десятичные дроби, это просто целые числа. Единственное, что отличает их от натуральных чисел, — это то, что мы включаем ноль, когда имеем в виду целые числа. Однако некоторые математики также включают ноль в натуральные числа, и я не собираюсь спорить с этим. Я приму оба варианта, если будет представлен разумный аргумент. Целые числа — 1, 2, 3, 4 и так далее.

Целые числа

Целые числа могут быть целыми числами или целыми числами со знаком минус перед ними. Люди часто называют целые числа положительными и отрицательными числами. Целые числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 и так далее.

Рациональные числа

Рациональные числа состоят из целых чисел, дробей и десятичных знаков. Теперь вы можете видеть, что числа могут принадлежать более чем к одной классификационной группе. Рациональные числа также могут иметь повторяющиеся десятичные дроби, которые, как вы увидите, записываются следующим образом: 0.54444444 … что просто означает, что он повторяется вечно, иногда вы видите линию, проведенную над десятичным знаком, что означает, что он повторяется вечно, вместо того, чтобы иметь …., последнее число будет иметь линию над ним.

Иррациональные числа

Иррациональные числа не включают целые числа ИЛИ дроби. Однако иррациональные числа могут иметь десятичное значение, которое продолжается бесконечно БЕЗ шаблона, в отличие от приведенного выше примера. Пример хорошо известного иррационального числа — пи, которое, как мы все знаем, равно 3.14 но если мы посмотрим глубже, то на самом деле это 3,14159265358979323846264338327950288419 ….. и это примерно 5 триллионов цифр!

Реальные числа

Вот еще одна категория, в которую подойдут другие классификации чисел. Действительные числа включают натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Действительные числа также включают дробные и десятичные числа.

Таким образом, это базовый обзор системы классификации чисел, поскольку вы переходите к продвинутой математике, вы столкнетесь с комплексными числами.Я оставлю это на том, что комплексные числа бывают действительными и мнимыми.

Целые числа

Целые числа включают

положительное целое число, отрицательное целое число и ноль.

? Набор всех целых чисел? часто отображается так:

Целые числа = {? -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,?}

Точки на каждом конце набора означают, что вы можете продолжать счет в любом направлении. Набор также может быть представлен в виде числовой строки :

Стрелки на каждом конце числовой линии означают, что вы можете вести счет в любом направлении.

Это целое число?

Целые числа — это целые числа и их отрицательные противоположности. Следовательно, эти числа никогда не могут быть целыми числами:

  • дроби
  • десятичные числа
  • процентов

Сложение и вычитание целых чисел

Просмотр числовой строки может помочь вам, когда вам нужно сложить или вычесть целые числа.

Если вы складываете или вычитаете два целых числа, начните с использования числовой строки, чтобы найти первое число. Положите на него палец. Скажем, первое число — 3.

  • Затем, если вы добавляете положительное число, переместите палец вправо на столько разрядов, сколько значение этого числа. Например, если вы добавляете 4, переместите палец на 4 позиции вправо.
    3 + 4 = 7
  • Если вы добавляете отрицательное число, переместите палец влево на столько раз, сколько стоит значение этого числа. Например, если вы добавляете -4, переместите палец на 4 позиции влево.
    3 + -4 = -1
  • Если вы вычитаете положительное число, переместите палец влево на столько разрядов, сколько значение этого числа. Например, если вы вычитаете 4, переместите палец на 4 позиции влево.
    3 — 4 = -1
  • Если вы вычитаете отрицательное число, переместите палец вправо на столько разрядов, сколько значение этого числа. Например, если вы вычитаете -4, переместите палец на 4 позиции вправо.
    3 — -4 = 7

Вот два правила , которые следует запомнить:

  • Добавление отрицательного числа аналогично вычитанию положительного числа.
    3 + -4 = 3-4
  • Вычитание отрицательного числа аналогично сложению положительного числа. Два негатива нейтрализуют друг друга.
    3 + 4 = 3 — -4

Умножение и деление целых чисел

Если вы умножите или разделите два положительных числа, результат будет положительным.

6 x 2 = 12
6/2 = 3

Если вы умножите или разделите положительное число на отрицательное число, результат будет отрицательным.

6 x -2 = -12
6 / -2 = -3

Если вы умножите или разделите два отрицательных числа, результат будет положительным — два отрицательных числа уравняют друг друга.

-6 x -2 = 12
-6 / -2 = 3

Целочисленные правила: видео


Посмотрите это видео, чтобы лучше понять правильную процедуру сложения, вычитания, умножения и деления положительных и отрицательные целые числа.

Каков пример числа, которое является натуральным числом, целым числом, целым, рациональным и действительным числом?

  • Натуральные числа: # 0, 1, 2, 3, 4 ,… # или # 1, 2, 3, 4, … #. Некоторые люди включают # 0 #, а другие нет.

  • Целые числа также включают # -1, -2, … #. Таким образом, они могут быть пронумерованы примерно так: # 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, … #

  • Целые числа могут относиться к неотрицательным целым числам # 0, 1, 2, 3, … # или к любому целому числу. Некоторые люди включают отрицательные целые числа, а некоторые нет.

  • Рационалы — это числа вида # p / q #, где #p, q # — целые числа с #q! = 0 #. Рациональные числа включают целые числа, так как любое целое число может быть представлено в виде дроби со знаминателем # 1 #, e.грамм. # 2 = 2/1 #.

  • Вещественные числа «заполняют промежутки» между рациональными числами, чтобы образовать бесконечную строку чисел, полную в соответствии с ограничениями последовательностей Коши. Это довольно неформальный способ говорить о чем-то немного «техническом», но в основном реальные числа включают в себя все числа в действительной строке. Действительные числа включают в себя все рациональные числа и все иррациональные числа, такие как #sqrt (2) #, # e #, # pi #, которые не могут быть выражены в виде дробей.

Итак, любое натуральное число попадает во все эти категории и может быть ответом на вопрос.

Расширенная сноска

Действительные числа обычно вводятся как завершение рациональных чисел с учетом границ сходящейся последовательности. Когда у вас есть действительные числа, вы можете провести содержательное обсуждение непрерывных функций, теоремы о промежуточном значении и т. Д.

Создается общее впечатление, что как только вы дойдете до линии действительных чисел, вы «прибыли», добавив по модулю второе измерение, чтобы получить комплексные числа, в том смысле, что вы «заполнили все пробелы» между рациональными числами.

На самом деле это довольно далеко от истины, поскольку можно добавлять бесконечно малые и трансфинитные числа к действительной числовой прямой строгими способами, как простыми, так и сложными.

Набор чисел (действительные, целые, рациональные, натуральные и иррациональные числа)

В этом разделе мы дадим краткое, но более содержательное введение в концепции наборов чисел, причем набор действительных чисел является наиболее важным и обозначается $$ \ mathbb {R} $$.

Но сначала, чтобы перейти к действительным числам, мы начнем с набора натуральных чисел.

Натуральные числа $$ \ mathbb {N} $$

Натуральные числа — это числа, которые с незапамятных времен использовались для счета. В большинстве стран они приняли арабские цифры, названные так потому, что именно арабы ввели их в Европу, но они были изобретены именно в Индии.

Набор натуральных чисел обозначается как $$ \ mathbb {N} $$; итак:

$$$ \ mathbb {N} = \ {1,2,3,4,5,6 \ ldots \} $$$

Натуральные числа характеризуются двумя свойствами:

  • Число 1 — первое натуральное число, и каждое натуральное число образуется путем прибавления 1 к предыдущему.
  • Когда мы вычитаем или делим два натуральных числа, результат не обязательно является натуральным числом, поэтому мы говорим, что натуральные числа не закрываются при выполнении этих двух операций. Натуральные числа закрываются только при сложении и умножении, т. Е. Сложение или умножение двух натуральных чисел всегда приводит к другому натуральному числу.

Целые числа $$ \ mathbb {Z} $$

Когда возникает необходимость отличать одни значения от других от исходной позиции, возникает необходимость в отрицательных числах.Например, с уровня 0 (уровня моря) мы проводим различие над уровнем моря или глубоким морем. Или в случае отрицательной или положительной температуры. Таким образом, мы можем быть на высоте 700 м, $$ + 700 $$, или нырнуть на глубину 10 м, $$ — 10 $$, и она может быть примерно на 25 градусов $$ + 25 $$ или на 5 градусов ниже 0, $$ — 5 $$.

Для обозначения отрицательных чисел мы добавляем знак минус перед числом.

Короче говоря, набор, образованный отрицательными целыми числами, числом ноль и положительными целыми числами (или натуральными числами), называется набором целых чисел.

Они обозначаются символом $$ \ mathbb {Z} $$ и могут быть записаны как:

$$$ \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -2, -1,0,1,2, \ ldots \} $$$

Обозначим их на числовой строке следующим образом:

Важным свойством целых чисел является то, что они закрываются при сложении, умножении и вычитании, то есть любое сложение, вычитание и умножение двух целых чисел приводит к получению другого целого числа. Обратите внимание, что частное двух целых чисел, например $$ 3 $$ и $$ 7 $$, не обязательно является целым числом.Таким образом, набор не замыкается на деление.

Рациональные числа $$ \ mathbb {Q} $$

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как деление между двумя целыми числами. Набор рациональных чисел обозначается как $$ \ mathbb {Q} $$, поэтому:

$$$ \ mathbb {Q} = \ Big \ {\ dfrac {p} {q} \ | \ p, q \ in \ mathbb {Z} \ Big \} $$$

Результатом рационального числа может быть целое число ($$ — \ dfrac {8} {4} = — 2 $$) или десятичное ($$ \ dfrac {6} {5} = 1,2 $$). число, положительное или отрицательное. Кроме того, среди десятичных дробей есть два разных типа: один с ограниченным числом цифр, который называется точным десятичным числом, ($$ \ dfrac {88} {25} = 3,52 $$), а другой — с неограниченным числом. цифр, которые он называется повторяющимся десятичным числом ($$ \ dfrac {5} {9} = 0,5555 \ ldots = 0, \ widehat {5} $$).

Мы называем их повторяющимися десятичными знаками, потому что некоторые цифры в десятичной части повторяются снова и снова. Если просто повторяющиеся цифры начинаются с десятой, мы называем их чистыми повторяющимися десятичными знаками ($$ 6,8888 \ ldots = 6, \ widehat {8} $$), в противном случае мы называем их смешанными повторяющимися десятичными знаками ($$ 3,415626262 \ ldots = 3,415 \ widehat {62} $$).

Обратите внимание, что каждое целое число является рациональным числом, так как, например, $$ 5 = \ dfrac {5} {1} $$; следовательно, $$ \ mathbb {Z} $$ является подмножеством $$ \ mathbb {Q} $$. Таким же образом каждое натуральное число также является целым числом, в частности положительным целым числом.Таким образом имеем:

$$$ \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q} $$$

Рациональные числа замыкаются не только при сложении, умножении и вычитании, но и делении (кроме $$ 0 $$).

Иррациональные числа $$ \ mathbb {I} $$

Мы видели, что любое рациональное число может быть выражено целым, десятичным или точным десятичным числом.

Однако не все десятичные числа являются точными или повторяющимися десятичными числами, и поэтому не все десятичные числа могут быть выражены как часть двух целых чисел.

Эти десятичные числа, которые не являются ни точными, ни повторяющимися десятичными знаками, характеризуются бесконечными непериодическими десятичными цифрами, т. Е. Никогда не заканчиваются и не имеют повторяющегося образца.

Обратите внимание, что набор иррациональных чисел является дополнением набора рациональных чисел.

Некоторые примеры иррациональных чисел: $$ \ sqrt {2}, \ pi, \ sqrt [3] {5}, $$ и, например, $$ \ pi = 3,1415926535 \ ldots $$ происходит из связи между длина круга и его диаметр.

Действительные числа $$ \ mathbb {R} $$

Набор, состоящий из рациональных и иррациональных чисел, называется набором действительных чисел и обозначается как $$ \ mathbb {R} $$.

Таким образом имеем:

$$$ \ mathbb {R} = \ mathbb {Q} \ cup \ mathbb {I} $$$

И рациональные, и иррациональные числа являются действительными числами.

Одним из наиболее важных свойств действительных чисел является то, что они могут быть представлены в виде точек на прямой. Мы выбираем точку под названием origin, чтобы обозначить $$ 0 $$, и другую точку, обычно справа, чтобы обозначить $$ 1 $$.

Соответствие между точками на линии и действительными числами возникает естественным образом; другими словами, каждая точка на линии представляет собой одно действительное число, а каждое действительное число имеет одну точку на линии.Мы называем это настоящей линией. На следующем рисунке вы можете увидеть пример:

Разница между действительными и целыми числами

Математики разработали системы, чтобы определить, чем одно число отличается от другого. Как и другие концепции, числовые категории пересекаются. Поскольку действительные числа включают в себя все рациональные числа, такие как целые числа, они обладают схожими характеристиками, такими как использование целых чисел и отображение на числовой прямой.Следовательно, ключевое отличие состоит в том, что действительные числа являются общей классификацией, в то время как целые числа — это подмножество, которое характеризуется как целые числа, которые могут иметь отрицательные свойства.

Что такое действительные числа?

Действительные числа — это значения, которые вы можете найти на числовой прямой, которая обычно выражается в виде геометрической горизонтальной линии, где выбранная точка функционирует как «начало координат». Те, что попадают на правую сторону, помечаются как положительные, а те, что слева, как отрицательные.Описание «реальное» было дано Рене Декартом, известным математиком и философом 17 века. В частности, он установил разницу между действительными корнями многочленов и их мнимыми корнями.

Действительные числа включают целые, целые, натуральные, рациональные и иррациональные числа:

Целые числа — это положительные числа, не имеющие дробных частей и десятичных знаков, поскольку они представляют собой целые объекты без фрагментов или частей.

Целые числа — это целые числа, включающие отрицательную сторону числовой прямой.

Натуральные числа, также известные как счетные числа, похожи на целые числа, но ноль не включается, так как ничто не может быть посчитано как «0».

Что касается его происхождения, то древнегреческий математик Пифагор провозгласил, что все числа рациональны. Рациональные числа — это частные или дробные части двух целых чисел. Если p и q являются целыми числами, а q не эквивалентно нулю, p / q — рациональное число. Например, 3/5 — рациональное число, а 3/0 — нет.

Гиппас, ученик Пифагора, не согласился с тем, что все числа рациональны.С помощью геометрии он доказал, что некоторые числа иррациональны. Например, квадратный корень из двух, равный 1,41, нельзя выразить дробью; следовательно, это иррационально. К сожалению, последователи Пифагора не приняли реальности рациональных чисел. Это привело к тому, что Гиппаса утонули в море, что в то время считалось наказанием богов.

Что такое целые числа?

От латинского слова «целое число», которое переводится как «целое» или «нетронутый», эти числа не имеют дробных или десятичных компонентов, как целые числа.Числа включают положительные натуральные числа или счетные числа и их отрицательные числа. Например, -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 — целые числа. Обычная иллюстрация — это числа через равные промежутки времени на бесконечной числовой линии с нулем, который не является ни положительным, ни отрицательным, посередине. Следовательно, положительных моментов больше, чем отрицательных.

Что касается его истории, следующие учетные записи прослеживают, как впервые были использованы целые числа:

  • В 200 г. до н. Э. отрицательные числа впервые были представлены красными стержнями в Древнем Китае.
  • Примерно в 630 году нашей эры отрицательные числа использовались для обозначения долга в Индии.
  • Арбермут Холст, немецкий математик, ввел целые числа в 1563 году как систему сложения и умножения. Он разработал систему в ответ на рост числа кроликов и слонов, на которых он экспериментировал.

Ниже приведены характеристики целых чисел:

Числа в правой части числовой прямой положительны и часто представляют собой большее значение по сравнению с их отрицательными числами.

Числа в левой части числовой линии часто рассматриваются как меньшее стандартное значение их положительных аналогов.

В центре числовой прямой, ноль — это целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Как и целые числа, целые числа не имеют десятичных знаков и дробей.

Разница между действительными и целыми числами

Область действия действительных и целых чисел

Действительные числа включают целые, рациональные, иррациональные, натуральные и целые числа.С другой стороны, область действия целых чисел в основном связана с целыми числами, которые могут быть отрицательными и положительными. Следовательно, действительные числа являются более общими.

Фракции

Действительные числа могут включать дроби, такие как рациональные и иррациональные числа. Однако дроби не могут быть целыми числами.

Свойство с наименьшей верхней оценкой

Вещественные числа обладают свойством наименьшей верхней границы, которое также известно как «полнота». Это означает, что линейный набор действительных чисел имеет подмножества с супремумом.Напротив, у целых чисел нет свойства наименьшей верхней границы.

Собственность Архимеда

Свойство Архимеда, которое заключается в предположении, что существует натуральное число, которое равно или больше любого действительного числа, может быть применено к действительным числам. Напротив, свойство Архимеда нельзя применить к целым числам.

Поле

Вещественные числа — это своего рода поле, которое является важной алгебраической структурой, в которой определены арифметические процессы.Напротив, целые числа не считаются полем.

Счетный

Как набор, действительные числа не могут быть исчислены, а целые — счетными.

Символы действительных чисел и целых чисел

Действительные числа обозначаются буквой «R», а набор целых чисел — буквой «Z». Н. Бурбаки, группа французских математиков в 1930-х годах, определила «Z» от немецкого слова «Zahlen», что означает число или целые числа.

Происхождение слова для действительных и целых чисел

Вещественные числа обозначают действительные корни многочленов, а целые числа произошли от латинского слова «целое», поскольку они не включают десятичные дроби и дроби.

Реальные числа против целых

Сводка вещественных и целых чисел

  • На числовой прямой могут отображаться как действительные, так и целые числа.
  • Целые числа — это подмножество действительных чисел.
  • Целые числа имеют отрицательные числа.
  • Как набор, действительные числа имеют более широкую область применения по сравнению с целыми числами.
  • В отличие от целых чисел, действительные числа могут включать дроби и десятичные точки.
  • Свойства наименее ограниченного, архимедова и поля обычно применимы к действительным числам, но не к целым числам.
  • В отличие от действительных чисел, целые числа строго счетны.
  • «R» обозначает действительные числа, а «Z» — целые числа.

Джин Браун — зарегистрированный психолог, имеющий лицензию профессиональный преподаватель, а также внештатный академический и творческий писатель. Она преподавала курсы социальных наук как на уровне бакалавриата, так и на уровне магистратуры. Джин также была научным консультантом и участником ряда презентаций статей по психологии и специальному образованию. Ее сертификаты включают TESOL (Тампа, Флорида), Сертификат практики психиатрического отделения и Маркер дипломных курсов.

Последние сообщения от gene Brown (посмотреть все)

: Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, расскажите об этом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.