Показатель pi: Показатели эффективности инвестиций: PI, NPV, IRR

Показатели эффективности инвестиций: PI, NPV, IRR

Проводя оценку проектов с точки зрения инвестиционной привлекательности, специалисты оперируют профессиональными терминами и обозначениями. Рассмотрим и расшифруем наиболее важные показатели эффективности — NPV, IRR, PI.

NPV, или Net Present Value. Чистая текущая стоимость проекта.

Этот показатель равен разнице между суммой имеющихся в данный момент времени денежных поступлений (инвестиций) и суммой необходимых денежных выплат на погашение кредитных обязательств, инвестиций или на финансирование текущих потребностей проекта. Разница рассчитывается исходя из фиксированной ставки дисконтирования.

В целом, NPV — это результат, который можно получить незамедлительно, после того, как решение об осуществлении проекта принято. Чистая текущая стоимость рассчитывается без учета фактора времени. Показатель NPV сразу дает возможность оценить перспективы проекта:

• если больше нуля — проект принесет инвесторам прибыль;
• равен нулю — возможно увеличение объемов выпуска продукции без риска снижения прибыли инвесторов;
• ниже нуля — возможны убытки для инвесторов.

Этот показатель — абсолютная мера эффективности проектов, который имеет прямую зависимость от масштабов бизнеса. При прочих равных условиях NPV растет вместе с суммой финансирования. Чем внушительнее инвестиции и объем планируемого денежного потока, тем больше будет абсолютный показатель NPV.

Еще одна особенность показателя чистой текущей стоимости проекта — зависимость ее суммы от структуры распределения инвестиций между отдельными периодами реализации. Чем внушительнее часть затрат, запланированных на периоды в конце работы, тем больше должна быть и сумма запланированного чистого дохода. Наименьшее значение NPV получается в том случае, если предполагается полное осуществление всего объема инвестиционных затрат с наличием проектного цикла.

Третья отличительная черта показателя чистой текущей стоимости — влияние времени начала эксплуатации проекта (при условии формирования чистого денежного потока) на численное значение NPV. Чем больше времени пройдет между стартом проектного цикла и непосредственно началом стадии эксплуатации, тем меньшим, при других неизменных условиях, окажется NPV. Кроме того, численное значение показателя чистой текущей стоимости может сильно измениться под влиянием колебаний дисконтной ставки к объему инвестиций и к сумме чистого денежного потока.

Среди факторов, влияющих на размер NPV, стоит отметить:

1. темпы производственного процесса. Выше прибыль — больше выручка, ниже затраты — больше прибыль;
2. ставка дисконтирования;
3. масштаб предприятия — объем инвестиций, выпуска продукции, продаж за единицу времени.

Соответственно, существует ограничение для применения данного метода: нельзя сравнивать проекты, имеющие существенные отличия хотя бы в одном из этих показателей. NPV растет вместе с ростом эффективности капиталовложений в бизнес.

IRR, или внутренняя норма прибыли (рентабельности).

Данный показатель рассчитывается в зависимости от величины NPV. IRR — это максимально возможная стоимость инвестиций, а также уровень допустимых расходов по конкретному проекту.

К примеру, при финансировании старта бизнеса на деньги, взятые в виде банковской ссуды, IRR — это максимальный уровень процентной ставки банка. Ставка даже ненамного выше сделает проект заведомо убыточным. Экономический смысл расчета данного показателя состоит в том, что автор проекта или руководитель фирмы может принимать разнообразные инвестиционные решения, имея четкие рамки, за которые нельзя выходить. Уровень рентабельности инвестиционных решений не должен быть ниже показателя СС — цены источника финансирования. Сравнивая IRR с СС, получаем зависимости:

• IRR больше СС — проект стоит принять во внимание и профинансировать;
• IRR меньше СС — от реализации необходимо отказаться по причине убыточности;
• IRR равен СС — грань прибыльности и убыточности, необходима доработка.

Кроме того, рассматривать IRR как источник информации о жизнеспособности бизнес-идеи можно с точки зрения, в рамках которой внутреннюю норму прибыли можно расценивать в качестве нормы дисконта (возможной), с учетом которой проект может быть выгоден. В данном случае, чтобы принять решение, нужно сравнить нормативную рентабельность и значение IRR. Соответственно, чем больше окажется внутренняя рентабельность и разница между ней и ставкой дисконта, тем больше шансов имеется у рассматриваемого проекта.

PI, или Profitability Index. Индекс прибыльности инвестиций.

Этот индекс демонстрирует отношение отдачи капитала к объему вложений в проект. PI — это относительная прибыльность будущего предприятия, а также дисконтируемая стоимость всех финансовых поступлений в расчете на единицу вложений. Если взять в расчет показатель I, который равен вложениям в проект, то индекс прибыльности инвестиций рассчитывается по формуле PI = NPV / I.

Profitability Index — это относительный показатель, который дает представление не о реальном размере чистого денежного потока в проекте, а только о его уровне по отношению к инвестиционным затратам. Соответственно, индекс можно использовать в качестве инструмента сравнительной оценки эффективности разных вариантов, даже если по ним предполагается разный объем финансовых вложений и инвестиций. В ходе рассмотрения нескольких инвестпроектов PI можно использовать в качестве показателя, позволяющего «отсеять» неэффективные предложения. Если значение показателя PI равно или меньше единицы, проект не сможет принести необходимый доход и рост инвестиционного капитала, поэтому от его реализации стоит отказаться.

В целом, возможны три варианта действий, основываясь на значении индекса прибыльности инвестиций (PI):

• больше одного — данный вариант рентабелен, его стоит принять в реализацию;
• меньше одного — проект неприемлем, так как инвестиции не приведут к образованию требуемой ставки отдачи;
• равен одному — данное направление инвестирования максимально точно удовлетворяет избранной ставке отдачи.

Перед принятием решения стоит учитывать, что бизнес-проекты с высоким значением индекса прибыльности инвестиций — более выгодные, устойчивые и перспективные. Однако принимать во внимание нужно и тот факт, что слишком высокие цифры коэффициента доходности не всегда являются гарантией высокой текущей стоимости проекта (и наоборот). Многие подобные бизнес-идеи неэффективны при реализации, а значит могут иметь невысокий индекс прибыльности.

Сроки разработки бизнес-планов в среднем составляют от 4 до 20 рабочих дней.

ОТЗЫВЫ НАШИХ КЛИЕНТОВ — СКАНЫ С ПОДПИСЯМИ И ПЕЧАТЯМИ

Вопросы? Мы будем рады ответить на все Ваши вопросы по многоканальному телефону: +7 (495) 220-47-48.

Сделать заказ

---

Поля, отмеченные * обязательны для заполнения

Наши преимущества

Наши специалисты строго соблюдают сроки

Разрабатываем бизнес-планы с учетом требований крупнейших банков

Наличие персонального менеджера

Наличие гарантийного срока

Анализ эффективности инвестиций

Используемые термины в калькуляторе

Инвестиции — размещение капитала с целью получения прибыли. Инвестиции являются неотъемлемой частью современной экономики. От кредитов инвестиции отличаются степенью риска для инвестора (кредитора) — кредит и проценты необходимо возвращать в оговорённые сроки независимо от прибыльности проекта, инвестиции (инвестированный капитал) возвращаются и приносят доход только в прибыльных проектах. Если проект убыточен — инвестиции могут быть утрачены полностью или частично.

Поток, денежный свободный

— денежный поток, которым располагает компания после финансирования всех инвестиций, которые она находит целесообразным осуществить; определяется как прибыль от основной деятельности после уплаты налогов плюс амортизация минус инвестиции.

Ставка дисконтирования — это параметр отражает скорость изменения стоимости денег в текущей экономике. Он принимается равным либо ставке рефинансирования, либо проценту по считающимся безрисковыми долгосрочным государственным облигациям, либо проценту по банковским депозитам. Для расчета инвестиционных проектов этот параметр может приниматься равным планируемой доходности инвестиционного проекта.

Чистый дисконтированный доход (NPV) – это сальдо всех операционных и инвестиционных денежных потоков, учитывающее дополнительно стоимость использованного капитала. NPV проекта будет положительным, а сам проект – эффективным, если расчеты показывают, что проект покрывает свои внутренние затраты, а также приносит владельцам капитала доход не ниже, чем они потребовали (не ниже ставки дисконтирования).

Индекс прибыльности инвестиций (PI) — Показатель иллюстрирует отношение отдачи капитала к размеру вложенного капитала, показатель прибыльности инвестиций показывает относительную прибыльность проекта или дисконтируемую стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений. Индекс прибыльности рассчитывается по формуле: PI = NPV / I, где I – вложения.

Внутренняя норма доходности (IRR) — процентная ставка, при которой проект не является ни прибыльным, ни убыточным. Для проектов продолжительностью более двух лет формулы для расчета этого показателя не существует, его можно определить только методом итерации (или при помощи компьютерной программы, использующей данный метод, например, Excel). Возможно определение графическим способом.

Рекомендуемые значения показателей

Чистая приведенная стоимость (NPV)	> 0 – бизнес-проект принимаем; <0 – отказываемся от проекта >= 50% от суммы кредита
Индекс прибыльности (PI)	> 1 бизнес-проект прибыльный; = 1 — проект не прибыльный; < 1 — проект убыточный
Внутренняя норма доходности (IRR)	>= процентная ставка по кредиту проекта

ВАЖНО: Не один из перечисленных показателей эффективности инвестиций не является достаточным для принятия проекта к реализации. Одновременно важное значение играет соотношение и распределение собственных и привлекаемых средств, а так же другие факторы (наличие предварительных договоренностей на сбыт продукции проекта; денежный поток и возможность погашения обязательств согласно вашему бизнес-плану; срок окупаемости и срок возврата кредита; коэффициент покрытия долга и др.).

Расчет показателей эффективности инвестиций

В России нормативным документом, регулирующим способы расчета показателей эффективности инвестиций, являются Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов.

Как правило, оценка инвестпроектов производится по стандартным методикам и включает расчет следующих показателей эффективности инвестиций:

Чистая текущая стоимость проекта (NPV)

Внутренняя норма рентабельности (IRR)

Индекс прибыльности инвестиций (PI)

Индикатор ROC

Дисконтированный период окупаемости (РР)

Рассмотрим особенности и примеры расчета показателей.

Чистая текущая стоимость проекта (Net present value, NPV)

Данный показатель определяют как разность между текущей стоимостью денежных поступлений по проекту или инвестиций и текущей стоимостью денежных выплат на получение инвестиций, либо на финансирование проекта, рассчитанная по фиксированной ставке дисконтирования. Значение NPV можно представить как результат, получаемый немедленно после принятия решения об осуществлении данного проекта, так как при расчете NPV исключается воздействие фактора времени, то есть если значение показателя:

• NPV > 0 – проект принесет прибыль инвесторам;
• NPV = 0 – увеличение объемов производства не повлияет на получение прибыли инвесторами;
• NPV < 0 – проект принесет убытки инвесторам.

Первая особенность чистой текущей стоимости проекта (чистого приведенного дохода) состоит в том, что, являясь абсолютным показателем эффективности инвестиционного проекта, он непосредственно зависит от его размера. Чем большим является размер инвестиционных затрат по проекту и соответственно сумма планируемого чистого денежного потока по нему, тем более высоким (при прочих равных условиях) будет абсолютная сумма NPV.

Вторая особенность чистой текущей стоимости проекта заключается в том, что на ее сумму сильное влияние оказывает структура распределения совокупного объема инвестиционных издержек по отдельным периодам времени проектного цикла. Чем большая доля таких затрат осуществляется в будущих периодах проектного цикла (по отношению к его началу), тем большей при прочих равных условиях будет и сумма планируемого чистого приведенного дохода по нему. Наименьшее значение этого показателя формируется при условии полного осуществления инвестиционных затрат с наличием проектного цикла.

Третья особенность чистой текущей стоимости проекта состоит в том, что на его численное значение существенное влияние оказывает время начала эксплуатационной стадии (по отношению к времени начала проектного цикла), позволяющее начать формирование чистого денежного потока по инвестиционному проекту. Чем продолжительней временной интервал между началом проектного цикла и началом эксплуатационной стадии, тем меньшим при прочих равных условиях будет размер NPV.

И наконец, особенность чистого приведенного дохода заключается в том, что его численное значение сильно колеблется в зависимости от уровня дисконтной ставки приведения к настоящей стоимости основных показателей инвестиционного проекта – объема инвестиционных затрат и суммы чистого денежного потока.

На величину NPV влияют два вида факторов: производственный процесс (больше продукции – больше выручки, меньше затраты – больше прибыли и т.д.) и ставка дисконтирования. А также оказывает влияние масштаб деятельности, выраженный в «физических» объемах инвестиций, производства или продаж.

Отсюда вытекает естественное ограничение на применение данного метода для сопоставления различных по этой характеристике проектов: большее значение NPV не всегда будет соответствовать более эффективному варианту капиталовложений. В подобных случаях рекомендуется использовать показатель рентабельности инвестиций, называемый также коэффициентом чистой текущей стоимости (NPVR).

Указанный показатель представляет собой отношение чистой текущей стоимости проекта к дисконтированной (текущей) стоимости инвестиционных затрат (РVI).

Пример расчета чистой текущей стоимости проекта (NPV)

Внутренняя норма рентабельности (Internal rate of return, IRR)

Показатель внутренней нормы рентабельности или внутренняя норма прибыли рассчитывается на базе показателя NPV, данный коэффициент показывает максимальную стоимость инвестиций, указывает на максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом.

Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которой делает проект убыточным.

Экономический смысл этого показателя заключается в следующем: предприятие может принимать любые решения инвестиционного характера, уровень рентабельности которых не ниже текущего значения показателя СС (цены источника средств для данного проекта). Именно с ним сравнивается показатель IRR, рассчитанный для конкретного проекта, при этом связь между ними такова:

• если IRR > СС, то проект следует принять;
• если IRR < СС, то проект следует отвергнуть;
• если IRR = СС, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

Еще один вариант интерпретации состоит в трактовке внутренней нормы прибыли как возможной нормы дисконта, при которой проект еще выгоден по критерию NPV. Решение принимается на основе сравнения IRR с нормативной рентабельностью; при этом, чем выше значения внутренней нормы рентабельности и больше разница между ее значением и выбранной ставкой дисконта, тем больший запас прочности имеет проект.

Пример расчета внутренней нормы рентабельности (IRR)

Индекс прибыльности инвестиций (Profitability index, PI)

Показатель иллюстрирует отношение отдачи капитала к размеру вложенного капитала, показатель прибыльности инвестиций показывает относительную прибыльность проекта или дисконтируемую стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений. Индекс прибыльности рассчитывается по формуле:

PI = NPV / I, где I — вложения.

Рассматривая показатель «индекс (коэффициент) доходности», необходимо принять во внимание то, что данный ппоказатель является относительным, описывающим не абсолютный размер чистого денежного потока, а его уровень по отношению к инвестиционных затратам. Это преимущество индекса прибыльности инвестиций позволяет использовать его в процессе сравнительной оценки эффективности инвестиционных проектов, различающихся по своим размерам (объему инвестиционных затрат).

Кроме того, PI может быть использован и для исключения неэффективных инвестиционных проектов на предварительной стадии их рассмотрения. Если значение индекса (коэффициента) доходности меньше единицы или равно ей, инвестиционный проект должен быть отвергнут в связи с тем, что он не принесет дополнительный доход на инвестируемый капитал (не обеспечит самовозрастания его стоимости в процессе инвестиционной деятельности).

Критерий принятия решения такой же, как при принятии решения по показателю NPV, т.е. РI > 0. При этом возможны три варианта:

• РI > 1,0 – инвестиции рентабельны и приемлемы в соответствии с выбранной ставкой дисконтирования;
• РI < 1,0 – инвестиции не способны генерировать требуемую ставку отдачи и неприемлемы;
• РI = 1,0 – рассматриваемое направление инвестиций в точности удовлетворяет выбранной ставке отдачи, которая равна IRR.

Проекты с высокими значениями PI более устойчивы. Однако не следует забывать, что очень большие значения индекса (коэффициента) доходности не всегда соответствуют высокому значению чистой текущей стоимости проекта и наоборот. Дело в том, что проекты, имеющие высокую чистую текущую стоимость не обязательно эффективны, а значит, имеют весьма небольшой индекс прибыльности.

Рассмотрим, какими свойствами обладает показатель PI.

Благодаря этому критерий PI очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV, но разные объемы требуемых вложений. Из этих проектов выгоднее тот, который обеспечит их большую эффективность.

1. Индекс рентабельности является относительным показателем. Он характеризует уровень доходов на единицу затрат, т.е. эффективность вложений – чем больше величина PI, тем выше отдача от каждого рубля, инвестированного в проект.

2. Показатель позволяет ранжировать различные инновационные проекты с точки зрения их привлекательности. Критерий оптимальности при сравнении проектов, имеющих примерно равные значения чистого приведенного дохода: PI → max.

3. Применение показателя часто бывает полезным, когда существует возможность финансирования нескольких проектов, но инвестиционный бюджет ограничен. Этот показатель косвенно несет в себе информацию о риске проекта, т.е. о его устойчивости к изменению исходных параметров.

Индикатор ROC – Price Rate of Change (Скорость изменения цены)

Индикатор скорости изменения цены (ROC) показывает разность между текущей ценой и ценой n периодов назад. Он может быть выражен или в пунктах, или в процентах. Индикатор ROC отражает зависимость между теми же величинами, но не в виде разности, а в виде отношения.

Пример расчета индикатора скорости изменения цены (ROC)

NPV и IRR, PI и DPP, DP и ARR

Оценка эффективности инвестиционного начинания является обязательной процедурой перед принятием окончательного решения об инвестировании в него средств. Существует целый ряд методов анализа проекта, среди которых наиболее распространенными считаются NPV, IRR, PI, DPP, DP, ARR. Каждая из этих аббревиатур представляет собой инструмент анализа проекта по разным критериям, которые в сумме дают инвестору важную информацию для принятия объективного инвестиционного решения.

Содержание статьи

Основные критерии оценки инвестиционных проектов

Наиболее важным для людей, желающих вложить свои деньги и получить прибыль, является расчет NPV и IRR.

Остановимся на том, что эти критерии из себя представляют.

NPV (от английского Net Present Value) – чистая приведенная (текущая) стоимость. Этот показатель характеризует изменение потоков денежных средств. Его рассчитывают как разность между всеми поступившими инвестициями и затратами на внедрение проекта (текущие расходы, погашение кредитов и т.д.) с учетом принятой ставки дисконтирования. Другими словами, при положительном значении данного показателя инвесторы могут надеяться на то, что генерируемые основной деятельностью проекта денежные потоки покроют все затраты и принесут ожидаемую прибыль на уровне не ниже ставки дисконтирования.

NPV относится к тем показателям, которые можно рассчитать быстро, сразу же после поступления инвестиционного предложения. Он дает в результате абсолютную величину, опираясь на которую, можно выбрать из нескольких предложений наиболее привлекательное. Для вычисления текущей стоимости применяют такую формулу:

где:

• CF_t – поток денег за отрезок времени t_;
• r – величина барьерной ставки;
• CF₀ – стартовый денежный поток, в основном он равен размеру инвестиционного капитала.

Чистый денежный поток, как правило, определяется по каждому направлению деятельности (инвестиционная, операционная, финансовая) отдельно. Наиболее проблемным моментом является правильное установление нормы дисконта. Для ее расчета существует целый ряд методик (CAPM, WACC, ROE — ROA, модель Гордона, метод рисковых премий) на различных базовых основах.

Пользоваться полученным результатом очень просто. Если значение чистого дисконтированного дохода больше нуля, значит, предложение представляет интерес и может быть утверждено. Если показатель меньше нуля, это свидетельствует о том, что проект не имеет перспектив окупить вложенные инвестиции и принести прибыль. При значениях, близких к нулю, положительное решение обычно принимается только в том случае, когда прибыль не является единственным важным критерием, а важную роль играют другие факторы (выход на перспективный рынок, социальная составляющая).

Если при помощи этого инструмента сравнивать несколько инициатив, то предпочтительнее из них та, у которой NPV выше.

IRR (от английского Internal Rate of Return) – это внутренняя норма прибыли (доходности). Она представляет собой максимально допустимую стоимость вложений, то есть такую норму дисконта, при которой показатель NPV равняется нулю (затраты на инициативу и доходы от нее равны).

Как таковой, отдельной формулы расчета IRR не существует, она находится путем изменения формулы чистой приведенной стоимости:

где:

• CF – поток денег, генерируемый инвестиционным проектом;
• IRR – норма прибыли внутренняя;
• CF₀ – денежный поток первоначальный.

Формула может иметь и другой вид, например, такой:

где:

• n – число временных отрезков;
• It – объем инвестиций, вложенных в течение периода t.

Однако чаще всего применяется оценка при помощи графика, на котором расположены вычисленные два значений NPV, одно из которых чуть ниже нуля, а другое – чуть выше. Значения соединяются прямой, в точке ее пересечения с осью абсцисс и находится значение показателя, наиболее близкое к реальному.

Если в результате вычисления норма внутренней прибыльности будет меньше цены привлечения финансирования (ставки доходности), то такой проект невыгоден для реализации. В противном случае его можно брать в разработку.

Особенности ключевых критериев эффективности проекта

Поскольку оба метода чрезвычайно популярны в среде экономистов и финансистов, то стоит изучить подробнее, какой из них способен дать более объективную информацию. Сравнительная характеристика критериев NPV и IRR показывает, что у каждого из этих финансовых инструментов есть свои сильные и слабые стороны.

Отличительными чертами NPV являются:

• Прямая зависимость показателя от масштаба бизнеса: чем крупнее инвестиции и больше объем денежного потока, тем выше будет значение показателя текущей стоимости.
• Влияние на значение критерия структуры финансирования по временным отрезкам.  Если проект проходит через все этапы затрат (проект, начальные вложения, затраты на ликвидацию), то его величина, скорее всего, будет минимальна.
• Влияние длительности временного лага между инвестированием и сроками начала эксплуатации объекта, чем больше перерыв, тем меньше величина NPV. Кроме того, динамика барьерной ставки может сильно повлиять на дисконтируемую сумму инвестиций.

На численное значение показателя основное влияние оказывают такие факторы:

• Норма дисконта.
• Темпы процесса производства: меньше затраты – больше прибыль – больше объем выручки.
• Масштаб компании, зависимость от количества выпущенной продукции, объемов продаж, суммы вложения.

При всем удобстве этого метода расчета, он не подходит для сравнения инвестиционных проектов, которые сильно отличаются между собой хотя бы по одному из указанных выше факторов. Следовательно, для таких сравнений необходим другой, более гибкий, критерий.

К достоинствам внутренней нормы прибыльности можно отнести:

• Возможность провести сравнение между проектами, которые имеют различную длительность, темпы производства и масштабы инвестирования.
• Возможность оценивания не только инвестиционных проектов, но и других альтернативных финансовых инструментов (например, вклад на банковский депозит). Если IRR инвестиционного начинания окажется выше процентной ставки по депозиту, то более выгодно инвестировать в проект.
• Быстрое определение целесообразности дальнейшего анализа предложенного проекта после его экспресс-оценки на норму внутренней доходности. При этом производится оценка IRR относительно WACC (стоимости капитала средневзвешенной). Если IRR больше WACC, то начинание обещает прибыль, если же меньше или значения равны, то следует ожидать отрицательного потока денег в будущем.
• Показатель IRR может применяться в качестве ставки дисконтирования. Чем больше разница между внутренней нормой доходности и нормативной рентабельностью, тем более интересно инвестиционное предложение.

Однако есть у критерия внутренней нормы прибыльности и свои недостатки, среди них:

• Невозможность показать рост стоимости проекта в абсолютных величинах.
• Трудность расчета и возможность получения некорректного результата при несистематической структуре денежных потоков (с попеременным отрицательным и положительным значением).

Финансисты в паре NPV – IRR предпочитают больше применять второй метод, поскольку для него нет необходимости высчитывать ставку дисконтирования, как для чистой приведенной стоимости. Кроме того, результат при определении нормы прибыльности внутренней рассчитывается в процентах, поэтому им удобнее пользоваться при сравнении относительных величин (процентов), а чистая дисконтированная стоимость исчисляется в денежных знаках, соответственно, меньше приспособлена для сравнения. Хотя большинство учебников утверждает, что NPV указывает на величину создаваемой инициативой добавленной стоимости, поэтому должно быть предпочтительнее.

Нередко указанные выше ключевые показатели дают результаты, противоречащие друг другу. Причиной этого может быть заложенная в расчет ставка дисконта или нестандартная структура финансовых потоков. При этом NPV характеризует размер будущего дохода, а IRR – темпы его получения. На каком варианте лучше остановиться? Специалисты по финансовому анализу рекомендуют в таком случае выбирать критерий текущей стоимости, поскольку в нем учитывается переменная норма дисконта, а главной целью вложения является объем прибыли, а не скорость ее получения.

Как можно видеть из сказанного, IRR и NPV являются ключевыми показателями эффективности инвестиционного предложения. Взяв их за основу, инвестор или владелец бизнеса может просчитывать и другие вспомогательные показатели, такие как индекс доходности (PI), дисконтированный срок окупаемости (DPP), средневзвешенная ставка инвестиционной рентабельности (ARR).

Индекс прибыльности инвестиций (PI)

Как многие наверное догадываются, те кто занимается инвестированием на профессиональном уровне, способны отлично считать и управлять своими финансовыми активами.

Ну и поскольку под инвестициями подразумевается получение дохода от вложенных средств, то обойтись без определённых инструментов финансово-экономического анализа невозможно.

Одним из таких инструментов является индекс прибыльности (от англ. Profitability Index), который довольно широко применяется на аналитическом рынке.

Данный показатель используется для выявления того, сколько мы получим прибыли на каждую единицу вложенных средств, который способен генерировать каждый отдельно взятый грамотно выстроенный инвестиционный-проект.

Так что такое индекс прибыльности инвестиций (PI)

Profitability Index (PI) — это относительный показатель,рассчитываемый как отношение текущей ценности будущего денежного потока к начальной себестоимостью и который характеризуется уровнем полученной прибыли на каждую единицу затрат.

И исходя из определения можно сказать что значение PI пропорционально отдаче каждой единицы инвестированных в проект средств. Индекс прибыльности инвестиций можно рассчитать по следующей формуле:

CF j- прибыль от проекта за год

n- период  проекта в годах

PV- суммарный денежный поток от проекта

CI- сумма первоначальных инвестиций

r- ставка дисконтирования

Если же капитальные вложения, которые связанны с реализацией проекта, осуществлять в несколько этапов, то расчет показателя PI производят по этой формуле:

1. Если PI больше единицы то это говорит о положительной эффективности инвестиций, а значит, проект выглядит весьма интересным для рассмотрения.
2. Если PI меньше единицы – то наоборот, и проект скорее всего будет убыточным.
3. И если PI равняется единице – то это что по середине и не убыточный проект, но и не рентабельный. Учитывая значение понятия «инвестирование» как процесса, направленного на получение прибыли в перспективе, проект малоинтересен.

Когда будете оценивать какой-либо бизнес-план, не забудьте при расчётах пользоваться четырьмя базовыми показателям, к которым относят: внутреннюю норма доходности; чистую дисконтированную прибыль; индекс прибыльности инвестиций и дисконтированный срок окупаемости.

Расчёт данных показателей даст очень полезную и достоверную информацию по бизнес проекту. Уже исходя из расчётов можно делать конкретные выводы по поводу того, стоит ли реализовывать проект или нет.

Положительные и отрицательные моменты при расчете индекса прибыльности инвестиций

К положительным моментам можно отнести:

• Возможность сделать сравнительный анализ разных по масштабу инвестиционных проектов
• Возможность учёта разного фактора рисков при помощи применения ставки дисконтирования

К отрицательным моментам, пожалуй, отнести можно:

• Затруднение в оценке ставки дисконтирования, речь идёт о точной оценке
• Затруднение в получении точных данных из-за надобности в прогнозировании денежного распределения в будущем

И в завершение хотелось бы сказать, что ограниченность средств у инвестора ещё не повод, не рассчитывать на хорошую прибыль. Надеюсь в данной статье вы узнать что такое pi (индекс прибыльности инвестиций). Также данный индекс иногда называют как — индекс доходности.

Оценка эффективности инвестиций

Принятие решений, связанных с вложениями денежных средств, — важный этап в деятельности любого предприятия. Для эффективного использования привлеченных средств и получения максимальной прибыли на вложенный капитал  необходим тщательный анализ будущих доходов и затрат, связанных с реализацией рассматриваемого инвестиционного проекта.

Задачей финансового менеджера является выбор таких проектов и путей их реализации, которые обеспечат поток денежных средств, имеющих максимальную приведенную стоимость по сравнению со стоимостью требуемых капиталовложений.

Существует несколько методов оценки привлекательности инвестиционного проекта и, соответственно, несколько основных показателей эффективности. Каждый метод в своей основе имеет один и тот же принцип: в результате реализации проекта предприятие должно получить прибыль (должен увеличиться собственный капитал предприятия), при этом различные финансовые показатели характеризуют проект с разных сторон и могут отвечать интересам различных групп лиц, имеющих отношение к данному предприятию,  — кредиторов, инвесторов, менеджеров.

При оценке эффективности инвестиционных проектов используются следующие основные показатели:

 Срок окупаемости инвестиций —   PP (Payback Period)

Чистый приведенный доход – NPV (Net Present Value)

Внутренняя  норма доходности –IRR (Internal Rate of Return)

Модифицированная внутренняя норма доходности – MIRR (Modified Internal Rate of Return)

Рентабельность инвестиций – Р (Profitability)

Индекс рентабельности – PI (Profitability Index)

Каждый показатель является в то же время и критерием принятия решения при выборе наиболее привлекательного проекта из нескольких возможных.

Расчет данных показателей основан на дисконтных способах, учитывающих принцип временной стоимости денег. В качестве ставки дисконтирования в большинстве случаев выбирается величина средневзвешенной стоимости капитала WACC, которая в случае необходимости может быть скорректирована на показатели возможного риска, связанного с реализацией конкретного проекта и ожидаемого уровня инфляции.

Если расчет показателя WACC связан с трудностями, вызывающими сомнение в достоверности полученного результата (например, при оценке собственного капитала), в качестве ставки дисконтирования можно выбрать величину среднерыночной доходности с поправкой на риск анализируемого проекта. Иногда в качестве дисконтной ставки используется величина ставки рефинансирования.

1. Оценка финансовых возможностей предприятия.
2. Прогнозирование будущего денежного потока.
3. Выбор ставки дисконтирования.
4. Расчет основных показателей эффективности.
5. Учет факторов риска

Основные показатели (критерии) эффективности

Период окупаемости

В общем случае искомой величиной является значение РР, для которого выполняется:

 РР = min N, при котором  ? INV_t / (1 + i)^t = ? CF_k / (1 + i)^k

 где i – выбранная ставка дисконтирования

 Критерий принятия решения при использовании метода расчета периода окупаемости может быть сформулирован двумя способами:

а) проект принимается, если окупаемость в целом имеет место;

б) проект принимается, если найденное значение РР лежит в заданных пределах. Этот вариант всегда применяется при анализе проектов, имеющих высокую степень риска.

Существенным недостатком данного показателя, как критерия привлекательности проекта, является игнорирование им положительных величин денежного потока, выходящих за пределы рассчитанного срока.

Также данный метод не делает различия между проектами с одинаковым значением РР, но с различным распределением доходов в пределах рассчитанного срока. Тем самым частично игнорируется принцип временной стоимости денег при выборе наиболее предпочтительного проекта.

Чистый приведенный доход NPV

Разность между приведенной стоимостью будущего денежного потока и стоимостью первоначальных вложений называется чистым приведенным доходом проекта (чистой приведенной стоимостью).

Показатель NPV отражает непосредственное увеличение капитала компании, поэтому для акционеров предприятия он является наиболее значимым. Расчет чистого приведенного дохода осуществляется по следующей формуле:

NPV = ? CF_k / ( 1 + i )^k  — ? INV_t / (1 + i)^t

Критерием принятия проекта является положительное значение NPV. В случае, когда необходимо сделать выбор из нескольких возможных проектов, предпочтение должно быть отдано проекту с большей величиной чистого приведенного дохода.

В то же время, нулевое или даже отрицательное значение NPV  не свидетельствует об убыточности проекта как такового, а лишь об его убыточности при использовании данной ставки дисконтирования. Тот же проект, реализованный при инвестировании более дешевого капитала или с меньшей требуемой доходностью, т.е. с меньшим значением i, может дать положительное значение чистого приведенного дохода.

Необходимо иметь в виду, что показатели PP и NPV могут давать противоречивые оценки при выборе наиболее предпочтительного инвестиционного проекта.

Внутренняя норма доходности IRR

Универсальным инструментом сравнения эффективности различных способов вложения капитала, характеризующим доходность операции и независящим от ставки дисконтирования (от стоимости вкладываемых средств) является показатель внутренней нормы доходности IRR.

Внутренняя норма доходности соответствует ставке дисконтирования, при которой текущая стоимость будущего денежного потока совпадает с величиной вложенных средств, т.е. удовлетворяет равенству:

? CF_k / ( 1 + IRR )^k = ? INV_t / (1 + IRR) ^t

Для расчета данного показателя можно использовать компьютерные средства либо следующую формулу приближенного вычисления:

IRR = i₁ + NPV₁ (i₂ – i₁) / (NPV₁ — NPV₂)

Здесь i₁ и i₂ – ставки, соответствующие некоторым положительному (NPV₁) и отрицательному (NPV₂) значениям чистого приведенного дохода. Чем меньше интервал i₁ – i₂, тем точнее полученный результат (при решении задач допустимой считается разница между ставками не более 5 %).

Критерием принятия инвестиционного проекта является превышение показателя IRR выбранной ставки дисконтирования (IRR > i). При сравнении нескольких проектов, более предпочтительными являются проекты с большими значениями IRR.

К несомненным достоинствам показателя IRR относится его универсальность в качестве инструмента оценки и сравнения доходности различных финансовых операций. Его преимуществом является и независимость от ставки дисконтирования – это чисто внутренний показатель.

Недостатками IRR являются сложность расчета, невозможность применения данного критерия к нестандартным денежным потокам (проблема множественности IRR), а также необходимость реинвестирования всех получаемых доходов под ставку доходности, равную IRR, подразумеваемую правилом расчета данного показателя. К недостаткам следует отнести и возможное противоречие с критерием NPV при сравнении двух и более проектов.

 Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR

Для нестандартных денежных потоков решение уравнения, соответствующего определению внутренней нормы доходности, в подавляющем большинстве случаев (возможны нестандартные потоки с единственным значением IRR) дает несколько положительных корней, т.е. несколько возможных значений показателя IRR. При этом критерий IRR > i не работает: величина IRR может превышать используемую ставку дисконтирования, а рассматриваемый проект оказывается убыточным (его NPV оказывается отрицательным).

Для решения данной проблемы в случае нестандартных денежных потоков рассчитывают аналог IRR – модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR (она может быть рассчитана и для проектов, генерирующих стандартные денежные потоки).

 MIRR представляет собой процентную ставку, при наращении по которой в течение срока реализации проекта n общей суммы всех дисконтированных на начальный момент вложений получается величина, равная сумме всех притоков денежных средств, наращенных по той же ставке d на момент окончания реализации проекта:

 ( 1 + MIRR )ⁿ    ? INV / ( 1 + i )^t  = ? CF_k ( 1 + i )^n-k

 Критерий принятия решения — MIRR > i. Результат  всегда согласуется с критерием NPV и может применяться для оценки как стандартных, так и нестандартных денежных потоков. Помимо этого, у показателя MIRR есть еще одно важное преимущество перед IRR: его расчет предполагает реинвестирование получаемых доходов под ставку, равную ставке дисконтирования (близкой или равной ставке среднерыночной доходности), что более соответствует реальной ситуации и потому точнее отражает доходность оцениваемого проекта.

Норма рентабельности и индекс рентабельности P

 Рентабельность – важный показатель эффективности инвестиций, поскольку он отражает соотношение затрат и доходов, показывая величину полученного дохода на каждую единицу (рубль, доллар и т.д.) вложенных средств.

Р = NPV / INV  х 100 %

 Индекс рентабельности (коэффициент рентабельности) PI  — отношение приведенной стоимости проекта к затратам, показывает во сколько раз увеличиться вложенный капитал в ходе реализации проекта.

PI = [ ? CF_k / ( 1 + i )^k ] / INV = P / 100% + 1

Критерием принятия положительного решения при использовании показателей рентабельности является соотношение Р > 0 или, что то же самое, PI > 1. Из нескольких проектов предпочтительнее те, где показатели рентабельности выше.

Данный показатель особенно информативен при оценке проектов с различными первоначальными вложениями и различными периодами реализации.

Критерий рентабельности может давать результаты, противоречащие критерию чистого приведенного дохода, если рассматриваются проекты с разными объемами вложенного капитала. При принятии решения нужно учитывать инвестиционные возможности предприятия, а также то соображение, что показатель NPV более отвечает интересам акционеров в плане увеличения их капитала.

Оценка инвестиционных проектов разной продолжительности

В случаях, когда возникает сомнение в корректности сравнения с использованием рассмотренных показателей проектов с разными сроками реализации, можно прибегнуть к методу цепного повтора

При использовании этого метода находят наименьшее общее кратное n сроков реализации n₁ и n₂ оцениваемых проектов. Строят новые денежные потоки, получаемые в результате нескольких реализаций проектов, предполагая, что затраты и доходы сохранятся на прежнем уровне (начало  следующей реализации совпадает с окончанием предыдущей). Показатели чистого приведенного дохода при многократной реализации изменятся, а вот показатели внутренней нормы доходности останутся прежними, независимо от количества повторов, хотя новые денежные потоки могут оказаться нестандартными, если первоначальные инвестиции больше, чем доходы в последний период реализации.

Использование данного метода на практике может быть связано со сложными расчетами, если рассматривается несколько проектов и для совпадения всех сроков, каждый нужно будет повторить по несколько раз.

Основным недостатком метода цепного повтора является предположение, что условия реализации проектов, а значит и требуемые издержки и получаемые доходы, останутся на прежнем уровне, что почти невозможно в современной рыночной ситуации. Также и сама повторная реализация проекта не всегда возможна, особенно, если он достаточно продолжителен или относится к сферам, где происходит быстрое технологическое обновление производимой продукции.

Помимо рассмотренных количественных показателей эффективности капиталовложений при принятии инвестиционных решений необходимо учитывать и качественные характеристики привлекательности проекта, соответствующие следующим критериям:

• Соответствие рассматриваемого проекта общей инвестиционной стратегии предприятия, его долгосрочным и текущим планам;
• Перспективность проекта в сравнении с последствиями отказа от реализации альтернативных проектов;
• Соответствие проекта принятым нормативно-плановым показателям в отношении уровня риска, финансовой устойчивости, экономического роста организации и т.д.;
• Обеспечение необходимой диверсификации финансово-хозяйственной деятельности организации;
• Соответствие требований реализации проекта имеющимся производственным и кадровым ресурсам;
• Социальные последствия реализации проекта, возможное влияние на репутацию, имидж организации;
• Соответствие рассматриваемого проекта экологическим стандартам и требованиям.

Pi показатель эффективности инвестиций – Telegraph

Pi показатель эффективности инвестиций

🔥Капитализация рынка криптовалют выросла в 8 раз за последний месяц!🔥

✅Ты думаешь на этом зарабатывают только избранные?

✅Ты ошибаешься!

✅Заходи к нам и начни зарабатывать уже сейчас!

________________

>>>ВСТУПИТЬ В НАШ ТЕЛЕГРАМ КАНАЛ<<<

________________

✅Всем нашим партнёрам мы даём полную гарантию, а именно:

✅Юридическая гарантия

✅Официально зарегистрированная компания, имеющая все необходимые лицензии для работы с ценными бумагами и криптовалютой

(лицензия ЦБ прикреплена выше).

Дорогие инвесторы‼️

Вы можете оформить и внести вклад ,приехав к нам в офис

г.Красноярск , Взлётная ул., 7, (офисный центр) офис № 17

ОГРН : 1152468048655

ИНН : 2464122732

________________

>>>ВСТУПИТЬ В НАШ ТЕЛЕГРАМ КАНАЛ<<<

________________

✅ДАЖЕ ПРИ ПАДЕНИИ КУРСА КРИПТОВАЛЮТ НАША КОМАНДА ЗАРАБАТЫВЕТ БОЛЬШИЕ ДЕНЬГИ СТАВЯ НА ПОНИЖЕНИЕ КУРСА‼️

‼️Вы часто у нас спрашивайте : «Зачем вы набираете новых инвесторов, когда вы можете вкладывать свои деньги и никому больше не платить !» Отвечаем для всех :

Мы конечно же вкладываем и свои деньги , и деньги инвесторов! Делаем это для того , что бы у нас был больше «общий банк» ! Это даёт нам гораздо больше возможностей и шансов продолжать успешно работать на рынке криптовалют!

________________

>>>ВСТУПИТЬ В НАШ ТЕЛЕГРАМ КАНАЛ<<<

________________

Индекс рентабельности

В России нормативным документом, регулирующим способы расчета показателей эффективности инвестиций, являются Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов. Как правило, оценка инвестпроектов производится по стандартным методикам и включает расчет следующих показателей эффективности инвестиций:. Дисконтированный период окупаемости РР. Данный показатель определяют как разность между текущей стоимостью денежных поступлений по проекту или инвестиций и текущей стоимостью денежных выплат на получение инвестиций, либо на финансирование проекта, рассчитанная по фиксированной ставке дисконтирования. Значение NPV можно представить как результат, получаемый немедленно после принятия решения об осуществлении данного проекта, так как при расчете NPV исключается воздействие фактора времени, то есть если значение показателя:. Первая особенность чистой текущей стоимости проекта чистого приведенного дохода состоит в том, что, являясь абсолютным показателем эффективности инвестиционного проекта, он непосредственно зависит от его размера. Чем большим является размер инвестиционных затрат по проекту и соответственно сумма планируемого чистого денежного потока по нему, тем более высоким при прочих равных условиях будет абсолютная сумма NPV. Вторая особенность чистой текущей стоимости проекта заключается в том, что на ее сумму сильное влияние оказывает структура распределения совокупного объема инвестиционных издержек по отдельным периодам времени проектного цикла. Чем большая доля таких затрат осуществляется в будущих периодах проектного цикла по отношению к его началу , тем большей при прочих равных условиях будет и сумма планируемого чистого приведенного дохода по нему. Наименьшее значение этого показателя формируется при условии полного осуществления инвестиционных затрат с наличием проектного цикла. Третья особенность чистой текущей стоимости проекта состоит в том, что на его численное значение существенное влияние оказывает время начала эксплуатационной стадии по отношению к времени начала проектного цикла , позволяющее начать формирование чистого денежного потока по инвестиционному проекту. Чем продолжительней временной интервал между началом проектного цикла и началом эксплуатационной стадии, тем меньшим при прочих равных условиях будет размер NPV. И наконец, особенность чистого приведенного дохода заключается в том, что его численное значение сильно колеблется в зависимости от уровня дисконтной ставки приведения к настоящей стоимости основных показателей инвестиционного проекта — объема инвестиционных затрат и суммы чистого денежного потока. На величину NPV влияют два вида факторов: производственный процесс больше продукции — больше выручки, меньше затраты — больше прибыли и т. А также оказывает влияние масштаб деятельности, выраженный в «физических» объемах инвестиций, производства или продаж. Отсюда вытекает естественное ограничение на применение данного метода для сопоставления различных по этой характеристике проектов: большее значение NPV не всегда будет соответствовать более эффективному варианту капиталовложений. В подобных случаях рекомендуется использовать показатель рентабельности инвестиций, называемый также коэффициентом чистой текущей стоимости NPVR. Указанный показатель представляет собой отношение чистой текущей стоимости проекта к дисконтированной текущей стоимости инвестиционных затрат РVI. Пример расчета чистой текущей стоимости проекта NPV. Показатель внутренней нормы рентабельности или внутренняя норма прибыли рассчитывается на базе показателя NPV, данный коэффициент показывает максимальную стоимость инвестиций, указывает на максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которой делает проект убыточным. Экономический смысл этого показателя заключается в следующем: предприятие может принимать любые решения инвестиционного характера, уровень рентабельности которых не ниже текущего значения показателя СС цены источника средств для данного проекта. Именно с ним сравнивается показатель IRR, рассчитанный для конкретного проекта, при этом связь между ними такова:. Еще один вариант интерпретации состоит в трактовке внутренней нормы прибыли как возможной нормы дисконта, при которой проект еще выгоден по критерию NPV. Решение принимается на основе сравнения IRR с нормативной рентабельностью; при этом, чем выше значения внутренней нормы рентабельности и больше разница между ее значением и выбранной ставкой дисконта, тем больший запас прочности имеет проект. Пример расчета внутренней нормы рентабельности IRR. Показатель иллюстрирует отношение отдачи капитала к размеру вложенного капитала, показатель прибыльности инвестиций показывает относительную прибыльность проекта или дисконтируемую стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений. Индекс прибыльности рассчитывается по формуле:. Рассматривая показатель « индекс коэффициент доходности », необходимо принять во внимание то, что данный ппоказатель является относительным, описывающим не абсолютный размер чистого денежного потока, а его уровень по отношению к инвестиционных затратам. Это преимущество индекса прибыльности инвестиций позволяет использовать его в процессе сравнительной оценки эффективности инвестиционных проектов, различающихся по своим размерам объему инвестиционных затрат. Кроме того, PI может быть использован и для исключения неэффективных инвестиционных проектов на предварительной стадии их рассмотрения. Если значение индекса коэффициента доходности меньше единицы или равно ей, инвестиционный проект должен быть отвергнут в связи с тем, что он не принесет дополнительный доход на инвестируемый капитал не обеспечит самовозрастания его стоимости в процессе инвестиционной деятельности. При этом возможны три варианта:. Проекты с высокими значениями PI более устойчивы. Однако не следует забывать, что очень большие значения индекса коэффициента доходности не всегда соответствуют высокому значению чистой текущей стоимости проекта и наоборот. Дело в том, что проекты, имеющие высокую чистую текущую стоимость не обязательно эффективны, а значит, имеют весьма небольшой индекс прибыльности. Благодаря этому критерий PI очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV, но разные объемы требуемых вложений. Из этих проектов выгоднее тот, который обеспечит их большую эффективность. Индекс рентабельности является относительным показателем. Он характеризует уровень доходов на единицу затрат, то есть эффективность вложений — чем больше величина PI, тем выше отдача от каждого рубля, инвестированного в проект. Показатель позволяет ранжировать различные инновационные проекты с точки зрения их привлекательности. Применение показателя часто бывает полезным, когда существует возможность финансирования нескольких проектов, но инвестиционный бюджет ограничен. Этот показатель косвенно несет в себе информацию о риске проекта, то есть о его устойчивости к изменению исходных параметров. Индикатор скорости изменения цены ROC показывает разность между текущей ценой и ценой n периодов назад. Он может быть выражен или в пунктах, или в процентах. Индикатор ROC отражает зависимость между теми же величинами, но не в виде разности, а в виде отношения. Пример расчета индикатора скорости изменения цены ROC. Как правило, оценка инвестпроектов производится по стандартным методикам и включает расчет следующих показателей эффективности инвестиций: Чистая текущая стоимость проекта NPV Внутренняя норма рентабельности IRR Индекс прибыльности инвестиций PI Индикатор ROC Дисконтированный период окупаемости РР Рассмотрим особенности и примеры расчета показателей. Чистая текущая стоимость проекта Net present value, NPV Данный показатель определяют как разность между текущей стоимостью денежных поступлений по проекту или инвестиций и текущей стоимостью денежных выплат на получение инвестиций, либо на финансирование проекта, рассчитанная по фиксированной ставке дисконтирования. Пример расчета чистой текущей стоимости проекта NPV Внутренняя норма рентабельности Internal rate of return, IRR Показатель внутренней нормы рентабельности или внутренняя норма прибыли рассчитывается на базе показателя NPV, данный коэффициент показывает максимальную стоимость инвестиций, указывает на максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Пример расчета внутренней нормы рентабельности IRR Индекс прибыльности инвестиций Profitability index, PI Показатель иллюстрирует отношение отдачи капитала к размеру вложенного капитала, показатель прибыльности инвестиций показывает относительную прибыльность проекта или дисконтируемую стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений. Рассмотрим, какими свойствами обладает показатель PI. Порядок вывода комментариев: По умолчанию Сначала новые Сначала старые. Пример расчета на английском : , что куда вписывать непонятно, на русском есть вариант? Главная » Статьи » Инвестиционный анализ » Анализ инвестиционного проекта. И не годится калькулятор на русском!!!! На английском так английском, переводчик в зубы и арбайтн.

Втб 24 инвестиции отзывы

Косметологический бизнес план

Индекс рентабельности инвестиций: как рассчитать и проанализировать

Куда можно обратиться вернуть деньги

Какие есть криптовалюты

Индекс прибыльности (PI)

Работа редактором удаленно

Компания тик инвестиции отзывы

Показатели эффективности инвестиций: NPV, IRR, PI

Регулятор фондового рынка

Самая выгодная криптовалюта

Уравнение Эйлера

— это красивая формула (с использованием числа Пи), показывающая, что математика пугающе совершенна — Кварц

В старшей школе я изучал высшую математику. У этого есть два применения: во-первых, я могу сказать людям, что когда-то изучал высшую математику. Во-вторых, я знаю об уравнении Эйлера.

Уравнения Эйлера не должно существовать. Автор-фантаст никогда бы не вообразил такую ​​потрясающе совершенную формулу; это слишком красиво, чтобы казаться реальным в воображаемом мире. И все же это правда, причем абсолютно в том смысле, в каком может быть только математика.Возможно, я забыл, как вывести уравнение Эйлера из первых принципов (наряду с почти всеми остальными деталями из моих школьных уроков), но я всегда буду помнить получившуюся формулу. Это неопровержимое доказательство математического совершенства и напоминание о том, что мы никогда не сможем полностью понять смысл и причины математики.

Вот, вот уравнение:

Если вы давно не изучали математику, возможно, это не так уж много. Но его разбивка показывает его красоту.

Во-первых, в честь дня числа Пи возьмите число Пи или 𝜋: иррациональное число, названное так потому, что оно продолжается бесконечно без повторения, 𝜋 было впервые обнаружено как число, которое описывает связь между длиной окружности и ее диаметром ( окружность = 𝜋 x диаметр.) Спустя столетия ученые определили, что 𝜋 также описывает направление ветра в реках и рябь света в физике. Однако изначально 𝜋 принадлежал к области математики, которая занимается формами и размерами: геометрия.

Другое известное иррациональное число,, происходит от логарифмов, которые являются частью исчисления — совершенно другой области математики. Полное значение требует времени, чтобы объяснить, но одна ключевая деталь, лежащая в основе его роли в логарифмах, заключается в том, что скорость роста ^x составляет ^x . Как и пи, e лежит в основе множества различных формул. Численно это равно 2,71828… непрерывно, без повторения.

Затем — мнимое число.Это теоретическая концепция, которая никогда не может существовать на практике. 𝑖 означает квадратный корень из -1, что невозможно. Никакие два одинаковых числа нельзя умножить вместе, чтобы получить отрицательное значение, то есть не существует числового квадратного корня из -1. Квадратный корень из 4 равен 2, и у вас может получиться 2 яблока. Но вы никогда не сможете съесть √-1 яблок.

И тем не менее, возьмите эти три совершенно разных, сложных числа и объедините их в уравнение Эйлера, и вы получите волшебно точный результат: e в степени (𝑖, умноженное на пи) равно -1.Или:

Вы также можете записать это как:

Число один, конечно же, является первым натуральным числом, первым положительным целым числом и наиболее часто встречающимся лидером в наборах данных: Все просто, с чего мы начинаем подсчет. А число ноль — единственное неположительное натуральное число, наименьшая неотрицательная величина, ничего не означающая.

Другими словами, одно короткое уравнение включает пять самых важных чисел во всей математике.

Это почти нервирует.Взятые по отдельности, числа вроде e, 𝑖 и 𝜋 кажутся результатом несовершенных человеческих усилий понять сложность мира с помощью математических соотношений. Однако уравнение Эйлера показывает, что за этими числами стоит единство. Общая сумма математических знаний человека — это не более чем крошечная доля полной совершенной системы. И каждое число или уравнение, которое мы обнаруживаем, является отражением этой абстрактной внутренней истины, а не изобретением человека. Люди могут надеяться открыть математические истины, но мы не можем их создать.(xi) = Cos (x) + iSin (x), оставляя в стороне «стандартные» математические уловки на пути их создания, метаматика этого говорит, как я чувствую, описанию формы, формы, образованной определенными правилами. Как и в игре [Xs & Os], если три X выровнены по вертикали, горизонтали или диагонали, они могут быть нанесены ударом (правило), мы имеем в комплексном анализе: i [next to (times)] i равно -1. У нас есть веские логические причины для его определения, например, чтобы не образовывать противоречий и т. Д., Но « игра » не заботится об этом и как таковом, возможно, сохраняя аргументы, лежащие в основе формулировки правила, и просто придерживая правила ради правил. , может содержать ключ к пониманию этих отношений в творческой манере.], [i * x], [Cos (x) + iSin (x)] [С этим правилом, снова являющимся другим набором «сеток» {Выбор эффективного сопоставления по фигуре}. Мы подробно рассмотрим это далее.]

«Математическая игра» представляет собой обширную оркестровку таких правил, требующих согласованности во всех логических смыслах этого слова (что затрудняет формализацию концепции бесконечности и мощности), таким образом, имеющую бесконечное множество варианты и части, производящие отображение с помощью индуктивной логики и правил аксиоматики.

Прелесть этого уравнения заключается в его способности установить взаимосвязь между реальным и воображаемым, производя это отображение, которое возникло с помощью чистой аксиоматически последовательной логики, придавая результату более глубокий смысл.3/3! + …]

в контексте игры, это снова не что иное, как сопоставления, однако рассуждения, лежащие в основе сопоставления, требуют логической согласованности в аксиоматических рамках математики, что в данном случае подразумевает, что вся серия эффекты говорят Cos (x), и поскольку чем больше терминов, тем лучше соответствие полиномиальной кривой кривой Cos (x). Выбор ходов и фигур — это операции, возможные над числами, и это дополнительно требует согласованности в значении, требующего «добавлений» к «числам-частям», где это применимо (рациональные, иррациональные, комплексные и т. Д.)..). Итак, здесь каждый комбинаторно-механический вариант, доступный для выражения, влияет на возможные отображения.

количество возможных таких отображений, а также вопрос о том, достаточно ли их «достаточно» для проведения доказательства уравнения, имеет возможную связь с теоремой Гёделя о неполноте.

Лично для меня менее впечатляющим уравнением, но тем не менее красивым, является возможность связать ряд с интегралом, как и интегральный тест в Анализе, но без ограничений по объему. Я предпринял попытку (см. Ссылку, если интересно:).Вдохновленный работой Харди над доказательством того, что на вещественной 1/2 дзета-функции Римана бесконечно много нулей.

Это моя скромная статья по этому поводу, и я дам еще несколько ответов вовремя.

Раджа

Формула Эйлера для комплексных чисел

(есть еще одна «формула Эйлера» о геометрии ,
эта страница о формуле, используемой в комплексных числах)

Во-первых, вы, возможно, видели знаменитую «Личность Эйлера»:

e ^{i π} + 1 = 0

Кажется совершенно волшебным, что такое изящное уравнение объединяет:

А также имеет основные операции сложения, умножения и экспоненты!

Но если вы хотите совершить интересное путешествие по математике, вы узнаете, как это происходит.

Заинтересованы? Читай дальше!

Дискавери

Это было около 1740 года, и математики интересовались мнимыми числами.

Мнимое число, возведение в квадрат дает отрицательный результат

Обычно это невозможно (попробуйте возвести в квадрат некоторые числа, помня, что умножение отрицательных чисел дает положительный результат, и посмотрите, сможете ли вы получить отрицательный результат), но просто представьте, что вы можете это сделать!

И у нас может быть этот специальный номер (называемый и для воображаемого):

i ² = -1

Леонард Эйлер однажды развлекался, играя с воображаемыми числами (по крайней мере, я так себе представляю!), И он взял эту хорошо известную серию Тейлора (читайте о них, они увлекательны):

e ^x = 1 + x + x ² 2! + x ³ 3! + x ⁴ 4! + x ⁵ 5! +…

И вложил в него и :

e ^ix = 1 + ix + (ix) ² 2! + (ix) ³ 3! + (ix) ⁴ 4! + (ix) ⁵ 5! + …

И поскольку i ² = −1 , это упрощается до:

e ^ix = 1 + ix — x ² 2! — ix ³ 3! + x ⁴ 4! + ix ⁵ 5! -…

Теперь сгруппируйте все термины и в конце:

e ^ix = (1 — x ² 2! + x ⁴ 4! — …) + i (x — x ³ 3 ! + x ⁵ 5! — …)

И вот чудо … две группы на самом деле являются серией Тейлора для cos и sin :

cos x = 1 — x 2 2! + x 4 4! -…

sin x = x — x 3 3! + x 5 5! — …

И так упрощается до:

Он, должно быть, был так счастлив, когда обнаружил это!

И теперь она называется Формула Эйлера .

Попробуем:

Пример: когда x = 1,1

e ^{i x} = cos x + i sin x

e ^1.1i = cos 1,1 + i sin 1,1

e ^1,1i = 0,45 + 0,89 i (до 2 знаков после запятой)

Примечание: мы используем радианы, а не градусы.

Ответ — комбинация действительного и мнимого числа, которая вместе называется комплексным числом.

Мы можем нанести такое число на комплексную плоскость (действительные числа идут влево-вправо, а мнимые числа идут вверх-вниз):

Здесь мы показываем число 0.45 + 0.89 i

То же, что и e ^1.1i

Давайте построим еще немного!

Круг!

Да, если поместить формулу Эйлера на этот график, получится круг:

e ^{i x} создает окружность радиуса 1

И когда мы включаем радиус r , мы можем превратить любую точку (например, 3 + 4i ) в форму re ^{i x} , найдя правильное значение x и р :

Пример: номер

3 + 4i

Чтобы преобразовать 3 + 4i в форму re ^{i x} , мы выполняем преобразование из декартовой системы координат в полярную:

• r = √ (3 ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √25 = 5
• x = загар ^-1 (4/3) = 0.927 (до 3 знаков после запятой)

Таким образом, 3 + 4i также может быть 5 e ^{0,927 i}

Это другая форма

По сути, это еще один способ получения комплексного числа.

Это оказывается очень полезным, поскольку во многих случаях (например, при умножении) проще использовать форму re ^{i x} , чем форму a + bi .

График

e ^{i π}

Наконец, когда мы вычисляем формулу Эйлера для x = π, мы получаем:

e ^{i π} = cos π + i sin π

e ^{i π} = −1 + i × 0 (поскольку cos π = −1 и sin π = 0)

e ^{i π} = −1

А вот точка, созданная e ^{i π} (где началось наше обсуждение):

И e ^{i π} = −1 может быть преобразовано в:

e ^{i π} + 1 = 0

Знаменитая личность Эйлера.

Сноска: на самом деле все это правда:

Н. П. Панов, “О почти нильпотентных многообразиях с целочисленной PI-экспонентой”, Изв. Саратовский унив. Математика. Мех. Информ., 17: 3 (2017), 331–343

.

Эта статья цитируется в научной статье 1 (всего в статье 1 ) Научная часть Математика О почти нильпотентных многообразиях с целочисленной PI-экспонентой Н.П.Панов Ульяновский государственный университет, ул. Льва Толстого, 42, Ульяновск, Россия, 432017 Аннотация: Мы изучаем почти нильпотентные многообразия алгебр над полем нулевой характеристики. Ранее в классе алгебр с тождественным отношением $ x (yz) \ Equiv 0 $ и в классе всех коммутативных метабелевых алгебр были определены счетные множества многообразий с целочисленной PI-экспонентой. Доказано только существование почти нильпотентного подмногообразия в каждом заданном многообразии.В статье с помощью комбинаторных методов и методов теории представлений симметрических групп доказывается почти нильпотентность определенных ранее многообразий. По аналогии с коммутативным случаем мы определяем счетное множество почти нильпотентных многообразий с целочисленной PI-экспонентой в классе антикоммутативных метабелевых алгебр. Для каждого многообразия соответствующей относительно свободной алгебры мы изучаем полилинейную часть как модуль симметрической группы. Точнее, мы определяем ограничения на форму диаграмм Юнга, которые соответствуют ненулевым неприводимым подмодулям.Для таких диаграмм мы также получаем вид ненулевых одночленов из соответствующих пространств мультиоднородных элементов. Дается подробное описание результатов, полученных для алгебр, удовлетворяющих тождеству $ x (yz) \ Equiv 0 $. Поскольку аналогичные результаты для коммутативных и антикоммутативных метабелевых алгебр были получены по аналогии, мы приводим их без доказательств, но с замечаниями. Ключевые слова: полиномиальное тождество, почти нильпотентное многообразие, рост коразмерности. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-3-331-343 Полный текст: PDF-файл (215 kB) Ссылки : PDF файл HTML файл Библиографические базы данных: УДК: 512.55 Образец цитирования: Н. П. Панов, “О почти нильпотентных многообразиях с целой PI-экспонентой”, Изв. Саратовский унив. Математика. Мех. Информ., 17: 3 (2017), 331–343 Цитирование в формате AMSBIB \ RBibitem {Pan17} \ by Н.~ П. ~ Панов \ paper О почти нильпотентных многообразиях с целочисленной PI-экспонентой \ jour Изв. Саратовский унив. Математика. Мех. Поставить в известность. \ год 2017 \ vol 17 \ issue 3 \ pages 331--343 \ mathnet {http://mi.mathnet.ru/isu728} \ crossref {https://doi.org/10.18500/1816 -9791-2017-17-3-331-343} \ elib {https://elibrary.ru/item.asp?id=29897305} Варианты соединения: http://mi.mathnet.ru/rus/isu728 http: // mi.mathnet.ru/rus/isu/v17/i3/p331 Цитирующие статьи в Google Scholar: Русские цитаты, Цитаты на английском языке Статьи по теме в Google Scholar: Русские статьи, Английские статьи Эта публикация цитируется в следующих статьях: Н. П. Панов, «Новые свойства почти нильпотентных множеств с целыми экспонентами», Чебышевский сб., 18: 4 (2017), 306–325

Количество просмотров: Эта страница: 118 Полный текст: 31 Ссылки: 19

Раскраска по линейным системам и экспоненциальным законам, набор тыквенных пи (4 версии)

Очень увлекательная задача в 4 версиях! , наполненный мотивацией загадочной картинки и совместной цели! Учащиеся решают математические задачи, чтобы расшифровать свой цветовой ключ, а затем использовать его, чтобы раскрасить свою часть большой мозаики из 25 частей.Изображение складывается вместе, когда каждый из учеников вносит свой вклад! Индивидуальная подотчетность достигается, поскольку задачи каждого учащегося индивидуальны! (Поощрение сотрудничества без возможности слепого копирования)

Мозаики линейных систем, содержащиеся в этом наборе, также доступны как часть МАССИВНОГО набора линейных систем!

В этот комплект ВКЛЮЧЕНЫ ЧЕТЫРЕ ВЕРСИИ:
• Законы экспоненты (только положительные показатели)
• Законы экспонент (включая отрицательные показатели)
Обе версии закона экспоненты имеют целочисленные показатели.Учащиеся применяют правила произведения, отношения и степени, чтобы упростить каждое выражение.
• Линейные системы (используйте подстановку, исключение, построение графиков и т. Д., Чтобы найти точку пересечения по двум уравнениям.)
• Приложения линейных систем (проблемы со словами жизненного приложения, охватывающие множество контекстов!)

ТАК МНОГО ВКЛЮЧЕНО!
• Все версии .pdf и .docx
• Полные наборы классов из 25 листов / раскрасок для всех 4 версий
• Рабочие листы всех учащихся содержат рандомизированный список ответов внизу, что способствует самооценке
• Экспонента Рабочие листы для студентов юридической версии содержат полезные формулы, резюмирующие законы экспоненты.
• ПОЛНЫЙ КЛЮЧ ОТВЕТА, показывающий упрощенные выражения (для версий закона экспоненты), или желаемую координату
• Подробный пример файла ответов, дающий примеры решений для каждого типа линейных систем слово проблема.Разместите это в классе или используйте их в качестве примеров при написании заметок.
• Страница советов для учителей, чтобы обеспечить плавное выполнение этой задачи.
• Руководство по мозаике, показывающее законченное цветное изображение с координатами для упрощения сборки мозаики

MATH INVOLVED
• Упростите произведения и коэффициенты степеней
• Упростите выражения, связанные с мощностью степени
• Все основания и показатели являются целыми числами
• Выберите подходящие стратегии для алгебраического решения линейных систем
• Моделируйте реальные ситуации с помощью алгебраических уравнений
• Распознавайте и решайте линейные системы в реальном контексте

ПРОВЕРЬТЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР ПРОДУКТА , чтобы увидеть образцы рабочих листов, показывающие диапазон типов проблем.Вы будете точно знать, что включают в себя эти рабочие листы!

Все просто!
1. Подсчитайте ответы.
2. Раскрасьте квадраты.
3. Вырежьте свой раздел.
4. Совместим с классом!

Если вам нравится этот товар, обязательно посмотрите всю серию «Раскраски по …», отсортированную по темам.

Во всех моих математических мозаиках «Раскраски …» используются стандартные цвета, найденные в упаковке цветных карандашей Crayola 24. Для достижения наилучших результатов используйте точное соответствие названия цвета и придерживайтесь одного типа красящего вещества.Может быть, классный набор карандашей для карандашей станет забавной покупкой для отдела? 🙂

Спасибо, что посмотрели! Буду признателен за ваш отзыв!
~ CalfordMath

Для чисел с плавающей запятой необходимо

цифр Пи — Mimir Games

! ВНИМАНИЕ! НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ ТОЛЬКО МИНИМАЛЬНУЮ СУММУ, ПЕРЕЧЕННУЮ В ТАБЛИЦЕ. СМОТРЕТЬ ЗАКЛЮЧЕНИЕ!

Введение

Изучая несколько языков программирования, можно заметить, что основные математические константы, такие как пи, в каждом языке определяются по-разному.Таблица 1 ниже дает определение числа пи для нескольких популярных языков программирования:

Таблица 1: Список популярных языков программирования и их определение числа «пи».

После просмотра этого разворота быстро возникает вопрос, сколько цифр числа Пи необходимо? Ответ зависит от того, как хранится значение числа пи.

Числа с плавающей запятой

Десятичные числа хранятся на компьютерах путем преобразования их в двоичные числа с плавающей запятой. Эти числа с плавающей запятой определены в стандарте IEEE для арифметики с плавающей запятой (IEEE 754).Число с плавающей запятой записывается почти так же, как число, записанное в экспоненциальной системе счисления, в котором часть цифр умножается на показатель степени. Число с плавающей запятой делится на три части. Бит одиночного знака, который кодирует знак числа. Мантисса (также называемая мантиссой), которая кодирует цифры числа и показатель степени, умноженный на мантиссу. В таблице 2 перечислены числа с плавающей запятой, определенные IEEE 754:

.

Прецизионный тип	Всего бит	Знак	Показатель степени	Значительное	Десятичные цифры
Половина	16	1	5	10	~ 3.31
Одиночный	32	1	8	23	~ 7,22
Двойной	64	1	11	52	~ 15,95
Четырехместный	128	1	15	112	~ 34,02
восьмерка	256	1	19	236	~ 71,34

Таблица 2: Разбивка битов, используемых для знака, экспоненты и мантиссы для различных типов точности чисел с плавающей запятой, определенных IEEE 754.

На рисунке 1 показано, как выглядело бы число пи, если бы оно было закодировано числом двойной точности.

Рисунок 1: Число двойной точности, состоящее из 1-битового поля знака, 11-битного поля экспоненты и 52-битного поля значимости. В этом случае число пи (3,141592653589793) было закодировано в число двойной точности с плавающей запятой. Обратите внимание, что истинное значение этого числа с двойной точностью — 3,14159265358979311599796346854.

Есть несколько способов сохранить десятичное число в двоичном формате с разной степенью точности.Почти в 99% случаев числа с плавающей запятой (одинарная точность) и удвоения (двойная точность) являются типичными способами хранения большинства чисел. Числа половинной точности обычно используются в вычислениях графического процессора, таких как освещение видеоигр. Четверная и октуплетная точность встречаются только в чрезвычайно точных математических расчетах, таких как физическое моделирование.

Теперь, когда мы знаем, сколько битов (значащих битов) мы должны закодировать десятичное число, нам просто нужно пройти процесс преобразования десятичного числа в двоичное число с плавающей запятой.{Significand + 1} \), а остаток также является целым числом в диапазоне \ (0 \ leq r

Раунд от половины до четного следует этим правилам:

• \ (r <\ frac {d} {2} \) округлить в меньшую сторону
• \ (r> \ frac {d} {2} \) округлить до
• \ (r = \ frac {d} {2} \) округлить, если \ (q \) нечетное, округлить в меньшую сторону, если \ (q \) четно.

В данном случае \ (q = 13174308 \) и \ (r = 864 \).{1} \) кодируется в поле экспоненты как \ (10000000 \)

23 бита после десятичной точки помещаются непосредственно в поле значения.

Минимальное количество цифр, необходимое для Pi

Теперь, когда у нас есть метод преобразования десятичного числа в двоичное число с плавающей запятой, мы можем определить, сколько цифр нам нужно для точного представления числа Пи в каждом типе точности с плавающей запятой. Это делается путем добавления цифр к представлению числа Пи до тех пор, пока значение с плавающей запятой не изменится.Таблица 3 показывает результат.

Прецизионный тип	Цифры	Значение
Половина	4	3,141
Одиночный	8	3,14159265
Двойной	16	3,141592653589793
Четырехместный	35	3,1415926535897932384626433832795028
восьмерка	71	3.1415926535897932384626433832795028 841971693993751058209749445923078164

Таблица 3: Минимальное количество десятичных цифр, необходимых для точного представления числа Пи для различных типов точности с плавающей запятой. Предупреждение: хотя эти числа представляют собой минимальное необходимое количество десятичных цифр, вам следует использовать больше цифр.

В цифрах нет ничего удивительного. Почти все они точно соответствуют десятичной точности, ожидаемой от чисел с плавающей запятой. В таком случае, почему в таких языках, как C / C ++, используется 21 цифра вместо 16?

Заключение

Таблица 3 указывает точку, в которой добавление дополнительных цифр не изменит результирующее число с плавающей запятой.Однако эти числа не учитывают, какой алгоритм используется для преобразования этих чисел из десятичного числа в двоичное число с плавающей запятой. Как видно на рисунке 2, даже для программ, специально разработанных для обеспечения точности вычислений (в данном случае Mathematica 11.0), разные методы представления одного и того же десятичного числа могут привести к разным результатам.

Рисунок 2: 16 цифр числа Пи, представленных как в дробной, так и в десятичной системе счисления, преобразованы в двоичную форму в системе Mathematica 11.0. Обратите внимание, что одно и то же число дает разные двоичные результаты.

Из-за потенциальных проблем, связанных с использованием абсолютного минимума десятичных цифр, следует добавить еще несколько цифр сверх минимума. Вероятно, поэтому большинство языков выходит за рамки теоретического минимального количества десятичных цифр, необходимых для точного представления числа пи.

Интуитивное понимание формулы Эйлера — лучшее объяснение

Личность Эйлера кажется непонятной:

Возникает из более общей формулы:

Yowza — мы связываем мнимую экспоненту с синусом и косинусом! И как-то включение пи дает -1? Может ли это быть интуитивно понятным?

Не согласно математику 1800-х Бенджамину Пирсу:

Совершенно парадоксально; мы не можем этого понять, и мы не знаем, что это означает, но мы доказали это, и поэтому мы знаем, что это должна быть истина.

Аргх, от такого отношения у меня закипает кровь! Формулы — это не магические заклинания, которые нужно запоминать: мы должны, должны, должны найти понимание. {i \ pi} $ означает начало с 1 и вращение числа пи (наполовину по кругу), чтобы получить -1

Это общий вид, давайте углубимся в детали.{i \ pi} = -1 $, спросите их о i в i -й степени. Если они не могут это продумать, формула Эйлера по-прежнему остается для них волшебным заклинанием.

Обновление: Во время написания я подумал, что видео может помочь объяснить идеи более четко:

Что такое cos (x) + i * sin (x)

Знак равенства перегружен. Иногда мы имеем в виду «установить одно на другое» (например, x = 3), а другие — «эти две вещи описывают одну и ту же концепцию» (например, $ \ sqrt {-1} = i $).

Формула

Эйлера является последней: она дает две формулы, объясняющие, как двигаться по кругу. Если мы рассмотрим круговое движение с помощью триггера и переместим x радиан:

• cos (x) — координата x (расстояние по горизонтали)
• sin (x) — координата y (расстояние по вертикали)

Выписка

— это умный способ объединить координаты x и y в одно число. Аналогия «комплексные числа двумерны» помогает нам интерпретировать одно комплексное число как положение на круге.

Когда мы устанавливаем x равным $ \ pi $, мы перемещаем единицы $ \ pi $ по внешней стороне единичной окружности. Поскольку общая окружность равна $ 2 \ pi $, старый добрый $ \ pi $ находится на полпути, что означает -1.

Neato: Правая часть формулы Эйлера ($ \ cos (x) + i \ sin (x) $) описывает круговое движение с мнимыми числами. Теперь давайте разберемся, как это решает часть уравнения e .

Что такое мнимый рост?

Объединить координаты x и y в комплексное число сложно, но возможно.{\ ln (3) \ cdot 4} = 81 $

Вместо того, чтобы видеть числа сами по себе, вы можете думать о них как о чем-то, что нужно «вырасти». Действительные числа, такие как 3, дают процентную ставку ln (3) = 1,1, и это то, что e «накапливает» по мере своего развития, непрерывно увеличиваясь.

Регулярный рост прост: он продолжает «подталкивать» число в том же, реальном направлении, в котором оно шло. 3 × 3 толкает в исходном направлении, делая его в 3 раза больше (9).

Воображаемый рост — это другое дело: «проценты», которые мы зарабатываем, идут в другом направлении! Это как реактивный двигатель, который привязали на бок — вместо того, чтобы идти вперед, мы начинаем толкать под углом 90 градусов.

Хорошая особенность постоянного ортогонального (перпендикулярного) толчка заключается в том, что он не ускоряет и не замедляет вас — он вращает вас! Если взять любое число и умножить его на i , его величина не изменится, а только направление, которое оно указывает.

Интуитивно, вот как я вижу непрерывную воображаемую скорость роста : «Когда я расту, не толкайте меня вперед или назад в том направлении, в котором я уже иду. Вместо этого вращайте меня».

Но разве мы не должны вращаться быстрее и быстрее?

Мне тоже это было интересно.{\ ln (2) x} $, что означает мгновенный рост со скоростью ln (2) в течение «x» секунд.

И эй — если бы наша скорость роста была вдвое быстрее, 2ln (2) против ln (2), это выглядело бы так же, как и рост в два раза дольше (2x против x). Магия e позволяет нам поменять местами скорость и время; 2 секунды на ln (2) — это такой же рост, как 1 секунда на 2ln (2).

Теперь представьте, что у нас есть некая чисто воображаемая скорость роста (Ri), которая вращает нас, пока мы не достигнем i, то есть на 90 градусов вверх. Что произойдет, если мы удвоим эту скорость до 2Ri, свернем ли мы с круга?

Нет! Наличие скорости 2Ri означает, что мы просто вращаемся в два раза быстрее или, альтернативно, вращаемся со скоростью R вдвое дольше, но мы остаемся на круге.i $), мы просто умножаем наш неявный темп роста на i. Таким образом, вместо того, чтобы расти на обычном уровне ln (3), мы растем на ln (3) * i.

Верхняя часть экспоненты изменяет неявную скорость роста нижней части.

The Nitty Gritty Details

Рассмотрим подробнее. Помните это определение e :

Этот $ \ frac {100 \%} {n} $ представляет процентную долю, которую мы заработали за каждый микроскопический период. Мы предположили, что процентная ставка составляла 100% в реальном измерении — но что, если бы она была 100% в воображаемом направлении?

Теперь наш недавно сформированный интерес прибавляется к нам в 90-градусном направлении.Удивительно, но это не меняет нашу длину — это сложная концепция, потому что кажется, что получается треугольник, в котором гипотенуза должна быть больше. Мы имеем дело с пределом, и дополнительное расстояние находится в пределах указанной нами погрешности. Это то, чем я хочу заняться в другой день, но поверьте мне на слово: непрерывный перпендикулярный рост будет вращать вас. Это сердце синуса и косинуса, где ваше изменение перпендикулярно вашему текущему положению, и вы двигаетесь по кругу.

Мы применяем и единиц роста бесконечно малыми шагами, каждая из которых подталкивает нас под углом 90 градусов.Нет вращения «все быстрее и быстрее» — вместо этого мы ползем по периметру на расстояние | i | = 1 (величина i).

И привет — расстояние, пройденное по кругу, составляет угол в радианах! Мы нашли другой способ описать круговое движение!

Чтобы получить круговое движение: Непрерывно меняйте, вращая на угол 90 градусов (так называемая мнимая скорость роста).

Итак, формула Эйлера гласит: «экспоненциальный, мнимый рост очерчивает круг». И этот путь такой же, как движение по кругу с использованием синуса и косинуса в воображаемой плоскости.я $

Где х? Ах, это всего лишь 1. Интуитивно, не разбираясь в калькуляторе, мы знаем, что это означает «пройти 1 радиан по единичной окружности». В своей голове я вижу «e» , пытаясь вырасти на 1 на 100%, все в том же направлении, но я продолжаю перемещать мяч и заставляю «1» расти вдоль края круга:

Не самый красивый номер, но он есть. Не забудьте перевести свой калькулятор в режим радиан, когда набираете его. i $

Это сложно — это не в нашем стандартном формате.Но помните,

Нам нужен начальный рост в 3 раза в конце периода или мгновенная скорость ln (3). Но появляется i и меняет скорость ln (3) на «i * ln (3)»:

Мы, , думали, что мы собираемся преобразовывать с постоянной скоростью ln (3), что немного быстрее, чем 100% непрерывный рост, поскольку e составляет около 2,718. Но нет, и вращали нас: теперь мы трансформируемся с воображаемой скоростью, что означает, что мы просто вращаемся.i $, каков мгновенный темп роста, представленный i в качестве базы?

грн. Обычно мы выполняем ln (x), чтобы получить скорость роста, необходимую для достижения x в конце 1 единицы времени. Но за мнимую ставку? Нам нужно это закончить.

Чтобы начать с 1 и вырасти до и , нам нужно начать вращение с самого начала. Как быстро? Итак, нам нужно получить 90 градусов (пи / 2 радиана) за 1 единицу времени. Итак, наша ставка $ i \ frac {\ pi} {2} $. Помните, что наша скорость должна быть воображаемой, поскольку мы вращаемся, а не растем! Обычный старый $ \ frac {\ pi} {2} $ равен примерно 1.{i \ frac {\ pi} {2}} $.

Уф. Это описывает i как базу. Как насчет экспоненты?

Ну, other i говорит нам изменить нашу ставку — да, та ставка, которую мы так долго выясняли! Поэтому вместо того, чтобы вращаться со скоростью $ i \ frac {\ pi} {2} $, что означает основание и , мы преобразуем скорость в:

Отмените i и сделайте рост снова реальным! Мы изменили нашу ставку и поставили себя на отрицательные числа.я

Двойная мнимая экспонента? Если вы настаиваете. Во-первых, мы знаем, какими будут наши темпы роста в скобках:

Получаем отрицательную (сокращающуюся) скорость роста -pi / 2. И теперь мы изменим этот коэффициент снова на i :

А теперь у нас отрицательное вращение! Мы ходим по кругу со скоростью $ — \ frac {\ pi} {2} $ в единицу времени. 1 $).1 единица времени дает нам поворот на $ — \ frac {\ pi} {2} $ радиан (-90 градусов) или -i!

И, на всякий случай, если мы возведем в квадрат этот сумасшедший результат:

Это «просто» двойное вращение: 2 — обычное число, поэтому удваивает нашу скорость вращения до целых -180 градусов за единицу времени. Или вы можете смотреть на это как на поворот на -90 градусов дважды подряд.

На первый взгляд, это действительно странные экспоненты. Но с нашими аналогиями мы можем принять их спокойно.

Комплексный рост

У нас может быть реальный и воображаемый рост одновременно: реальная часть масштабирует нас, а мнимая часть вращает нас вокруг:

Сложная скорость роста, такая как (a + bi), представляет собой смесь реального и воображаемого роста. Действительная часть a означает «рост на 100% за a секунд», а мнимая часть b означает «вращение на b секунд». Помните, что вращения не получают преимущества от сложения, поскольку вы продолжаете «толкать» в другом направлении — вращение складывается линейно.{2,3 + 0,93i} $.

Почему это полезно?

Формула Эйлера дает нам другой способ описания движения по окружности. Но мы уже могли сделать это с помощью синуса и косинуса — что в этом особенного?

Все дело в перспективе. Синус и косинус описывают движение в виде сетки , отображая горизонтальные и вертикальные координаты.

В формуле

Эйлера используются полярные координаты — какой у вас угол и расстояние? Опять же, это два способа описать движение:

• Сеть: пройдите 3 единицы на восток и 4 единицы на север
• Полярные координаты: пройдите 5 единиц под углом 53.{ix} $ можно преобразовать в синус и косинус, мы можем переписать формулы в триггерах как вариации на е, что очень удобно (не нужно запоминать sin (a + b), вы можете вывести его — подробнее в другой день) . И прекрасно, что каждое число, действительное или комплексное, является вариацией е.

  Но полезность, полезность: наиболее важным результатом является осознание того, что непонятные уравнения могут стать интуитивно понятными с помощью правильных аналогий. Не позволяйте красивым уравнениям, таким как формула Эйлера, оставаться волшебным заклинанием — опирайтесь на известные вам аналогии, чтобы понять суть уравнения.

  Счастливая математика.

  Приложение

  Скринкаст прошел весело, и отзывы, безусловно, приветствуются. Я думаю, что это помогает выдвигать идеи, и просмотр статьи помог мне найти пробелы в моей интуиции.

  Артикул:

  Другие сообщения в этой серии

  1. Наглядное, интуитивно понятное руководство по мнимым числам
  2. Интуитивная арифметика с комплексными числами
  3. Понимание того, почему работает комплексное умножение
  4. Интуитивное руководство по углам, градусам и радианам
  5. Интуитивное понимание формулы Эйлера
  6. Интерактивное руководство по преобразованию Фурье
  7. Интуитивное руководство по свертке
  8. Интуитивное понимание синусоидальных волн
  9. Интуитивное руководство по линейной алгебре
  10. Интуиция программиста для умножения матриц
  11. Мнимое умножение vs.

      No related posts.