Сложная процентная ставка – Сложная процентная ставка

11. Наращение по сложным процентным ставкам

Сделка считается сделанными на условиях сложных процентных ставок, если доход за последующий временной период исчисляется не с первоначальной величины инвестированного капитала (Р), а с наращенной суммы предшествующих периодов. Происходит капитализация процентов, т.е. Сложные проценты применяются, в средне- и долгосрочных финансовых операциях. Приращенная сумма финансовой сделки определяется:

При применении в фин-ых сделках плавающихставок наращенная сумма определяется:

Начисление процентов производится исключительно на целую часть без учета дробной.

Однако, учесть полный срок позволяет одна из двух схем:

1. Общая схема сложных процентов:

2. Смешанная схема:

Наращенная сумма при использовании смешанной схемы будет больше чем при применении общей схемы сложных процентов.

Базовой формулой для математического дисконтирования является:Эта формула означает, что для инвестора современная величина (Р) и доход (S) планируемый к получению через n лет в будущем равнозначны с позиции своей покупательной способности.

При кратном начислении процентовm раз в году формула для нахождения современной величины приобретает следующий вид:

12 Дисконтирование по сложным процентным ставкам

Оценка эффективности инвестиционных проектов основывается на их сравнении с альтернативным вариантом вложения фин. ресурсов При этом инвестору следует учитывать инфляционное обесценивание денег, периодичность начисления дохода, возможные изменения рыночной конъюнктуры.

Базовой формулой для такого анализа является:

Эта формула означает, что для инвестора современная величина (Р) и доход (S) планируемый к получению через n лет в будущем равнозначны с позиции своей покупательной способности. Множительназывают дисконтным (учетным) множителем, который показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущих периодов при заданной процентной ставке. Его значение уменьшается при росте сроков реализации финансовой операции и процентной ставки по ней.

При кратном начислении процентов m раз в году формула для нахождения современной величины приобретает следующий вид: При определении процентной ставки в дисконтном множителе за основу берут безрисковую ставку процентов, которая, как правило, обеспечена государством с добавлением дополнительной премии за риск, связанный с рассматриваемым проектом.Дисконтирование возможно и при дробном количестве периодов начисления процентов, применяемом в смешанных схемах, по формуле:

13.Операции со сложной учетной ставкой

В практике учетная ставка применяется, как правило, в случаях, когда продается долговое обяз-во ранее установленного срока погашения с дисконтом. Однако диск-ние по учетным ставкам происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется не к 1-ой сумме (как при простой ставке), а к сумме, диск-ой на предыдущем шаге времени.дисконтирование по сложной учетной ставке по форм:

, где d — сложная годовая учетная ставка.

Если срок, за который осуществляется дисконтирование, не является целым числом, то возможны следующие методы определения стоимости учтенного капитала:а) общая схема сложной учетной ставки:

б) смешанная схема:

С позиции лиц осуществляющих диск-ние наиболее пред-ым является применение:

а) сложной учетной ставки, если срок учета менее одного года;б) простой учетной ставки, если срок учета более одного года.

Дисконтирование может производиться mраз в году, при этом каждый раз учет производится по ставке , а современная величина определяется по формуле

.

studfiles.net

Сложные проценты на примерах

Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.

ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.

Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.

Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?

Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока

Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.

Разница составляет 4102 доллара.

 

Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?

Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу

Школьные задачи на сложные проценты

Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)

Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение

Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению

и решаем


Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.

 

Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?

Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.
На основе условия задачи получим уравнение

Его упрощение приведет к решению уравнения

откуда корни приобретут значений

Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.

 

Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?

Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда
X+4/100%=X+0,04
начисления во второй год.
По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X

После упрощений получим квадратное уравнение вида

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.

 

Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали.
После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты

После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило
.
Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение

Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей


Решаем квадратное уравнение


Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.

На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.

yukhym.com

Сложные проценты

Вычисление наращенной суммы.В финансовой практике широко используются сложные проценты. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют

капитализацией.

Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.

Так же, как и при вычислении простых процентов, существует два способа начисления сложных процентов: антисипативный
(предварительный) и декурсивный
(последующий).

Рассмотрим декурсивный метод. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.

Величину первоначальной суммы (капитала), на которую начисляются проценты, т.е. текущую стоимость капитала, обозначим Р. Сумму, полученную в результате начисления сложных процентов на текущую стоимость, будем называть наращенной суммой или конечной стоимостью капитала

S. Процентную ставку и срок ссуды обозначим соответственно i и n.

В конце 1-го года наращенная сумма составит:

.

В конце 2-го года проценты начисляются на уже наращенную сумму:

,

и т.д., т.е. в конце n-го года наращенная сумма будет равна:

                                             (2.15)

Следовательно, наращенная сумма за весь период может быть получена, как сумма членов геометрической прогрессии, первый член который равен Р, а знаменатель — (1+i).

Величину (1+i) называют сложным декурсивным коэффициентом, а величину (1+i)n
— множителем наращивания сложных процентов.

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, на заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма составит:

где i1, i2, ik — последовательные значения ставок процентов;

 n1, n2, nk
— периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Наряду с изменяющимися процентными ставками могут использоваться «плавающие» ставки, т.е. ставки, рост которых «привязывается» к темпам инфляции или какому-либо другому показателю, например, ставкам рефинансирования, устанавливаемых Центральным банком страны. В этом случае невозможно заранее рассчитать наращенную сумму.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые финансовые результаты. Различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (in = ic), при сроке ссуды менее одного года (n < 1), наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, т.к.

где in и ic — ставки простых и сложных процентов.

При сроке сделки больше года (n > 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, т.к.

.

Эти различия можно проследить по таблице:

Сравнение множителей наращения

(in = ic = 15 %)

множители наращения	Срок ссуды   n
30 дней	180 дней	1 год	5 лет	10 лет	20 лет
1+nin	1,0125	1,0750	1,15	1,750	2,5	4,0
(1+ic)n	1,0117	1,0724	1,15	2,0114	4,0456	16,366

Множители наращения рассчитаны для временной базы

К
= 360 дней.

Используя коэффициенты наращения по простым и сложным процентным ставкам, определим время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в N раз.

Чтобы первоначальная сумма Р увеличилась в N раз, необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, т.е.

а) для простых процентов 1+nin=N, откуда:

  ,

б) для сложных процентов (1+ic)n = N, откуда:

Наиболее часто решается задача по определению времени, необходимого для удвоения первоначального капитала, т.е. N = 2. Тогда:

а) при удвоении по простым процентам:

б) при удвоении по сложным процентам:

Приблизительно

.

Номинальная и эффективная ставка процентов

Номинальная ставка. В контрактах на получение кредитов, в депозитных договорах условиями часто предусматривается капитализация процентов несколько раз в году — по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В подобных случаях можно использовать формулу (2.15.), в которой величина

n будет обозначать общее число периодов капитализации процентов, а ставка i — процентную ставку за соответствующий период. Например, если кредит выдан на 2 года с квартальным начислением процентов по ставке i = 5 %, то множитель наращения будет равен (1+0,05)4.2=1,4775.

Однако, на практике указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов m
начисления процентов в году. Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула:

,                                     (2.16)

где j — номинальная годовая процентная ставка;

m
— число периодов начисления процентов в году;

N
— число периодов начисленных процентов за весь срок контракта;

N=n.m, где n — число лет.

При увеличении числа периодов m
начисления процентов возрастает темп процесса наращения.

Эффективная ставка. Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредитор в целом за год. Иначе говоря, она отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через iс. Равенство наращенных сумм будет обеспечено в том случае, если равны первоначальные суммы Р, периоды наращения n и множители наращения, т.е.

                 отсюда

,

т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.

Из последнего выражения получаем:

Для определения номинальной и эффективной ставок сложных процентов можно использовать формулы для вычисления наращенных сумм.

Из выражения

находим ставку i:

      

Аналогично из выражения

находим ставку j:

  .

Срок ссуды при наращении по номинальной ставке процентов равен:

 ,

а при наращении m раз в году:

  .

Вычисление наращенной суммы на основе сложных антисипативных процентов

Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов. суть метода заключается в том, что если в первом периоде (n = 1) наращенная сумма определяется по формуле:

 ,

то во втором периоде она будет равна

  .

В общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:

 ,                                   (2.17)

где

 — коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов;

            d — учетная ставка сложных процентов;

            n — число лет.

При наращении сложных процентов по учетной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле:

  ,                                              (2.18)

где j — номинальная учетная ставка;

m
— число периодов начисления процентов;

n
— число лет.

Дисконтирование по сложной процентной ставке

Математический метод дисконтирования может применяться с использованием не только простой, но и сложной процентной ставки.

Для этого из выражения

 найдем Р:

                                        (2.19)

где

 — дисконтный (учетный) множитель. Значения этого множителя табулированы. При начислении процентов m раз в году получим:

                    (2.20)

где

 — дисконтный множитель.

Величину Р, найденную дисконтированием величины S, называют современной или приведенной
величиной.

Разность S — P=D’ является дисконтом.

Тогда

                   или

Дисконтирование по сложной учетной ставке

В учетных (дисконтных) операциях широко применяется сложная учетная ставка.

В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле:

  ,                                               (2.21.)

где dс — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт вычисляется как разность

                (2.22.)

Зная величины
S, P и n, можно определить значение сложной учетной ставки dс. Из выражения

следует, что

                                      откуда

                             (2.23.)

Различие в величине дисконтных множителей при использовании простой и сложной учетных ставок, равных по своей величине, зависит от срока ссуды.

Расчеты сложных процентов в условиях инфляции

Как и в случае простых процентов покупательная способность наращенной суммы с учетом инфляции S(t)
должна быть равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции

где DS — сумма, которая должна быть добавлена к сумме S для сохранения ее покупательной способности (DS=S×t)

Имеем

. Тогда

За n лет получаем:

Тогда                    

        .                         (2.24)

С другой стороны:

         .                                     (2.25)

Приравняем правые части (1) и (2)

   

,

      

 .

Покупательная способность первоначальной суммы Р
денег при ставке i и уровне инфляции t может быть рассчитана по формуле:

  .                   (2.26)

www.nejo.ru

Сложная процентная ставка Википедия

Процентная ставка — сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчёте на определённый период (месяц, квартал, год).

С позиции теории денег, процентная ставка — цена денег как средства сбережения.

Процентный доход — доход от предоставления капитала в долг в разных формах (ссуды, кредиты), либо это доход от инвестиций в ценные бумаги.

История процентных ставок

В последние два столетия базовые процентные ставки устанавливаются либо национальными правительствами, либо центральными банками. Например, Федеральная резервная ставка по федеральным фондам США колебалась от 0,25 % до 19 % в период с 1954 по 2008 год, в то время как базовые ставки Банка Англии колебались от 0,5 % до 15 % в период с 1989 по 2009^[1][2], а разброс базовых ставок в Германии был от близкого к 90 % в 1920-х годах до примерно 2 % в 2000-х годах^[3][4]. Во время попытки преодолеть спираль гиперинфляции в 2007 году, Резервный банк Зимбабве повысил процентные ставки по займам до 800 %^[5].

Виды процентных ставок

Существует несколько видов процентных ставок.

Фиксированная и плавающая ставки

В зависимости от того, изменяется ли ставка в течение времени, выделяют фиксированную и плавающую процентные ставки:

• Фиксированная процентная ставка — постоянна, устанавливается на определённый срок и не зависит от каких-либо обстоятельств^[6].
• Плавающая процентная ставка подлежит периодическому пересмотру^[7]. Изменение ставки осуществляется на основании колебаний тех или иных показателей. Классическим примером таких показателей является Лондонская межбанковская ставка предложения (LIBOR, средневзвешенная ставка на лондонском межбанковском рынке кредитных ресурсов). Соответственно плавающая ставка LIBOR+5 % будет означать, что номинальная величина процентной ставки на 5 % выше ставки LIBOR.

Декурсивная и антисипативная ставки

В зависимости от времени выплаты процентов, существует два типа процентных ставок:^[8]

• декурсивная ставка — процент выплачивается в конце вместе с основной суммой кредита
• антисипативная ставка — процент выплачивается в момент предоставления кредита (авансом) и определяется на основании конечной суммы долга.

Для кредитора выгоднее антисипативная ставка, а для заёмщика — декурсивная. Так, если величина процентной ставки составляет 10 %, то при декурсивной ставке при кредите в 1000 р. кредитор получит 1100 р. в конце срока. При антисипативной ставке он даст заёмщику 900 р. и в конце срока получит 1000 р.

Реальная и номинальная ставки

Различают номинальную и реальную процентную ставку.

Номинальная процентная ставка — рыночная процентная ставка без учета инфляции, отражающая текущую оценку денежных активов.

Реальная процентная ставка — процентная ставка с учетом инфляции.

Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближённой) формулой:

ir=in−π{\displaystyle i_{r}=i_{n}-\pi },

где

• in{\displaystyle i_{n}} — номинальная процентная ставка,
• ir{\displaystyle i_{r}} — реальная процентная ставка,
• π{\displaystyle \pi } — ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Ирвинг Фишер предложил более точную формулу взаимосвязи реальной, номинальной ставок и инфляции, выражаемую названной в его честь формулой Фишера:

ir=1+in1+π−1=in−π1+π{\displaystyle i_{r}={\frac {1+i_{n}}{1+\pi }}-1={\frac {i_{n}-\pi }{1+\pi }}}

При π=0{\displaystyle \pi =0} и π=in{\displaystyle \pi =i_{n}} обе формулы дают одинаковое значение. Легко видеть, что при небольших значениях уровня инфляции π{\displaystyle \pi } результаты мало отличаются, но если инфляция велика, то следует применять формулу Фишера.

Согласно Фишеру, реальная процентная ставка численно должна быть равна предельной производительности капитала.

Размеры процентных ставок

Номинальные процентные ставки по кредитам могут быть больше нуля, равны нулю («беспроцентный кредит») и меньше нуля^[9] («отрицательные» проценты). Если реальные процентные ставки достигают большой величины, это приводит к возникновению ростовщичества.

См. также

Примечания

Литература

wikiredia.ru