Дивергенцию: Дивергенция (медвежья и бычья) | Tradimo

Трейдер должен дождаться, когда показания на графике будут отличаться от значений на индикаторе, а затем определить, где установится Take Profit и Stop Loss.

Take Profit можно установить немного выше второго пика (примерно на 20 пунктов), а Stop Loss выставить на линии, где дивергенция начала появляться.

Stochastic

Стохастик является индикатором технического анализа рынка, он помогает людям, торгующим по тренду. С его помощью можно увидеть положение цены по сравнению с ценовым диапазоном прошлого периода. На графике он представлен в виде двух линий.

В торговле на Форекс индикатор Stochastic используется для того, чтобы трейдер смог увидеть завершение процесса коррекции в тренде и определить точки входа. Он покажет наилучший момент входа в рынок и предоставит всю необходимую информацию о состоянии перекупленности или перепроданности на указанный момент времени. Это увеличит прибыль от торговли и существенно снизит риски.

RSI

Этот осциллятор является классикой технического анализа рынка и используется многими трейдерами, т.к. считается одним из лучших на Форекс. Его можно найти в стандартных наборах инструментов различных торговых платформ.

Индикатор RSI (индекс относительной силы) встроен в торговый биржевой терминал и позволяет найти относительный показатель силы тренда. Алгоритм его работы основан на теории вероятности, которая с помощью арифметических расчетов определяет валютные колебания на рынке. Он подходит не только профессионалам, но и начинающим трейдерам.

Этот осциллятор сравнивает 2 цены валютной пары за одинаковый промежуток времени: насколько она упала и насколько выросла в абсолютных значениях. В результате, на графике вырисовывается кривая, которая находится в диапазоне цен между 0 и 100%.

Кривая индикатора все время движется в указанном диапазоне, не пересекая его минимум и максимум. Иногда она может приближаться к ним вплотную.

Заключение

Изучив, что такое дивергенция и конвергенция, а также их виды, даже начинающий трейдер сможет правильно определить их на Forex, используя различные рыночные индикаторы.

Дивергенция всегда присутствует на бирже и помогает трейдерам проводить качественный анализ рынка. Для того чтобы научиться распознавать ее на графике, необходимо иметь некоторый опыт работы на Форекс. При открытии сделки на бирже кроме этой тенденции следует учитывать и другие рыночные инструменты, такие как индикаторы, японские паттерны, линии поддержки и сопротивления и т.д. Это поможет сделать комплексный анализ рынка и существенно снизить риски, торгуя на Forex.

Дивергенция и как ее распознать

Анализируя рынок, каждому трейдеру хочется узнать заранее, куда будет двигаться цена, интересующего его актива. И это понятно, ведь конечная преследуемая цель – прибыль. Всем интересно узнать как можно скорее, получится ли ее получить. Для того, чтобы все удалось, необходимо видеть дивергенцию Форекс на всех таймфреймах. Вместе с дивергенцией рассматривают еще и конвергенцию. Однако среди многих трейдеров принято считать, что это одно понятие. Конвергенцию можно заметить при бычьей дивергенции. Дивергенция помогает на самых ранних этапах понять то, как поведет себя рынок в будущем. Явление это можно наблюдать, когда рынок достиг своего пика и показывает, что не может продолжать движение в том же направлении, собираясь свернуть. Тогда происходит расхождение направления движения индикатора с направлением движения цены. Множество различных индикаторов способны отображать дивергенцию. Например осциллятор стохастик, МАСD и RSI. Все индикаторы показывают дивергенцию одинаково, и распознать ее можно легко на многих из них. Рынок всегда движется вверх и вниз, даже в тренде. Осциллятор всегда следует этому движению. Любые максимумы, которые вырисовывает рынок, повторяет и осциллятор. Дивергенция же происходит в тот момент, когда рынок на графике образует высокий максиму, а осциллятор, который, как известно, должен следовать движению, вырисовывает максимум ниже. Мнение можно сложить следующее, что рынок слабеет, и вероятность коррекции цены набирает обороты, так же не исключен и разворот рынка. Это пример классической «медвежьей» дивергенции. Таким расхождением можно смело пользоваться для успешного входа на рынок. Точно такая е ситуация может произойти и с падающим рынком. При отображении рынком более низких минимумов, индикатор будет держать минимумы еще ниже. Такой вариант называется «бычьей» дивергенцией.

Виды дивергенции

Наиболее популярным и распространённым видом дивергенции считается контр-трендовая. Большинство опытных трейдеров имеют навыки торговли против тренда. Так как все эти приемы слишком распространены, такую дивергенцию можно считать классической или даже обычной. Она ж взята за основу в других дивергенциях, однако трейдеры, используя их, не замечают этого. Всего существует 3 вида дивергенций:

1. Классическая.
2. Скрытая.
3. Расширенная.

Классическая дивергенция, как уже было отмечено, является наиболее часто используемой и имеет место при развороте тренда, так же она становится базой для остальных двух видов. Она может считаться поводом для выгодной покупки или продажи позиции.

• Обычная медвежья дивергенция показывает, что график цены должен уйти вниз и необходимо приготовиться к продаже. Для ее выявления стоит смотреть на максимумы цены и индикатора и сравнивать их. Для дивергенции абсолютно необязательно, чтобы вырисовывалась серия из максимальных пиков, достаточно одного, который выше, чем предыдущий.
• Обычная бычья дивергенция, наоборот, указывает трейдеру на то, что он должен быть готов к покупке. При этом, необходимо следить за минимумами графика цены и индикатора. В этом случае так же нет необходимости отслеживать серию постоянных минимумов.

Для начинающих лучше всего сначала проводить линию между пиками, чтобы точно обнаружить движение тренда и дивергенцию. В дальнейшем, при приобретении опыта, все будет видно невооруженным глазом. Однако множество профессиональных трейдеров все равно продолжат использовать вспомогательную линию, чтоб сто процентов не ошибиться.

Скрытая дивергенция – сигнал продолжения тренда. Распознать ее гораздо сложнее, чем обычную. О существовании такой дивергенции известно небольшому количеству трейдеров. Она так же помогает определиться с открытием длинной или короткой позиции.

• Скрытая медвежья дивергенция. Показывает то, что график цены продолжает движение вниз. Для ее выявление необходимо обратить внимание на то, что пики на графике, при движении цены вниз, будут более низкими, а индикатор будет отображать более высокий максимум. То есть, они будут как бы расходиться в показаниях.
• Скрытая бычья дивергенция. Указывает на продолжительное движение цены вверх. В этом случае на графике будут видны более высокие минимумы, а индикатор, наоборот, отображает более низкие.

Сравнить скрытую дивергенцию можно с рогаткой. Это не просто так. Поводом для такого сравнения послужило то, что индикатор является этой самой рогаткой, который направляет рынок в том же направлении, в котором уже происходит движение. При этом происходит некий откат, который становится отличным поводом для входа в рынок.

Расширенная дивергенция очень похожа на обычную, однако есть существенное отличие. Оно заключается в том, что на графике цены вырисовывается фигура, которая очень похожа на двойную вершину/дно. А индикатор показывает второй максимум/минимум, который сильно отличается от первого и находится на другом уровне. Такое положение указывает на то, что рынок продолжает свое движение в определенном направлении. Очень часто при похожих взлетах и падениях появляется надежда на некую консолидацию.

Расширенная дивергенция же дает понять, что консолидация не произойдет, а рынок продолжит свое движение в заданном направлении. Ее можно считать разновидностью обычной контр-трендовой дивергенции.

• Расширенная медвежья дивергенция дает понять, что график цены продолжает движение вниз. В этом случае время продавать. При таком виде дивергенции можно наблюдать на графике цен двойную вершину, в то время как индикатор будет показывать второй максимум более низким. Взаимосвязь между графиком цены и индикатором будет казаться расширенной. Может показаться, что индикатор перестал копировать движение цены и движется в своем направлении.
• Расширенная бычья дивергенция говорит о то, что время покупать, так как график цены будет продолжать движение вверх. Распознать ее можно по низам. Рынок образует двойное дно, а индикатор указывает на более высокий второй минимум. Необходимо понимать, что для обоих случаев минимумы и максимумы на графике цены могут быть не абсолютно идентичными, однако различие между ними будет минимальным.

Заключение

Дивергенция на Форекс наблюдается постоянно, ее можно считать одним из самых мощных показателей в техническом анализе. Но стоит отметить, что распознать ее на живом графике довольно непросто. В этом случае поможет только опыт и постоянная практика. Для начала необходимо прибегать к помощи вспомогательных линий. И, все-таки, опираться на одну лишь дивергенцию, при открытии позиций, не стоит, так как она не является единоверным методом анализа. Не обходимо принимать во внимание показания других индикаторов, различные сигналы и графические паттерны.

Дивергенция на Форекс, её основные виды и примеры на графике

Делая технический анализ, абсолютно любому трейдеру интересно заранее увидеть, куда будет двигаться цена той или иной валютной пары или иного актива. Ведь от этого зависит, получит он прибыль на Форекс или нет. Чтобы получить прибыль важно видеть дивергенцию Форекс на любых таймфреймах.

По сути, дивергенцию и конвергенцию Форекс принято рассматривать одним понятием – дивергенция. Конвергенция наблюдается при бычьей дивергенции.

В этом материале мы разберемся с понятием дивергенции (расхождение), рассмотрим виды дивергенций форекс с примерами, а также научимся определять дивергенцию во время технического анализа на Форекс.

Расхождение или дивергенция демонстрирует готовность рынка пойти в противоположном направлении. Иными словами, дивиргеницией стоит считать момент, когда направление движения цены не совпадает с направлением движения индикатора Форекс. Причем это может наблюдаться как в сторону линии тренда, так и против него. Лучше, конечно, чтобы дивергенция происходила по направлению к глобальному тренду. Дивергенция форекс неплохо отрабатывается на таймфреймах Н1 и Н4. Вот почему важно видеть этот разворотный момент, дабы использовать его для получения прибыли.

Виды дивергенций на форекс

Стоит учитывать, что могут наблюдаться разные примеры дивергенции на Форекс.

1. Обычная или классическая дивергенция.
2. Расширенная дивергенция.
3. Скрытая дивергенция.

Чтобы точнее войти в рынок, нужно уметь видеть и различать виды дивергенций форекс на разных таймфреймах.

Рассмотрим каждый вид по отдельности.

Классическая дивергенция

Обычная или дивергенция в классическом виде исполнения позволяет увидеть разворот тренда. Это хороший сигнал на короткую продажу или длинную покупку.

Если дивергенция медвежья, значит, график цены будет готовиться к нисходящему движению, трейдеру Форекс следует приготовиться к продажам.

Когда наблюдается бычья дивергенция, стоит приготовиться к покупкам, так как график будет идти вверх.

Кстати, примеры дивергенции на Форекс могут быть разными, главное правильно определить с помощью осциллятора её вид.

Медвежья дивергенция: как её увидеть на графике?

Чтобы определить на рынке медвежью дивергенцию, трейдер должен взглянуть на максимальные значения цены (тени свечей Форекс), а также соответствующий индикатор. Классическая медвежья дивергенция будет наблюдаться тогда, когда будут выполняться определенные условия: на графике цены должен появиться высокий максимум, индикатор должен показать более низкий максимум.

Вместе с тем совсем необязательно наблюдать на графике более высокие максимальные значения цены. Достаточно, чтобы предыдущая вершина была немного ниже следующей.

Визуально это выглядит так:

Рисунок 1. Медвежья дивергенция на графике.

Обычная бычья дивергенция

Для определения классической бычьей дивергенции Форекс, следует обращать внимание  на минимумы графика, а также индикатора. Если на рынке есть обычная бычья дивергенция, тогда японские свечи нарисуют более низкое значение цены, а индикатор наоборот – более высокий минимум. В таком случае стоит ожидать восходящего движения, то есть, трейдеру нужно приготовиться к покупкам.

Визуально это выглядит так:

Рисунок 2. Обычная бычья дивергенция на графике.

Скрытая дивергенция

На Форекс, может возникать не только обычное классическое расхождение, но и может образоваться скрытая дивергенция Форекс. Она сообщает о продолжении тренда. Однако распознать её в торговом терминале достаточно сложно. Скрытая дивергенция Форекс даёт четкий сигнал на открытие позиции на покупку или продажу.

Скрытая дивергенция бывает:

• медвежьей;
• бычьей.

Если на рынке есть скрытая медвежья дивергенция, то можно готовиться, что график цены продолжит своё нисходящее движение.

Когда на графике имеет место скрытая бычья дивергенция, тогда цена будет расти.

Скрытая дивергенция (медвежья)

Рисунок 3. Скрытая дивергенция (медвежья) на графике.

Чтобы увидеть скрытую медвежью дивергенцию Форекс, понадобиться определить пики свеч или максимумы цены, а также индикатора. Для определения скрытой дивергенции можно использовать индикатор MACD. Такая картина вырисовывается только в тех случаях, когда цена двигалась вниз. Если в этот момент индикатор показывает дивергенцию, значит, в дальнейшем можно ожидать нисходящее движение.

Скрытая дивергенция (бычья)

Рисунок 4. Скрытая дивергенция (бычья) на графике.

Чтобы выявить скрытую бычью дивергенцию, нужно обращать своё внимание на минимумы графика, а также индикатора. Этот вид расхождения происходит тогда, когда рынок направлен вверх, рисует высокие минимумы, а показания индикатора — более низкие.

Иногда скрытую дивергенцию Форекс сравнивают с рогаткой. Индикатор того или иного осциллятора выступает в качестве рогатки. Таким образом, после некой коррекции происходит “катапультирование” цены, то есть, его дальнейшее  движение в исходном направлении.

Расширенная дивергенция

Расширенная дивергенция Форекс чем-то схожа обычной классической дивергенцией. Но в случае с расширенной дивергенцией цена формирует фигуру, очень напоминающую “двойное дно” или же “двойную вершину”.

С графическими фигурами всё понятно, но как определить направление рынка, если индикаторы рисуют второй минимум или максимум, которые сильно отличаются от минимальных или максимальных цен в терминале? Если эта особенность наблюдается, значит, цена будет продолжать идти в прежнем направлении.

Расширенная дивергенция встречается двух видов:

• медвежья;
• бычья.

Важно отметить, что расширенная дивергенция Форекс является одной из разновидностей трендовой дивергенции в её классическом понимании. Её можно наблюдать, когда рынок намеревается замедлить свой ход, но вместо того, чтобы сменить своё направление, он продолжает своё движение в том же направлении, которые было до этого.

Медвежья расширенная дивергенция

Рисунок 5. Расширенная дивергенция (медвежья) на графике.

Если на графике наблюдается расширенная медвежья дивергенция, это может значить только одно: цены продолжат идти вниз, поэтому нужно искать возможность для продаж.

Для определения расширенной медвежьей дивергенции, трейдер должен обратить внимание на пики (максимумы) не только графика, но и индикатора. Обычно этот вид дивергенции наблюдается по вершинам во время большого движения. Рынок рисует некую двойную вершину, однако второй пик цены может быть  незначительно выше или ниже предыдущего значения. Даже если, уровни вершин будут одинаковыми, нижний индикатор покажет более низкий второй максимум. Индикатор не будет рисовать двойной вершины, которая наблюдается на ценовом графике.

Можно решить эту задачу иным путем. Не обязательно думать, как увидеть дивергенцию. Если график цены рисует двойное дно или вершину, а индикатор в данный момент не хочет повторять формирование фигур подобно рынку, а показывает несовпадение, тогда следует расценивать это как образование расширенной медвежьей или бычьей дивергенции.

Бычья расширенная дивергенция

Рисунок 6. Расширенная дивергенция (бычья) на графике.

Если график показывает бычью расширенную дивергенцию, значит, нужно искать возможность для покупок, так как цены пойдут вверх.

Чтобы распознать в терминале расширенную бычью дивергенцию, необходимо, прежде всего, обратить внимание на нижнюю часть или минимумы не только цены, но и подвального индикатора.

Обычно, во время расширенной бычьей дивергенции, котировки рисуют двойное дно.

Важно: не обязательно фигура “двойное дно” должна быть выполнена классическим способом. Второе минимальное значение может быть нарисовано немного ниже или же выше первого.

И хотя минимумы на графике будут отображаться примерно на одном уровне, но индикатор покажет немного иную картину: второй минимум будет значительно выше, чем первый. Если это условие выполняется, значит, мы имеем дело с расширенной бычьей дивергенцией форекс, и трейдеру следует искать выгодные моменты для покупок.

Индикаторы для определения дивергенции на Форекс

Дивергенция в техническом анализе форекс хорошо видна с помощью определенных индикаторов. На голом графике по одним лишь максимумам и минимумам трудно определить дивергенцию.

Установленный в терминал индикатор дивергенции поможет определить трейдеру отклонение графика цены от подвального индикатора. Это сходство касается всех подобных индикаторов.

Иными словами, выходит, что график цены отличается от графика индикатора. Вследствие чего их показания расходятся.

Лучше всего, дивергенция форекс наблюдается на таких осциляторах:

Правильно определенная дивергенция позволяет трейдеру с помощью одного из вышеупомянутых индикаторов, которые установлены по умолчанию в торговом терминале МТ4, заранее получить сигнал для входа в рынок. Мы уже рассмотрели, что дивергенция Форекс может быть как медвежьей, так и бычьей, то есть наблюдаться на нисходящем или восходящем рынке.

Торговля по дивергенции с индикатором MACD

Есть много торговых стратегий Форекс, но мы рассмотрим самую простую.

Эта стратегию успешно можно использовать не только трейдерам-новичкам, но и профессионалам.

Торговать по данной ТС можно на любых валютных парах, но всё же, рекомендуем использовать котировки из мажорного ряда: EUR/USD, GBP/USD и т.д.

Дивергенцию мы будем искать с помощью индикатора MACD с настройками (5, 34, 5). Рабочий таймфрейм: Н1.

Дожидаемся, когда график и индикатор покажут несоответствие, то есть дивергенцию, а потом нужно определить, где будет установлен тейк профит и стоп лосс.

Рисунок 7. Определение дивергенции с помощью индикатора MACD.

Тейк профит можно поставить выше второй вершины на 20 пунктов. Стоп лосс выставляем на уровне, где началась формироваться сама дивергенция.

Заключение

Итак, мы рассмотрели, что такое дивергенция, узнали об её видах. Также разобрали примеры дивергенции на Форекс. Теперь вы знаете, как определить дивергенцию на форекс. Индикатор MACD поможет в этом.

Определение расхождения и использование

Что такое дивергенция?

Дивергенция — это когда цена актива движется в направлении, противоположном техническому индикатору, например осциллятору, или движется вопреки другим данным. Дивергенция предупреждает, что текущий ценовой тренд может ослабевать, а в некоторых случаях может привести к изменению направления цены.

Есть положительное и отрицательное расхождение. Положительное расхождение указывает на возможное повышение цены актива.Отрицательная дивергенция сигнализирует о возможном снижении стоимости актива.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2021

• Дивергенция может происходить между ценой актива и практически любым техническим или фундаментальным индикатором или данными. Тем не менее, дивергенция обычно используется техническими трейдерами, когда цена движется в направлении, противоположном техническому индикатору.
• Положительная дивергенция сигнализирует о том, что цена может вскоре начать движение вверх. Это происходит, когда цена движется вниз, но технический индикатор движется вверх или показывает бычьи сигналы.
• Отрицательная дивергенция указывает на снижение цен в будущем. Это происходит, когда цена движется вверх, но технический индикатор движется вниз или показывает медвежьи сигналы.
На
• Дивергенцию нельзя полагаться исключительно, поскольку она не дает своевременных торговых сигналов. Дивергенция может длиться долгое время без разворота цены.
• Дивергенция присутствует не для всех основных разворотов цены, она присутствует только на некоторых.

О чем вам говорит дивергенция

Расхождение в техническом анализе может сигнализировать о значительном положительном или отрицательном движении цены.Положительное расхождение происходит, когда цена актива достигает нового минимума, в то время как индикатор, например денежный поток, начинает расти. И наоборот, отрицательная дивергенция — это когда цена достигает нового максимума, а анализируемый индикатор достигает более низкого максимума.

Трейдеры используют дивергенцию для оценки основного импульса цены актива и для оценки вероятности разворота цены. Например, инвесторы могут нанести на график цены осцилляторы, такие как индекс относительной силы (RSI).Если акция растет и достигает новых максимумов, в идеале RSI также достигает новых максимумов. Если акция делает новые максимумы, но RSI начинает делать более низкие максимумы, это предупреждает, что восходящий тренд цены может ослабевать. Это отрицательное расхождение. Затем трейдер может определить, хотят ли они выйти из позиции или установить стоп-лосс на случай, если цена начнет снижаться.

Положительное расхождение — противоположная ситуация. Представьте, что цена акции достигает новых минимумов, в то время как RSI достигает более высоких минимумов с каждым колебанием цены акции.Инвесторы могут сделать вывод, что более низкие минимумы цены акций теряют нисходящий импульс, и вскоре может последовать разворот тренда.

Дивергенция — одно из распространенных применений многих технических индикаторов, в первую очередь осцилляторов.

Разница между расхождением и подтверждением

Дивергенция — это когда цена и индикатор говорят трейдеру разные вещи. Подтверждение — это когда индикатор и цена или несколько индикаторов говорят трейдеру одно и то же.В идеале трейдеры хотят подтверждения для входа в сделки и во время торгов. Если цена движется вверх, они хотят, чтобы их индикаторы сигнализировали о том, что движение цены, вероятно, продолжится.

Ограничения использования дивергенции

Как и во всех формах технического анализа, инвесторы должны использовать комбинацию индикаторов и методов анализа, чтобы подтвердить разворот тренда, прежде чем действовать в одиночку. Дивергенция не будет присутствовать при всех разворотах цены, поэтому необходимо использовать какую-либо другую форму контроля риска или анализа в сочетании с дивергенцией.

Кроме того, когда происходит расхождение, это не означает, что цена развернется или что разворот произойдет в ближайшее время. Дивергенция может длиться долгое время, поэтому действия в одиночку могут привести к значительным потерям, если цена не отреагирует должным образом.

Определение расхождения по Merriam-Webster

1а : рисунок отдельно (как линии, идущие от общего центра)

2 : отклонение от курса или стандарта

Дивергенция — обзор | Темы ScienceDirect

5.1.5 Асимптотическая идентификация KLID

В предыдущих обсуждениях мы предполагали, что истинная плотность fθ0 (yM) известна. Однако в большинстве практических ситуаций фактическая плотность и, следовательно, KLID необходимо оценивать с использованием случайных данных, взятых из базовой плотности. Пусть (y (1) M,…, y (L) M) будет независимой и одинаково распределенной (i.i.d.) выборкой, взятой из fθ0 (yM). Оценщиком плотности для fθ0 (yM) будет отображение fˆL: ℝmM × (ℝmM) L → ℝ [98]:

(5.41) {fˆL (yM) = fˆL (yM; y (1) M,…, y (L) M) ≥0∫fˆL (yM) dyM = 1

Асимптотическая KLID-идентифицируемость тогда определяется следующим образом:

Определение 5.5

Набор параметров Θ называется асимптотически KLID-идентифицируемым в точке θ0∈Θ, если существует последовательность оценок плотности {fˆL} L = 1∞, такая, что θˆL⟹L → ∞pθ0 (сходимость по вероятности) , где θˆL — минимальная оценка KLID, θˆL = argminθ∈ΘDKLM (fˆL‖fθ).

Теорема 5.6

Предположим, что пространство параметров Θ является компактным подмножеством, а последовательность оценок плотности {fˆL} L = 1∞ удовлетворяет DKLM (fˆL‖fθ0) ⟹L → ∞p0. Тогда θ0 будет асимптотически идентифицируемым по KLID при условии, что он может быть идентифицирован по KLID.

Доказательство:

Поскольку DKLM (fˆL‖fθ0) ⟹L → ∞p0, для произвольно малых ε> 0 и δ> 0 существует N (ε, δ) <∞ такое, что при L> N ( ε, δ),

(5.42) Pr {DKLM (fˆL‖fθ0)> δ} <ε

где Pr {DKLM (fˆL‖fθ0)> δ} — вероятность множества Бореля {{y (1) M,…, y (L) M} | DKLM (fˆL‖fθ0)> δ}. С другой стороны, поскольку θˆL = argminθ∈ΘDKLM (fˆL‖fθ), имеем

(5.43) DKLM (fˆL‖fθˆL) = minθ∈ΘDKLM (fˆL‖fθ) ≤DKLM (fˆL‖fθ0)

. event {DKLM (fˆL‖fθˆL)> δ} ⊂ {DKLM (fˆL‖fθ0)> δ}, и, следовательно,

(5.44) Pr {DKLM (fˆL‖fθˆL)> δ} ≤Pr {DKLM (fˆL‖fθ0)> δ} <ε

По неравенству Пинскера имеем

(5.45) {DKLM (fˆL‖fθ0) ≥12‖ fˆL − fθ0‖12DKLM (fˆL‖fθˆL) ≥12‖fˆL − fθˆL‖12

где ‖fˆL − fθˆL‖1 = ∫ | fˆL − fθˆL | dyM — расстояние L1 (или полное изменение). Отсюда следует, что

(5.46) {Pr {‖fˆL − fθ0‖1> 2δ} ≤Pr {DKLM (fˆL‖fθ0)> δ} <εPr {‖fˆL − fθˆL‖1> 2δ} ≤Pr {DKLM (fˆL ‖FθˆL)> δ} <ε

Кроме того, имеет место неравенство:

(5.47) ‖fθˆL − fθ0‖1 = ‖ (fˆL − fθ0) — (fˆL − fθˆL) ‖1≤‖fˆL − fθ0‖ 1 + ‖fˆL − fθˆL‖1

Тогда имеем

(5.48) {‖fθˆL − fθ0‖1> 22δ} ⊂ ({‖fˆL − fθ0‖1> 2δ} ∪ {‖fˆL − fθˆL‖1> 2δ})

И, следовательно,

(5.49) Pr {‖fθˆL− fθ0‖1> 22δ} ≤Pr ({‖fˆL − fθ0‖1> 2δ} ∪ {‖fˆL − fθˆL‖1> 2δ}) ≤Pr {‖fˆL − fθ0‖1> 2δ} + Pr {‖fˆL − fθˆL ‖1> 2δ} <2ε

Для любого τ> 0 определим множество Θτ = {α | α∈Θ, ‖α − θ0‖≥τ}, где ‖ · ‖ — евклидова норма. Поскольку Θ — компактное подмножество в ℝd, Θτ также должно быть компактным множеством. Между тем по предположению 5.2 функция φ (α) = ‖fα − fθ0‖1 (α∈Θ) будет непрерывным отображением φ: Θ → ℝ. Таким образом, должен существовать минимум φ (α) по множеству Θτ.Обозначим γτ = minα∈Θτ‖fα − fθ0‖1, легко следует, что

(5.50) {‖θˆL − θ0‖≥τ} ⊂ {‖fθˆL − fθ0‖1≥γτ}

Если θ0 идентифицируем по KLID , ∀α∈Θ, α ≠ θ0, имеем DKLM (θ‖α) ≠ 0 или, что то же самое, ‖fα − fθ0‖1 ≠ 0. Отсюда следует, что γτ = minα∈Θτ‖fα − fθ0‖1 ≠ 0. Пусть δ = 132γτ2> 0, имеем

(5.51) Pr {‖θˆL − θ0‖> τ} ≤Pr {‖θˆL − θ0‖≥τ} ≤Pr {‖fθˆL − fθ0‖1≥γτ} ≤Pr { ‖FθˆL − fθ0‖1> 12γτ} = Pr {‖fθˆL − fθ0‖1> 22δ} <2ε

Отсюда следует ‖θˆL − θ0‖⟹L → ∞p0, и, следовательно, θˆL⟹L → ∞pθ0.

Согласно теореме 5.6, если оценка плотности fˆL согласована в KLID по вероятности (DKLM (fˆL‖fθ0) ⟹L → ∞p0), KLID-идентифицируемость будет достаточным условием для асимптотической KLID-идентифицируемости.Следующая теорема показывает, что при определенных условиях KLID-идентифицируемость также будет необходимым условием для того, чтобы θ0 была асимптотической KLID-идентифицируемой.

Теорема 5.7

Если θ0∈Θ является асимптотически идентифицируемым по KLID, то он идентифицируется по KLID при условии, что

1.

Θ является компактным подмножеством в ℝd,

2.

∈Θ, если DKLM (θ0‖α) = 0, то существуют ε> 0 и бесконечное множество S⊂ℕ такие, что для L∈S

(5.52) Pr {minθ∈B¯ (α, κ) DKLM (fˆL‖fθ) ≤minθ∈B¯ (θ0, κ) DKLM (fˆL‖fθ)}> ε

, где B¯ (α, κ) = {x | x∈Θ, ‖x − α‖≤κ}, κ = 13‖α − θ0‖.

Доказательство:

Если θ0 асимптотически KLID-идентифицируемо, то для произвольно малых ε> 0 и δ> 0 существует N (ε, δ) <∞ такое, что для L> N (ε, δ),

(5.53) Pr {‖θˆL − θ0‖> δ} <ε

Предположим, что θ0 не идентифицируется с помощью KLID, тогда ∃α∈Θ, α ≠ θ0, такое, что DKLM (θ0‖α) = 0 . Пусть δ = κ = (1/3) ‖α − θ0‖> 0, имеем (поскольку Θ — компактное подмножество, минимум существует)

(5.54) Pr {‖θˆL − θ0‖> κ} <ε⇒Pr {θˆL∉B¯ (θ0, κ)} <ε⇒Pr {arg minθ∈ΘDKLM (fˆL‖fθ) ∉B¯ (θ0, κ)} <ε⇒Pr {minθ∈ {Θ − B¯ (θ0, κ)} DKLM (fˆL‖fθ) ≤minθ∈B¯ (θ0, κ) DKLM (fˆL‖fθ)} <ε⇒ (a) Pr {minθ ∈B¯ (α, κ) DKLM (fˆL‖fθ) ≤minθ∈B¯ (θ0, κ) DKLM (fˆL‖fθ)} <ε

где ( a ) следует из B¯ (α, κ) ⊂ {Θ − B¯ (θ0, κ)}. Приведенный результат противоречит условию (2). Следовательно, θ0 должен быть KLID-идентифицируемым.

Далее мы рассмотрим несколько конкретных методов оценки плотности и обсудим проблемы согласованности соответствующих оценок параметров.

5.1.5.1 Оценка максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия (MLE) — это популярный метод оценки параметров, а также важный параметрический подход для оценки плотности. По MLE оценка плотности равна

(5.55) fˆL (yM) = fθˆML (yM)

, где θˆML∈Θ получается путем максимизации функции правдоподобия, то есть

(5.56) θˆML = arg maxθ∈Θ∏ i = 1Lfθ (y (i) M)

Лемма 5.1

Последовательность оценки плотности MLE {fθˆML (yM)} L = 1∞ удовлетворяет DKLM (fθˆML‖fθ0) ⟹L → ∞p0.

Простое доказательство этой леммы можно найти в [3]. [222]. Комбинируя теорему 5.6 и лемму 5.1, получаем следующее следствие.

Следствие 5.2

Предположим, что Θ — компактное подмножество в ℝd, а θ0∈Θ идентифицируемо по KLID. Тогда имеем θˆML⟹L → ∞pθ0.

Согласно следствию 5.2, KLID-идентифицируемость является достаточным условием, чтобы гарантировать, что оценка ML сходится к истинному значению с вероятностью один. Это неудивительно, поскольку оценщик ML, по сути, является частным случаем оценщика минимального KLID.

5.1.5.2 Оценка на основе гистограммы

Оценка на основе гистограммы является распространенным непараметрическим методом оценки плотности. Предположим, что i.i.d. образцы y (1) M,…, y (L) M принимают значения в измеримом пространстве M. Пусть PL = {AL, 1, AL, 2,…, AL, mL}, L = 1,2,…, mL , — последовательность разбиений M с конечным или бесконечным m, такая, что σ-мера 0

(5.57) fˆhis (yM) = μL (AL, i) / v (AL, i), ifyM∈AL, i

, где μL ( AL, i) — стандартная эмпирическая мера AL, i, i.е.,

(5.58) мкл (AL, i) = 1L∑i = 1LI (y (i) M∈AL, i)

где I (·) — индикаторная функция.

Согласно Ref. [223], при определенных условиях, оценка плотности fˆhis будет сходиться в обратном порядке информационного расхождения к истинной основной плотности fθ0 и ожидаемой KLID

(5.59) limL → ∞E {DKLM (fˆhis‖fθ0)} = 0

Поскольку DKLM (fˆhis‖fθ0) ≥0, по неравенству Маркова [224] для любого δ> 0 имеем

(5.60) Pr {DKLM (fˆhis‖fθ0) ≥δ} ≤E {DKLM (fˆhis‖fθ0 )} δ

Отсюда следует, что ∀δ> 0, limL → ∞Pr {DKLM (fˆhis‖fθ0) ≥δ} = 0, и для любых произвольно малых ε> 0 и δ> 0 существует N (ε, δ) <∞ такое, что для L> N (ε, δ)

(5.61) Pr {DKLM (fˆhis‖fθ0)> δ} <ε

Таким образом, мы имеем DKLM (fˆhis‖fθ0) ⟹L → ∞p0. По теореме 5.6 имеет место следующее следствие.

Следствие 5.3

Предположим, что Θ — компактное подмножество в ℝd, а θ0∈Θ идентифицируемо по KLID. Пусть fˆhis будет стандартной оценкой плотности гистограммы, удовлетворяющей уравнению. (5.59). Тогда имеем θˆhis⟹L → ∞pθ0, где θˆhis = argminθ∈ΘDKLM (fˆhis‖fθ).

5.1.5.3 Оценка на основе ядра

Оценка на основе ядра (или оценка плотности ядра, KDE) — еще один важный непараметрический подход для оценки плотности.Учитывая i.i.d. образец y (1) M,…, y (L) M, оценка плотности ядра равна

(5.62) fˆKer (yM) = 1L∑i = 1LKh (yM − y (i) M) = 1LhmM∑i = 1LK (yM − y (i) Mh)

где K — функция ядра, удовлетворяющая K≥0 и ∫K = 1, h> 0 — ширина ядра.

Для KDE справедлива следующая лемма (подробности см. В главе 9 в [98]).

Лемма 5.2

Предположим, что K — фиксированное ядро, а ширина ядра h зависит только от L. Если h → 0 и LhmM → ∞ при L → ∞, то limL → ∞E {‖fˆKer − fθ0‖1} = 0.

Из limL → ∞E {‖fˆKer − fθ0‖1} = 0 нельзя вывести DKLM (fˆKer‖fθ0) ⟹L → ∞p0. Следовательно, теорема 5.6 здесь неприменима. Однако, если параметр оценивается путем минимизации общей вариации (не KLID), имеет место следующая теорема.

Теорема 5.8

Предположим, что Θ — компактное подмножество в ℝd, θ0∈Θ является KLID-идентифицируемым, а ширина ядра h удовлетворяет условиям леммы 5.2. Тогда имеем θˆKer⟹L → ∞pθ0, где θˆKer = argminθ∈Θ‖fˆKer − fθ‖1.

Доказательство:

Поскольку limL → ∞E {‖fˆKer − fθ0‖1} = 0, по неравенству Маркова имеем ‖fˆKer − fθ0‖1⟹L → ∞p0.Следуя аналогичному выводу, что и для теоремы 5.6, легко прийти к заключению.

KLID и полная вариация являются частными случаями семейства ϕ-дивергенции [130]. Φ-дивергенция между PDF fθ1 и fθ2 равна

(5.63) Dϕ (θ1‖θ2) = Dϕ (fθ1‖fθ2) = ∫fθ2 (x) ϕ (fθ1 (x) fθ2 (x)) dx, ϕ∈ Φ *

(5.64) θˆϕ = argminθ∈ΘDϕ (fˆL‖fθ)

Ниже мы даем более общий результат, который включает теоремы 5.6 и 5.8 как частные случаи.

Теорема 5.9

Предположим, что Θ — компактное подмножество в ℝd, θ0∈Θ является KLID-идентифицируемым, и для данного ϕ∈Φ *, ∀θ∈Θ, Dϕ (fˆL‖fθ) ≥κ (‖ fˆL − fθ‖1), где функция κ (·) строго возрастает на интервале [0, ∞) и κ (0) = 0. Тогда, если последовательность оценок плотности {fˆL} L = 1∞ удовлетворяет условию Dϕ (fˆL‖fθ) ⟹L → ∞p0, мы имеем θˆϕ⟹L → ∞pθ0, где θˆϕ — оценка минимальной ϕ-дивергенции.

Доказательство:

Аналогично доказательству теоремы 5.6 (опущено).

Векторное исчисление: понимание расходимости — лучшее объяснение

Физическая интуиция

Дивергенция (дел.) — это «плотность потока» — величина потока, входящего или выходящего из точки. Думайте об этом как о скорости расширения потока (положительная дивергенция) или сокращения потока (отрицательная дивергенция). Если вы измеряете поток в бананах (да ладно, кто не делает?), Положительное расхождение означает, что ваше местоположение является источником бананов и его источником. Вы сорвали джекпот Donkey Kong.

Помните, что по соглашению поток положительный, когда он покидает замкнутую поверхность.Представьте, что вы — нормальный человек и можете разговаривать с точками внутри векторного поля, спрашивая, что они видят:

• Если бы точка увидела, что поток входит в , он кричит, что все приближается к нему. Это отклонение отрицательное отклонение , и точка захватывает поток, как вода, стекающая в раковину.
• Если бы точка видела, что поток покидает , он обнюхивает свои подмышки и говорит, что весь поток существует. Это положительное отклонение на , и точка является источником потока, как шланг.

Итак, дивергенция — это просто чистый поток на единицу объема или «плотность потока», точно так же, как обычная плотность — это масса на единицу объема (конечно, мы не знаем об «отрицательной» плотности). Представьте себе крошечный куб — поток может входить с одних сторон, уходить с других, и мы объединяем все эффекты, чтобы выяснить, входит ли общий поток или уходит.

Чем больше плотность потока (положительная или отрицательная), тем сильнее источник или сток потока. Значение div, равное нулю, означает, что нет никакого изменения чистого потока сбоку от области.На простом английском:

Математическая интуиция

Теперь, когда у нас есть интуитивное объяснение, как нам превратить эту присоску в уравнение? Обычный способ исчисления: возьмите крошечную единицу объема и измерьте поток, проходящий через нее. Нам нужно сложить полный поток, проходящий через измерения x, y и z.

Представьте себе куб в точке, которую мы хотим измерить, со сторонами длиной dx, dy и dz. Чтобы получить чистый поток, мы видим, насколько компонент X потока изменяется в направлении X, добавляем это к изменению компонента Y в направлении Y и изменению компонента Z в направлении Z.Если изменений нет, мы получим 0 + 0 + 0, что означает отсутствие чистого потока.

Если есть — это некоторое изменение поля, мы получим что-то вроде 1-2 +5 (поток увеличивается в направлении X и Z, уменьшается в направлении Y), что дает нам расхождение в этой точке.

В псевдо-математике:

Общее изменение магнитного потока = (изменение поля в направлении X) + (изменение поля в направлении Y) + (изменение поля в направлении Z)

Или в более формальной математике:

(Предполагается, что $ F_x $ — это поле в направлении оси x.)

Несколько замечаний:

• Символ расхождения — перевернутый треугольник градиента (называемый del) с точкой [$ \ triangledown \ cdot $]. Градиент дает нам частные производные $ (\ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial z}) $ и точку произведение с нашим вектором $ (F_x, F_y, F_z) $ дает формулу расхождения, приведенную выше.
• Дивергенция — это одно число, как и плотность.
• Дивергенция и поток тесно связаны — если объем заключает в себе положительную дивергенцию (источник потока), он будет иметь положительный поток.
• «Дивергенция» означает отход от, что может помочь вам запомнить, что дивергенция — это скорость расширения потока (положительный div) или сжатия (отрицательный div).

Дивергенция не так уж и плоха, если вы интуитивно понимаете поток. Это действительно полезно для понимания теорем вроде закона Гаусса.

Другие статьи этой серии

1. Векторное исчисление: понимание точечного произведения
2. Векторное исчисление: понимание кросс-произведения
3. Векторное исчисление: понимание потока
4. Векторное исчисление: понимание расходимости
5. Векторное исчисление: понимание циркуляции и изгиба
6. Векторное исчисление: понимание градиента
7. Пифагорейское расстояние и градиент

Расхождение — но почему? Интуитивная математика

Расхождение

Оператор дивергенции

Что означает символ в уравнении 1? Что такое перевернутый треугольник (также известный как оператор дель) с точкой рядом с ним делать?

В этом разделе я дам определение без математики:

Дивергенция в точке (x, y, z) — это мера векторного потока от поверхности, окружающей эту точку. То есть, представьте, что векторное поле представляет поток воды. Тогда, если расхождение положительное число, это означает, что вода вытекает. точки (как водосток — это место считается источником). Если расхождение отрицательное число, то вода течет в точку (как канализация — это место известно как раковина).

Я приведу несколько примеров, чтобы прояснить это. Во-первых, представьте, что у нас есть векторное поле (заданное векторная функция A ) как показано на рисунке 1, и мы хотим чтобы узнать, какое расхождение в точке P :

Фигура 1.Пример векторного поля, окружающего точку.

Также рисуем воображаемую поверхность ( S ) вокруг точки P . Теперь представьте, что вектор A представляет поток воды. Затем, если сложить сумму вода, вытекающая с поверхности, будет ли количество положительным? Ответ положительный: вода течет с поверхности. в каждом месте на поверхности S . Следовательно, можно сказать, что расходимость при P положительный.

Возьмем еще один простой пример, показанный на рисунке 2.У нас есть новое векторное поле B вокруг точки П :

Рисунок 2. Пример векторного поля, окружающего точку (отрицательное расхождение).

На рисунке 2, если мы представим текущую воду, мы увидим точку P , действующую как слив или раковина для воды. В этом случае поток из поверхности отрицательный — следовательно, расхождение Поле B на P отрицательно.

Довольно просто, а? Вот еще пара примеров.На рисунке 3 показано векторное поле C , окружающее точку:

Рисунок 3. Пример векторного поля без изменения точки.

На рисунке 3, если C представляет поток воды, больше воды течет на поверхность или выходит из нее? В верхней части рисунка 3 вода вытекает с поверхности, но в нижней части она течет внутрь. Поскольку поле имеет равный поток внутрь и наружу S , расхождение равно нулю .

Видя, как вы, вероятно, отлично проводите время, давайте сделаем еще два примера.Посмотрите рисунок 4:

Рисунок 4. Поле, охватывающее точку.

На рисунке 4 у нас есть векторное поле D , которое обтекает точку P . Поток положительный (на поверхности) или отрицательный (на поверхность)? В каждой точке поверхности S , поле течет по поверхности по касательной. Следовательно, поле не втекает в поверхность и не выходит из нее в каждой точке. Следовательно, снова имеем дивергенцию D равно 0 при P .

Давайте посмотрим на последний пример, поле E на рисунке 5:

Рисунок 5. Более сложное векторное поле вокруг точки.

Векторное поле E имеет большой вектор над точкой P , указывающий там сильное поле — много воды вытекает с поверхности. Вектор слева от P небольшой и касательный к поверхности, поэтому нет потока внутрь или из S на этот момент. То же верно и для вектора справа от P .И вектор ниже P маленький, что указывает на меньшее количество воды, протекающей на поверхность. Следовательно, мы можем предположить, что дивергенция положительна — больше воды вытекает из поверхности, чем в нее.

Но как точно определить расхождение? Чтобы добраться до этого, нам нужно перейти к математическому разделу страница расхождения.

Математика расхождения

Во-первых, мы должны знать, что оператор дивергенции может принимать только векторную функцию в качестве входных данных.Векторная функция представляет собой просто вектор 3-функций, разбитых на x-, y- и z-компоненты. Чтобы узнать больше, см. страница векторной функции.

Дивергенция — это конкретная мера того, насколько быстро векторное поле изменяется в направлениях x, y и z. Если вектор-функция A задается по формуле:

Тогда дивергенция A — это сумма скорости изменения векторной функции:

Этот символ является символом частной производной, что означает скорость изменения по x.Для получения дополнительной информации см. страница частных производных.

Математические примеры расхождения

Давайте вспомним векторное поле E с рисунка 5, но на этот раз мы присвоим векторам некоторые значения, как показано на Рисунок 6:

Рис. 6. Векторное поле E с показанными векторными величинами.

На рисунке 6 предположим, что E не изменяется в направлении z, так что мы можем пренебречь последним членом в Уравнение [3].Также предположим, что над этой областью (около точки P ), что все меняется линейно. Затем каково расхождение на рисунке 6?

Используя уравнение [3], мы можем оценить скорость изменения в направлениях x и y (предполагая, что скорость изменения z равна нулю):

Вы должны убедиться, что уравнение [4] имеет смысл. Обратите внимание, что когда мы оцениваем x-скорость изменения E , мы только позаботьтесь о Ex-компоненте.Если вы посмотрите на синие векторы на рисунке 6, вы увидите, что в точках (1,0,0) и (-1,0,0) имеем Ex = 0. Следовательно, Ex не меняется в x. Однако если посмотреть на скорость изменение E в направлении y, мы имеем Ey = 3 в точке (0,1,0) и Ey = 1 в точке (0, -1,0). Следовательно, больше оттока точки P , чем в точку относительно y-направления. Следовательно, точка P действует как источник, а расхождение положительный.

Перейдем к примеру 2.Я предполагаю, что вы немного разбираетесь в исчислении, поэтому я могу использовать операцию производной. Производная (как показано в уравнении [3]) вычисляет скорость изменения функции по отношению к одной переменной. Рассмотрим векторная функция A в уравнении [5]:

Расхождение можно рассчитать с помощью уравнения [3]:

Уравнение [6] дает нам расхождение во всех точках пространства.То есть, если вы хотите узнать расхождение at (x, y, z) = (3,2,1), то мы можем использовать уравнение [6], чтобы увидеть, что дивергенция A равна 2 + 6 * 1 = 8. Мы можем найти расхождение в любой точке пространства, потому что мы знали функции, определяющие вектор A из уравнения [5], а затем рассчитал скорость изменений (производных) в уравнении [6].

Я думаю, что это довольно хорошо суммирует расхождение, по крайней мере, насколько нам нужно знать для уравнений Максвелла. Помните: для любой точки пространства дивергенция принимает векторную функцию и дает одно число.Это число определяет, точка действует как источник полей (производит больше полей, чем принимает) или как приемник полей (поля вокруг точки уменьшаются).

6.5 Дивергенция и изгиб — том 3 исчисления

Цели обучения

• 6.5.1. Определите расхождение по формуле для данного векторного поля.
• 6.5.2 Определите curl по формуле для заданного векторного поля.
• 6.5.3 Используйте свойства изгиба и дивергенции, чтобы определить, является ли векторное поле консервативным.

В этом разделе мы исследуем две важные операции с векторным полем: дивергенцию и завиток. Они важны для области исчисления по нескольким причинам, включая использование ротора и дивергенции для разработки некоторых многомерных версий фундаментальной теоремы исчисления.Кроме того, изгиб и дивергенция появляются в математических описаниях механики жидкости, электромагнетизма и теории упругости, которые являются важными понятиями в физике и технике. Мы также можем применить завиток и дивергенцию к другим концепциям, которые мы уже изучили. Например, при определенных условиях векторное поле консервативно тогда и только тогда, когда его ротор равен нулю.

В дополнение к определению изгиба и дивергенции мы смотрим на некоторые их физические интерпретации и показываем их связь с консервативными векторными полями без источников.

Дивергенция

Дивергенция — это операция над векторным полем, которая сообщает нам, как поле ведет себя к точке или от нее. Локально расхождение векторного поля F на 2ℝ2 или ℝ3ℝ3 в конкретной точке P является мерой «истечения» векторного поля на P . Если F представляет скорость жидкости, то расхождение F при P измеряет чистую скорость изменения относительно времени количества жидкости, вытекающей из P (тенденция жидкости к расход «из» P ).В частности, если количество текучей среды, втекающей в P , такое же, как количество вытекающей, то расхождение на P равно нулю.

Определение

Если F = 〈P, Q, R〉 F = 〈P, Q, R〉 — векторное поле в ℝ3ℝ3 и все Px, Qy, Px, Qy и RzRz существуют, то дивергенция F определяется следующим образом:

(6,16)

Обратите внимание, что дивергенция векторного поля — это не векторное поле, а скалярная функция.В терминах оператора градиента ∇ = 〈∂∂x, ∂∂y, ∂∂z〉, ∇ = 〈∂∂x, ∂∂y, ∂∂z〉, расхождение можно символически записать как скалярное произведение

Обратите внимание, что это просто полезное обозначение, потому что скалярное произведение вектора операторов и вектора функций не определено значимым образом с учетом нашего текущего определения скалярного произведения.

Если F = 〈P, Q〉 F = 〈P, Q〉 — векторное поле в ℝ2, ℝ2, а PxPx и QyQy существуют, то дивергенция F определяется аналогично

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим два векторных поля на рис. 6.50. В любой конкретной точке количество втекающего вещества такое же, как количество вытекающего, поэтому в каждой точке «выходящий поток» поля равен нулю. Следовательно, мы ожидаем, что дивергенция обоих полей будет равна нулю, и это действительно так, поскольку

Напротив, рассмотрим радиальное векторное поле R (x, y) = 〈- x, −y〉 R (x, y) = 〈- x, −y〉 на рисунке 6.51. В любой момент втекает больше жидкости, чем вытекает, и, следовательно, «исходящая способность» поля отрицательна. Мы ожидаем, что дивергенция этого поля будет отрицательной, и это действительно так, поскольку div (R) = ∂∂x (−x) + ∂∂y (−y) = — 2. Div (R) = ∂∂ х (−x) + ∂∂y (−y) = — 2.

Рисунок 6.51 Это векторное поле имеет отрицательную дивергенцию.

Чтобы получить общее представление о том, что нам говорит дивергенция, предположим, что векторное поле в 2ℝ2 представляет скорость жидкости.Представьте, что вы берете упругий круг (круг, форма которого может быть изменена векторным полем) и опускаете его в жидкость. Если круг сохраняет свою точную площадь, когда он течет через жидкость, расхождение равно нулю. Это могло бы произойти для обоих векторных полей на Рисунке 6.50. С другой стороны, если форма круга искажена так, что его площадь сжимается или расширяется, то расхождение не равно нулю. Представьте, что вы помещаете такой упругий круг в радиальное векторное поле на рис. 6.51 так, чтобы центр круга оказался в точке (3, 3).Круг будет течь по направлению к началу координат, и при этом передняя часть круга будет двигаться медленнее, чем задняя, ​​в результате чего круг будет «сморщиваться» и терять площадь. Вот как вы можете увидеть отрицательное расхождение.

Пример 6.48

Расчет расходимости в точке

Если F (x, y, z) = exi + yzj − y2k, F (x, y, z) = exi + yzj − y2k, то найдите дивергенцию F в точке (0,2, −1). (0,2, −1).

Решение

Дивергенция F составляет

Следовательно, расходимость в точке (0,2, −1) (0,2, −1) равна e0−1 + 4 = 4.e0−1 + 4 = 4. Если F представляет скорость жидкости, то в точке (0,2, -1). (0,2, -1) вытекает больше жидкости, чем втекает.

КПП 6.40

Найдите divFdivF для F (x, y, z) = 〈xy, 5 − z2y, x2 + y2〉. F (x, y, z) = 〈xy, 5 − z2y, x2 + y2〉.

Одно применение дивергенции встречается в физике при работе с магнитными полями. Магнитное поле — это векторное поле, моделирующее влияние электрических токов и магнитных материалов.Физики используют дивергенцию в законе Гаусса для магнетизма, который гласит, что если B является магнитным полем, то · B = 0; ∇ · B = 0; другими словами, расходимость магнитного поля равна нулю.

Пример 6.49

Определение магнитного поля

Может ли F (x, y) = 〈x2y, y − xy2〉 F (x, y) = 〈x2y, y − xy2〉 быть магнитным полем?

Решение

Если бы F были магнитными, то его расходимость была бы равна нулю. Дивергенция F составляет

и, следовательно, F не могут моделировать магнитное поле (Рисунок 6.52).

Еще одно применение расхождения — определение того, является ли поле свободным от источника. Напомним, что поле без источника — это векторное поле, которое имеет функцию потока; эквивалентно, поле без источника — это поле с нулевым потоком вдоль любой замкнутой кривой. Следующие две теоремы говорят, что при определенных условиях векторные поля без источника являются в точности векторными полями с нулевой дивергенцией.

Теорема 6.14

Дивергенция векторного поля без источника

Если F = 〈P, Q〉 F = 〈P, Q〉 непрерывное векторное поле без источника с дифференцируемыми компонентными функциями, то divF = 0.divF = 0.

Проба

Поскольку F не содержит исходных текстов, существует функция g (x, y) g (x, y) с gy = Pgy = P и −gx = Q. − gx = Q. Следовательно, F = 〈gy, −gx〉 F = 〈gy, −gx〉 и divF = gyx − gxy = 0divF = gyx − gxy = 0 по теореме Клеро.

□

Обращение дивергенции векторного поля без источника верно для односвязных областей, но доказательство слишком техническое, чтобы включать его здесь.Таким образом, мы имеем следующую теорему, которая может проверить, является ли векторное поле в ℝ2ℝ2 свободным от источника.

Теорема 6.15

Тест дивергенции для векторных полей без источников

Пусть F = 〈P, Q〉 F = 〈P, Q〉 непрерывное векторное поле с дифференцируемыми компонентными функциями с односвязной областью. Тогда divF = 0divF = 0 тогда и только тогда, когда F является исходным кодом.

Пример 6.50

Определение наличия источника в поле

Свободно ли от источника поле F (x, y) = 〈x2y, 5 − xy2〉 F (x, y) = 〈x2y, 5 − xy2〉?

КПП 6.41

Пусть F (x, y) = 〈- ay, bx〉 F (x, y) = 〈- ay, bx〉 вращательное поле, где a и b — положительные константы. Имеется ли исходный код F бесплатно?

Напомним, что форма потока теоремы Грина утверждает, что

, где C — простая замкнутая кривая, а D — область, заключенная в C . Поскольку Px + Qy = divF, Px + Qy = divF, теорема Грина иногда записывается как

Следовательно, теорему Грина можно записать в терминах дивергенции. Если рассматривать дивергенцию как своего рода производную, то в теореме Грина говорится, что «производная» от F в области может быть переведена в линейный интеграл от F вдоль границы области. Это аналогично основной теореме исчисления, в которой производная функции ff на отрезке [a, b] [a, b] может быть переведена в утверждение о ff на границе [a, b].[а, б]. Используя дивергенцию, мы можем видеть, что теорема Грина является многомерным аналогом фундаментальной теоремы исчисления.

Мы можем использовать все, что мы узнали, в применении дивергенции. Пусть v будет векторным полем, моделирующим скорость жидкости. Поскольку дивергенция v в точке P измеряет «вытекание» жидкости при P , divv (P)> 0divv (P)> 0 означает, что из P вытекает больше жидкости, чем втекает.Аналогично, divv (P) <0divv (P) <0 означает, что в P втекает больше жидкости, чем вытекает, а divv (P) = 0divv (P) = 0 означает, что такое же количество жидкости течет в как вытекающие.

Пример 6.51

Определение расхода жидкости

Предположим, что v (x, y) = 〈- xy, y〉, y> 0 v (x, y) = 〈- xy, y〉, y> 0 моделирует течение жидкости. В точку (1,4) (1,4) втекает больше жидкости, чем вытекает?

Решение

Чтобы определить, втекает ли в (1,4) (1,4) больше жидкости, чем вытекает, мы вычисляем дивергенцию v в (1,4) 🙁 1,4):

Чтобы найти расхождение в точках (1,4), (1,4), подставьте точку в расхождение: −4 + ​​1 = −3. − 4 + 1 = −3. Поскольку расхождение между и в точке (1,4) (1,4) отрицательное, больше жидкости втекает, чем вытекает (рис. 6.53).

КПП 6.42

Для векторного поля v (x, y) = 〈- xy, y〉, y> 0, v (x, y) = 〈- xy, y〉, y> 0, найти все точки P такие, что сумма Количество жидкости, поступающей в P , равно количеству жидкости, вытекающей из P .

Завиток

Вторая операция над векторным полем, которую мы исследуем, — это curl, которая измеряет степень вращения поля вокруг точки. Предположим, что F представляет поле скоростей жидкости. Тогда изгиб F в точке P является вектором, который измеряет тенденцию частиц около P вращаться вокруг оси, которая указывает в направлении этого вектора. Величина вектора curl на P измеряет, насколько быстро частицы вращаются вокруг этой оси.Другими словами, завихрение в точке является мерой «вращения» векторного поля в этой точке. Визуально представьте себе, что крыльчатка помещается в жидкость под углом P , при этом ось крыльчатки совпадает с вектором скручивания (рис. 6.54). Изгиб измеряет тенденцию лопастного колеса к вращению.

Рис. 6.54. Чтобы визуализировать завиток в точке, представьте, что вы помещаете небольшое крыльчатое колесо в векторное поле в точке.

Рассмотрим векторные поля на рис. 6.50. В части (а) векторное поле постоянно и в любой точке нет спина.Следовательно, мы ожидаем, что ротор поля будет равен нулю, и это действительно так. Часть (b) показывает вращательное поле, поэтому поле имеет вращение. В частности, если вы поместите гребное колесо в поле в любой точке так, чтобы ось колеса была перпендикулярна плоскости, колесо вращается против часовой стрелки. Следовательно, мы ожидаем, что ротор поля будет отличным от нуля, и это действительно так (ротор равен 2k) .2k).

Чтобы увидеть, какой локон измеряется в глобальном масштабе, представьте, что опускаете лист в жидкость.По мере того как лист движется вместе с потоком жидкости, завиток измеряет склонность листа к вращению. Если завиток равен нулю, лист не вращается при движении через жидкость.

Определение

Если F = 〈P, Q, R〉 F = 〈P, Q, R〉 — векторное поле в ℝ3, ℝ3 и Px, Qy, Px, Qy и RzRz все существуют, то локон F определяется

(6,17)

Обратите внимание, что ротор векторного поля является векторным полем, в отличие от дивергенции.

Иногда бывает трудно запомнить определение локона. Чтобы помочь запомнить, мы используем обозначение ∇ × F∇ × F для обозначения «определителя», который дает формулу локона:

Определитель этой матрицы равен

Таким образом, эта матрица помогает запомнить формулу curl. Однако имейте в виду, что слово определитель используется очень свободно. Определитель на самом деле не определен в матрице с элементами, которые являются тремя векторами, тремя операторами и тремя функциями.

Если F = 〈P, Q〉 F = 〈P, Q〉 — векторное поле в ℝ2, ℝ2, то ротор F по определению равен

Пример 6.52

Нахождение ротора трехмерного векторного поля

Найдите ротор F (P, Q, R) = 〈x2z, ey + xz, xyz〉.F (P, Q, R) = 〈x2z, ey + xz, xyz〉.

Решение

Завиток

КПП 6.43

Найдите ротор F = 〈sinxcosz, sinysinz, cosxcosy〉 F = 〈sinxcosz, sinysinz, cosxcosy〉 в точке (0, π2, π2). (0, π2, π2).

Пример 6.53

Нахождение ротора двумерного векторного поля

Найдите ротор F = 〈P, Q〉 = 〈y, 0〉.F = 〈P, Q〉 = 〈y, 0〉.

Решение

Обратите внимание, что это векторное поле состоит из векторов, которые все параллельны. Фактически, каждый вектор в поле параллелен оси x . Этот факт может привести нас к выводу, что поле не имеет спина и ротор равен нулю. Чтобы проверить эту теорию, обратите внимание, что

Следовательно, это векторное поле имеет спин. Чтобы понять, почему, представьте, что поместите крыльчатку в любую точку первого квадранта (рисунок 6.55). Большие значения векторов в верхней части колеса заставляют колесо вращаться. Колесо вращается в направлении по часовой стрелке (отрицательное), в результате чего коэффициент скручивания становится отрицательным.

Обратите внимание, что если F = 〈P, Q〉 F = 〈P, Q〉 — векторное поле на плоскости, то curlF · k = (Qx − Py) k · k = Qx − Py.curlF · k = (Qx −Py) k · k = Qx − Py. Поэтому циркуляционная форма теоремы Грина иногда записывается как

, где C — простая замкнутая кривая, а D — область, заключенная в C .Следовательно, циркуляционная форма теоремы Грина может быть записана в терминах ротора. Если мы думаем о curl как о производной, то в теореме Грина говорится, что «производная» от F на области может быть преобразована в линейный интеграл от F вдоль границы области. Это аналогично основной теореме исчисления, в которой производная функции ff на отрезке [a, b] [a, b] может быть переведена в утверждение о ff на границе [a, b].[а, б]. Используя curl, мы можем увидеть, что циркуляционная форма теоремы Грина является многомерным аналогом фундаментальной теоремы исчисления.

Теперь мы можем использовать то, что мы узнали о curl, чтобы показать, что гравитационные поля не имеют «спина». Предположим, что в начале координат есть объект с массой m1m1 в начале координат и объект с массой m2.m2. Напомним, что сила тяжести, которую объект 1 оказывает на объект 2, задается полем

Пример 6.54

Определение спина гравитационного поля

Покажите, что у гравитационного поля нет спина.

Решение

Чтобы показать, что F не имеет вращения, вычислим его завиток. Пусть P (x, y, z) = x (x2 + y2 + z2) 3/2, P (x, y, z) = x (x2 + y2 + z2) 3/2, Q (x, y, z ) = y (x2 + y2 + z2) 3/2, Q (x, y, z) = y (x2 + y2 + z2) 3/2 и R (x, y, z) = z (x2 + y2 + z2) 3 / 2.R (x, y, z) = z (x2 + y2 + z2) 3/2. Затем

Поскольку ротор гравитационного поля равен нулю, у поля нет спина.

КПП 6.44

Поле v (x, y) = 〈- yx2 + y2, xx2 + y2〉 v (x, y) = 〈- yx2 + y2, xx2 + y2〉 моделирует течение жидкости. Покажите, что если вы уроните лист в эту жидкость, по мере того, как лист будет двигаться с течением времени, лист не будет вращаться.

Использование дивергенции и изгиба

Теперь, когда мы понимаем основные концепции дивергенции и завитка, мы можем обсудить их свойства и установить отношения между ними и консервативными векторными полями.

Если F является векторным полем в 3, ℝ3, то локон F также является векторным полем в ℝ3.ℝ3. Следовательно, мы можем взять расхождение локона. Следующая теорема говорит, что результат всегда равен нулю. Этот результат полезен, потому что он дает нам способ показать, что некоторые векторные поля не являются завитком какого-либо другого поля. Чтобы дать этому результату физическую интерпретацию, вспомним, что дивергенция поля скоростей v в точке P измеряет тенденцию соответствующей жидкости вытекать из P .Поскольку divcurl (v) = 0, divcurl (v) = 0, чистая скорость потока в векторном поле curl ( v ) в любой точке равна нулю. Взятие ротора векторного поля F устраняет любые расхождения, присутствующие в F .

Теорема 6.16

Дивергенция Curl

Пусть F = 〈P, Q, R〉 F = 〈P, Q, R〉 векторное поле в ℝ3ℝ3 такое, что все составляющие функции имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда divcurl (F) = ∇ · (∇ × F) = 0. Divcurl (F) = ∇ · (∇ × F) = 0.

Проба

По определениям дивергенции и ротора и по теореме Клеро,

□

Пример 6.55

Показывает, что векторное поле не является завитком другого

Докажите, что F (x, y, z) = exi + yzj + xz2kF (x, y, z) = exi + yzj + xz2k не является ротором другого векторного поля. То есть покажите, что не существует другого вектора G с curlG = F.curlG = F.

Решение

Обратите внимание, что домен F полностью состоит из ℝ3ℝ3, а частичные значения второго порядка для F являются непрерывными.Следовательно, мы можем применить предыдущую теорему к F .

Дивергенция F равна ex + z + 2xz.ex + z + 2xz. Если F был локомотивом векторного поля G , то divF = div curlG = 0. DivF = div curlG = 0. Но дивергенция F не равна нулю, и поэтому F не является завитком какого-либо другого векторного поля.

КПП 6.45

Может ли G (x, y, z) = 〈sinx, cosy, sin (xyz)〉 G (x, y, z) = 〈sinx, cosy, sin (xyz)〉 быть завитком вектора поле?

Следующие две теоремы показывают, что если F является консервативным векторным полем, то его ротор равен нулю, а если область F односвязна, то верно и обратное.Это дает нам еще один способ проверить консервативность векторного поля.

Теорема 6.17

Завиток консервативного векторного поля

Если F = 〈P, Q, R〉 F = 〈P, Q, R〉 консервативно, то curlF = 0. curlF = 0.

Проба

Поскольку консервативные векторные поля удовлетворяют свойству кросс-партиалов, все кросс-партиалы F равны. Следовательно,

□

Та же теорема верна для векторных полей на плоскости.

Поскольку консервативное векторное поле является градиентом скалярной функции, предыдущая теорема утверждает, что curl (∇f) = 0curl (∇f) = 0 для любой скалярной функции f.f. В терминах наших обозначений ротора ∇ × ∇ (f) = 0.∇ × ∇ (f) = 0. Это уравнение имеет смысл, потому что векторное произведение вектора на себя всегда является нулевым вектором. Иногда уравнение ∇ × ∇ (f) = 0∇ × ∇ (f) = 0 упрощается как ∇ × ∇ = 0.∇ × ∇ = 0.

Теорема 6.18

Тест Curl для консервативного поля

Пусть F = 〈P, Q, R〉 F = 〈P, Q, R〉 векторное поле в пространстве на односвязной области.Если curlF = 0, curlF = 0, то F является консервативным.

Проба

Поскольку curlF = 0, curlF = 0, имеем Ry = Qz, Pz = Rx, Ry = Qz, Pz = Rx и Qx = Py.Qx = Py. Следовательно, F удовлетворяет свойству кросс-частичных в односвязной области, а кросс-частичное свойство консервативных полей подразумевает, что F является консервативным.

□

Та же теорема верна и для плоскости. Следовательно, если F — векторное поле на плоскости или в пространстве и область односвязна, то F является консервативным тогда и только тогда, когда curlF = 0.curlF = 0.

Пример 6.56

Проверка консервативности векторного поля

Используйте curl, чтобы определить, является ли F (x, y, z) = 〈yz, xz, xy〉 F (x, y, z) = 〈yz, xz, xy〉 консервативным.

Решение

Обратите внимание, что домен F — это весь домен ℝ3, ℝ3, который является односвязным (рис. 6.56). Следовательно, мы можем проверить, является ли F консервативным, посчитав его локон.

Изгиб F составляет

Таким образом, F является консервативным.

Мы видели, что ротор градиента равен нулю. Что такое расхождение градиента? Если ff является функцией двух переменных, то div (∇f) = ∇ · (∇f) = fxx + fyy.div (∇f) = ∇ · (∇f) = fxx + fyy. Мы сокращаем это «произведение с двумя точками» как ∇2.∇2. Этот оператор называется оператором Лапласа , , и в этой записи уравнение Лапласа принимает вид ∇2f = 0.∇2f = 0. Следовательно, гармоническая функция — это функция, которая обращается в ноль после расхождения градиента.

Аналогично, если ff является функцией трех переменных, то

Используя эти обозначения, мы получаем уравнение Лапласа для гармонических функций трех переменных:

Гармонические функции возникают во многих приложениях. Например, потенциальная функция электростатического поля в области пространства, не имеющей статического заряда, является гармонической.

Пример 6.57

Анализ функции

Может ли f (x, y) = x2 + x − yf (x, y) = x2 + x − y быть потенциальной функцией электростатического поля, расположенного в области 2ℝ2, свободной от статического заряда?

Решение

Если бы ff была такой потенциальной функцией, то ff была бы гармонической. Обратите внимание, что fxx = 2fxx = 2 и fyy = 0, fyy = 0, и поэтому fxx + fyy ≠ 0. fxx + fyy ≠ 0. Следовательно, ff не является гармоническим, и ff не может представлять электростатический потенциал.

КПП 6.46

Может ли функция f (x, y) = x2 − y2 + xf (x, y) = x2 − y2 + x быть потенциальной функцией электростатического поля, расположенного в области 2ℝ2, свободной от статического заряда?

Раздел 6.5 Упражнения

Для следующих упражнений определите, является ли утверждение истинным или ложным .

Если координатные функции F: ℝ3 → ℝ3F: ℝ3 → ℝ3 имеют непрерывные вторые частные производные, то curl (div (F)) curl (div (F)) равен нулю.

∇ · (xi + yj + zk) = 1.∇ · (xi + yj + zk) = 1.

Все векторные поля вида F (x, y, z) = f (x) i + g (y) j + h (z) kF (x, y, z) = f (x) i + g (y ) j + h (z) k консервативны.

Если curlF = 0, curlF = 0, то F является консервативным.

Если F — постоянное векторное поле, тогда divF = 0. DivF = 0.

Если F — постоянное векторное поле, то curlF = 0. curlF = 0.

Для следующих упражнений найдите изгиб F .

F (x, y, z) = xy2z4i + (2x2y + z) j + y3z2kF (x, y, z) = xy2z4i + (2x2y + z) j + y3z2k

F (x, y, z) = x2zi + y2xj + (y + 2z) kF (x, y, z) = x2zi + y2xj + (y + 2z) k

F (x, y, z) = 3xyz2i + y2sinzj + xe2zkF (x, y, z) = 3xyz2i + y2sinzj + xe2zk

F (x, y, z) = x2yzi + xy2zj + xyz2kF (x, y, z) = x2yzi + xy2zj + xyz2k

F (x, y, z) = (xcosy) i + xy2jF (x, y, z) = (xcosy) i + xy2j

F (x, y, z) = (x − y) i + (y − z) j + (z − x) kF (x, y, z) = (x − y) i + (y − z) j + (z −x) к

F (x, y, z) = xyzi + x2y2z2j + y2z3kF (x, y, z) = xyzi + x2y2z2j + y2z3k

F (x, y, z) = xyi + yzj + xzkF (x, y, z) = xyi + yzj + xzk

F (x, y, z) = x2i + y2j + z2kF (x, y, z) = x2i + y2j + z2k

F (x, y, z) = axi + byj + ckF (x, y, z) = axi + byj + ck для констант a , b , c

Для следующих упражнений найдите расхождение F .

F (x, y, z) = x2zi + y2xj + (y + 2z) kF (x, y, z) = x2zi + y2xj + (y + 2z) k

F (x, y, z) = 3xyz2i + y2sinzj + xe2zkF (x, y, z) = 3xyz2i + y2sinzj + xe2zk

F (x, y) = (sinx) i + (уютный) jF (x, y) = (sinx) i + (уютный) j

F (x, y, z) = x2i + y2j + z2kF (x, y, z) = x2i + y2j + z2k

F (x, y, z) = (x − y) i + (y − z) j + (z − x) kF (x, y, z) = (x − y) i + (y − z) j + (z −x) к

F (x, y) = xx2 + y2i + yx2 + y2jF (x, y) = xx2 + y2i + yx2 + y2j

F (x, y) = xi − yjF (x, y) = xi − yj

F (x, y, z) = axi + byj + ckF (x, y, z) = axi + byj + ck для констант a , b , c

F (x, y, z) = xyzi + x2y2z2j + y2z3kF (x, y, z) = xyzi + x2y2z2j + y2z3k

F (x, y, z) = xyi + yzj + xzkF (x, y, z) = xyi + yzj + xzk

Для следующих упражнений определите, является ли каждая из данных скалярных функций гармонической.

u (x, y, z) = e − x (cosy − siny) u (x, y, z) = e − x (cosy − siny)

w (x, y, z) = (x2 + y2 + z2) −1 / 2w (x, y, z) = (x2 + y2 + z2) −1/2

Если F (x, y, z) = 2i + 2xj + 3ykF (x, y, z) = 2i + 2xj + 3yk и G (x, y, z) = xi − yj + zk, G (x, y , z) = xi − yj + zk, найти curl (F × G) .curl (F × G).

Если F (x, y, z) = 2i + 2xj + 3ykF (x, y, z) = 2i + 2xj + 3yk и G (x, y, z) = xi − yj + zk, G (x, y , z) = xi − yj + zk, найти div (F × G) .div (F × G).

Найдите divF, divF, учитывая, что F = ∇f, F = ∇f, где f (x, y, z) = xy3z2.f (x, y, z) = xy3z2.

Найдите дивергенцию F для векторного поля F (x, y, z) = (y2 + z2) (x + y) i + (z2 + x2) (y + z) j + (x2 + y2) (z + х) kF (x, y, z) = (y2 + z2) (x + y) i + (z2 + x2) (y + z) j + (x2 + y2) (z + x) k.

Найдите дивергенцию F для векторного поля F (x, y, z) = f1 (y, z) i + f2 (x, z) j + f3 (x, y) kF (x, y, z) = f1 (y, z) i + f2 (x, z) j + f3 (x, y) k.

Для следующих упражнений используйте r = | r | r = | r | и r = (x, y, z). r = (x, y, z).

Найдите файл curlrr3.curlrr3.

Пусть F (x, y) = — yi + xjx2 + y2, F (x, y) = — yi + xjx2 + y2, где F определено на {(x, y) ∈ℝ | (x, y ) ≠ (0,0)}.{(x, y) ∈ℝ | (x, y) ≠ (0,0)}. Найдите curlF.curlF.

Для следующих упражнений используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти локон заданных векторных полей.

[T] F (x, y, z) = arctan (xy) i + lnx2 + y2j + kF (x, y, z) = arctan (xy) i + lnx2 + y2j + k

[T] F (x, y, z) = sin (x − y) i + sin (y − z) j + sin (z − x) kF (x, y, z) = sin (x− у) я + sin (y − z) j + sin (z − x) k

Для следующих упражнений найдите расхождение F в данной точке.

F (x, y, z) = i + j + kF (x, y, z) = i + j + k в точке (2, −1,3) (2, −1,3)

F (x, y, z) = xyzi + yj + zkF (x, y, z) = xyzi + yj + zk в точке (1,2,3) (1,2,3)

F (x, y, z) = e − xyi + exzj + eyzkF (x, y, z) = e − xyi + exzj + eyzk в точке (3,2,0) (3,2,0)

F (x, y, z) = xyzi + yj + zkF (x, y, z) = xyzi + yj + zk в точке (1, 2, 1)

F (x, y, z) = exsinyi − excosyjF (x, y, z) = exsinyi − excosyj в точке (0, 0, 3)

Для следующих упражнений найдите изгиб F в данной точке.

F (x, y, z) = i + j + kF (x, y, z) = i + j + k в точке (2, −1,3) (2, −1,3)

F (x, y, z) = xyzi + yj + xkF (x, y, z) = xyzi + yj + xk в точке (1,2,3) (1,2,3)

F (x, y, z) = e − xyi + exzj + eyzkF (x, y, z) = e − xyi + exzj + eyzk в точке (3, 2, 0)

F (x, y, z) = xyzi + yj + zkF (x, y, z) = xyzi + yj + zk в точке (1, 2, 1)

F (x, y, z) = exsinyi − excosyjF (x, y, z) = exsinyi − excosyj в точке (0, 0, 3)

Пусть F (x, y, z) = (3x2y + az) i + x3j + (3x + 3z2) k.F (x, y, z) = (3x2y + az) i + x3j + (3x + 3z2) k. Для какого значения является консервативным F ?

Данное векторное поле F (x, y) = 1×2 + y2 (−y, x) F (x, y) = 1×2 + y2 (−y, x) в области D = ℝ2 {(0,0)} = { (x, y) ∈ℝ2 | (x, y) ≠ (0,0)}, D = ℝ2 {(0,0)} = {(x, y) ∈ℝ2 | (x, y) ≠ (0, 0)}, является ли F консервативным?

Данное векторное поле F (x, y) = 1×2 + y2 (x, y) F (x, y) = 1×2 + y2 (x, y) в области D = ℝ2 {(0,0)}, D = ℝ2 {(0,0)}, является ли F консервативным?

Найдите работу, совершаемую силовым полем F (x, y) = e − yi − xe − yjF (x, y) = e − yi − xe − yj при перемещении объекта из P (0, 1) в Вопрос (2, 0). Консервативно ли силовое поле?

Вычислить дивергенцию F = (sinhx) i + (coshy) j − xyzk. F = (sinhx) i + (coshy) j − xyzk.

Вычислить curl F = (sinhx) i + (coshy) j − xyzk.F = (sinhx) i + (coshy) j − xyzk.

Для следующих упражнений рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг оси x против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω = 〈a, b, c〉 .ω = 〈a, b, c〉. Если P является точкой тела, расположенной в точке r = xi + yj + zk, r = xi + yj + zk, скорость в точке P задается векторным полем F = ω × r.F = ω × r.

Express F в терминах векторов i , j и k .

В следующих упражнениях предположим, что ∇ · F = 0∇ · F = 0 и ∇ · G = 0.∇ · G = 0.

Обязательно ли F + GF + G имеет нулевую дивергенцию?

Обязательно ли F × GF × G имеет нулевую дивергенцию?

В следующих упражнениях предположим, что твердый объект в ℝ3ℝ3 имеет распределение температуры, заданное как T (x, y, z) .T (x, y, z). Векторное поле теплового потока в объекте F = −k∇T, F = −k∇T, где k> 0k> 0 — свойство материала. Вектор теплового потока указывает в направлении, противоположном направлению градиента, который является направлением наибольшего снижения температуры.Дивергенция вектора теплового потока равна ∇ · F = −k∇ · ∇T = −k∇2T.∇ · F = −k∇ · ∇T = −k∇2T.

Вычислить векторное поле теплового потока.

[T] Рассмотрим поле скорости вращения v = 〈0,10z, −10y〉 .v = 〈0,10z, −10y〉. Если гребное колесо расположено в плоскости x + y + z = 1x + y + z = 1 с осью, перпендикулярной этой плоскости, с помощью системы компьютерной алгебры вычислите, как быстро крыльчатое колесо вращается в оборотах в единицу времени.