Фишер формула: Функция ФИШЕР

В других странах, зависящих от природных ресурсов с низкой зависимостью ВВП от реального сектора, наблюдается обратное явление. Сколько денег в экономику не вкачивай, на производство это не оказывает ни малейшего влияния. 

Уравнение Фишера и ситуация с денежной массой в России

Становится довольно понятно, почему опыт США с их «количественным смягчением» и колоссальным вливанием новых денег в экономику не получается применить в России. 

Со времен Кудрина Минфин и ЦБ взяли обязательство контролировать инфляцию доступными для них методами, в т.ч. ограничивая денежную массу. До этого, кажется, в нашей стране никто уравнение Фишера не изучал. Тем не менее даже сейчас регулярно слышатся призывы (в основном от политиков левого толка) вроде «давайте напечатаем денег и оживим экономику». Разобравшись в смысле уравнения Фишера, становится очевидным, почему простое печатание денег никогда не приводит к желаемым эффектам. 

Репетитор оценщика — Формула Фишера. Номинальная и реальная ставки

В процессе оценки необходимо учитывать, что номинальные и реальные (то есть, включающие и не включающие инфляционный компонент) безрисковые ставки.

Номинальная ставка процента —  это рыночная процентная ставка без учета инфляции, отражающая текущую оценку денежных активов.

Реальная ставка процента — это рыночная процентная ставка с учетом инфляции

При пересчете номинальной ставки в реальную и наоборот, целесообразно использовать формулу американского экономиста Фишера, выведенную им еще в 30-е годы:

Rн = Rр + Jинф + Rр * Jинф

Rр = (Rн – Jинф) / (1+ Jинф)

где: Rн — номинальная   ставка;

Rр — реальная   ставка;

Jинф — годовые темпы прироста инфляции.

Важно отметить, что  при использовании номинальных потоков доходов коэффициент капитализации (и ее составные части) должны быть рассчитаны в номинальном выражении, а при реальных  потоках доходов — реальном. Для преобразования номинальных потоков доходов в реальные нужно номинальную величину разделить на соответствующий индекс цен, то есть выраженное в процентах отношение уровня цен за тот год, в котором возникнут денежные потоки к уровню цен базового периода.

Например:

Объект недвижимости, сданный на условиях чистой   аренды,   будет приносить по 1000 долл. ежегодно в течение 2-х лет. Индекс цен в текущем периоде равен 140% и ожидается, что в следующем году он составит 156,7%, а через год 178,5%. Для преобразования номинальных величин в реальные, их необходимо выразить в ценах базисного года. Построим базисный индекс цен для каждого из трех лет. Индексы цен текущего года равны 140/140 = 1, для  прогнозного периода: первый год — 156,7/140 = 1,119; второй год — 178,5/140 = 1,275.

Таким образом, реальная величина номинальной 1000 долл., которая будет получена в первом прогнозном году, равна 1000 долл./1,119 = 893,65 долл.,  во 2-м году (1000 долл./1,275) = 784,31 долл.).

Таким образом, в результате инфляционной корректировки происходит приведение ретроспективной информации, используемой в оценке, к сопоставимому виду, а также учет инфляционного роста цен при составлении прогнозов денежных потоков.

Реактив Фишера для определения количества воды в различных соединениях

Как приобрести реактив Фишера в нашей компании – подробная информация…

Для определения воды как примеси в органических соединениях предложено много способов. Одним из наиболее употребительных является титрование реактивом Фишера.

Метод был разработан в 1935 году немецким химиком Карлом Фишером. Фундаментальный принцип «определения воды по Фишеру» основан на реакции Бунзена между йодом, диоксидом серы и водой. К. Фишер обнаружил, что использование избытка диоксида серы, метанола в качестве растворителя и пиридина как основания (для буферизации раствора) можно использовать для определения воды в неполярных растворителях.

Данный метод — один из наиболее чувствительных и позволяет определять даже небольшое количество воды в органических жидкостях, например, в нефтепродуктах. При этом реактив одновременно выступает и как индикатор.

Наиболее важное преимущество метода титрования по Карлу Фишеру над термическими (потеря веса при прокаливании) — его специфичность для воды. Потери при прокаливании показывают суммарное содержание всех летучих компонентов.

Используемый для титрования реактив Фишера представляет собой раствор иода, двуокиси серы и пиридина, чаще всего в метаноле. Иногда метанол заменяется на метилцеллозольв, диоксан или ледяную уксусную кислоту.

Применяют реактив Фишера и для определения воды, как гигроскопической, так и кристаллизационной в неорганических веществах, хотя мешающие соединения здесь встречаются чаще, чем при анализе органических веществ. Мешают определению сильные окислители и восстановители, которые реагируют с иодом или иодидом.

Реактив Фишера нельзя применять для определения воды в кетонах или альдегидах или в присутствии небольших количеств этих веществ в анализируемых растворителях. Для удаления альдегидов и кетонов прибавляют 2%-ный пиридиновый раствор цианистого водорода, под действием которого альдегиды и кетоны превращаются в циангидрины.

Было предложено использовать реактив Фишера для определения оксикислот, ангидридов кислот, карбонильных производных и гидратационной воды в солях.

В настоящее время используются два варианта метода: кулонометрический и волюметрический (объемный)

Волюметрическое титрование сводится к добавлению йодсодержащего титранта. Для протекания реакции йода с водой также необходимы спирт (или аналог) и органическое основание, которые могут содержаться как в титранте, так и в реактиве для титровальной ячейки.

В зависимости от состава реактивы Фишера бывают однокомпонентные и двухкомпонентные.

Однокомпонентный реактив Фишера (титрант) содержит в себе все реагирующие вещества: йод, имидазол, спирт, двуокись серы. В этом случае в титровальной ячейки необходима лишь среда для протекания реакции: спирт, хлороформ и т.п.

В двухкомпонентных реактивах Фишера — взаимодействующие вещества распределение между титрантом и растворителем. Первый реактив (титрант) — это спиртовой раствор йода, а второй (растворитель) — это спиртовой раствор SO2 с имидазолом или пиридином.

Однокомпонентные реактивы Фишера не устойчивы и за год хранения в запечатанной бутыли титр может измениться на 0,5 мг. Двухкомпонентные реактивы Фишера устойчивы при хранении и дают большую скорость титрования из-за избыточного содержания SO2 в растворителе.

Популярность титрования по методу Карла Фишера обусловлена следующими преимуществами:

— высокая точность и воспроизводимость;
— селективность по воде;
— малые количества необходимых образцов;
— несложная методика подготовки проб;
— малое время анализа;
— практически неограниченный диапазон измерения;
— пригоден для анализа твердых веществ, жидкостей, газов;
— независимость от наличия других летучих веществ.

Важно помнить:

1. Реактив Фишера неустойчив к действию света и влаги. Его стандартизация должна проводиться перед каждым использованием.

2. Рабочий интервал pH для определения воды по Фишеру между 5 и 8, в противном случае высоко кислотные или основные соединения рекомендуется буферизовать.

3. Плохо растворимые в метаноле соединения (например, жиры, углеводороды) следует растворять в высших спиртах или хлороформе, возможны также добавки формамида (для полярных веществ).

4. Следует избегать титрования веществ, которые способны реагировать с компонентами реактива Фишера (например, альдегиды и кетоны, сильные кислоты и основания, окислители и восстановители, соединения, реагирующие с компонентами реактива Фишера с образованием воды).

Критерий Фишера и критерий Стьюдента в эконометрике

С помощью критерия Фишера оценивают качество регрессионной модели в целом и по параметрам.

Для этого выполняется сравнение полученного значения F и табличного F значения. F-критерия Фишера. F фактический определяется из отношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где n — число наблюдений;
m — число параметров при факторе х.

F табличный — это максимальное значение критерия под влиянием случайных факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости а.

Уровень значимости а — вероятность не принять гипотезу при условии, что она верна. Как правило а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл > Fфакт то признается статистическая незначимость модели, ненадежность уравнения регрессии.

Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента

Таблицы значений F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента Вы можете посмотреть здесь.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

1. Определяют k1, которое равно количеству факторов (Х). Например, в однофакторной модели (модели парной регрессии) k1=1, в двухфакторной k=2.
2. Определяют k2, которое определяется по формуле n — m — 1, где n — число наблюдений, m — количество факторов. Например, в однофакторной модели k2 = n — 2.
3. На пересечении столбца k1 и строки k2 находят значение критерия Фишера

Для нахождения табличного значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле n — m — 1 и находят его значение при определенном уровне значимости (0,10, 0,05, 0,01).

Критерии Стьюдента

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт

Видео лекциий по расчету критериев Фишера и Стьюдента

Для более подробного изучения расчетов критериев Фишера и Стьюдента советуем посмотреть это видео

Лекция 1. Критерии и Гипотезы

Лекция 2. Критерии и Гипотезы

Лекция 3. Критерии и Гипотезы

Определение доверительных интервалов

Для построения доверительного интервала определяется предельная ошибка А для обоих показателей:

Формулы для нахождения доверительных интервалов выглядят так

Прогнозное значение у определяется с помощью подстановки в
уравнение регрессии прогнозного значения х. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

и находится доверительный интервал

Задача регрессионного анализа в предмете эконометрика состоит в анализе дисперсии изучаемого показателя y:

общая сумма квадратов отклонений (TSS)

сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (RSS)

остаточная сумма квадратов отклонений (ESS)

Долю дисперсии, обусловленную регрессией, в общей дисперсии показателя у характеризует коэффициент детерминации R, который должен превышать 50% (R² > 0,5). В контрольных по эконометрике в ВУЗах этот показатель рассчитывается всегда.

Методы статистики

Критерии и методы

Точный критерий Фишера – это критерий, который используется для сравнения двух и более относительных показателей, характеризующих частоту определенного признака, имеющего два значения. Исходные данные для расчета точного критерия Фишера обычно группируются в виде четырехпольной таблицы, но могут быть представлены и многопольной таблицей.

1. История разработки критерия

Впервые критерий был предложен Рональдом Фишером в его книге «Проектирование экспериментов». Это произошло в 1935 году. Сам Фишер утверждал, что на эту мысль его натолкнула Муриэль Бристоль. В начале 1920-х годов Рональд, Муриэль и Уильям Роуч находились в Англии на опытной сельскохозяйственной станции. Муриэль утверждала, что может определить, в какой последовательности наливали в ее чашку чай и молоко. На тот момент проверить правильность ее высказывания не представлялось возможным.

Это дало толчок идее Фишера о «нуль гипотезе». Целью стала не попытка доказать, что Муриэль может определить разницу между по-разному приготовленными чашками чая. Решено было опровергнуть гипотезу, что выбор женщина делает наугад. Было определено, что нуль-гипотезу нельзя ни доказать, ни обосновать. Зато ее можно опровергнуть во время экспериментов.

Было приготовлено 8 чашек. В первые четыре налито молоко сначала, в другие четыре – чай. Чашки были помешаны. Бристоль предложили опробовать чай на вкус и разделить чашки по методу приготовления чая. В результате должно было получиться две группы. История говорит, что эксперимент прошел удачно.

Благодаря тесту Фишера вероятность того, что Бристоль действует интуитивно, была уменьшена до 0.01428. То есть, верно определить чашку можно было в одном случае из 70. Но все же нет возможности свести к нулю шансы того, что мадам определяет случайно. Даже если увеличивать число чашек.

Эта история дала толчок развитию «нуль гипотезы». Тогда же был предложен точный критерий Фишера, суть которого в переборе всех возможных комбинаций зависимой и независимой переменных.

2. Для чего используется точный критерий Фишера?

Точный критерий Фишера в основном применяется для сравнения малых выборок. Этому есть две весомые причины. Во-первых, вычисления критерия довольно громоздки и могут занимать много времени или требовать мощных вычислительных ресурсов. Во-вторых, критерий довольно точен (что нашло отражение даже в его названии), что позволяет его использовать в исследованиях с небольшим числом наблюдений.

Особое место отводится точному критерию Фишера в медицине. Это важный метод обработки медицинских данных, нашедший свое применение во многих научных исследованиях. Благодаря ему можно исследовать взаимосвязь определенных фактора и исхода, сравнивать частоту патологических состояний между разными группами пациентов и т.д.

3. В каких случаях можно использовать точный критерий Фишера?

1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в номинальной шкале и иметь только два значения, например, артериальное давление в норме или повышено, исход благоприятный или неблагоприятный, послеоперационные осложнения есть или нет.
2. Критерий подходит для сравнения очень малых выборок: точный критерий Фишера может применяться для анализа четырехпольных таблиц в случае значений ожидаемого явления менее 10, что является ограничением для применения критерия хи-квадрат Пирсона.
3. Точный критерий Фишера бывает односторонним и двусторонним. При одностороннем варианте точно известно, куда отклонится один из показателей. Например, во время исследования сравнивают, сколько пациентов выздоровело по сравнению с группой контроля. Предполагают, что терапия не может ухудшить состояние пациентов, а только либо вылечить, либо нет.
   Двусторонний тест является предпочтительным, так как оценивает различия частот по двум направлениям. То есть оценивается верятность как большей, так и меньшей частоты явления в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой.

Аналогом точного критерия Фишера является Критерий хи-квадрат Пирсона, при этом точный критерий Фишера обладает более высокой мощностью, особенно при сравнении малых выборок, в связи с чем в этом случае обладает преимуществом.

4. Как рассчитать точный критерий Фишера?

Допустим, изучается зависимость частоты рождения детей с врожденными пороками развития (ВПР) от курения матери во время беременности. Для этого выбраны две группы беременных женщин, одна из которых — экспериментальная, состоящая из 80 женщин, куривших в первом триместре беременности, а вторая — группа сравнения, включающая 90 женщин, ведущих здоровый образ жизни на протяжении всей беременности. Число случаев ВПР плода в экспериментальной группе составило 10, в группе сравнения — 2.

Вначале составляем четырехпольную таблицу сопряженности:

Точный критерий Фишера рассчитывается по следующей формуле:

где N — общее число исследуемых в двух группах; ! — факториал, представляющий собой произведение числа на последовательность чисел, каждое из которых меньше предыдущего на 1 (например, 4! = 4 · 3 · 2 · 1)

В результате вычислений находим, что P = 0,0137.

5. Как интерпретировать значение точного критерия Фишера?

Достоинством метода является соответствие полученного критерия точному значению уровня значимости p. То есть, полученное в нашем примере значение 0,0137 и есть уровень значимости различий сравниваемых групп по частоте развития ВПР плода. Необходимо лишь сопоставить данное число с критическим уровнем значимости, обычно принимаемым в медицинских исследованиях за 0,05.

• Если значение точного критерия Фишера больше критического, принимается нулевая гипотеза и делается вывод об отсутствии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от наличия фактора риска.
• Если значение точного критерия Фишера меньше критического, принимается альтернативная гипотеза и делается вывод о наличии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от воздействия фактора риска.

В нашем примере P < 0,05, в связи с чем делаем вывод о наличии прямой взаимосвязи курения и вероятности развития ВПР плода. Частота возникновения врожденной патологии у детей курящих женщин статистически значимо выше, чем у некурящих.

Фишер. Статистический вывод

Рональд Фишер — ученый, снабдивший статистику инструментами, благодаря которым она обрела то огромное значение, которое имеет сегодня. Его основной вклад — статистический вывод, инновационный подход, связанный с понятием вероятности, который дал статистике, состоявшей прежде на службе других дисциплин, необходимый импульс для того, чтобы она стала полноправной наукой. Этому британскому математику и биологу мы обязаны статистическим методом, который применяется в планировании научных экспериментов. Он был ярым сторонником евгеники, зародившейся в первой половине XX века, и в этом контексте его исследования касались также генетики и современной эволюционной теории.

По теме см. также Левин. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel

Наука. Величайшие теории: выпуск 47: Возможно да, возможно нет. Фишер. Статистический вывод. — М.: Де Агостини, 2015. — 176 с.

Скачать конспект (краткое содержание) в формате Word или pdf, примеры в формате Excel

Глава 1. Статистика до Фишера

Принято считать, что статистика состоит из двух взаимосвязанных, но самостоятельных разделов: описательной статистики, которая занимается эксплоративным (пробным, разведочным) анализом данных, и статистического вывода, отвечающего за предсказания в условиях неопределенности.

Золотая теорема Бернулли, известная сегодня как просто теорема Бернулли, гласит, что относительная частота события стремится к фиксированному числу (вероятности события) по мере того, как увеличивается количество повторений эксперимента (рис. 1).

Рис. 1. Относительная частота выпадения орла после 100 подбрасываний монеты; откройте файл Excel и поэкспериментируйте, нажимая F9; поскольку график основан на формуле, использующей случайные числа, его вид будет постоянно меняться, но стремление к среднему значению будет неизменным

На рубеже XVIII и XIX веков Пьер-Симон де Лаплас (1749–1827) утверждал, что ситуации, связанные со случайностью, бывают двух типов. В ситуациях первого типа случай проявляется в результатах. Известно, что в урне находятся белые и черные шары; вопрос: какой шар мы вытащим? На основе причин (количество белых и черных шаров в урне) вычислим вероятность результата: вытащим ли мы белый или черный шар? В ситуациях второго типа случай проявляется не в результатах, а в причинах. Мы знаем результат опыта (например, мы вытащили черный шар) и хотим вычислить состав содержимого урны, который нам неизвестен (подробнее см. Пьер Симон Лаплас. Опыт философии теории вероятностей).

Представим себе урну, в которой могут быть два разных набора шаров: 2 белых и 3 черных или 3 белых и 2 черных (рис. 2). Вытаскиваем случайный шар, он оказывается черным; какой набор шаров в урне более вероятен? Теорема Байеса обеспечивает численную оценку этой вероятности (подробнее см. Идеи Байеса для менеджеров). Если предположить a priori, что два состава равновероятны (вероятность каждого равна 0,5), после применения формулы Байеса вероятность первого состава увеличивается до 0,6 из-за извлечения черного шара, тогда как вероятность второго состава уменьшается до 0,4. Вероятности a priori (0,5 и 0,5) корректируются a posteriori (0,6 и 0,4). Для Лапласа, как и для Байеса, эта важная теорема означала возможность обучения через опыт.

Рис. 2. Теорема Байеса в действии. Если мы вытащили черный шар, то согласно теореме Байеса, вероятность a posteriori состава на рисунке слева выше, чем вероятность состава на рисунке справа

В 1835 году ученик Лапласа, Симеон Дени Пуассон исследовал вопросы электоральной математики и юриспруденции и сформулировал «закон больших чисел», который обеспечивал лучшую основу применению исчисления вероятностей к социальным проблемам, объясняя статистическую стабильность в социальных изменениях. Большое количество индивидуумов, действуя в рамках системы, определяют регулярность, которая не зависит от их взаимной координации.

Неполнота генетических теорий Чарльза Дарвина (1809–1882) подтолкнула его кузена Фрэнсиса Гальтона (1822–1911) к попытке разрешить проблемы наследования признаков при помощи математического анализа биологических данных. В книге «Наследственность таланта, ее законы и последствия» (1869) он утверждает: «Точно так же, как методами тщательной и умелой селекции в рамках естественных ограничений удается получить стабильную породу собак или лошадей, обладающих особенными способностями к бегу или к чему-либо еще, представляется вполне возможным произвести высокоталантливую расу людей путем рассчитанных браков в течение нескольких последовательных поколений».

Гальтон считал, что союз двух умных людей приведет к рождению еще более умных детей, точно так же как у двух высоких людей рождаются еще более высокие дети. Однако эксперименты с наследованием, которые он проводил в течение всей жизни, привели к открытию другой статистической закономерности, отличной от ожидаемой. В своей книге «Естественное наследование» (1889) он назвал ее «возвращением к посредственности», а позднее — «регрессией к среднему». Сегодня мы знаем, что это не столько биологическая, сколько исключительно статистическая закономерность: более вероятно, что значения нормальной случайной величины будут ближе к ее среднему, ожидаемому значению (подробнее см. Даниэль Канеман. Думай медленно… решай быстро).

Гальтон обнаружил следующее линейное соотношение:

рост ребенка, см = 85 см + 0,5 * рост родителя, см

Это и была одна из прямых регрессии.

Глава 2. Карл Пирсон и биометрическая школа

Карл Пирсон (1857–1936) родился в Лондоне. Его семья принадлежала к среднему классу, что позволило юноше изучать математику в Кембридже, а после окончания в 1879 году продолжить обучение в университетах Гейдельберга и Берлина.

Одним из первых введенных им понятий было «стандартное отклонение». Далее он придумал коэффициент вариации, определив его как связь между стандартным отклонением и средним в абсолютном значении. Пирсон разработал еще два описательных показателя, коэффициент асимметрии и эксцесс. Пирсон сделал использование абстрактной математики в статистике обязательным и анализировал большие наборы данных (более 1000 объектов). Пирсон первым предупреждал об опасности выявления «ложных корреляций»: две переменные могут коррелировать между собой в отсутствие причинно-следственной связи или общей причины. В 1900 году Пирсон вывел критерий хи-квадрат (χ²) для определения качества подгонки наблюдаемого и теоретического, или ожидаемого, распределения.

В 1901 году Уэлдон и Пирсон, при участии Фрэнсиса Гальтона, основали журнал «Биометрика». В 1914 году Пирсон получил для публикации в «Биометрике» статью, подписанную 24-летним студентом по имени Р.А. Фишер. Статья была посвящена выборочным распределениям. Этот вопрос превращался в важную тему для дальнейшего развития статистического вывода, так как позволял количественно оценить надежность предположений, сделанных на основании репрезентативной выборки, имеющей своей целью узнать характеристики генеральной совокупности, набора объектов, который считался слишком большим, чтобы исследовать его полностью.

Характеристики генеральной совокупности, которые нужно было оценить, стали называть параметрами: генеральное среднее μ, стандартное отклонение генеральной совокупности σ или коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ. Значения, вычисленные на основе данных выборки для оценки этих параметров, окрестили статистиками: выборочное среднее, стандартное отклонение выборки S.

Уильям Сили Госсет (1876–1937) по образованию был химиком, а познакомился со статистикой после работы в биометрической лаборатории Пирсона. В 1908 году он издал свою знаменитую статью «Возможная ошибка среднего» под псевдонимом Стьюдент. Причиной такой таинственности послужило то, что дублинская пивоварня Гиннесс, где он работал, не разрешала сотрудникам публиковать результаты исследований, проведенных на производстве. Стремясь контролировать качество производимого пива, Стьюдент собирал небольшие выборки (из соображений экономии). Он обнаружил, что один из типов кривых Пирсона соответствовал распределению, удобному для проведения этих экспериментов в малом масштабе. Так, если Стьюдент хотел оценить среднюю кислотность пива, произведенного на заводе за определенный период, он вычислял среднее из уровней кислотности, измеренных в дюжине бочек, которые составляли выборку. Проблема заключалась в том, что Стьюдент не знал возможную ошибку, возникающую при оценке среднего генеральной совокупности по выборочному среднему, то есть число, необходимое для определения точности статистического вывода и допустимого предела кислотности. Чтобы определить это, Стьюденту нужно было знать распределение выборочного среднего. Было замечено, что если выборка достаточно большая — 30 или более объектов, — распределение выборочного среднего приближается к нормальному (благодаря центральной предельной теореме), но если выборка маленькая, то дело обстоит иначе.

Стьюдент вычислил верное распределение, известное сегодня — после того как в 1925 году его отметил Фишер — как распределение t Стьюдента. На самом деле это целое семейство распределений, зависящих от количества степеней свободы; в общем случае оно более плоское, чем нормальное распределение, с более длинными хвостами, что отражает большую неуверенность в выводах. Эта вероятностная модель оказалась неотъемлемой частью статистических методов наших дней ввиду своей надежности, поэтому она используется не только для выводов на основании малых выборок из нормальной генеральной совокупности (для которой среднее и стандартное отклонение неизвестны), но также и для ненормально распределенных данных. Распределение t оказалось практически нечувствительным к гипотезе нормальности (рис. 3).

Рис. 3. Распределение t Стьюдента (серый цвет) обладает более широкими хвостами по отношению к нормальному (черный цвет)

Глава 3. Математические основы статистического вывода

В 1920-е годы Фишер принял эстафету у поколения статистиков, сформировавшегося вокруг Пирсона. Его статья «О математических основах теоретической статистики» и последовавшие за ней книги «Статистические методы для исследователей» и «Планирование экспериментов» ознаменовали становление статистического вывода как математической дисциплины. В них Фишер изложил критерий значимости, дисперсионный анализ и рандомизацию в качестве основных принципов любой работы ученого-натуралиста с фактами.

Статистический вывод — это набор методов, которые позволяют формулировать суждения об общем (генеральная совокупность) на основании частного (выборка), предоставляя меру уверенности в предсказании, вероятность ошибки.

До Фишера статистика, в которой доминировал титан Карл Пирсон, находилась в следующей ситуации. В описательной статистике, хотя и не существовало явного различия между выборкой и генеральной совокупностью, были известны простые графические представления (столбчатая диаграмма, гистограмма, диаграмма рассеяния) и вычислялись основные показатели центральной тенденции (среднее, медиана, мода), дисперсии (стандартное отклонение, хотя оно было и не единственной мерой), позиции (квартили и перцентили) и формы (асимметрия и эксцесс). Переход от разведывательного анализа данных к математической теории вероятностей проходил через подгонку теоретических распределений — нормальной кривой или кривых Пирсона — к наблюдаемым распределениям частот методом наименьших квадратов или методом моментов. Качество подгонки оценивалось с помощью критерия хи-квадрат. Наконец, статистический вывод мог похвастаться только двумя быстрыми методами: предсказаниями, основанными на анализе регрессии и корреляции, и в особенности обратными вероятностными методами, базирующимися на теореме Байеса (байесовский, или субъективный вывод).

Фишер заполнил пробел в этом важнейшем секторе, заложив основы методов оценки и вывода. Если Пирсон учил, как извлекать интересующую информацию из путаницы данных, Фишер показал, как познать целое (генеральную совокупность), наблюдая часть (выборку). Можно сказать, что Фишер довел до абсолюта создание методологического корпуса статистики: выбор теоретической модели на основании эмпирических данных, математическая дедукция свойств этой модели, оценка неизвестных параметров и заключительная проверка модели с помощью эксперимента. Подход, состоящий в сборе информации в ходе эксперимента и подготовке выводов на ее основе, составляет суть статистического вывода, и в отличие от вычисления вероятностей это не индуктивный, а дедуктивный процесс, сопровождающийся определенными ошибками, которые можно оценить количественно.

Сосредоточившись на проблемах теории оценки, Фишер утверждал, что речь шла о выборе наиболее подходящего значения из параметров генеральной совокупности традиционно обозначаемых греческими буквами, например, Θ на основании данных выборки, или, точнее, на базе статистик — обозначаемых латинскими буквами (например, Т), — которые вычисляются по наблюдаемым данным. Теория статистической оценки, разработанная Фишером, определяет, каким критериям должна удовлетворять хорошая оценка.

Сегодня три критерия, приведенные Фишером, претерпели небольшие изменения, хотя их смысл сохранился. Смещение. Оценка Т считается правильной и несмещенной для параметра Θ, если для любого размера выборки среднее значение ее распределения равно Θ, то есть если ожидаемое значение статистики Т является истинным значением Θ. Иначе оценка считается смещенной (рис. 4; подробнее см. СТАНДОТКЛОН.В и СТАНДОТКЛОН.Г: в чем различие?). Эффективность. Эффективность, или точность, оценки определяется как величина, обратная дисперсии ее выборочного распределения: чем больше дисперсия оценки, тем менее точна эта оценка, и наоборот. Это понятие имеет особенное значение для сравнения несмещенных оценок, так как среди них предпочтение должно отдаваться более эффективным, то есть обладающим наименьшей дисперсией.

Рис. 4. Пример смещения и эффективности оценки. Если мы сравним статистические оценки с выстрелами нескольких стрелков, то сможем лучше понять, какими качествами должна обладать хорошая оценка. Выстрелы стрелка А не отклоняются в каком-то одном направлении, но видно, что они очень разбросаны (это соответствует несмещенной, но неэффективной оценке). Выстрелы стрелка В смещены влево и разбросаны (оценка смещенная и неэффективная). Выстрелы стрелка С кучные, но отклоняются (смещенная и эффективная оценка).

Чтобы понять функцию правдоподобия, заново введенную Фишером и одну из самых важных для вывода, следует четко различать два довольно близких понятия. Пусть Θ — неизвестный параметр генеральной совокупности, а X — случайная выборка из этой совокупности. С одной стороны, существует вероятность получения выборки X при условии некоторого значения Θ (предполагается, что оно известно), обозначаемая р(Х|Θ) (X — переменная, Θ фиксирован) и определяющая вероятность появления всякой выборки. В проблеме оценки случай противоположный: наблюдается выборка X, но значение Θ неизвестно. Тем не менее описанная функция остается полезной, так как, заменив X на наблюдаемые значения, из Р(Х|Θ) для каждого Θ у нас будет вероятность получить выборочное значение X.

Изменяя Θ при фиксированном X, можно получить функцию, называемую функцией правдоподобия, L(Θ|Х), где X фиксирован, а Θ — переменная. Следует отметить, что после перемены ролей X и Θ в соответствии со сменой точки зрения, возникающей при выводе, функция правдоподобия не является распределением вероятности, следовательно, не подчиняется правилам исчисления вероятностей (когда подставляются конкретные значения из выборки). Эта функция отражает наши знания о параметре генеральной совокупности. И вместо предположения известного Θ и вычисления вероятности наблюдать различные выборки X допустим, что наблюдается конкретная выборка X, и оценим правдоподобие различных значений Θ.

Во время Второй мировой войны статистики, работавшие на стороне союзников, столкнулись с трудно разрешимой проблемой: как оценить общее количество немецких танков по серийным номерам захваченных у противника машин? Допустим, у захваченных танков следующие серийные номера: 2, 3, 7, 16. Сколько всего выпущено танков? Наилучшей возможной оценкой будет эффективная оценка (несмещенная и с минимальной дисперсией), формула которой для N следующая: m + (m –n)/n, где m — наибольший наблюдаемый серийный номер и n — размер выборки. Эту формулу можно интерпретировать как сумму выборочного максимума и «пустого среднего» выборки. К максимальному значению прибавляется среднее из промежутков между имеющимися наблюдениями, исходя из предположения, что за максимумом находится еще столько же элементов, сколько пропущено между имеющимися значениями. В нашем примере лучшей оценкой для N будет: 16 + (16-4)/4 = 19 танков всего (см. также Малые выборки в конкурентной разведке).

Фишер в качестве оценки Θ предлагал выбирать то значение, которое соответствует максимальной вероятности появления наблюдаемых значений выборки. Другими словами, выбрать такое значение параметра, которое, оказавшись реальным, максимизирует вероятность иметь данные, наблюдаемые в реальности.

Пусть имеется монета, вероятность выпадения сторон которой, р, неизвестна. Монету подбрасывают четыре раза и получают следующую серию: 0Р00 (орел-решка-орел-орел). Из исчисления вероятностей мы знаем, что Р(ОРОО|р) = р³(1 – р). Следовательно, функция правдоподобия: L(p|ОРОО) = р³(1 – р). Функция правдоподобия достигает максимума для значения 0,75. Таким образом, наша оценка, основанная на имеющейся выборке, будет р = 0,75. В сущности, это и есть основа метода оценки параметров с помощью максимального правдоподобия.

В период с 1923 по 1924 год Фишер писал книгу «Статистические методы для исследователей», которая увидела свет в 1925 году и на сегодняшний день выдержала 14 переизданий. Это самый влиятельный и известный труд Фишера. Он больше похож на учебник, чем на научную работу, благодаря убедительному стилю и характерному отсутствию математических доказательств. Возможно, этим и обусловлен его успех.

Фишер пишет, что статистика — не что иное, как математика, примененная к результатам наблюдений. При исследовании доступных выборок статистик делает выводы о полной совокупности, но они должны быть выражены не языком вероятности (как считали сторонники теоремы Байеса, или обратных вероятностных методов), а скорее языком правдоподобия.

Краеугольный камень всего произведения — «критерий значимости». В чем он состоит? В первую очередь в нулевой гипотезе Н₀, которая устанавливает, например, что истинное значение неизвестного параметра таково, что Θ = Θ₀. Затем выбирается статистика Т и вычисляется ее значение по данным имеющейся выборки X, которое обозначается как Т(Х). Так как распределение статистики Т в выборке известно, определяется вероятность того, что статистика Т примет значение, равное или большее наблюдаемому значению Т(Х), при условии, что нулевая гипотеза верна.

Математически это выглядит так: Р(Т ≥ Т(Х)|Н₀). Это число было названо p-значением. Отсюда, если значение р достаточно мало — обычно меньше 0,05,— считается, что критерий оказался значимым и поэтому позволил опровергнуть нулевую гипотезу Н₀. В противоположном случае тест оказывается незначимым для заранее заданного уровня значимости α = 0,05, отклонить нулевую гипотезу Н₀ оказывается невозможным, ее временно принимают.

Нулевая гипотеза отвергалась только в том случае, когда вероятность наблюдать выборку вроде имеющейся была очень низка. Статистическое рассуждение основывалось на следующей логической дизъюнкции: «Или произошло исключительное событие (очень маловероятное), или нулевая гипотеза неверна». Очень малое р-значение указывало на то, что наблюдаемая выборка сильнее отличается от ожидаемой, чем это можно объяснить чистой случайностью, и поэтому исследователь имеет дело с неправдоподобной нулевой гипотезой, которую следует отвергнуть.

Закрепим эти понятия с помощью простой иллюстрации. Предположим, мы использовали новое удобрение на 20 растениях и наблюдали их рост в течение определенного периода времени, чтобы измерить влияние нового удобрения: увеличение (+) или уменьшение (–) скорости роста по отношению к росту без удобрения. Нашей нулевой гипотезой будет отсутствие всякого положительного эффекта от удобрения, то есть распределение ускорений (+) и замедлений (–) будет полностью случайным, как выпадение «орла» и «решки» при подбрасывании совершенно симметричной монеты. Поэтому, согласно нулевой гипотезе Н₀, вероятность «+» будет равна вероятности «–», а именно Θ = 0,5. Представим, что после эксперимента мы видим 16 «+» и только 4 «–». Если мы выберем в качестве статистики Т количество наблюдаемых «+», то выяснится, что вероятность получить 16 или более «+» исходя из предположения, что вероятность положительного эффекта равна 0,5, составляет, как легко вычислить (см. рис. 5), только 0,006. То есть: Р(Т ≥ Т(Х)|Н₀) = 0,006. Так как значение р ниже порогового α = 0,05, тест оказался значимым, и мы можем отвергнуть исходную нулевую гипотезу: есть эмпирические данные, противоречащие гипотезе, что удобрение не оказывает эффекта. Наоборот, все указывает на то, что оно стимулирует рост растений.

Рис. 5. Таблица расчета вероятности получить 16 и более «+» согласно формуле биномиальной вероятности:

Фишер предупреждал, что уровень значимости α не должен быть фиксированным, жестким. Впрочем, его предупреждение забыли и уровень 0,05 широко приняли, вплоть до того, что значение р = 0,051 стали считать незначимым, а 0,049 — значимым. Выбор этого граничного значения — вопрос не математический, универсальный, а зависит от прагматического контекста: если проверяется новое лекарство, то уровень значимости 0,05 несет 5%-ный риск того, что неэффективное лекарство будет признано эффективным (в этом случае, как и в некоторых других, уровень 0,01 или 0,001 может оказаться более подходящим).

Фишер описывал критерий значимости как способ отвергнуть нулевую гипотезу, которая никаким образом не может быть доказана и установлена окончательно. Этот подход, связанный с опровержением, соответствовал направлению «фальсификации», инициированному философом Карлом Поппером (1902–1994). Для статистика и философа наука характеризуется постановкой экспериментальных доказательств, которые могут опровергнуть или фальсифицировать теории, описываемые учеными (подробнее см. Карл Поппер. Логика научного исследования).

Методологически подход Фишера был разновидностью фальсификации в приложении к статистике: он состоял в опровержении гипотез, для которых наблюдения были относительно неправдоподобными. Нулевая гипотеза никогда не подтверждалась, но ее можно было опровергнуть. Если критерий оказывался значимым, гипотеза оказывалась неприемлемой в свете имеющихся данных; если нет, это говорило лишь о том, что гипотеза была совместима с данными.

Кроме критерия значимости, книга Фишера описывала дисперсионный анализ — другую инновационную статистическую методику, известную во всем мире по английской аббревиатуре ANOVA (англ. ANalysis Of VAriance; подробнее см. Однофакторный дисперсионный анализ).

В 1935 году Фишер издает книгу «Планирование экспериментов». Биологические исследования требуют проведения контролируемых экспериментов. Пассивного наблюдения недостаточно. Выборочная техника состоит в исследовании репрезентативной выборки из генеральной совокупности и измерении изучаемых показателей. Планирование экспериментов, наоборот, заключается в фиксации одних параметров и наблюдении за другими, с измерением возникающих изменений.

Объекты, получающие «обработку», являются экспериментальными единицами. Каждая обработка должна встречаться как минимум два раза, а лучше — несколько раз. Если мы хотим сравнить обработку А и В, в идеале следует применить их одновременно на множестве участков. Может случиться, что наблюдаемая разница между обработками А и В связана просто с разной плодородностью почвы на разных участках, а не с тем, например, что А эффективнее, чем В. Принцип повторения, сформулированный Фишером, помогал ограничить ошибку эксперимента, то есть случайную вариацию, не контролируемую экспериментатором (как, например, разная плодородность участков, на которых применяются обработки А и В).

Уравнение Фишера — обзор, формула и пример

Что такое уравнение Фишера?

Уравнение Фишера — это экономическая концепция, описывающая взаимосвязь между номинальными и реальными процентными ставками под влиянием инфляции Инфляция Инфляция — это экономическая концепция, которая относится к увеличению уровня цен на товары в течение определенного периода времени. Повышение уровня цен означает, что валюта в данной экономике теряет покупательную способность (то есть за ту же сумму денег можно купить меньше).. Уравнение утверждает, что номинальная процентная ставка равна сумме реальной процентной ставки плюс инфляция.

Уравнение Фишера часто используется в ситуациях, когда инвесторы или кредиторы просят дополнительное вознаграждение для компенсации потерь покупательной способности из-за высокой инфляции.

Концепция широко используется в области финансов и экономики. Он часто используется при расчете окупаемости инвестиций. Возврат инвестиций (ROI). Рентабельность инвестиций (ROI) — это показатель эффективности, используемый для оценки окупаемости инвестиций или сравнения эффективности различных инвестиций.или в прогнозировании поведения номинальных и реальных процентных ставок. Один из примеров — когда инвестор хочет определить фактическую (реальную) процентную ставку, полученную по инвестициям, после учета влияния инфляции.

Один интересный вывод уравнения Фишера связан с денежно-кредитной политикой. Это мощный инструмент. Уравнение показывает, что денежно-кредитная политика движет инфляцию и номинальную процентную ставку в одном направлении.Принимая во внимание, что денежно-кредитная политика обычно не влияет на реальную процентную ставку.

Американский экономист Ирвинг Фишер предложил уравнение.

Формула уравнения Фишера

Уравнение Фишера выражается следующей формулой:

(1 + i) = (1 + r) (1 + π)

Где:

i — номинальная процентная ставка ставка

r — реальная процентная ставка

π — уровень инфляции

Однако можно также использовать приблизительную версию предыдущей формулы:

i ≈ r + π

Пример уравнения Фишера

Предположим, что Сэм владеет инвестиционным портфелем.В прошлом году доходность портфеля составила 3,25%. Однако в прошлом году инфляция составляла около 2%. Сэм хочет определить реальную прибыль, которую он получил от своего портфеля. Чтобы найти реальную норму прибыли, мы используем уравнение Фишера. Уравнение утверждает, что:

(1 + i) = (1 + r) (1 + π)

Мы можем изменить уравнение, чтобы найти реальную процентную ставку:

Следовательно, реальная процентная ставка , или фактическая доходность инвестиций, портфеля равна:

Реальный процент, который инвестиционный портфель Сэма заработал в прошлом году с учетом инфляции, составляет 1.26% .

Дополнительная литература

CFI предлагает аналитика по финансовому моделированию и оценке (FMVA) ® Стать сертифицированным аналитиком финансового моделирования и оценки (FMVA) ® Сертификат CFI по анализу финансового моделирования и оценки (FMVA) ® поможет вам обрести уверенность в себе. необходимость в вашей финансовой карьере. Запишитесь сегодня! программа сертификации для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:

• Эффективная годовая процентная ставка Эффективная годовая процентная ставка Эффективная годовая процентная ставка (EAR) — это процентная ставка, которая корректируется с учетом начисления сложных процентов за определенный период.Проще говоря, эффективная
• плавающая процентная ставка Плавающая процентная ставка Плавающая процентная ставка относится к переменной процентной ставке, которая изменяется в течение срока действия долгового обязательства. Это противоположность фиксированной ставки.
• Премия за рыночный риск Премия за рыночный риск Премия за рыночный риск — это дополнительная прибыль, которую инвестор ожидает от владения рискованным рыночным портфелем вместо безрисковых активов.
• Нормативная экономика Нормативная экономика Нормативная экономика — это школа мысли, которая считает, что экономика как предмет должна передавать оценочные заявления, суждения и мнения по

Формула эффекта Фишера | Финансы

Автор: Джеки Лохри | Рецензент: Райан Кокерхэм, CISI по рынкам капитала и корпоративным финансам | Обновлено 5 февраля 2019 г.

Формула «эффекта Фишера» пытается показать, как ожидание инфляции влияет как на процентные ставки, так и на покупательную способность.Эта формула, разработанная как часть общей экономической теории в 1930 году экономистом-математиком Ирвином Фишером, сегодня настолько широко используется в области экономики и финансов, что многие считают ее стилизованным фактом — термином, используемым для описания столь последовательных наблюдений и выводов. они общеприняты как истинные. Формула эффекта Фишера не только играет важную роль в научных кругах и бизнесе, но и имеет приложения, которые могут принести пользу вам как инвестору.

Совет

Формула, используемая для расчета эффекта Фишера, требует трех важных параметров данных: номинальной процентной ставки, реальной процентной ставки и ожидаемого уровня инфляции.

Компоненты формулы

Формула эффекта Фишера предполагает период в один год и разбивается на три компонента: номинальная процентная ставка, реальная процентная ставка и ожидаемый уровень инфляции. Номинальная процентная ставка — это процент, показывающий цену, которую вы платите за использование денег, без учета инфляции. Реальная процентная ставка — это процент, который корректируется для устранения влияния инфляции и, как следствие, является мерой «реальной» покупательной способности.Ожидаемый уровень инфляции — это процент, который меняется в зависимости от текущих экономических циклов.

Расчет формулы

Расчет эффекта Фишера нетрудно. Технический формат формулы: «Rном = Rreal + E [I]» или номинальная процентная ставка = реальная процентная ставка + ожидаемый уровень инфляции. Более простой способ вычислить формулу и определить покупательную способность — разбить уравнение на два этапа. Используйте уравнение «Rnon — E [I] = Rreal», чтобы получить реальный уровень инфляции.Затем определите реальную покупательную способность, скажем, 100 долларов, умножив 100 на Rreal и вычтя сумму из 100. Если Rreal составляет 2 процента, покупательная способность 100 долларов через год будет только 98 долларов.

Краткосрочные применения

Эффект Фишера имеет краткосрочные практические применения, которые вы можете использовать в повседневной жизни. Поскольку это оценка покупательной способности в соответствии с темпами инфляции, вы можете использовать ее для определения «реальной» нормы прибыли на инвестиции с точки зрения того, что ваша прибыль купит.Например, если вы приобретаете 12-месячный депозитный сертификат на 5000 долларов США с процентной ставкой 0,94 процента, а инфляция остается постоянной, в конце года у вас будет 5 047,22 доллара США.

Однако, если инфляция вырастет на 2 процента в течение года, вы фактически потеряете деньги на вложениях, поскольку ваша прибыль и покупательная способность ваших денег уменьшатся на 53,50 доллара или 1,06 процента, в результате чего вам останется потратить всего 4 993,72 доллара: 2,0 — 0,94 = 1,06 5047,22 * 1,06 = 53,50 5047,22 — 53.50 = 4993,72

Долгосрочное значение

Знание реальной процентной ставки имеет решающее значение для принятия правильных инвестиционных решений. Хотя использование эффекта Фишера для расчета краткосрочных эффектов может оказаться полезным и интересным, результаты становятся еще более значимыми при его применении в долгосрочной перспективе. Сложные расчеты с использованием ваших временных рамок для инвестирования, начальной суммы инвестиций, номинальной процентной ставки и различных темпов инфляции могут быть инструментом для анализа потенциала инвестиций и помочь вам определить, в какой момент экономического цикла имеет смысл продавать.

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ФИШЕРА С ПРИМЕНЕНИЕМ В БИОХИМИИ

Принадлежности Расширять

Принадлежность

• ¹ Департамент прикладной математики, Университет Колорадо, Боулдер 80309-0526, США.

Элемент в буфере обмена

Джон Т. Нардини и др. SIAM J Appl Math. 2018.

Показать варианты

Формат АннотацияPubMedPMID

Принадлежность

• ¹ Департамент прикладной математики, Университет Колорадо, Боулдер 80309-0526, США.

Элемент в буфере обмена

Показать варианты

Формат АннотацияPubMedPMID

Абстрактный

Недавние биологические исследования были направлены на понимание того, как биохимические сигнальные пути, такие как семейство митоген-активируемых протеинкиназ (MAPK), влияют на миграцию популяции клеток во время заживления ран.Уравнение Фишера широко использовалось для моделирования экспериментальных анализов заживления ран из-за его простой природы и известных решений с бегущей волной. Однако это уравнение в частных производных с независимыми переменными времени и пространства не может учесть влияние биохимической активности на заживление ран. С этой целью мы выводим структурированное уравнение Фишера с независимыми переменными времени, пространства и уровня активности биохимических путей и доказываем существование самоподобного решения бегущей волны для этого уравнения.Мы показываем, что эти методы также применимы к общему структурированному уравнению реакции-диффузии и уравнению хемотаксиса. Мы также рассматриваем более сложную модель с различными фенотипами, основанную на активации MAPK, и численно исследуем, как различные временные паттерны биохимической активности могут приводить к увеличению или уменьшению скорости миграции населения.

Ключевые слова: Биохимические сигнальные пути; Сценическое строение; Решения бегущей волны; Лечение раны.

Цифры

Аналитическое решение (9) для г…

Аналитическое решение (9) относительно g ( y ) = (1 — y ) / 2,…

Аналитическое решение (9) для g ( y ) = (1 — y ) / 2, A = 0 и ϕ ( y ) = e ^{— ( y -0,1) 2 /,16} . (а) Графики t = σ ( y ; y̲ ) для y̲ = 0, 0.2, 0,4 и 0,6. (б) Графики y = σ ⁻¹ ( t ; y̲ ) для y̲ = 0, 0,2, 0,4 и 0,6. (в) Графики υ ( t ; y̲ ) для y̲ = 0, 0,2, 0,4, 0,6. Кривые на плоскости ( t, y ) обозначают y = σ ⁻¹ ( t ; y̲ ). (d) График в логарифмическом масштабе и ( t, y ). Пунктирная линия обозначает минимальный уровень поддержки с течением времени.

Решения для (5) с f…

Решения (5) с f ( t ) = βe ^γt — 1,…

Решения (5) с f ( t ) = βe ^γt — 1, g ( m ) = αm (1 — m ) при t = 0 , 5 и 10 для α = 1, β = 3, γ = −1/4. В каждом кадре контур в градациях серого изображает численное моделирование и ( t, x, m ) вдоль, красный профиль представляет собой график p ( t, m ) для обозначения профиля активации в момент времени. t , а синий профиль является результатом численного интегрирования u ( t, x, m ) по размеру m , чтобы отобразить w ( t, x ).

Два изображения изоклины…

Два изображения изоклины для u = 1 из численного моделирования…

Два изображения изоклины для u = 1 из численного моделирования (7) с g ( m ) = αm (1 — m ) и f ( t ) = β sin ( γt ) для α = 0,5, β = 1, γ = 1,615, D̄ = 100, λ̄ = 1/100 и начальное условие ϕ ₁ ( м ) = ¹⁰ / ₃ I _[.05,0.35] ( м ) и ϕ ₂ ( x ) = I _{[ x ≤5]} ( x ). Числовая схема обсуждается в разделе 5.3, и используются размеры шага: Δ м = ¹ / ₈₀ , Δ x = ¹ / ₅ , Δ t = 10 ⁻³ . Из (32) моделирование не должно пересекать плоскость м = м _крит , которая задана красной плоскостью.На кадре (а) мы видим, что моделирование действительно пересекает плоскость м = м _крит из-за числовой диффузии, которая вызывает высокую скорость диффузии вдоль x , видимую на кадре (b).

Аналитическое решение для…

Аналитическое решение для активационного профиля, п ( т, м ), для…

Аналитическое решение для профиля активации, p ( t, m ), для примера 1 для α = 0,5 и ϕ ₁ ( м ) = I _{(0,05, 0,35)} ( м ). Сплошные черные кривые обозначают h ( t ; m̲ ) для m̲ = 0.05, 0,15 и 0,35, а пунктирная линия обозначает м = м _крит . Обратите внимание, что шкала журнала используется по p для облегчения наглядности.

Численное моделирование усредненного…

Численное моделирование усредненного нестационарного уравнения Фишера для примера 1. В (а),…

Численное моделирование усредненного нестационарного уравнения Фишера для примера 1. В (а) мы изображаем моделирование w ( t, x ) с течением времени для α = 0,05. Буквы «P» и «D» обозначают, когда популяция в первую очередь размножается или распространяется, соответственно.В (b) мы изображаем, как профиль для w ( t = 40, x ) изменяется для различных значений α . Описания «Нет активации», «Активация» и «Полная активация» обозначают значения α , для которых популяция полностью находится в неактивной популяции, разделена между активной и неактивной популяциями или полностью входит в активную популяцию при т. = 40 соответственно.

Аналитическое решение для…

Аналитическое решение для активационного профиля, п ( т, м ), для…

Аналитическое решение для профиля активации, p ( t, m ), для примера 2 для α = 0.5, β = 3, γ = −1/4 и ϕ ₁ ( м ) = I _(0,05,0,35) ( м ). Сплошные черные кривые обозначают h ( t ; m̲ ) для m̲ = 0,05, 0,15 и 0,35, а пунктирная линия обозначает м = м _крит . Обратите внимание, что шкала журнала используется по p для облегчения наглядности.

Численное моделирование усредненного…

Численное моделирование усредненного нестационарного уравнения Фишера для примера 2. В (а),…

Численное моделирование усредненного нестационарного уравнения Фишера для Примера 2.В (а) мы изображаем моделирование w ( t, x ) с течением времени для α = 1, β = 8, γ = −1. Области, обозначенные буквами «P» или «D», обозначают, когда популяция в первую очередь размножается или диффундирует, соответственно. В (b) мы изображаем, как профиль для w ( t = 30, x ) изменяется для различных значений β . Описания «Нет активации», «Активация» и «Полная активация» обозначают значения β , для которых популяция полностью находится в неактивной популяции, разделена между активной и неактивной популяциями или полностью входит в активную популяцию при t = т _макс .

Аналитическое решение для…

Аналитическое решение для активационного профиля, п ( т, м ), для…

Аналитическое решение для профиля активации, p ( t, m ), для примера 3 для α = 1/2, β = 4, γ = 1 и ϕ ₁ ( м ) = I _(0,05,0,35) ( м ). Сплошные черные кривые обозначают h ( t ; m̲ ) для m̲ = 0,05, 0,15 и 0,35, а пунктирная линия обозначает м = м _крит .Обратите внимание, что шкала журнала используется по p для облегчения наглядности.

Численное моделирование усредненного…

Численное моделирование усредненного нестационарного уравнения Фишера для Примера 3.В (а),…

Численное моделирование усредненного нестационарного уравнения Фишера для примера 3. В (a) мы изображаем моделирование w ( t, x ) с течением времени для α = 0,5, β = 1, и γ = 4 π . Области, обозначенные буквами «P» или «D», обозначают, когда популяция в первую очередь размножается или диффундирует, соответственно. В (b) мы изображаем w ( t = 40, x ) для различных значений γ .Описания «Нет активации», «Активация» и «Полная активация» обозначают значения γ , для которых популяция полностью находится в неактивной популяции, разделена между активной и неактивной популяциями или полностью входит в активную популяцию при т. = т _макс .

Все фигурки (9)

Похожие статьи

• Пространственная динамика для модели заживления эпидермальных ран.

  Ван Х, Ву С. Ван Х и др. Math Biosci Eng. 2014 Октябрь; 11 (5): 1215-27. DOI: 10.3934 / mbe.2014.11.1215. Math Biosci Eng. 2014 г. PMID: 25347813

• Модель бегущей волны для вторжения клеток-предшественников и дифференцированных клеток.

  Trewenack AJ, Landman KA. Trewenack AJ, et al. Bull Math Biol. 2009 Февраль; 71 (2): 291-317. DOI: 10.1007 / s11538-008-9362-х. Epub 2009 9 января. Bull Math Biol. 2009 г. PMID: 145

• Модель бегущей волны для интерпретации анализа миграции раневых клеток мезотелиальных клеток брюшины человека.

  Майни П.К., МакЭлвейн Д.Л., Ливсли Д.И. Maini PK, et al. Tissue Eng. 2004 март-апрель; 10 (3-4): 475-82. DOI: 10.1089 / 107632704323061834. Tissue Eng. 2004 г. PMID: 15165464

• Эффекты транспортной памяти и нелинейного затухания в обобщенном уравнении Фишера.

  Абрамсон Г., Епископ А.Р., Кенкре В.М. Abramson G, et al. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. 2001 декабрь; 64 (6, балл 2): 066615. DOI: 10.1103 / PhysRevE.64.066615. Epub 2001 26 ноября. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. 2001 г. PMID: 11736304

• Применение моделирования Монте-Карло в моделировании биохимических процессов.

  Тенекеджиев К.И., Николова Н.Д., Колев К.Тенекеджиев К.И., и др. В: Mode CJ, редактор. Применение методов Монте-Карло в биологии, медицине и других областях науки [Интернет]. Риека (HR): InTech; 2011 28 февраля. Глава 4. В: Mode CJ, редактор. Применение методов Монте-Карло в биологии, медицине и других областях науки [Интернет]. Риека (HR): InTech; 2011 28 февраля. Глава 4. PMID: 28045483 Бесплатные книги и документы. Рассмотрение.

Процитировано