Разное

Формула pi: Индекс доходности, PI — Альт-Инвест

20.03.1984

Содержание

что это такое, чему равно, история, как округлить

Даже если вы давно закончили школу и из всего курса математики помните только таблицу умножения, мы уверены: про число пи вы знаете. Скажете сходу, чему оно равно? Помните, для чего нужно число пи и как его посчитать? Если нет, читайте наш урок

Мария Макулова

Редактор раздела «Образование»

Вячеслав Смольняков

Учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, эксперт ОГЭ и ЕГЭ Региональной предметной комиссии по математике и информатике

Ирина Ходакова

Учитель математики

Представляете, мы живем в эпоху технологического прорыва, но до сих пор не можем точно рассчитать площадь съеденного круглого торта? Все потому, что в формуле вычисления площади круга используется число π.

От автомобильного колеса до орбиты спутника, от часового механизма до электромагнитных и звуковых волн. В любой научной области есть расчеты, и практически в любом расчете не обойтись без числа пи. Даже там, где, казалось бы, окружности нет места, например в статистике.

Что такое число пи

Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. Если записать это отношение математическими символами, то выглядит оно так: π = C/d, где C — это длина окружности, а d — диаметр окружности. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр. Но само по себе число пи не является каким-то параметром окружности. Это математическая постоянная, или константа (то есть неизменная), которая нужна для расчета определенных данных. Например, число пи необходимо, чтобы посчитать площадь круга.

Число пи — это результат деления длины окружности на ее диаметр

Чему равно число пи

Число пи не имеет точного значения. Это легко проверить. Возьмите круг любого размера, разделите его окружность на диаметр — у вас получится десятичная дробь с множеством цифр после запятой. Математики называют такие числа иррациональными. Результат, который вы увидите, будет равен 3 целых и сколько-то десятых, сотых, тысячных — и далее насколько хватит дисплея калькулятора. У числа пи бесконечное количество знаков после запятой. Но для удобства в расчетах используют округленные значения.

Число π примерно равно 3,14, или, если точнее, 3,1415926535. Именно значение с десятью знаками после запятой принято использовать. Но все дело в округлении. Там, где не нужны максимально точные расчеты, за число пи часто берут 3. А вот для точных расчетов в науке ученые используют число пи с 38-ю знаками десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби). Итак:

π = 3,14

или

π = 3,1415926535

Как посчитать число пи самостоятельно

Возьмите несколько круглых предметов разного размера, например тарелку, блюдце и крышку от кастрюли. Измерьте окружность каждого. Для этого используйте сантиметровую ленту. Или можно обернуть их по окружности ниткой или веревкой, а потом полученную длину нитки или веревки измерить линейкой. С помощью сантиметровой ленты или линейки измерьте и диаметр каждого предмета. Длина окружности и диаметры у каждого будут разные, ведь предметы разные по размеру. Теперь для каждого предмета разделите его длину окружности на диаметр. Вы увидите, что во всех случаях, какого бы размера ни был круглый предмет, полученное значение будет 3 целых и далее десятые и сотые доли. Оно необязательно соответствует принятому значению в 3,14, но всегда будет около него.

Какого бы размера ни был круглый предмет, при делении длины его окружности на диаметр получится 3 целых и далее десятые и сотые доли — приблизительно 3,14

Практическое применение числа пи

В школе нас учат использовать число пи для вычисления площади круга. Рассчитывается она по следующей формуле: S = πr², где S — площадь, π — число пи, r² — радиус в квадрате. Можно использовать эту формулу: S = d²/4*π, где d² — диаметр.

Зная число пи и диаметр, можно посчитать длину окружности. Для этого вспомним школьные уравнения. Если π = C/d, то C (длина окружности) высчитывается по формуле C = π*d.

Но применение числа пи в науке гораздо шире. Оно используется практически для любых расчетов в любой области, будь то архитектура, авиация и даже статистика. Например, число π нужно для расчета времени полета самолета и расстояния, которое он должен преодолеть. А в статистике с помощью числа пи рассчитывают значения ниже так называемой кривой нормального распределения. Это нужно для того чтобы, например, выяснить, как распределялись голоса респондентов при опросе.

S (площадь круга) = πr²

История числа пи

Считается, что первым обозначать число пи буквой греческого алфавита π (pi) стал британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а популяризировал обозначение его швейцарский коллега Леонард Эйлер в 1737 году. Есть версия, что эта буква выбрана не случайно, а как начальная в греческом слове perijereia, что означает «окружность», «периферия».

Как и на многие явления, известные науке сегодня, на существование некой постоянной, с помощью которой можно посчитать площадь круга, обратили внимание еще в Древнем мире. Но ученые того времени приходили к разному мнению относительно значения этой постоянной: одни использовали значение 3,125, другие — 3,16, третьи — 3,139. Но всегда это значение было 3 с небольшим.

На точное вычисление числа пи ушли тысячелетия. Первым, кто определил более-менее приблизительное значение π, был древнегреческий ученый Архимед. По его расчетам пи равно 3,142857142857143. Как мы знаем сейчас, верными оказались только первые два десятичных числа.

Точнее оказались расчеты китайского математика 480-х годов нашей эры — 3,1415927. Именно это значение числа пи считалось самым верным до 1420-х годов, пока ученые не расширили этот ряд до 16 цифр после запятой, затем до 20-ти, 32-х и так далее.

В XX веке с приходом компьютерных систем и вычислительной техники дело пошло быстрее: теперь уже точные десятичные значения высчитывали машины. С помощью специальных алгоритмов математики во всем мире продолжают определять новые, более точные значения числа пи, устанавливая рекорды по количеству цифр десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).

В ТЕМУ

Популярные вопросы и ответы

Как округлить число пи?

Чтобы не запоминать число пи с большим количеством десятичных значений, его принято округлять. В математике все округления проводятся по строгим правилам. Для округления значения числа пи применяют метод округления к ближайшему целому. Если перед округляемым числом стоит число 5 и большее, то число округляется в большую сторону. Например, 12,513. Другой пример: 12,5812,613.

Если перед округляемым числом стоит число менее 5, то число округляется в меньшую сторону. Например, 12,412. Или: 12,3412,312.

Итак, возьмем π — 3,1415. Округление начинают с последнего значения, в данном случае это 5. Значит, следующая за ним единица округляется до двух: 3,14153,142. Последнее число 2 меньше пяти, значит, последующее 4 остается неизменным: 3,1423,14. Вот мы и пришли к общепринятому значению числа пи.

По тому же принципу давайте продолжим округление до целого числа: 3,143,23. И вот у нас получилось значение числа пи 3.

Как запомнить число пи?

Вячеслав Смольняков, учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, эксперт ОГЭ и ЕГЭ Региональной предметной комиссии по математике и информатике:

На практике мы часто используем округление числа пи до сотых — 3,14. Чуть реже нам нужна большая точность, и мы уже берем значение 3,14159. Чтобы запомнить дробную часть, можно воспользоваться нехитрым приемом: выучить одну фразу «Это я знаю и помню прекрасно». Количество букв в словах соответствует первым цифрам числа пи: «это» — 3, «я» — 1, «знаю» — 4 и так далее.

Для запоминания большего количества цифр есть специальные стихотворения, это называется мнемонический метод запоминания.

Ирина Ходакова, учитель математики:

Чтобы запомнить значение числа π используют один из самых популярных способов — запомнить фразу, в которой количество букв в каждом слове совпадает с цифрами числа π.

Например, «Что(3) я(1) знаю(4) о(1) круге(5)?»

Чтобы запомнить больше знаков числа π, пользуются различными приемами мнемотехники (совокупность приемов, облегчающих запоминание информации). Например, существует стихотворение С. Боброва «Волшебный двурог» для запоминания числа π, которое совсем не сложно выучить:

«Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь»

Где используется число пи?

Вячеслав Смольняков:

В школе ученики впервые знакомятся с числом пи в 6 классе, и я обычно привожу разные примеры того, где это можно использовать в реальной жизни. Например, девочки на уроках технологии часто шьют круглые изделия, и число пи поможет им рассчитать, какое количество тесьмы необходимо для того, чтобы обшить по краю круглую салфетку. Мальчикам часто бывает интересно, как рассчитать, какое расстояние они преодолели на уроке физкультуры, бегая по кругу в спортзале. А еще все любят подарки… Сколько нужно упаковочной бумаги, чтобы обернуть подарок, который находится в коробке цилиндрической формы? Для всего этого нужно знать про число пи. В более старших классах мы используем знание о числе пи уже для решения геометрических задач (однако оно используется не только в геометрии).

В науке число пи используется в множестве геометрических формул, прежде всего для нахождения объемов тел, площадей фигур, которые содержат круг. В тригонометрии это число является одним из основных. Также мы можем его встретить при расчете интегралов в высшей математике, встречается оно и в формулах математической статистики и физики.

Если же рассказывать про то, откуда человечество вообще заинтересовалось данной темой, то стоит переместиться в древность. Получение знаний в ту эпоху, как и сейчас, носило практический характер. Сколько нужно каменных блоков, чтобы построить круглую башню? Вопросы, подобные этому, интересовали и Архимеда, и древних правителей, которым нужно было рассчитать ресурсы для обороны собственных владений.

В XX веке при помощи компьютеров человечество смогло рассчитать уже несколько десятков триллионов знаков после запятой, причем, как и в древности, это имеет практическое значение — при помощи данного расчета можно оценить производительность компьютерных систем.

Ирина Ходакова:

Изначально число π было необходимо для применения в строительстве. Ведь порой из-за погрешности в значении числа π падали башни и рушились целые дворцы. Сейчас π используется в различных сферах нашей жизни.

Мы уже выяснили, что число π позволяет нам рассчитывать и создавать окружности. Если колеса на вашем автомобиле будут немного отличаться друг от друга, то поездки для вас станут как минимум не очень удобными. Но применение числа π этим не ограничивается. Например, без числа π нельзя было бы обеспечить качественную работу телевизоров, радио и телефонов, так как инженеры используют π для расчета и оптимизации звуковых волн. Также π играет важную роль в расчете времени и расстояния путешествия на самолете, так как на большие расстояния самолеты летят по округлой дуге. Не было бы даже многих игр, таких как футбол, баскетбол, теннис, ведь мячи должны быть абсолютно круглыми.

Что вы знаете про число пи?

Посмотрим, насколько хорошо вы разобрались в теме. Потренируйтесь в несложных расчетах и ответьте на простые вопросы для самопроверки.

Пройти тест

Примерно 3,14

У числа пи нет точного значения. Но для расчетов принято округленное значение до сотых. Это 3,14.

Ровно 3

У числа пи нет точного значения. Но для расчетов принято округленное значение до сотых. Это 3,14.

Около 3

У числа пи нет точного значения. Но для расчетов принято округленное значение до сотых. Это 3,14.

Дальше

Проверить

Узнать результат

Это сумма длины окружности и диаметра окружности

Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр.

Это отношение длины окружности к диаметру окружности

Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр.

Это произведение радиуса окружности и длины окружности

Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр.

Дальше

Проверить

Узнать результат

3,1415927

Один из методов запоминания числа пи — это подсчет количество букв в каждом слове предложения. В нашем предложении «Это я знаю и помню прекрасно» в каждом слове такое количество букв: 3, 1, 4, 1, 5, 9. То есть по предложению мы запоминаем, что число пи равно 3,14159.

3,1415

Один из методов запоминания числа пи — это подсчет количество букв в каждом слове предложения. В нашем предложении «Это я знаю и помню прекрасно» в каждом слове такое количество букв: 3, 1, 4, 1, 5, 9. То есть по предложению мы запоминаем, что число пи равно 3,14159.

3,14159

Один из методов запоминания числа пи — это подсчет количество букв в каждом слове предложения. В нашем предложении «Это я знаю и помню прекрасно» в каждом слове такое количество букв: 3, 1, 4, 1, 5, 9. То есть по предложению мы запоминаем, что число пи равно 3,14159.

Дальше

Проверить

Узнать результат

14 см

Вычисляем площадь круга по формуле S = πr². Нам известно, что радиус равен 2 см. 2 в квадрате — это 4. Теперь 4 умножаем на число пи — 3,14. Получаем 12,56 см — это площадь нашего круга.

12,56 см

Вычисляем площадь круга по формуле S = πr². Нам известно, что радиус равен 2 см. 2 в квадрате — это 4. Теперь 4 умножаем на число пи — 3,14. Получаем 12,56 см — это площадь нашего круга.

16,09 см

Вычисляем площадь круга по формуле S = πr². Нам известно, что радиус равен 2 см. 2 в квадрате — это 4. Теперь 4 умножаем на число пи — 3,14. Получаем 12,56 см — это площадь нашего круга.

Дальше

Проверить

Узнать результат

8,87 см

Используем формулу С = πd, где С — длина окружности, а d — диаметр. Мы знаем, что он равен 6 см. Число пи нам тоже известно — 3,14. Умножаем 6 на 3,14 — получаем 18,84 см.

12,48 см

Используем формулу С = πd, где С — длина окружности, а d — диаметр. Мы знаем, что он равен 6 см. Число пи нам тоже известно — 3,14. Умножаем 6 на 3,14 — получаем 18,84 см.

18,84 см

Используем формулу С = πd, где С — длина окружности, а d — диаметр. Мы знаем, что он равен 6 см. Число пи нам тоже известно — 3,14. Умножаем 6 на 3,14 — получаем 18,84 см.

Дальше

Проверить

Узнать результат

5,73 см

Для расчетов нам поможет та же формула С = πd. Только в этом случае нам известна длина окружности (С) и число пи. Чтобы по этим данным вычислить диаметр, немного изменим нашу формулу — d = С/π, то есть 18 делим на 3,14. Это равно 5.73248408. Далее используем метод округления к ближайшему целому — округляем до сотых. Получаем 5,73.

6,05 см

Для расчетов нам поможет та же формула С = πd. Только в этом случае нам известна длина окружности (С) и число пи. Чтобы по этим данным вычислить диаметр, немного изменим нашу формулу — d = С/π, то есть 18 делим на 3,14. Это равно 5.73248408. Далее используем метод округления к ближайшему целому — округляем до сотых. Получаем 5,73.

5,13 см

Для расчетов нам поможет та же формула С = πd. Только в этом случае нам известна длина окружности (С) и число пи. Чтобы по этим данным вычислить диаметр, немного изменим нашу формулу — d = С/π, то есть 18 делим на 3,14. Это равно 5.73248408. Далее используем метод округления к ближайшему целому — округляем до сотых. Получаем 5,73.

Дальше

Проверить

Узнать результат

21,13 см

Для этого расчета вспомним, чему равен диаметр: d = 2r. То есть диаметр равен радиусу, умноженному на два. В нашей задаче радиус окружности — 7 см. Значит, диаметр — 14 см. Далее используем уже знакомую формулу С = πd. Считаем. 3,14 умножаем на 14, получаем 43,96 см.

43,96 см

Для этого расчета вспомним, чему равен диаметр: d = 2r. То есть диаметр равен радиусу, умноженному на два. В нашей задаче радиус окружности — 7 см. Значит, диаметр — 14 см. Далее используем уже знакомую формулу С = πd. Считаем. 3,14 умножаем на 14, получаем 43,96 см.

35,56 см

Для этого расчета вспомним, чему равен диаметр: d = 2r. То есть диаметр равен радиусу, умноженному на два. В нашей задаче радиус окружности — 7 см. Значит, диаметр — 14 см. Далее используем уже знакомую формулу С = πd. Считаем. 3,14 умножаем на 14, получаем 43,96 см.

Дальше

Проверить

Узнать результат

Прочитайте статью еще раз и пройдите тест повторно.

Пройти еще раз

Прочитайте статью еще раз и пройдите тест повторно.

Пройти еще раз

Прочитайте статью еще раз и пройдите тест повторно.

Пройти еще раз

Вы хорошо разобрались в материале, но ошибки еще есть.

Пройти еще раз

Вы хорошо разобрались в материале, но ошибки еще есть.

Пройти еще раз

Вы изучили правило и умеете его применять.

Пройти еще раз

Фото на обложке: shutterstock.com

Вопрос о трансцендентности числа Pi

При написании монографии по теме задачи античной математики Квадратура круга, — «Задача Квадратура Круга. Два взгляда на проблему», я был вынужден углубится в материал по данной теме. Одной из книг, из перечня используемой при написании монографии литературы, была книга Ф. Рудио, — «О квадратуре круга. С приложением истории вопроса». В данной книге освещена тема доказательства трансцендентности числа Pi. Исследуя данную тему, поневоле пришлось ее расширить и углубить в своей работе, несущей исследовательский характер. Данная статья «Вопрос о трансцендентности числа Pi», — это копия страниц из монографии «Задача Квадратура Круга. Два взгляда на проблему». Статья пропущена через международную научную конференцию, и опубликована в журнале SWorld.

Математика

Исследования

Вуз: Институт открытого образования

ID: 57fdd1475f1be7660c94bd5b

UUID: f9b87940-726e-0134-1d8c-525400003e20

Язык: Русский

Опубликовано: почти 6 лет назад

Просмотры: 32


Find:

Highlight allMatch case

Current View

Current View

Automatic ZoomActual SizeFit PageFull Width50%75%100%125%150%200%300%400%

Enter the password to open this PDF file:

File name:

File size:

Title:

Author:

Subject:

Keywords:

Creation Date:

Modification Date:

Creator:

PDF Producer:

PDF Version:

Page Count:

SWorld – 18-27 December 2012 http://www. sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012 MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE, TRANSPORT, PRODUCTION AND EDUCATION‘ 2012 Доклад/Физика и математика – Математика Дениченко С.Н. ВОПРОС О ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЛА Pi Независимое научное исследование Denichenko S.N. The QUESTION OF the TRANSCENDENCE of the NUMBER Pi Independent scientific study В данном докладе изложено исследование научной состоятельности, доказательства трансцендентности числа Pi. Ключевые слова: трансцендентность числа Pi, доказательство трансцендентности числа Pi, формула Эйлера в геометрическом воплощении. In this report presented the study’s scientific credibility, the evidence of the transcendence of the number Pi. Key words: the transcendence of the number Pi, the proof of the transcendence of the number Pi, Euler formula in the geometric realization. При написании монографии по теме задачи античной математики Квадратура круга, — «Задача Квадратура круга.

Два взгляда на проблему» я был вынужден, углубится в материалы по данной теме. Одной из книг, из перечня используемой при написании монографии литературы, была книга Ф. Рудио, «О квадратуре круга. С приложением истории вопроса» В данной книге освещена тема доказательства трансцендентности числа Pi. Исследуя данную тему, поневоле пришлось ее расширить и углубить в своей работе, несущей исследовательский характер. И так, перехожу к изложению данной темы, копируя страницы из своей книги.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЛА π НА ОСНОВЕ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Разрешение основного вопроса о том, являются ли числа 𝑒 и π алгебраическими или трансцендентными, наука обязана математикам Эрмиту и Линдеману. Прежде всего в 1873 г. Эрмит доказал трансцендентность основания натуральных логарифмов, т. е. обнаружил невозможность равенства вида: где 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑟 , суть отличные друг от друга, а 𝑁1 , 𝑁2 , … 𝑁𝑟 — какие либо целые числа, причем последние числа не должны быть равны нулю. Исходя из этой основной работы, а именно пользуясь зависимостями между известными определенными интегралами, которыми пользовался Эрмит, Линдеман в 1882 г.

решил, наконец, тысячелетнюю задачу о квадратуре круга, доказав трансцендентность числа π. Этот результат был получен из предположения, которое можно рассматривать как обобщение первой из теорем Ламберта, указанных выше. Это предложение заключается в следующем: Если 𝑧 есть корень, какого – нибудь неприводимого алгебраического уравнения с целыми вещественными или комплексными коэффициентами, то 𝑒 𝑧 не может быть рациональным числом. Но по формуле Эйлера 𝑒 𝜋𝑖 = −1, т. е. равно рациональному числу. Поэтому 𝜋𝑖, а, следовательно, и само π не может быть корнем алгебраического уравнения указанного вида. 9. 2. О ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА В тексте дана сноска на формулу Эйлера данном вопросе, внесем в эту тему подробности: 𝑒 𝜋𝑖 = −1, Для ясности в В то время как раньше синус, косинус, тангенс, котангенс обозначали некоторые линии, связанные с дугой круга, Эйлер впервые стал определять эти

выражения как отношения указанных линий к радиусу круга. Благодаря этому выражения sin 𝑧, cos 𝑧 и т. д.

приобрели совершенно иной характер: они стали аналитическими величинами, функциями z. Таким образом, Эйлер является творцом тригонометрических функций. Вместе с тем новая точка зрения на тригонометрические величины привела его к одному из его бесспорно прекраснейших открытий, а именно, к открытию замечательной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями. Эта зависимость выражается равенствами: cos 𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 +𝑒 −𝑖𝑧 2 , sin 𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 2𝑖 , где 𝑒 𝑧 есть показательная функция, определяемая постоянно сходящимся рядом: 𝑧 𝑧2 𝑧3 𝑒 =1+ + + +⋯ 1 1×2 1×2×3 Здесь не место распространяться о том перевороте, которое 𝑧 открытие произвело упомянутое во всей математике. Однако нужно заметить, что формулы Эйлера, которые могут быть написаны также в виде: 𝑒 𝑖𝑧 = cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧, 𝑒 −𝑖𝑧 = cos 𝑧 − 𝑖 sin 𝑧, представляет собой исходный пункт всех позднейших исследований оприроде числа π. Полагая в них z = π, получаем: 𝑒 𝑖𝜋 = −1 или 𝑒 2𝜋𝑖 = 1 «Это основная зависимость 𝑒 = 2,718 281 828 459 045 … 3,141 592 653 589 793 … между обоими числами e = 2,718 281 828 459 045… и служит ключом для решения вопроса 𝜋= о возможности квадратуры круга» А выражают ли на самом деле формулы 𝑒 𝑖𝜋 = −1 зависимость между числами 𝜋 = 3,141 592 653 589 793 …, если ”π“ меры угла, который равен 1800 или 𝑒 = 2,718 281 828 459 045 … выступает символом 𝑒 2𝜋𝑖 = 1 и радианной в градусной мере угла, но не символом отношения длины окружности к диаметру равного 3,141 592 653 589 793 …

Формула Эйлера: 𝑒 𝑖𝑧 = cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧, где z любое вещественное число. А это геометрическое воплощение формулы Эйлер (рис.1) Рис.1. Геометрическое воплощение формулы Эйлера Заметим, что аргументы тригонометрических функций sin 𝑧 и cos 𝑧 взяты в радианах. В частности: 𝑒 𝑖𝜋 = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋 = cos 1800 + 𝑖sin 1800 А исходя из того, что: cos 𝜋 = cos 1800 = − 1 и 𝑠𝑖𝑛 𝜋 = sin 1800 = 0, следует: i180град. 0 𝑒 𝑖𝜋 = −1 или 𝑒 𝑖180 = −1 . sin 1800 = 0 e = −1 Из вышеизложенного видно, что π, — как отношение длины окружности к диаметру в формуле Эйлера 𝑒 𝑖𝜋 = −1, не присутствует, а, следовательно, высказывание “𝑒 𝑖𝜋 = −1 или 𝑒 2𝜋𝑖 = 1 Это основная зависимость между обоими числами 𝑒 = 2,718 281 828 459 045 … и 𝜋 = 3,141 592 653 589 793… служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга”, вызывает сомнение. Не софизм ли это? То есть доказательство трансцендентности числа π, которое зиждется на формуле Эйлера, — ложно по своей сути. Литература:

1. Дениченко С.Н., Задача Квадратура круга. Два взгляда на проблему. 96 с. (с. 60 – 63) // Saarbrücken: «LAP LAMBERT Academic Publishing» 2012. – ISBN: 978-3-659-27696-5 References: 1. Denichenko S.N., Zadacha Kvadratura kruga. Dva vzglyada na problemu. (s. 60 – 63) // Saarbrücken: «LAP LAMBERT Academic Publishing» 2012. – 96 s. ISBN: 978-3-659-27696-5

Рецензии:

  Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

— у работы пока нет рецензий —


Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Показатели Эффективности Проектов Индекс Прибыльности

Оглавление

  • Индекс Прибыльности: Формула Расчета Показателя
  • Индекс Прибыльности (pi)
  • Секреты Восстановления Прибыльности
  • Классификация Активных Операций Коммерческого Банка По Прибыльности
  • Индекс Доходности Инвестиции Формула Расчета

В ходе рассмотрения нескольких инвестпроектов PI можно использовать в качестве показателя, позволяющего «отсеять» неэффективные предложения. Если значение показателя PI равно или меньше единицы, проект не сможет принести необходимый доход и рост инвестиционного капитала, поэтому от его реализации стоит отказаться. Однако не следует забывать, что очень большие значения индекса (коэффициента) доходности не всегда соответствуют высокому значению чистой текущей стоимости проекта и наоборот.

Какой показатель ROI?

Показатель ROI (Return on Investment, возврат инвестиций) — это коэффициент рентабельности инвестиций. Простыми словами — окупаемости вложений. Этот показатель демонстрирует, насколько выгодным или невыгодным является проект или продукт.

Он принимается равным либо ставке рефинансирования, либо проценту по считающимся безрисковыми долгосрочным государственным облигациям, либо проценту по банковским депозитам. Для расчета инвестиционных проектов этот параметр может приниматься равным планируемой доходности инвестиционного проекта.

Индекс прибыльности (Profitability Index, PI, также известен как Benefit-cost ratio) – один из финансовых показателей эффективности инвестиционных проектов, основанный на дисконтированных методах расчета. Это показатель окупаемости инвестиционного проекта, его рентабельности. Используется при оценке целесообразности реализации инвестиционного проекта, чтобы избежать риска неверного вложения капитала в заведомо убыточное предприятие. В современной экономике возрастает роль оценки инвестиционных проектов, которые становятся драйверами для увеличения будущей стоимости компаний и получения дополнительной прибыли. В данной статье мы рассмотрели показатель индекс прибыльности, который является фундаментальным в системе выбора инвестиционного проекта.

Заключается в применении встроенной в программу формулы, которая называется ЧПС и используется как раз для определения необходимого нам показателя. Сама формула в данном случае будет выглядеть примерно следующим образом. Индекс прибыльности — отношение приведенных доходов будущих периодов, ожидаемых от инвестиции, к приведенной сумме инвестированного капитала. рассчитывается внутренняя норма отдачи проекта, которая является модифицированной нормой отдачи.

Индекс Прибыльности: Формула Расчета Показателя

Рассмотрим основные принципы инвестиционного бюджетирования, а также наиболее важные концепции бюджетирования капитала, – в рамках изучения корпоративных финансов по программе CFA. Однако, рассчитывая рентабельность инвестиций на основе такой заниженной оценки недвижимости, ее владельцы могут обманывать самих себя, считая уровень рентабельности удовлетворительным, тогда как он таковым не является.

Рассмотрим ключевые организации, содействующие развитию ESG-инвестирования, а также существенность ESG-факторов и применение ESG-соображений в инвестиционном анализе, – в рамках изучения корпоративных финансов по программе CFA. Индекс прибыльности рассчитывается как отношение приведенной величины поступлений к приведенной величине платежей. процент по овердрафту — иначе полученный доход не покрывает расходы по заимствованию инвестируемых средств. 2) Если инвестируемые проекты являются взаимно исключаемыми, коэффициент доходности не подходит для их сравнения. Затем инвестор делает выбор, устанавливается регламент отчетности о дальнейшем состоянии проекта и определяются признаки, по которым принимается решение о закрытии проекта. Помимо того, если проект инвестируется за счет собственных или кредитных средств, то будет использован метод WАСС (за основу берется средневзвешенная цена капитала).

В этом случае проект может быть принят для дальнейшего рассмотрения. Использование индекса прибыльности проекта, наряду с рядом других консолидирующих индикаторов успешности, позволяет инвестору сделать обоснованный выбор самого перспективного проекта. Это полноценный структурированный бизнес-план, с расчетами финансовых и экономических показателей эффективности. Он позволит составит действенный план стратегического маркетинга и грамотную финансовую модель, которые станут залогом успешности бизнеса и захвата достойной предпринимателя доли рынка.

Индекс Прибыльности (pi)

где Investments – начальные инвестиции; OFt – чистый денежный поток месяца t; N– длительность проекта, месяцы; IRR – внутренняя норма рентабельности. Индекс рентабельности инвестиций РI это относительный показатель и при сравнении проектов отражает преимущество одного проекта над другим при одинаковых значениях денежного потока, но при разных объемах инвестиций. Наиболее эффективным окажется тот проект, который показывает большую прибыльность инвестиций. интрадей торговля PI отражает отдачу инвестированных в проект средств, таким образом это сумма полученной прибыли на единицу вложений. Его значение растет пропорционально росту денежного потока проекта.

Существует множество различных подходов оценки ставки дисконтирования. Сама по себе ставка дисконтирования отражает временную стоимость денег и позволяет привести будущие денежные платежи к настоящему времени. При финансировании проекта за счет собственных и заемных средств используют метод WACC.

Это подразделение использует специальные методы, для улучшения качества прогнозов и управляемости проектов. Обычно, инвестиции в инновационные проекты связана не столько с рациональным извлечением прибыли, сколько с необходимостью создать дополнительные точки опоры, обезопасить предприятие в динамичной конкурентной среде. Следует также отметить, что расчет DPI по отдельным i-периодам может давать отрицательные значения. В начале, суммы вложенных средств, как правило, значительно превышают получаемые доходы. Это объясняется необходимостью закупки дорогостоящего оборудования, затратами на коммерческое продвижение, обучение персонала и прочими неизбежными издержками. Для его расчета целесообразно использовать программу EXEL или онлайн-калькулятор.

Секреты Восстановления Прибыльности

Под внутренней нормой доходности имеется в виду значение ставки дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю. Этот показатель дает представление о максимально допустимом относительном уровне расходов, которые могут быть связаны с данным проектом. Profitability Index — это относительный показатель,рассчитываемый как отношение текущей ценности будущего денежного потока к начальной себестоимостью и который характеризуется уровнем полученной прибыли на каждую единицу затрат. Расшифруем термин «дисконтированная суммарная стоимость прогнозируемых поступлений».

Чем внушительнее инвестиции и объем планируемого денежного потока, тем больше будет абсолютный показатель NPV. Еще один вариант интерпретации состоит в трактовке внутренней нормы прибыли как возможной нормы дисконта, при которой проект еще выгоден по критерию NPV. Решение принимается на основе сравнения IRR с нормативной рентабельностью; при этом, чем выше значения внутренней нормы рентабельности и больше разница между ее значением и выбранной ставкой дисконта, тем больший запас прочности имеет проект. “PI – показатель эффективности инвестиции, представляющий собой отношение дисконтированных доходов к размеру инвестиционного капитала”. А у вас в формулах вместо дисконтированных доходов используется NPV, что не одно и то же. расчеты по выявлению резервов повышения экономической эффективности и надежности инвестиционного проекта.

Классификация Активных Операций Коммерческого Банка По Прибыльности

• если компания установила барьерное значение показателя, то выбирается тот проект, значение PI которого не меньше порогового значения этого показателя для компании. Тем не менее, полезно знать альтернативные определения прибыли и инвестиций, наиболее широко используемые в связи с показателем рентабельности инвестиций.

Важна бывает и интуиция, присущая наиболее прозорливым бизнесменом, но без объективной оценки не обойтись. Критерием принятия оптимального решения выступает коэффициент доходности инвестиций, рассчитанный для каждого лучшие способы заработать в интернете объекта вложения. Задача усложняется, если планируется финансирование инвестиционного проекта с трудно-прогнозируемым экономическим эффектом. Финансирование коммерческих проектов всегда сопряжено с рисками.

Индекс Доходности Инвестиции Формула Расчета

Единственным комментарием к такой недооцененности может быть параграф в отчете директоров, отмечающий, что текущая рыночная стоимость актива больше той, которая показана в балансовом отчете. Индекс доходности является производным от предыдущего и по сути своей относителен. Его удобно использовать в случае, если нужно выбрать один проект форекс регулирование из нескольких,схожих по величине NPV, а также при комплектовании портфеля с максимальным суммарным значением NPV. В инновационных проектах точность определения масштаба, объема и критериев успешности может быть сравнительно низкой. Поэтому, некоторые предприятия выделяют такую инвестиционную деятельность в одтдельное подразделение.

  • Сложность оценки влияния нематериальных факторов на будущие денежные потоки проекта.
  • Данная деятельность включает в себя расчет большого количества различных параметров.
  • Характерно, что оценка будет одинаковой как для дисконтированного, так и обычного индексов рентабельности.
  • NPV Net present value — чистая приведенная стоимость денежных потоков.
  • Показатель индекса прибыльности проекта часто называют относительной NPV, так как он ликвидирует недостаток показателя NPV— подверженность эффекту масштаба.
  • Чем внушительнее инвестиции и объем планируемого денежного потока, тем больше будет абсолютный показатель NPV.

Чем выше индекс рентабельности проекта, тем привлекательней бизнес, нуждающийся в финансировании. При выборе лучшего варианта для вложений требуется сравнение нескольких инвестиционных проектов. В общем виде оценка доходности затрат производится по их результативности. Коэффициент рентабельности характеризует отношение суммы входящих денежных потоков к величине капитала, израсходованного на их получение. Он легко определяется «задним числом», методом деления одного показателя на другой.

Для определения величины индекса прибыльности проекта используется два ключевых параметра – дисконтированная прибыль и общая стоимость инвестиционных ресурсов, вложенных в проект. Указанный показатель представляет собой отношение чистой текущей стоимости проекта к дисконтированной (текущей) стоимости инвестиционных затрат (РVI). Чем продолжительней лучшие книги по инвестициям временной интервал между началом проектного цикла и началом эксплуатационной стадии, тем меньшим при прочих равных условиях будет размер NPV. В России нормативным документом, регулирующим способы расчета показателей эффективности инвестиций, являются Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов.

При сопоставлении инвестиционных проектов более предпочтительными являются проекты с большим значением IRR. Очевидно, что показатель рентабельности инвестиций компании может существенно изменяться в зависимости от выбранных трактовок прибыли и инвестиций. Стоит однако подчеркнуть, что для внутрифирменных сравнений первостепенную важность имеет не индекс прибыльности абсолютная величина, а динамика этих показателей. Для каждого из нижеприведенных проектов рассчитайте чистую текущую стоимость (NРV), индекс рентабельности и внутреннюю норму доходности при ставке дисконтирования 10%. Особую важность индекс доходности инвестиций приобретает при сравнении объектов, близких по характеристикам и срокам реализации.

индекс прибыльности инвестиций Pi — один из нескольких ключевых показателей эффективности бизнес плана или инвестиционного проекта. Чтобы грамотно рассчитать все финансовые показатели и получить нужные значения инвестиционной привлекательности проекта, скачайте с нашего сайта полноценный готовый бизнес-план, включающий расчеты ключевых экономических и финансовых показателей. Также вы можете заказать индивидуальный бизнес-план «под ключ», в котором будут учтены особенности создания предприятия и специфика его деятельности в выбранной экономической сфере.

Тогда индекс прибыльности инвестиций станет надежным индикатором для выбора успешного инвестиционного проекта или бизнеса плана. Статья содержит определение, суть и формулу расчета индекса прибыльности инвестиций в проект. Также в статье приведены достоинства и недостатки индекса прибыльности и прочие особенности его использования. Кроме того, PI может быть использован и для исключения неэффективных инвестиционных проектов на предварительной стадии их рассмотрения. Карта сайта — рентабельность инвестиций и методы ее расчета Целью инвестирования является получение дохода от вложенного капитала. Очевидно, что инвестора интересуют, в первую очередь, такие направления вложения капитала, при которых каждый потраченный рубль будет давать максимальную отдачу.

Для Чего Нужен Индекс Доходности

В балансе котируемой компании оценка собственных зданий и земли, видимо, будет обновляться по крайней мере каждые 5 лет, чтобы избежать значительной недооценки активов. В частной компании, форекс курсы валют собственная недвижимость которой не используется для обеспечения банковских кредитов, ее балансовая оценка может сохраняться на уровне стоимости приобретения, скажем, более 20 лет назад.

Длина окружности (периметр круга) и формула длины окружности (периметра круга), бесплатный онлайн сервис

Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. Также круг можно определить как часть плоскости, ограниченную окружностью.

Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей. Это отношение есть трансцендентное число, обозначаемое греческой буквой пи: π = 3.14159…

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина. Наш онлайн калькулятор вычисляет периметр круга по значению длины его радиуса.

Формула для вычисления длины окружности

$S = 2 \pi r$, где:

r — радиус окружности

Здесь вы найдете ответы.

Периметр круга – что это такое?

Периметр круга, также называемый длиной окружности, представляет собой число, получаемое в результате умножения его радиуса на два Пи, либо путем перемножения между собой его диаметра и числа Пи. Формула, используемая для расчета периметра круга, представлена в следующем виде:

L = d*π = 2*r*π.

Расшифровка обозначений:

d — диаметр круга,

r — его радиус,

π — это величина, которая является константой, выражающей отношение длины окружности к ее диаметру. Ее значение постоянно равно 3,14.

Каким способом производится вычисление периметра круга?

Под определением «расчет периметра круга» подразумевается процедура, направленная на установление длины окружности, ограничивающей его. В случае, когда длина радиуса круга является известной величиной, длина окружности может быть вычислена с применением приведенной ниже формулы:

l=2*π*r,

в ней радиус круга обозначен как r.

Под радиусом окружности подразумевается отрезок, который соединяет центр окружности с любой из множества точек, находящихся на ней.

Значение длины окружности также может быть вычислено, если диаметр круга известен. С этой целью нужно произвести умножение ее диаметра (d) на число Пи (π). В этом случае следует пользоваться формулой:

l=πd.

Если раскрывать такое понятие, как «диаметр окружности», то стоит отметить, что им является отрезок, проходящий через ее центр и соединяющий две любые точки этой окружности.

Число Пи (π) является математической постоянной, рассчитываемой как отношение длины окружности к величине ее диаметра. Оно равно 3,14.

В квадрат, длина стороны которого равна 20 см, вписан круг. Как вычислить периметр данного круга?

Периметр круга представлен величиной, равной длине окружности, которая ограничивает его. Это значит, что данная величина может быть рассчитана по формуле:

P = L = d*π.

В описанном в задании случае сторона квадрата, в который вписан круг, выступает в роли его диаметра. Это дает основания для расчета периметра круга следующим образом:

P = 20 * 3,14 = 62,8 см.

Ответ: Периметр круга, который вписан в квадрат, имеющий сторону 20 см, равен 62,8 см.

Периметр круга равен 30 π. Как можно вычислить длину его окружности?

Длина окружности представляет собой произведение, полученное в результате умножения ее диаметра (D) на число Пи (π): L = π*D = 30*π. В данном случае длина окружности – это ее периметр. Из этого следует, что диаметр окружности D равен 30.

Известно, что длина одного круга равна 3,6 дм. Каким образом можно определить длину второго круга, если известно то, что диаметр первого круга в три раза меньше диаметра второго?

Решение поставленной задачи следует начинать с расчета длины первого круга. Для этого число Пи, равное 3,14, нужно умножить на два, а затем полученное значение также умножить на длину радиуса круга. Формула, используемая при этом, выглядит так:

L=2пR.

Принимая во внимание тот факт, что диаметр второго круга в три раза превышает диаметр первого из них, то можно с уверенностью говорить о том, что его радиус также будет троекратно превышать радиус первого круга. Это означает, что формула, применяемая для расчета длины второго круга, будет выглядеть так:

L=2п*3R

2п*3R/2пR=3.

Подставив в формулу величины, приведенные в задании, можно получить следующий результат:

3,6*3=10,8 дм.

Ответ: Длина второго круга равна 10,8 дм.

Каким образом можно высчитать длину круга, если известно, что его площадь составляет 25 дм.кв?

В задании указано, что площадь круга составляет 25 дм.кв. Это значит, что произведение числа Пи и радиуса круга, возведенного в квадрат, равно 25 дм. кв. Из этого следует, что радиус данного круга равен величине, полученной в результате деления 5 на квадратный корень из числа Пи (r = 5/√π). На основании этого можно сделать вывод о том, что длина круга может быть высчитана по следующей формуле:

L = 2πr = 10√π дм.

В результате получается число, приблизительно равное 17,72 дм.

Ответ: Длина круга равна примерно 17,72 дм.

Как высчитать диаметр круга, длина которого равна 40 Пи см?

Формула, которая предназначена для расчета длины круга выглядит так:

L = πD.

По сути, это произведение числа Пи и диаметра круга.

В случае, который описан в задании, длина круга равна 40 Пи см, а это значит следующее:

πD = 40π.

Число Пи сокращается в обеих частях получившегося уравнения, и в итоге получается, что диаметр круга равен 40 см:

D = 40 cм.

Каким образом следует рассчитывать площадь круга, если известно, что его длина составляет 19,1 м?

Располагая информацией о длине круга, можно вычислить его радиус. Это можно сделать на основании приведенной ниже формулы:

r = L/(2*π) = 19,1:(2*3,14)=3 м.

Таким образом удалось установить, что радиус круга равен 3 м.

Теперь, зная длину радиуса круга, можно произвести расчет его площади по формуле:

π*r2 = 3,14*3*3 = 28,26 м².

Ответ: Площадь круга равна 28,26 м. кв.

Величина длины круга известна. Она составляет 26 см. Как можно рассчитать его площадь и диаметр?

При расчете таких показателей, как площадь и диаметр круга, следует использовать его длину. Она обозначается как с и равна 26 см. Согласно формуле вычисления длины круга, она равна произведению 2 Пи и радиуса круга, либо Пи и его диаметра (с=2πr или c=πd). Исходя из этого, диаметр круга можно найти путем деления длины круга на число Пи:

d=c/π

В данном случае d=26/3,14=8,28 см.

Теперь, когда все необходимые для вычисления площади круга параметры известны, можно перейти непосредственно к ее расчету:

S=2πr²=2*3,14*8,28*8,28=53,7 см².

Как выглядит формула, используемая для расчета длины окружности по радиусу?

В целях выполнения вычисления длины окружности по радиусу (r) следует произвести умножение величины, выражающей его значение, на два Пи. При этом используется следующая формула:

P=2πr.

Чему равна длина окружности, диаметр которой 4 м?

При расчете длины окружности используется формула, которая имеет следующий вид:

L = π*D.

Согласно данной формуле, для того чтобы вычислить, чему равна длина окружности, необходимо произвести умножение ее диаметра на число Пи, равное 3,14.

Подставляя в приведенную выше формулу числа, указанные в задании, можно произвести расчет длины окружности, которая будет равна:

3,14*4 = 12,56 м.

Ответ: Длина окружности диаметром в 4 м равна 12,56 м.

Какому числу будет равна длина окружности круга при условии, что его площадь равна Пи м. кв?

Площадь круга высчитывается при помощи формулы:

S=πR².

В данном конкретном случае указано, что площадь равна Пи м. кв. (S=π).

Исходя из вышеизложенного, можно произвести расчет величины радиуса, которая будет равна отношению корня квадратного из числа Пи и числа Пи:

R=√π/π=1.

Теперь можно приступить к вычислению непосредственно длины окружности, используя следующую формулу:

C = 2πR = 2π⋅1 = 2π.

Ответ: Длина окружности круга площадью Пи кв. м равна 2 Пи.

Чему будет равна длина круга диаметром 16 см?

При расчете длины круга следует брать за основу формулу, которая предполагает умножения числа Пи, равного 3,14, на диаметр окружности круга. Если говорить о конкретном случае, упомянутом в задании, то расчет длины окружности будет выглядеть следующим образом:

L=16 см*3,14=50,24 см.

Ответ: Длина круга, диаметр которого равен 16 см, составляет 50,24 см.

Диаметр круга составляет 5,8 дм. Какому числу будет равна длина этого круга?

Длина окружности рассчитывается с применением формулы, составными элементами которой являются диаметр (d) и число ПИ, равное 3,14. Для вычисления длины окружности упомянутые величины следует перемножить:

L=π*d=3,14*5,8=18,212 дм.

Ответ: Круг диаметром 5,8 дм имеет длину окружности, равную 18,212 дм.

Известно, что круг имеет диаметр 18 м. Как вычислить длину этого круга по диаметру?

Если диаметр круга является известной величиной, то ее вполне достаточно, для того чтобы произвести расчет длины данного круга. С этой целью следует использовать формулу, приведенную ниже:

l = 2πr = πd.

Если подставить в данную формулу величины, заданные в вопросе, то можно получить следующий результат:

l = 3,14*18 = 56,52 м.

Ответ: Длина круга, диаметр которого равен 18 м, составляет 56,52 м.

Коэффициент продуктивности скважин — Техническая Библиотека Neftegaz.RU

AИ-95

0

AИ-98

0

Продуктивность — это коэффициент, характеризующий возможности скважины по добыче нефти.

Коэффициент продуктивности скважин:

  • количество нефти и газа, которое может быть добыто из скважины при создании перепада давления на ее забое 0,1 МПа.
  •  это отношение дебита скважины к депрессии. 

Продуктивность — это коэффициент, характеризующий возможности скважины по добыче нефти и газа.

Исследование скважин на приток

Проводится для определения коэффициента продуктивности скважины.  
Не менее 4 раз меняется режим работы скважины (дебит) с помощью штуцерной колодки. 
При каждом значении дебита замеряют величину забойного давления. 
Величину пластового давления, замеряют в остановленной скважине.
Определяют величину депрессии на пласт. 
Депрессия – это разница между пластовым и забойным давлением.
Исследование скважин при неустановившемся режиме фильтрации проводят для определения гидродинамических характеристик пласта.
Строят кривые восстановления давления КВД (в остановленной скважине) и КПД (кривая падений давлений в скважине запущенной в работу).
Кривые строятся в координатах для построения кривой прослеживают во времени изменения забойного давления.

 

Исследование скважин — комплекс работ по

  • установлению интенсивности притока жидкости из пласта в скважину 
  • определению места поступления воды, притока жидкостей и газов через нарушения в эксплуатационной колонне 
  • отбору глубинных проб нефти 
  • измерению давления и температур по стволу скважины, глубины и колебаний уровней 
  • контролю за техническим состоянием обсадной колонны и цементного кольца

Косвенные методы исследования скважины на приток:

  • замер глубины динамического уровня жидкости в межтрубном пространстве, устанавливающегося при том или ином режиме откачки специальными приборами — эхолотами.

В межтрубное пространство посылается звуковой импульс, который отражается от уровня жидкости, возвращается к устью скважины и улавливается микрофоном, соединенным через усилитель с регистрирующим устройством, записывающим все сигналы на бумажной ленте в виде диаграммы. 
Бумажная лента движется с помощью лентопротяжного механизма с постоянной скоростью.
Измеряя расстояние между 2мя пиками диаграммы, соответствующими начальному импульсу и отраженному от уровня, можно определить глубину этого уровня.

  • Исследование скважин на неустановившихся режимах заключается в прослеживании скорости подъема уровня жидкости в насосной скважине после ее остановки и скорости восстановления забойного забойного давления после остановки фонтанной скважины (снятие КВД). Таким же образом можно исследовать и нагнетательные скважины, регистрируя скорость падения давления на устье после ее остановки (снятие КПД). По полученным данным определяют коэффициент проницаемости пласта, подвижность нефти в пласте, гидропроводность пласта, пьезопроводность пласта в зоне дренирования скважины, а также скин-эффект (степень загрязнения ПЗП).
  • Исследование скважин на взаимодействие заключается в наблюдении за изменениями уровня или давления, происходящими в одних скважинах (реагирующих) при изменении отбора жидкости в других соседних скважинах (возмущающих). По результатам этих исследований определяют те же параметры, что и при исследовании скважин на неустановившихся режимах. Отличие заключается в том, что эти параметры характеризуют область пласта в пределах исследуемых скважин. Для измерения давления на забое скважин используют абсолютные и дифференциальные (регистрируют приращение отклонения от начального давления) манометры. По принципу действия скважинные манометры подразделяют на: 1. пружинные, в которых чувствительный элемент – многовитковая, геликсная, трубчатая пружина; 2. пружинно-поршневые, в которых измеряемое давление передается на поршень, соединенный с винтовой цилиндрической пружиной; 3. пневматические, в которых измеряемое давление уравновешивается давлением сжатого газа, заполняющего измерительную камеру.
  • Дебитометрические исследования. Сущность метода исследований профилей притока и поглощения заключается в измерении расходов жидкостей и газов по толщине пласта. Скважинные приборы, предназначенные для измерения притока жидкости и газа (дебита) называются дебитомерами, а для измерения поглощения (расхода) — расходомерами. По принципу действия скважинные дистанционные дебитомеры (ДГД) и расходомеры (РГД) бывают: турбинные, пружинно-поплавковые и с заторможенной турбинкой на струнной подвеске. Кроме своего основного назначения, скважинные дебитомеры и расходомеры используют и для установления затрубной циркуляции жидкости, негерметичности и мест нарушения эксплуатационной колонны, перетока жидкости между пластами.
  • Термодинамические исследования. Термодинамические исследования основаны на сопоставлении геотермы и термограммы действующей скважины. Геотерма снимается в простаивающей скважине и дает представление о естественном тепловом поле Земли. Термограмма фиксирует изменение температуры в стволе скважины. С помощью данных исследований можно определить интервалы поглощающих и отдающих пластов, а также использовать полученные результаты для: определения затрубной циркуляции; перетока закачиваемой воды и места нарушения колонны; определения высоты подъема цементного раствора за колоннами после их цементирования. 
  • Геофизические исследования. Геофизические методы исследования скважин включают в себя различные виды каротажа электрическими, магнитными, радиоактивными акустическими и другими методами с целью определения характера нефте-, газа- и водонасыщенности пород, а также некоторые способы контроля за техническим состоянием скважин. 

Виды индикаторных диаграмм

  • Индикаторная линия прямая выходит из начала координат, если движение жидкости в пласте подчиняется закону Дарси то скорость движения жидкости в пласте прямо пропорционально перепаду давлений и обратно пропорционально перепаду давлений.
  • Выпуклая линия – движение жидкости в пласте не подчиняется закону Дарси.
  • Вогнутая линия – скважина не вышла на режим или неправильно произведены замеры.
  • Линия не из начала координат для тяжелых вязких нефтей. 

    Определение коэффициента продуктивности скважин

    Продуктивность — это коэффициент, характеризующий возможности скважины по добыче нефти.

    По определению коэффициент продуктивности — это отношение дебита скважины к депрессии:

    Q = K(Pпл – Pзаб)n 
    где К — Коэффициент продуктивности [м³/сут/МПа].
    n – коэффициент, равный 1, когда индикаторная линия прямая;
    n<1, когда линия выпуклая относительно оси перепада давления;
    n>1, когда линия вогнутая относительно оси перепада давления
    Q — Дебит скважины [м³/сут].
    ΔP — Депрессия [МПа].
    Pпо — Пластовое давление (на контуре питания) замеряется в остановленной скважине [МПа].
    Pзаб — Забойное давление (на стенке скважины) замеряется в работающей скважине [МПа].

    При дальнейшей обработки исследований дополнительно определяют:

    • коэффициент проницаемости призабойной зоны пласта (ПЗП), 
    • подвижность нефти в ПЗП, 
    • гидропроводность ПЗП, а также ряд дополнительных параметров

    В зависимости от видов энергии, используемых при отборе флюидов из пласта, различают режимы эксплуатации залежей: водонапорный, газонапорный, растворенного газа и гравитационный.

    Продуктивность по нефти
    Коэффициент продуктивности определяется по результатам гидродинамических исследований и эксплуатации скважин.
    Используя замеры на квазистационарных режимах (установившихся отборах), получают индикаторные диаграммы (ИД), представляющие собой зависимость дебита от депрессии или забойного давления. По наклону индикаторной линии определяют фактическую продуктивность нефтяной скважины.

    Последние новости

    Новости СМИ2


    Произвольные записи из технической библиотеки

    Используя данный сайт, вы даете согласие на использование файлов cookie, помогающих нам сделать его удобнее для вас. Подробнее.

    Открытие классической формулы числа Пи — «хитрое волшебство» : News Center

    10 ноября 2015 г.

    В то время как большинство людей связывают математическую константу π (пи) с дугами и окружностями, математики привыкли видеть ее в самых разных областях. Но двое ученых из Университета все же были удивлены, обнаружив, что он скрывается в формуле квантовой механики для энергетических состояний атома водорода.

    «Мы не просто нашли пи», — сказала Тамар Фридманн, приглашенный доцент математики и научный сотрудник физики высоких энергий, а также соавтор статьи, опубликованной на этой неделе в Журнал математической физики . «Мы нашли классическую формулу Уоллиса семнадцатого века   века для числа пи, что сделало нас первыми, кто вывел ее из физики в целом и квантовой механики в частности».

    Формула Уоллиса, разработанная британским математиком Джоном Уоллисом в его книге Arithmetica Infinitorum , определяет число π как произведение бесконечной последовательности отношений, состоящих из целых чисел. Для Фридмана открытие формулы Уоллиса для π в формуле квантовой механики для энергетических состояний атома водорода подчеркивает вездесущность π в математике и естественных науках.

    «Значение числа пи приобрело мифический статус отчасти потому, что его невозможно записать со 100-процентной точностью, — сказал Фридман. , лучше всего представленный в виде формулы».

    Фридман не собирался искать π или формулу Уоллиса. Открытие началось с курса квантовой механики, который читал Карл Хаген, профессор физики Рочестерского университета и один из шести физиков, предсказавших существование бозона Хиггса. В то время как квантовые расчеты, разработанные датским физиком Нильсом Бором в начале ХХ   века дать точные значения энергетических состояний водорода, Хаген хотел, чтобы его студенты использовали альтернативный метод, называемый вариационным принципом, для аппроксимации значения основного состояния атома водорода. Как и формула Уоллиса, вариационный принцип восходит к семнадцатому веку, одним из первых его проявлений был принцип наименьшего времени математика Пьера де Ферма, современника Уоллиса. Хаген также начал думать о том, можно ли применить этот метод к состояниям, отличным от основного. Хаген привлек Фридманн, чтобы воспользоваться ее способностью работать как в физике, так и в математике.

    Хотя применение вариационного принципа для расчета основного состояния атома водорода является относительно простой задачей, его применимость к возбужденному состоянию далеко не очевидна. Это связано с тем, что вариационный принцип обычно не может применяться при наличии более низких энергетических уровней. Однако Фридман и Хаген смогли обойти это, разделив проблему на серию из 1 задач, каждая из которых фокусировалась на самом низком уровне энергии для данного квантового числа орбитального углового момента, л .

    Затем они могли рассчитать значения для различных энергетических состояний и сравнить их со значениями, полученными Бором почти столетие назад. Это позволило им определить, как отношение значений Бора к значениям, полученным с помощью «подправленного» вариационного принципа, менялось по мере того, как учитывались все более высокие уровни энергии. И они были удивлены, увидев, что соотношение дает — фактически — формулу Уоллиса для π.

    В частности, вычисления Фридмана и Хагена привели к выражению, включающему специальные математические функции, называемые гамма-функциями, что привело к формуле

    , который можно свести к классической формуле Уоллиса.

    «Что меня удивило, так это то, что формула возникла таким естественным образом в расчетах, без кругов, участвующих в определении энергетических состояний», — сказал Хаген, соавтор статьи. «И я рад, что не подумал об этом до приезда Тамары в Рочестер, потому что это бы никуда не делось, и мы бы не сделали этого открытия».

    Математик Моше Маховер из Королевского колледжа Лондона называет находку «хитрым волшебством».

    «Это вычисление числа «пи» — сюрприз для знакомых, очень похожий на фокус фокусника», — сказал Маховер. «Ребенок, впервые увидевший трюк, может только удивиться. Но взрослый человек, повидавший за годы множество фокусов, испытывает и удивление, и знакомство».

    Обращаясь к многовековому разрыву между формулой Уоллиса семнадцатого века, квантовой теорией двадцатого века и десятилетиями, прошедшими с того времени до наших дней, Дуг Равенел, профессор математики в Рочестерском университете, отмечает, что Фридман и Хаген использовал давно устоявшиеся представления об их полях, чтобы получить результат, так что даже математики и физики, жившие много десятилетий назад, смогли бы его оценить.

    «Это прекрасная связь между числом Пи и квантовой механикой, которую можно было обнаружить 80 лет назад, но не открыть до сих пор», — сказал Равенел, поздравляя двух авторов.

    Хотя на открытие этой классической и квантовой связи ушло почти столетие, на ее публикацию ушло гораздо меньше времени; Журнал математической физики принял статью менее чем за 24 часа.

    Теги: Искусства и науки, Карл Хаген, Математический факультет, избранный пост, исследование, Тамар Фридманн

    Категория : Наука и технологии

    Формулы Пи — GeeksforGeeks

    Формула Пи используется для вычисления значения Пи(π). Если длина окружности и диаметр круга известны, мы можем использовать их для вычисления значения Pi(π). Пи — это греческая буква, знак которой равен π , и это отношение длины окружности любого круга к его диаметру в геометрии.

    Значение Пи в виде дроби

    Значение Пи в виде дроби равно 22/7. Пи — иррациональное число, которое показывает, является ли цифра после запятой бесконечной или конечной величиной. В результате в повседневных вычислениях используется 22/7. «π» — иррациональное число, поскольку оно не равно отношению любых двух чисел. Числовое значение Пи равно 3,14159.… Это не может быть представлено как точная десятичная дробь, поскольку цифры продолжаются бесконечно. Пи (π) представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру и приблизительно равно 3,14159. В круге деление длины окружности (всего расстояния по окружности) на диаметр дает тот же результат. Значение числа пи остается постоянным независимо от размера круга. Пи обозначается символом π.

    круг 

    Формула Пи может быть выражена как,

    Circumference / Diameter = π

                                                 = 3.14159… or 22/7

    We have some other Pi formulas

    Circumference of Circle = 2πr

                     Area of ​​circle = πr 2  

       Площадь поверхности круга = 4πr 2

                Объем сферы = 4/3 πr 3

    Некоторые примеры, относящиеся к формуле Пи

    Пример 1: Человек измерил периметр круглого сечения трубы как 84 дюйма. Рассчитать диаметр по формуле Пи?

    Решение:

    Дано: периметр круговой трубы = 84 дюйма

    с использованием формулы PI,

    Мы имеем

    PI (π) = (окружность / диаметр)

    3. 14. = (84 / диаметр)

    Диаметр = (84 / 3,14)

                   = 26,75

                   = 27 дюймов (прибл.).

    Следовательно, диаметр трубы составляет 27 дюймов.

    Пример 2: Если радиус круглой формы равен 5 см, то найдите длину окружности, используя формулу числа Пи?

    Решение:

    Дано: радиус круга (r) = 5 см

    тогда диаметр = 2r

                             = 2 × 5

    = 10 см

    с использованием формулы PI,

    , мы имеем

    PI (π) = (окружность / диаметр)

    3.1415 = (окружность / 10)

    Окружность = (3,14 × 10)

    .

                         = 31,4 см

    Следовательно, длина окружности круглой формы равна 31,4 см .

    Пример 3: Если радиус равен 6 см, то найдите длину окружности, используя формулу числа Пи?

    Решение:

    Дано: радиус круговой формы (R) = 6 см

    Затем диаметр = 2R

    = 2 × 6

    = 12 см

    с использованием Pi Formula,

    . Мы имеем

    PI (π) = (окружность / диаметр)

    3.1415 = (окружность / 12)

    Окружность = (3,14 × 12)

    = 37,68 см

    Следовательно, окружность круглой формы равна 37,68 см.

    Пример 4: Периметр мяча равен 70 см. Рассчитайте его диаметр по формуле Пи. ?

    Решение:

    Дано: периметр шарика = 70 см

    с использованием формулы PI,

    ,

    PI (π) = (окружность / диаметр)

    9005 3,14151515 = = (π) = (окружность / диаметр)

    9005 3.14151515151515151515 = = (окружность / диаметр)

    3,151515151515151515 = = (окружность / диаметр)

    3,14151515151515 = = (окружность / диаметр)

    3.1415151515151515 = = (окружность / диаметр)

    3,151515151515153 (70/диаметр)

    диаметр = (70/3,14)

                   = 22,29 см

    Следовательно, диаметр мяча равен 22,29 см  .

    Пример 5: Если диаметр равен 7 см, найдите длину окружности?

    Решение:

    Дано: диаметр = 7 см

    Чтобы найти длину окружности?

                     Pi(π) = (длина окружности / диаметр)

                  3,1415  = (длина окружности / 7)

        длина окружности = (3,140 × 07)0002                                       = 21,98 см

                                =  22 см

    Пример 6. Радиус круга равен 5 см. Вычислите его диаметр, площадь и длину окружности?

    Решение:

    Дано: радиус (r) = 5 см

    Диаметр круга = 2r

    = 2 × 5 см

    = 10 см

    , чтобы найти: область круга = π. 5 2

    = π × 25

    = 3,14159 × 25 см 2

    = 78,54 см 2

    Окружность круга = 2 π r

    = 2 × π 5

    = 10 ° 3,14159  см

                                           = 31,4159 см

    Пример 7. Найдите объем сферы, радиус которой равен 6 см?

    Решение:

    Дано: Radius, R = 6 см

    Объем сферы = 4/3 πr 3 Единицы 3

    V = 4/3 × 3,14 × 6

    V = 4/3 × 3,14 × 6 00099

    В. 3

    В = 4/3 × 3,14 × 216

    В = 2712,96 / 3

    В = 904 ,32 см 3

    A Часть π. Прекрасные формулы и тайна… | Каспер Мюллер

    Красивые формулы и тайна скрытых кругов

    Изображение с Wikimedia Commons

    Некоторые числа присутствуют в большем количестве формул, чем другие. Некоторые люди могут даже сказать, что одни числа важнее других. Но почему?

    В этой статье я представлю несколько красивых формул, в каждой из которых есть число π и попытайтесь понять, почему π повсюду в математике.

    На самом деле это более жутко, чем может показаться. Если бы она просто проникла в области геометрии и тригонометрии, а не в другие разделы математики, это не было бы большим сюрпризом.

    Тем не менее, π присутствует во многих областях математики, и в некоторых случаях довольно сложно увидеть, что оно там делает.

    То, что число π присутствует в теории чисел, исчислении, алгебре, теории вероятностей, статистике и т. д., удивительно и довольно интересно, если подумать.

    То, что π присутствует в какой-то формуле или утверждении, в принципе должно означать, что где-то прячется круг, а в некоторых случаях кажется, что его нет!

    Но давайте посмотрим, сможем ли мы немного демистифицировать это. Не то чтобы это было менее удивительно, но, по крайней мере, нам нужно объяснение, потому что в конце концов математика — это понимание!

    Мы подойдем к этому, сформулировав некоторые интересные и, возможно, неожиданные результаты из различных областей математики. Тогда мы увидим (или, надеюсь, по крайней мере поймем), что там делает π.

    Прежде чем мы начнем, нам нужно убедиться, что мы все на одной волне. Мы сделаем это, определив π.

    Вспомним, что число π — это точное число, которое получится, если разделить длины окружности любого круга на его диаметр.

    GIF из Wikimedia Commons

    Неважно, насколько большой или маленький круг, вы всегда получите π. На самом деле, вы можете использовать это определение как меру «округлости».

    Пару лет параллельно учебе я работал учителем (в то время я изучал математику в университете).

    Я попросил учеников вычислить π, измерив чашки, тарелки и т. д. и разделив длину окружности на диаметр, чтобы увидеть, насколько близко они подошли к «идеально круглому», и они оказались на удивление близкими!

    В следующих формулах, конечно, есть много объяснений того, почему π присутствует. Математика — это огромная переплетенная и запутанная паутина отношений и истин, и точно так же, как теоремы имеют много разных доказательств, на эти вопросы нет единственного ответа, но я постараюсь дать вам (для меня) самые интуитивные ответы, и если вы сможете придумайте другое объяснение, мы можем обсудить это в комментариях.

    Откроем сцену со старым результатом.

    Вообще-то эта формула была известна задолго до рождения Лейбница, но это уже другая история. Кроме того, имя здесь, конечно, не самое интересное.

    Начнем с результата:

    , где три точки слева означают «продолжать так до бесконечности».

    Такая бесконечная сумма называется рядом , и приведенное выше выражение означает, что чем больше членов вы включаете, тем ближе вы подходите к π/4 , и если вы выберете число, то независимо от того, какое число вы выберете и насколько оно близко к π/4 , вы в конечном итоге станете ближе, если будете продолжать добавлять члены из этого ряда.

    Математики называют такого зверя пределом . Интуитивно говоря, это означает, что если вы сложите все бесконечные члены вместе, вы получите ровно π/4. Больше ничего. Не меньше.

    Конечно, не все бесконечные ряды имеют смысл и только в некоторых случаях можно «складывать» бесконечно много чисел.

    Математики говорят что-то вроде «этот знакопеременный ряд условно сходится», но мы не будем касаться здесь этих формальных аргументов, так как я не ожидаю от читателя никакой «высшей» математической подготовки. С этого момента мы будем делать вещи неформальными и интуитивно понятными и «забудем» о проблемах конвергенции.

    Интересный вопрос, конечно: почему это так? Где прячется круг?

    Получается, что π в данном случае получается из тригонометрической функции. Видите ли, учитывая геометрический ряд:

    , что верно, когда |x| < 1. Мы можем сделать замену и заменить x на -x² с обеих сторон. Мы получаем следующий результат:

    и интегрирование в обе стороны от 0 до 1 даст нам:

    где arctan — функция арктангенса.

    Ниже я дам вам небольшой трюк, который позволит нам доказать, что первообразная подынтегральной функции на самом деле равна arctan(x) + C для некоторой константы С .

    Мы покажем это, продифференцировав arctan(x) .

    Чтобы это доказать, нам нужно вспомнить некоторые тригонометрические данные. Из теоремы Пифагора в единичном круге ясно, что cos²(x) + sin²(x) = 1 для любого действительного числа x .

    Разделив на cos²(x) с обеих сторон (при условии, что cos(x) не равно 0 ), мы получим другое тождество: 1 + tan²(x) = sec²(x) , где sec( х) = 1/cos(x) .

    Хорошей (но, возможно, немного запутанной) иллюстрацией различных тригонометрических функций и их взаимосвязей, включая приведенное выше тождество, является следующее изображение: Применим небольшую хитрость.

    Напишите y = arctan(x). Тогда x = tan(y) и если мы проведем неявное дифференцирование с обеих сторон, мы получим 1 = sec²(y) dy/dx . Или, другими словами, dy/dx = 1/сек²(г). Теперь мы используем найденное выше тригонометрическое тождество, чтобы написать dy/dx = 1/(tan²(y) + 1) = 1/(x² + 1) , где последнее равенство выполняется, потому что tan(y) = x .

    arctan(1) = π/4, потому что, когда tan(θ) = 1, мы должны иметь cos(θ) = sin(θ) и (предполагая -π < θ < π) это происходит именно при θ = π/4, что соответствует 45 градусам.

    Итак, π присутствует в этой формуле, потому что функции арктангенс и тангенс участвуют и поэтому, конечно, единичный круг.

    Однако достаточно ли этого ответа? Мы могли бы спросить, почему этот ряд связан с этой тригонометрической функцией.

    Чуть позже мы коснемся аналогичного вопроса, который даст нам намек на то, что под поверхностью скрывается нечто большее, чем приведенный выше ряд Тейлора.

    В 18 веке Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, задал следующий вопрос:

    Предположим, у нас есть бумага, на которой мы проводим равноудаленные параллельные линии, и мы опускаем иглу, длина которой равна расстоянию между двумя линии на бумагу. Какова вероятность того, что игла ляжет на прямую?

    Описанный выше сценарий можно представить следующим образом:

    Изображение с Викисклада

    Удивительный ответ на этот вопрос: 2/π , но w вот круг, который на этот раз прячется?

    Давайте увеличим масштаб одной полосы с двумя параллельными линиями, определяющими ее, и предположим, что центр иглы находится между двумя линиями. Мы можем без ограничения общности считать, что игла (и, следовательно, расстояние между любыми двумя прямыми) равна 2 единиц длины.

    Назовем центр иглы х и также поместим полосу в систему координат так, чтобы вертикальная линия, ближайшая к х , проходила через ось абсцисс в точке 0 ( и, таким образом, играла роль второй оси если вы будете). Мы можем проиллюстрировать это на следующем изображении:

    Изображение с Wikimedia Commons

    Красные и синие линии иллюстрируют два разных результата этого эксперимента. Круг иллюстрирует все возможные исходы, когда центр стрелки равен 9.0007 х . Обратите внимание, что игла никогда не сможет пересечь более одной линии, поэтому мы можем предположить, что x находится слева от центра полосы, как показано на этом изображении. Центр полосы находится в точке x=1 .

    Теперь нам снова нужна тригонометрия. Когда длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 1 , косинус одного из острых углов будет длиной соответствующей прилежащей стороны.

    Таким образом, на приведенном выше рисунке мы видим, что cos(θ) = x . Поскольку нам нужно будет позволить x варьироваться, нам на самом деле понадобится функция арккосинуса, а именно arccos . Тогда наше соотношение становится θ = arccos(x) .

    Обратите также внимание, что при фиксированном центре x вероятность, которую мы ищем, должна быть задана как 2θ/π , поскольку существует π радиан ориентации стрелки, а область, где она пересекает линию, соответствует 2θ радианам.

    Нам нужно просуммировать все эти отношения площадей, но, конечно, их бесконечно много, поскольку каждое значение x даст нам такое отношение. К счастью, мы можем просто проинтегрировать по x из 9От 0007 0 до 1 , чтобы получить сумму всех вероятностей.

    Если мы назовем вероятность, которую мы ищем, p , тогда у нас должно быть

    , и теперь мы можем использовать интегрирование по частям и дифференцировать arccos(x) , чтобы доказать, что первообразная для arccos(x) равно x arccos(x) — sqrt(1- x²) + C. Здесь sqrt обозначает квадратный корень.

    Когда пыль уляжется, мы получим p = 2/π.

    Окружность в этой формуле возникает из-за вращательной симметрии иглы, и если вы когда-нибудь окажетесь на необитаемом острове, где больше нечего делать, вы сможете вычислить цифры π с произвольной точностью, проделав этот эксперимент с достаточно примеров.

    Эйлер известен среди математиков многими вещами, но одна красота сияет немного ярче, чем другие. Его называют самым красивым уравнением во всей математике. В 1748 году Леонард Эйлер придумал следующую красоту:

    Так почему же это уравнение такое красивое?

    Ну, во-первых, как William Dunham выразился так:

    Если вы хотите складывать, вам нужен 0, если вы хотите делать умножение, вам нужен 1, если вы хотите делать вычисления, вам нужно e, если вы хотите для геометрии вам нужно π, а если вы хотите провести сложный анализ, вам нужно i. Это команда чисел мечты, и все они находятся в одном уравнении. 9(πi) — это число, которое мы получаем, поворачивая z на π радиан по окружности радиуса |z|.

    Тождество Эйлера выражает тот факт, что отражение комплексного числа через начало координат (т. е. умножение на -1) эквивалентно повороту числа на 180 градусов (т. е. π радиан).

    Окружность в этом прекрасном результате получается из-за вращения полукруга, сопровождающего действие умножения на сложную экспоненту выше.

    Одним из открытий, которые сделали Эйлера очень известным, является следующий удивительный результат:

    Бесконечный ряд в левой части представляет собой «сумму» всех обратных квадратов.

    Во-первых, он вспомнил серию Маклорена , расширение синусоидальной функции . Оказывается, функцию синуса можно записать в виде степенного ряда.

    Затем он делит на x , чтобы получить

    Затем Эйлер утверждал, что левую часть приведенного выше можно рассматривать как бесконечный многочлен, а все мы знаем, что многочлены можно разложить на множители как произведение линейных множителей форма

    , где c — некоторое число, а r в знаменателе выше — это корни многочлена (также называемые нулями ). Тот факт, что любой многочлен можно записать таким образом, называется Основная теорема алгебры и является очень важным результатом.

    Эйлер утверждал, что эта теорема также верна для некоторых «бесконечных» многочленов, таких как приведенный выше степенной ряд.

    Если читатель готов в это поверить, давайте двигаться дальше.

    Поскольку постоянный член приведенного выше степенного ряда равен 1, ясно, что c = 1 . Теперь у нас есть

    . Эйлер задался вопросом, каковы нули этой функции, и, конечно же, это нули функции sine , и это целые числа, кратные π. Следовательно,

    Второе равенство получается путем умножения соседних членов. Теперь нужна еще одна блестящая мысль.

    Эйлер, конечно, распознает квадратные числа, скрытые в знаменателях приведенных выше квадратичных членов, и хочет «освободить их» от произведения. Есть ли лучший способ сделать это, чем просто умножить этот бесконечный продукт? Звучит ужасно, но на самом деле нам нужны только первые два члена результирующего степенного ряда.

    Очевидно, постоянный член равен 1 . Как насчет второго срока? Что ж, для каждого коэффициента в соответствующем бесконечном степенном ряду нам нужно выбрать только один непостоянный член и все единицы из других членов произведения. Тогда мы получаем

    Теперь Эйлер сравнивает это с выражением ряда Тейлора с самого начала. А именно,

    , где мы выписали факториалы.

    Эйлер заключает, что два ряда в правой части и их константы должны быть попарно равны. это

    или эквивалентно:

    Опять же, мы можем объяснить, как π получается из нулей функции синуса, однако это не очень удовлетворительно, если мы действительно хотим понять задачу геометрически.

    Оказывается, это на самом деле можно объяснить геометрически с помощью обратной теоремы Пифагора и большой хитрости.

    В качестве наглядного доказательства посмотрите это потрясающее видео от 3Blue1Brown:

    Результат, имеющий огромное значение в статистике, теории чисел и многих других областях математики, следующий:

    Это действительно потрясающе. Площадь под этой колоколообразной кривой на самом деле равна квадратному корню из π.

    Изображение с Викисклада

    Есть много разных способов доказать это. Мой любимый и самый элегантный способ, если вы спросите меня, — это изменение системы координат на полярные координаты.

    В частности, пусть

    Теперь вычисляем I² и переходим к полярным координатам:

    В приведенном выше расчете мы сделали замену в последнем интеграле r² = u => r dr = du/2. Результирующий интеграл затем становится равным 1/2, поедая множитель 2 вне интеграла, оставляя в результате π.

    Теперь, поскольку мы знаем, что I должно быть положительным числом, мы получаем

    , как и обещали.

    Так где же в этом уравнении прячется круг? Что ж, когда мы вычисляли I², мы фактически вычисляли (трехмерный) объем, а именно объем под двумерной поверхностью, обладающей вращательной симметрией.

    Изображение с Wikimedia Commons

    Получившийся двойной интеграл позволяет «сложить» бесконечное количество площадей кругов. После сложения всех этих площадей мы получаем выражение, которое не только содержит π, но фактически равно π.

    Конечно, нам нужно извлечь квадратный корень, чтобы решить нашу первоначальную двумерную задачу.

    Кажется, когда π присутствует в формуле, мы можем объяснить это каким-то вращательным отношением, скрытым в этом отношении. Даже если мы не можем увидеть его сразу, он точно есть.

    Однако я не думаю, что последнее слово в этом обсуждении сказано. Например, почему такие задачи так сложно решить геометрически и так (относительно) легко решить их с помощью алгебры и исчисления?

    Почему эта статья не называется примерно так: «Что делают нечетные числа в формуле Лейбница для π?» а не наоборот?

    Есть еще много выражений, отношений и формул, которые я мог бы представить и написать здесь. Это ни в коем случае не исчерпывающий перечень формул с участием числа π, но я постарался включить некоторые из моих любимых формул.

    Если у вас есть свои любимые формулы, содержащие π, сообщите мне об этом либо в комментариях, либо написав мне на LinkedIn.

    В следующий раз, когда вы увидите формулу, содержащую π, спросите себя, почему она здесь и где прячется кружок. О, и не забудьте связаться со мной, когда найдете его!

    Если вам нравится читать подобные статьи на Medium, вы можете легко получить членство для полного доступа: просто нажмите здесь .

    Кроме того, если у вас есть какие-либо вопросы, комментарии или замечания, вы всегда можете написать мне в LinkedIn. Мой профиль можно найти здесь:

    Каспер Мюллер — старший консультант по данным и аналитике, FS, технологический консалтинг — EY | LinkedIn

    Программирование и математика — одни из моих самых больших интересов. Наука о данных, машинное обучение, программирование и…

    www.linkedin.com

    Различные способы вычисления числа Пи (3.14159…)

    Получить эту книгу -> Задачи на массив: для интервью и конкурентного программирования

    В этой статье мы рассмотрели различные алгоритмы и подходы к вычислению математической константы пи (3,14159. ..). К ним относятся серия Нилаканта, формула Лейбница, формула Пи Рамануджана и другие методы, специфичные для языка программирования.

    Содержание:

    1. Метод 1: Формула Лейбница
    2. Метод 2: Серия Нилаканта
    3. Метод 3: Формула Пи Рамануджана
    4. Метод 4: функция acos()
    5. Способ 5: математический модуль
    6. Метод 6: модуль gmpy

    Мы начнем с различных способов вычисления Пи (3,14159…).

    Это уравнение можно реализовать на любом языке программирования.
    Точность значения круговой диаграммы зависит от количества членов, присутствующих в уравнении, что означает, что большее количество итераций дает лучший результат.

    Реализация формулы Лейбница:

    1. Создадим 2 переменные сумма , d (знаменатель)
    2. Инициализировать сумма = 0
    3. Инициализация d = 1
    4. Создать на петля
    5. Цикл i от 0 до 1000000 (большее число = больше точности)
    6. Проверить, является ли i четным, тогда sum=sum+4/d , иначе sum=sum-4/d
    7. Увеличение d на 2 каждые на каждой итерации
    8. Печать сумма

    Временная сложность:

    O(N * logN * loglogN) , где

    • N = количество итераций
    • Деление двух чисел порядка O(N) занимает время O(logN loglogN).

    Код:

     #Инициализировать знаменатель
        д = 1
        #Инициализировать сумму
        сумма = 0
     
        для я в диапазоне (0,1000000):
     
           #четный индекс добавить к сумме
           если я % 2 == 0:
               сумма + = 4/д
           еще:
           #нечетный индекс вычесть из суммы
               сумма -= 4/д
     
        #увеличить знаменатель на 2
        д += 2
        
        print("Значение числа Пи: ",сумма)
     

    Пример вывода:

     Значение Пи: 3,1415916535897743
     

    Чем-то похож на предыдущий метод, а также является одним из традиционных методов. По мере увеличения числа итераций значение pi также становится точным.

    Реализация:

    1. Создать 3 переменные n,sum,sign
    2. Initialse сумма=3 , n=2 , знак=1
    3. Создать цикл для
    4. цикл от 0 до 1000000
    5. На каждой итерации умножить знак=знак*(-1)
    6. Вычислить сумма=сумма+знак*(4/(n)*(n+1)*(n+2))
    7. Увеличение n на 2 на каждой итерации
    8. Печать сумма

    Временная сложность:

    O(N * logN * loglogN) , где

    • N = количество итераций
    • Время Сложность умножения и деления составляет O(logN loglogN) в лучшем случае и O(logN logN) в целом.

    Код:

     #Инициализировать сумму=3,n=2 и знак=1
       сумма=3
       п=2
       знак=1
       
       #for цикл для добавления терминов
       для я в диапазоне (0,1000000):
           
           сумма=сумма+(знак*(4/((n)*(n+1)*(n+2))))
           
           #для сложения и вычитания альтернативных терминов
           знак=знак*(-1)
           
           #Увеличить на 2 по формуле
           п=п+2
           
       print("Значение числа Пи: ",сумма)
     

    Пример вывода:

     Значение Пи: 3,141592653589787
     

    Формула числа Пи Рамануджана является одним из лучших методов для нахождения числовой аппроксимации числа Пи за меньшее число итераций. Это может показаться сложным в реализации, но это не так, это довольно просто, просто выполните следующие шаги.

    Реализация:

    1. Первый импорт математический модуль
    2. Создать функцию для вычисления факториала
    3. Создать функцию для вычисления Пи по формуле 9 Рамануджана0714
    4. Инициализация сумма=0 , n=0 , i=math. sqrt(8)/9801
    5. Запустить бесконечный цикл в то время как
    6. Применить формулу Рамануджана
    7. Добавьте значение к sum+=tmp
    8. На каждой итерации увеличивать n на 1, n=n+1
    9. Если значение достигло фемтоуровня, т.е. 15-го разряда, цикл прерывается
    10. Возврат 1/сумма по формуле
    11. Распечатать значение sum

    Временная сложность:

    O(N 2 logN loglogN) , где

    • N = количество итераций
    • Время Сложность умножения и деления составляет O(logN loglogN) в лучшем случае и O(logN logN) в целом.

    Хотя временная сложность выше, чем у предыдущих подходов, в этом подходе потребуется значительно меньшее количество итераций, поэтому этот метод считается эффективным.

    Код

    2 сумма = 0 п = 0 я = (мат.кв.(8))/9801 пока верно: Формула #Рамануджана:- tmp = i*(factorial(4*n)/pow(factorial(n),4)) ((26390*n+1103)/pow(396,4*n)) сумма +=tmp # Остановить цикл, когда он достигает 15-й точности (фемто) если (абс (tmp) < 1e-15): ломать п += 1 возврат(1/сумма) print("Значение числа Пи: ",ramanujan_pi())

    Пример вывода

     Число Пи: 3,141592653589793
     

    acos() — это встроенная функция в C++ STL, а также присутствующая в языке python и аналогичная обратной косинусу в математике. Функция acos() возвращает значения в диапазоне [-π,π], что соответствует углу в радианах. Он может показывать только до 15-й цифры.

    Реализация

    1. Импорт acos из математической библиотеки
    2. Определите функцию для ввода n количество знаков после запятой
    3. Используйте функцию округления, чтобы привести значение числа пи к нужному десятичному разряду
    4. Используйте формулу pi=round(2*acos(0.0),n)
    5. Распечатать значение вызовом функции pi

    Временная сложность

    O(1)

    Код:

     #Импортировать acos из математики
       из математического импорта acos
       
       # определить функцию
       определяемое значение pi (n):
             
             #Вычисляет пи с точностью n, где n<=15
             пи = раунд (2 * acos (0,0), n)
             
             # печатает пи с точностью n
             печать (пи)
             
       print("Значение числа Пи: ",valueofpi(15))
             
     

    Пример вывода:

     Значение Пи: 3,141592653589793
     

    Это один из самых простых способов получить значение числа Пи без особых хлопот, он экономит много времени.
    Непосредственное получение значения числа пи с помощью математического модуля в Python.
    Одним из недостатков является то, что вы не можете получить такой точный результат, как предыдущие методы.

    Время Сложность:

    O(1)

    Код:

     #import math module
       импортировать математику
       
       #распечатать значение
       print("Значение числа Пи: ",math.pi)
       
     

    Пример вывода:

     Значение Пи: 3,141592653589793
     

    Это лучший вариант в большинстве случаев, с помощью этого модуля вы можете напрямую получить значение числа пи с нужной вам точностью.
    Это лучшая версия математического модуля и модуля nmpy для вычисления числа пи.

    Время Сложность:

    O(1)

    Код:

     #import gmpy module
       импортировать gmpy
       
       #распечатать значение с точностью до 128 бит
       #Обратите внимание, что аргумент принимается в битах, а не в десятичных цифрах
       print ("Значение числа Пи: ",gmpy. pi(128))
       
     

    Пример вывода:

     Значение числа Пи: 3,1415926535897932384626433832795
     

    С помощью этой статьи на OpenGenus вы должны иметь полное представление о различных подходах к нахождению значения числа Пи.

    Пи и его часть в самой красивой формуле математики

    Пи День снова настал, для тех, кто отмечает сегодняшнюю дату в формате 3/14 (14 марта). Но вместо того, чтобы говорить о самом дне числа Пи, как я делал это в прошлом году, в этом году я хочу поговорить о числе числа Пи и математических представлениях о красоте.

    Что может быть лучше, чем рассказывать о знаменитой формуле европейского ученого XVIII века Леонарда Эйлера:

    Прекрасная формула Эйлера. Обратите внимание, что e — это основание натурального логарифма, а i — это символ квадратного корня из -1, который будет объяснен позже. Разговор, CC BY

    Часто описываемая как «самая красивая формула в математике», Эйлер, кажется, никогда не записывал ее на бумаге — правила именования в математике немного хитры. Скорее, это частный случай открытия Эйлера, согласно которому экспоненциальный рост и круговое движение эквивалентны и определяются следующей формулой:

    Эту формулу часто называют цис, объединяя вместе cos и sin, а θ — это греческий символ тета. Разговор, CC BY

    Американский физик-теоретик Ричард Фейнман назвал это «самой замечательной формулой в математике».

    У Эда Сандифера, основателя Общества Эйлера, есть прекрасная статья 2007 года, в которой подробно обсуждаются подходы Эйлера — более 40 лет — чтобы показать, как работала формула (выше).

    Я попытаюсь рассказать об этой формуле, используя еще несколько символов.

    Что делает формула

    Формула Эйлера включает пять фундаментальных констант: 0, 1, i, e и Pi, а при добавлении равенства, сложения и возведения в степень объединяет их в слово из семи символов таинственным и полезным способом.

    То же самое можно написать:

    Снова формула Эйлера, переписанная. Разговор, CC BY

    Это еще более лаконично и вводит отрицательные числа.

    Общей чертой математики является то, что открытия часто сначала используются, а только потом понимаются. Как писал французский математик XVIII века Жан д'Аламбер: «алгебра щедра, она часто дает больше, чем мы просим».

    Позвольте мне обсудить 2000-летнюю историю строительных блоков формулы Эйлера. Вам не нужно разбираться в реальной математике, просто получите представление о происхождении различных элементов формулы и о том, как они так аккуратно сочетаются друг с другом.

    Равенство (=)

    Символ «=» приписывается валлийскому ученому Роберту Рекорду в 1557 году.

    Аргументы о значении равенства в математике отразились и вызвали дискуссии об определенных описаниях в философии в целом.

    Известным примером британского логика Бертрана Рассела является Венера, описанная как утренняя звезда и как вечерняя звезда. Часто обсуждаемый пример в математике — равны ли 0,99999999… и 1. Они есть и их нет.

    Ноль (0)

    Понятия небытия, пустоты или бесконечности восходят гораздо раньше, но греки и другие не открыли правил манипулирования «0».

    Математически понятное понятие нуля приписывается великому индийскому мыслителю Брахмагупте около 650 г. н.э.

    В сочетании с другим индийским открытием позиционной записи вычисления стали намного доступнее. Эта способность полностью пришла в Европу только в 15 веке и позже.

    1

    Без «1» не было бы продвинутой арифметики. С «0» и «1» у нас также есть двоичная запись и современные цифровые компьютеры. То, что американский физик-теоретик Джон Арчибальд Уиллер назвал «это из бита».

    Это ведет к современной теории групп, алгебре, криптографии и многому другому.

    i

    Использование мнимых чисел также восходит к 16-17 векам. Французский философ и математик Рене Декарт использовал этот термин пренебрежительно.

    Математические понятия, которые мы сейчас принимаем как должное, иногда требовали столетий, чтобы их приняли и поняли. Неудивительно, что школьники бунтуют.

    Эйлеру, а затем и немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу удалось по-настоящему использовать мнимые числа и придать слову «мнимый» положительный математический оттенок.

    Определение «i» как квадратного корня из -1 приводит к замечательному выводу, что многочлен степени n имеет n (комплексных) корней.

    Например, x 4 -1 = (x+1) (x-1) (x-i) (x+i), оно имеет четыре корня. Это приводит к тому, что сейчас называется комплексным анализом.

    Большая часть современной математики и математической физики (например, квантовая теория) не может быть выполнена без комплексного анализа.

    Пи (π)

    Пи возникает как площадь круга радиуса один или окружность круга диаметра один.

    Великий греческий математик Архимед Сиракузский (287–212 гг. до н. э.) использовал эту идею, чтобы получить приближенное значение 22/7 для числа Пи (3,141592…).

    Эйлер открыл современное определение, в котором Pi/2 принимается за наименьший положительный нуль функции косинуса, определяемой так называемым рядом Тейлора. Это немного сложно, но если вы просто представите ряд как очень большой многочлен, вы поймете эту идею.

    Цис как две серии Тейлора. Разговор, CC BY

    Вот! = 1 x 2 x … x n называется факториалом числа n. Это было еще одно открытие 17-го века.

    e

    Константа «е» возникла в 17 веке как основание натурального логарифма, и с точностью до трех знаков после запятой равна 2,718… хотя, как и число Пи, это трансцендентное число и продолжается без повторения до бесчисленного количества знаков после запятой.

    Эйлер, мастер всех нас, назвавший и «пи», и «е», понял, что у е x также есть ряд денди Тейлора:

    Экспоненциальная функция. Разговор, CC BY

    Тогда приравнивание тета (θ) к единице дает эффективную формулу для e.

    Теперь мы знаем все строительные блоки. Все, что нам нужно сделать во втором уравнении (см. выше), установить Theta равным Pi, и с помощью небольшой тригонометрии, зная, что sin (π) = 0 и cos (π) = -1, затем уменьшая формулу шаг за шагом, получается оригинальная красивая формула.

    В формулу вводится одно Пи и производятся расчеты, небольшое математическое жонглирование различными элементами по обе стороны от знака = дает нам окончательную красивую формулу. Разговор, CC BY

    Что такое математическая красота?

    Как видите, чтобы формула выглядела красиво, нужно хотя бы примерно понимать элементы.

    Бертран Рассел в своей «Истории западной философии» скажем так:

    Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высочайшей красотой — красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не апеллирующей к какой-либо части нашей слабой натуры, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но возвышенно чистой, и способный к суровому совершенству, которое может показать только величайшее искусство.

    Большинство математиков согласятся, что для того, чтобы быть красивой, формула должна быть неожиданной, лаконичной и полезной — в том утонченном смысле, который признают профессиональные математики.

    Когда к этому принуждают, большинство математиков относят Архимеда, Гаусса и Эйлера к пятерке величайших математических мыслителей всех времен. Двое других — Исаак Ньютон (по исчислению и механике) и Бернхард Риман (по гипотезе Римана и римановой геометрии).

    С тремя из этих блестящих мыслителей и фундаментальными константами неудивительно, что формула Эйлера превозносится как самая красивая формула в математике.

    0019: Статья 9 (More Pi Formulas)

    Вернуться к индексу перейдите к обновлениям. Пьезас III

     

     

    I. Введение

     

    Это подборка последних разработок различных авторов для формул типа пи Рамунуджана формы,

     

    для M > 1 Где

    1) S V - конечный продукт Pochhammer. )      P (n) — многочлен от n .

    3)      C рациональная константа

     

    Для m = 1 известно бесконечное число формул (где C — алгебраическая), поскольку за этим стоит хорошо разработанная теория. Однако для m > 1 , пока известно ТОЛЬКО 12 ( обновлено 19 декабря 2010 г. ), найдено:

     

    Герт Альмквист ( м = 2)

    1 – Борис Гуревич ( м = 3)

    1 – Джим Каллен ( м = 4)

     

    в основном путем умного использования алгоритмов целочисленных отношений, и только четыре из них строго доказаны (Гильерой). Собрав их в одном месте и расположив в разумном порядке, возможно, это может дать — с одного взгляда — обзор того, что известно, и побудить других найти больше подобного рода. (На самом деле четыре формулы были обнаружены только в 2010 году. Я буду обновлять этот веб-сайт каждый раз, когда будет обнаружена новая.)

     

     

    II. Тип 1

     

    Определение символа Pochhammer продуктов a v as,

     

     

    Это основные комбинации, используемые Рамануджаном, и известный пример:

     

     

    Для полного списка 36 формул, которые используют a v , рациональное число C и связанные с ним e π√d , см. статью « Формулы Пи и группа монстров ».

     

     

    III. Тип 2

     

    Чтобы обобщить результаты Рамануджана, Гильера рассмотрел пяти символов Почхаммера. В формуле числа Пи можно использовать до восьми различных комбинаций. Первые четыре, определите,

     

     

    , которые просто a v умножить на ((1/2) n /n!) 2 , тогда

     

     

    Ранние формулы Гильеры (до 2010 г.) содержали константу C , которая представляла собой дробных единиц (с числителем N = 1). Однако третья формула с C = (3/4) 3 (из его « Новый ряд, подобный Рамануджану, для 1/π 2 », 2010) доказывает, что не обязательно должно быть поэтому , следовательно, открывает возможности для б 4 и другие. ( Примечание : Гильера и Альмквист тщательно искали формулы, используя b 4 , а затем Дж. Каллен, который расширил поиск, но они еще не нашли.) < Обновление , 18 декабря. /10>: Они также рассмотрели вариант общей формы, в которой используется отношение полиномов A (n)/ B (n). Один от Almkvist:

     

    Сравните с коэффициентами третьей формулы. Это, конечно, больше, чем совпадение. (Гильера заметил сходное явление между некоторыми его формулами и формулами Рамануджана.)  < Конец >

     

    Следующие четыре продукта Pochhammer, определите,

     

     

    затем,

     

     

    Третий и четвертый (оба также найдены в 2010 г.) также содержат C , который не является дробной частью. Последняя, ​​переведенная в факториалы, имеет особенно красивую форму:

     

    .

    Хотя это еще не доказано строго, это подразумевает, как обсуждалось в « рядов, подобных Рамануджану, для 1/π 2 и теории струн » (J. Guillera and Gert Almkvist, 2010), что любая десятичная цифра числа 1/π 2 может быть вычислена без вычисления всех предшествующих десятичных знаков. , аналогичный формуле Bailey-Borwein-Plouffe . ( Примечание : это наблюдение любезно предоставлено Уилфридом Пигуллой, поскольку (1/3)(6n)!/n! 6 является целым числом для всех n > 0.) Последнее, b 8 , включает символы Pochhammer , а не , используемый Рамануджаном, и это единственный известный до сих пор.

     

     

    IV. Введите 3

     

    Это идет за пределы пяти символов Поххаммера и, следовательно, включает 1/pi m для m > 2. Определите,

     

     

    затем,

     

     

    Первый принадлежит Борису Гуревичу (2002 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.