Формула расчета сложного процента: Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов

Сложные проценты. Особенности расчета

Для того, чтобы грамотно диверсифицировать собственный инвестиционный портфель и добиться успеха, каждый начинающий трейдер должен знать, как функционируют сложные проценты в инвестировании.

На финансовом рынке сложные проценты носят название капитализация или реинвестирование. Под сложными процентами принято понимать специальную методику расчета, которая дает возможность инвестированному капиталу возрастать в геометрической прогрессии. Главным отличием сложных процентов от простых является то, что для их расчета применяется не арифметическая, а геометрическая прогрессия.

Именно благодаря сложным процентам можно получать высокую прибыль от инвестирования, даже если вы обладаете изначальным капиталом небольшого размера.

Сложные проценты. Особенности расчета

Прежде чем перейти к особенностям расчета сложных процентов, необходимо более подробно остановиться на простых процентах. Процесс расчета простых процентов проще всего разобрать на конкретном примере.

Как правило, простой процент применяется при расчете ставки банковского депозита. Допустим, клиент банка решил открыть депозит на сумму сто долларов под 10% годовых. Таким образом, спустя год его доход составит десять долларов, а общая сумма доступных ему денежных средств рассчитывается по довольно простой формуле: 100+10%=110 долларов.

Таким образом, если инвестор решит открыть депозит объемом сто долларов по 10% годовых на десять лет, то по истечению этого срока доступная ему сумма денежных средств будет составлять двести долларов. Несмотря на достаточно длительный срок ожидания, полученную сумму денежных средств серьезным капиталом назвать нельзя. Кроме того, не стоит забывать об инфляции, которая за десять лет может поглотить как полученную прибыль, так и сумму изначального капитала.

Если же инвестор вложит сто долларов в банк под сложный процент на тот же срок, то после окончания оговоренного срока доступная ему сумма будет составлять двести шестьдесят долларов. Подобная разница достигается благодаря тому, что ежегодно полученные проценты будут добавляться к изначальной сумме вклада и в следующем году проценты будут начисляться от общей суммы.

Следует отметить, что банковский депозит является не самым лучшим методом инвестирования, так как даже при сложном проценте ежегодная капитализация является менее выгодной, чем ежемесячная или еженедельная.

Существует целый рад факторов, которые влияют на сложные проценты в инвестировании и позволяют ускорить процесс увеличения изначального капитала:

1. Ежемесячные вливания. Если каждый месяц добавлять дополнительные денежные средства к изначальному депозиту, то объем капитала будет расти значительно быстрее.
2. Увеличение процента доходности. Допустим, вы решили инвестировать в акции с высокой ликвидностью, то необходимо следить за рынком ценных бумаг, чтобы в подходящий момент продать одни акции и приобрести другие с более высоким процентом доходности.

Важно! Следует помнить, что чем выше изначальная сумма инвестирования, тем на более высокий доход вы в праве рассчитывать.

Для расчета сложного процента применяется специальная формула, которую вы можете увидеть на картинке, размещенной ниже.

При желании вы можете использовать эту формулу для вычисления сложного процента, но лучше всего не тратить времени зря и воспользоваться специальными онлайн калькуляторами, которые за считанные минуты помогут вам рассчитать ожидаемый доход.

Виды сложных процентов

Основные типы капитализации (сложных процентов) лучше всего рассмотреть на примере банковского депозита. Капитализация банковских депозитов бывает следующих видов:

1. Ежегодная. Проценты начисляются один раз в год, после чего они суммируются с изначальным вкладом.
2. Ежеквартальная. Этот тип капитализации предполагает начисление процентов и прибавление их к сумме депозита после завершения каждого квартала.
3. Ежемесячная. Данный вид капитализации обычно применяется для непродолжительных депозитов. Он предполагает начисление процентов и прибавление их к сумме депозита каждый месяц, что соответственно положительно сказывается на доходе инвестора.
4. Ежедневная капитализация. Этот тип капитализации предполагает расчет процентов и прибавление их к депозиту ежедневно.
5. Разовая капитализация. Предполагается начисление процентов при окончании срока договора, после чего контракт обычно продлевается примерно на такой же срок.

Самым выгодным для инвесторов типом капитализации является ежедневная, так как она дает возможность получать максимальный доход. Но, к сожалению, данный вид капитализации встречается довольно редко, так как она может быть разорительна для финансовых учреждений.

Надеюсь, эта статья помогла вам разобраться в особенностях расчета сложных процентов.

C этой статьей еще читают:

Расчёт, формулы сложных процентов в Excel + калькулятор

Приветствую, читатели и посетители блога!

«Превратите 1$ в 1000000$!», «Самый простой способ стать миллионером!», «Вложи, ничего не делай и стань финансово свободным!». Вам попадались такие лозунги в Интернете? Мне да…

Впрочем, такие фразы возникли не на пустом месте. Любая статья, обучающий курс или другие материалы с таким заголовком – так или иначе, затрагивает тему сложного процента.

Вот и я вам предлагаю сегодня поговорить об этом удивительном инструменте богатства. Еще в самом начале ведения блога я затрагивал эту тему, когда искал ответ на вопрос – Зачем нужны инвестиции?.

Для начала, давайте разберемся кое в чём. Если есть сложный процент, есть и простой, не так ли? В чем разница?

И то, и другое — это способ начисления прибыли на депозиты и вложения. Но формулы сложных и простых процентов отличаются кардинально: в первом случае работает арифметическая прогрессия, во втором – геометрическая.

Если по-русски, то ключевое отличие двух процентов в том, что при простом проценте доход приносит только первоначальная сумма. Прибыль всегда будет одинаковой и через год, и через 10 лет.

Например, если инвестор получает 20% в год на 10000$ — это 2000$ в год. И каждый год сумма прибыли будет ровно 2000$.

С другой стороны, когда работает сложный процент, процент прибыли начисляется не только на первичную сумму инвестиций, но еще и на полученную прибыль. Это значит, что с каждым годом доход будет все выше и выше.

На тех же условиях, но с реинвестированием – в первый год инвестор получит 2000$, во второй – 2400$, в третий – 2880$. А через десять лет – 10320$! А через двадцать – невероятные 63896$. Что мы там говорили о том, как стать миллионером?

И это без учета дополнительных вложений.

Очень похоже на то, как катится с горы снежный ком – сначала понемногу, а со временем ком становится все больше и больше – и вот уже он огромен!

Для наглядности я сделал другой расчет сложных процентов в Excel и сравнил с простыми:

С каждым годом, с каждым месяцем разница все ощутимее и ощутимее

И чем дальше, тем сильнее заворачивается вверх красный график, устремляясь по параболе в финансовую бесконечность… Пусть и в теории, но зато как эффектно!

В принципе, особо тут разглагольствовать не о чем. В Интернет-инвестировании эффект сложного процента разрешен и чаще всего используется автоматически. Например, в ПАММ-счетах это так.

С другой стороны, инвесторам часто приходится рассчитывать сложный процент – подсчитать доходность, оценить инвестиционный горизонт… И решать другие прикладные задачи.

Поэтому дальше я покажу вам все необходимые формулы и помогу с расчетами.

Содержание:

Обзор задач и формул сложных процентов

Самая первая задача, с которой может столкнуться инвестор – «Сколько я получу денег, инвестируя»? Она решается, если известна начальная сумма и годовая процентная ставка доходности.

Для расчета используется формула сложных процентов с капитализацией:

Где:

• К₀ — начальный капитал,
• К – результат инвестирования (финальный капитал)
• R – годовая процентная ставка
• m – период реинвестирования (в месяцах)
• n – количество периодов реинвестирования (месяцев, кварталов, лет)

Чтобы работать чисто с годовыми периодами, нужно убрать из знаменателя 12, а из числителя – m. Но я этого делать не буду, так как ПАММ-счета удобнее всего анализировать через среднемесячную доходность.

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример №1. Иван Иванов положил 7000$ на депозит в банке. Сейчас средняя ставка по долларовым депозитам в Украине – в районе 9% в год. Вклад будет переоформляться каждый год в течение 10 лет. Сколько в итоге будет денег на банковском счету?

К₀ =7000$, R = 9% в год, m = 12 месяцев, n = 10 (10 периодов по 12 месяцев)

Капитал вырос почти в три раза, несмотря на мизерную доходность по депозитам.

Впрочем, деньги на ПАММ-счетах реинвестируются автоматически и постоянно. Кроме того, гарантий стабильного годового дохода нет…

Поэтому рекомендую для расчетов сложного процента в ПАММ-счетах использовать ежемесячный реинвест.

Пример №2. Пётр Петров вложил в ПАММ-счета 10000$.

После анализа статистики выяснилось, что он может ожидать 30% чистой прибыли за год. И теперь Пётр хочет знать, каким будет размер капитала через полгода.

Вот, что получилось:

К₀ =10000$, R = 30% в год, m = 1 месяц, n = 6 (6 периодов по 1 месяцу)

Для сравнения, без реинвестирования инвестор получил бы 11500$. То есть, на 97$ меньше, что почти не чувствуется – это всего лишь 0.97% от общего капитала.

Но давайте теперь посмотрим чуть дальше в следующем примере.

Пример №3. Исидор Сидоров вложил в ПАММ-счета 5000$. Он собирается активно управлять портфелем и рассчитывает на 50% в год в течение 5 лет. Какой капитал получится в итоге?

Для расчета снова используется формула сложных процентов. Только теперь периодов не 6, а 60 – в 5 годах 60 месяцев. Сколько же получилось?

К₀ =5000$, R = 50% в год, m = 1 месяц, n = 60 (60 периодов по 1 месяцу)

Без реинвестирования прибыль составила бы 50%*5=250%. Соответственно, капитал бы вырос до 35000$. А с учетом сложного процента – на целых 106 тысяч! Теперь разница ощущается очень сильно.

И чем больше проходит времени, тем сильнее разница. Теоретически, вложив сегодня 1$ в банк, уже ваши правнуки стали бы миллионерами.

Я не раз видел, как эту «фишку» используют в фильмах. Например, сюжет может быть такой:

Когда-то давно кто-то спрятал честно или нечестно заработанные деньги в скромный банк. И забыл о деньгах. Или надолго попал в тюрьму. Или умер. В общем, о деньгах забыли.

И вот, через 20-30 лет этот счет обнаруживают, а там лежат миллионы или даже миллиарды долларов. И начинается охота за паролями, поиск владельца, взлом хитромудрых защитных систем и т.д. Что придумают сценаристы 🙂

В прошлой статье я упоминал о том, что консервативные ПАММ-счета растут по параболе из-за сложного процента. Теперь вы на 100% понимаете, как это работает!

Кроме постоянного реинвестирования прибыли, инвестор может дополнительно «доливать» деньги в свой портфель. Эти деньги тоже будут приносить доход, поэтому формула сложных процентов немного усложняется.

Ну как немного… В общем, смотрите:

AI (Additional Investments) – размер постоянного пополнения.

С левым слагаемым вы знакомы, а правое – расчет сложного процента по новым вложениям. Формула правильная, я проверял 🙂

———— ↑ к содержанию ↑ ————

Вспомогательные формул расчета сложных процентов

Из формулы, которую мы использовали раньше, можно получить несколько других, которые могут пригодиться инвестору при решении финансовых задач.

Например, иногда нужно найти не финальный, а начальный капитал.

Пример №4. Аркадий Аркадьев интересуется, сколько ему нужно вложить денег, чтобы получить через 5 лет при ставке доходности 30% в год 100000$. Реинвест – каждый квартал.

Для этого мы используем такую формулу:

Выглядит немного страшно, но цифры точно те же, что мы использовали до этого. Подставим наши данные в формулу и найдем начальный капитал:

K = 100000$, R = 30% в год, m = 3 месяца,

n = 20 (5 лет – это 20 кварталов)

Оказалось, нужно почти в 5 раз меньше. Круто, не так ли?

Идем дальше. Давайте представим ситуацию – инвестор хочет вложить деньги на определенный срок. И он рассчитывает по итогам достичь определенной суммы капитала. Какую процентную ставку ему нужно получить?

Чтобы это узнать, для расчета нам нужна формула сложных процентов для средней процентной ставки:

Пример №5. Начальные инвестиции Максима Максимова – 13000$. Через два года они должны превратиться в 18000$. Реинвест ежемесячный (m= 1). Под какую ставку доходности Максиму нужно собирать инвестиционный портфель, чтобы выйти на требуемую сумму?

Подставляем числа:

K = 18000$, К₀ =13000$, m = 1 месяц, n = 24 (2 года = 24 месяца)

Естественно, это годовая ставка.

Её можно превратить в месячную, если из числителя убрать 12, и тогда получится около 1.5% в месяц – минимальный порог для ПАММ-счетов.

Что там можно еще найти? Ах, да – сколько нужно времени, чтобы получить определенную сумму при определенной ставке. Давайте попробуем 🙂

Если в прошлом примере у нас были корни, то теперь – логарифмы. Формулы кажутся огромными, но на самом деле их легко реализовать в программе. Чтобы рассчитать сложный процент, формула Excel нужна для одной ячейки – вот и выражаем одно через все остальное. И работает это отлично!

Итак, мы будем использовать такую формулу:

Пример №6. У Елены Лениной – 4500$, которые она хочет инвестировать. Она понимает, что может рассчитывать на 50% в год, при этом хочет достичь первой цели – 20000$. Возможно, хочет купить со временем новую машину 🙂

Через сколько времени она достигнет своей цели с условием ежемесячного реинвестирования прибыли? Подставляем числа:

K = 20000$, К₀ =4500$, R = 50%, m = 1 месяц

Довольно быстро, должен сказать.

Кстати, опытных инвесторов часто интересует не на сколько, когда и как вырастет капитал. Их больше интересует, когда деньги удвоятся. Другими словами – через сколько они «отобьют» вложения.

Чтобы это узнать, существует универсальное «правило 72». Суть его простая – делите 72 на процентную ставку за месяц (квартал, год). Результат – это и есть тот срок, за который инвестиции удвоятся (в тех же единицах времени, что и ставка доходности).

Пример №7. Инвестор Владимир ВладимирОвич вкладывает деньги под 10% в месяц. Через сколько он отобьет вложения?

Ответ: через 72/10=7.2 месяца.

Вложения под 6% в месяц дают удвоение капитала за год. Под 3% — за 2 года.

———— ↑ к содержанию ↑ ————

Расчет сложных процентов в Excel по формулам

Многие из формул, которые я вам написал, на калькуляторе посчитать не то что неудобно – почти невозможно. Да и зачем это, если есть замечательная программа, о которой пишу чуть ли не в каждой статье 🙂

Например, в статье «Делаем собственный рейтинг ПАММ-счетов» я показал, как с помощью Excel проранжировать ПАММ-счета по нескольким показателям и автоматически найти самые выгодные варианты.

Поэтому я сделал для вас очередной полезный Excel-файлик – Калькулятор сложных процентов с капитализацией. Там вы найдете 5 табличек для расчетов по формулам из этой статьи.

Напоминаю, что мы искали:

• финальный капитал;
• финальный капитал с пополнениями;
• начальный капитал;
• процентную ставку;
• срок достижения инвестиционных целей.

В Калькуляторе сложных процентов эти задачи автоматизированы, используется формула сложных процентов в Excel (все виды), о которых мы говорили в этой статье. Надеюсь, пригодится 🙂

Скачать файл: «Расчет сложных процентов».

На всякий случай записал небольшую видеоинструкцию:

Если у вас нет Экселя или неудобно им пользоваться, можете попробовать поискать в Интернете сайты по запросам «калькулятор сложного процента с реинвестированием», «калькулятор сложного процента с капитализацией» или «калькулятор инвестора сложный процент». Вы найдете множество онлайн-сервисов, выбирайте, какой понравится.

———— ↑ к содержанию ↑ ————

И на этом я прощаюсь. По традиции, несколько вопросов к вам, читатели:)

Первое – как часто вам приходится считать сложный процент? И приходится ли? Лично мне не очень часто, но это потому что я считаю доходность ПАММ-счетов через интервалы – результат почти такой же выходит. Больше нигде применять не приходилось, кроме нескольких пар на втором курсе, когда мы учили «Финансовую математику».

Второе – есть ли у вас какие-то инвестиционные цели? Дойти до энной цифры с энным количеством нулей? Получить определенную доходность? Может, стать рантье? 🙂

Расскажите!

С уважением, Александр Дюбченко

Все статьи блога «Инвестируй в ЭТО»

Понравилась статья? Скажите «спасибо» лайком!

Нужно больше информации? Вот еще 4 статьи для вас:

2. 1 Сложные проценты

Раздел II. Начисление сложных процентов

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют ка-

питализацией процентов.

Формула наращения по сложным процентам

Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет — P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов

где S — наращенная сумма, i — годовая ставка сложных процентов, n — срок ссуды, (1+i)n — множитель наращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).

Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 — наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.

Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

S = P(1+ i )n1	(1+ i )n2	…(1+ i )nk ,	(20)
1	2	k

где i1, i2,…, ik — последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,…, nk соответственно.

Пример 6.

В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение.

(1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704

Расчёт сложных процентов в Excel

Уроки MS Excel

Менеджер функций Microsoft Excel упрощает работу с вычислениями. Он избавляет от необходимости вводить формулу

Уроки MS Excel

Корреляционный анализ – это распространённый метод исследования, применяемый для определения уровня зависимости 1-й величины

Уроки MS Excel

Консолидация данных – функция в Excel, благодаря которой у пользователей появляется возможность объединить данные из нескольких таблиц в

Уроки MS Excel

Microsoft Excel уже давно является востребованным программным продуктом благодаря обширному набору самых разных рабочих

Уроки MS Excel

Excel – это не только средство для составления элементарных табличек, но и уникальный продукт

Уроки MS Excel

Перечеркнутый текст нужен для того, чтобы отобразить непригодность, неактуальность определенного показателя или значения. Часто

Уроки MS Excel

Программный продукт от Microsoft под названием Excel чаще всего используется для работы с электронными

Уроки MS Excel

Excel для новичков нередко кажется какой-то неподъемной программой. Ведь там столько функций, что непонятно

Прочее

В этой короткой статье я покажу вам, как быстро удалить все нежелательные гиперссылки с

Текстовые функции в Excel

Excel предлагает большое количество функций, с помощью которых можно обрабатывать текст. Область применения текстовых

Диаграммы и графика

Некоторые советы, хитрости и приёмы для создания замечательных диаграмм в Microsoft Excel. По своей

Уроки MS Excel

Ячейки, строки, столбцы Примеры диапазона Заполнение диапазона Перемещение диапазона Копировать/вставить диапазон Вставка строки, столбца

Уроки MS Excel

Этот учебник рассказывает о главных преимуществах функций ИНДЕКС и ПОИСКПОЗ в Excel, которые делают

Уроки MS Excel

F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 |

Уроки MS Excel

Представьте, что Вы оформили все заголовки строк и столбцов, ввели все данные на рабочий

Подсчет и суммирование

В этом уроке Вы увидите, как при помощи Excel быстро вычислить проценты, познакомитесь с

Сложные проценты — периодическое начисление

Вы можете сначала прочитать о сложных процентах.
Вы можете сразу перейти к периодическому смешиванию.

Краткое объяснение сложных процентов

С помощью сложного процента вы вычисляете проценты за первый период, добавляете их к общей сумме, а затем , затем вычисляет проценты за следующий период и так далее …, например:

Но прибавление 10% процентов равносильно умножению на 1.10 (объяснено здесь)

Значит, это тоже работает так:

Фактически, мы можем перейти от начала к 5 году, если мы умножим 5 на , используя экспоненты (или степени):

Формула

Это формула для сложного процента (как и выше, но с использованием букв вместо чисел ):

Пример: 1000 долларов США инвестировано под 10% на 5 лет:

Текущая стоимость PV = 1000 долларов США

Процентная ставка составляет 10%, что в десятичной дроби r = 0. 10

Количество периодов n = 5

PV × (1 + r) ⁿ = FV

1000 долларов США × (1 + 0,10) ⁵ = FV

1000 долларов × 1,10 ⁵ = 1610,51 долларов

Теперь мы можем выбирать разные значения, например, процентную ставку 6%:

Пример: 1000 долларов США инвестировано под 6% на 5 лет:

Текущая стоимость PV = 1000 долларов США

Процентная ставка составляет 6%, что в десятичной дроби r = 0.06

Количество периодов n = 5

PV × (1 + r) ⁿ = FV

1000 долларов США × (1 + 0,06) ⁵ = FV

1000 долларов США × 1,06 ⁵ = 1338,23 долларов США

Периодическое смешивание (в течение года)

Но иногда проценты начисляются Ежегодно …

… но рассчитывается более одного раза в течение года, с добавлением процентов каждый раз …

… так есть рецептуры в пределах года.

Пример: «10%, смешанное полугодие»

Полугодовой означает два раза в год. Итак, 10% делятся на две части:

.

• 5% в середине года
• и еще 5% на конец года

, но каждый раз это сложено (то есть проценты добавляются к общей сумме):

10%, составное полугодие

Это дает 1102,50 доллара, что равно 10.25% , а не 10%

Две годовые процентные ставки?

Да, есть две годовые процентные ставки:

Пример
10%		Номинальная ставка (ставка, которую они упоминают)
10,25%		Эффективная годовая ставка (ставка после начисления сложных процентов)

Эффективная годовая ставка — это то, что фактически оплачивается!

При начислении процентов в течение года эффективная годовая ставка на выше, чем указанная ставка.

Насколько выше зависит от процентной ставки, и сколько раз она увеличивается в течение года.

Работа над ним

Давайте придумаем формулу для расчета эффективной годовой ставки , если мы знаем:

• указанная ставка (номинальная ставка , «r» )
• сколько раз оно составлено ( «n» )

Наша задача — взять процентную ставку (например, 10%) и разделить ее на «n» периодов, каждый раз увеличивая сложность.

Из формулы сложного процента (показанной выше) мы можем составить «n» периодов, используя

FV = PV (1 + r) ⁿ

Но процентная ставка не будет «r», потому что она должна быть разбита на «n» периодов, например:

об / п

Итак, мы меняем формулу компаундирования на:

Это формула для периодического смешивания:

FV = PV (1+ (r / n)) ⁿ

, где FV = Будущая стоимость
PV = Текущая стоимость
r = годовая процентная ставка
n = количество периодов в году

Давайте попробуем это на нашем примере «10%, составной полугодовой»:

FV = 1000 долларов США (1+ (0. 10/2)) ² = 1000 долларов (1,05) ² = 1000 долларов × 1,1025 = 1 102,50 долларов

Это сработало! Но мы хотим знать, что такое новая процентная ставка , нам не нужны долларовые значения, поэтому давайте удалим их:

(1+ (r / n)) ⁿ = (1,05) ² = 1. 1025

Здесь указана процентная ставка (0,1025 = 10,25%), но мы должны вычесть лишнее 1:

(1+ (r / n)) ⁿ — 1 = 0,1025 = 10.25%

Итак, формула:

Эффективная годовая ставка = (1+ (r / n)) ⁿ — 1

Пример: какую ставку вы получаете, когда в объявлении говорится «6% ежемесячно»?

r = 0,06 (что составляет 6% в виде десятичной дроби)
n = 12

Эффективная годовая ставка = (1+ (r / n)) ⁿ — 1

= (1+ (0,06 / 12)) ¹² — 1

= (1,005) ¹² — 1 = 0,06168 = 6. 168%

Итак, вы фактически получаете 6,168%

Пример: 7% годовых, начисляемых 4 раза в год.

r = 0,07 (что составляет 7% в виде десятичной дроби)
n = 4

Итак:

FV = PV (1+ (0,07 / 4)) ⁴

FV = PV (1+ (0,07 / 4)) ⁴

FV = PV (1.0719 …)

Эффективная годовая ставка 7,19%

Итак, помните:

Разбить процентную ставку на «n» периодов	об / п
Составьте «n» раз:	(1+ (р / п)) н
Не забудьте вычесть «1»	(1+ (р / п)) н — 1

Таблица значений

Вот несколько примеров значений. Обратите внимание, что сложный эффект имеет очень небольшой эффект, когда процентная ставка мала, но большой эффект для высоких процентных ставок.

Приготовление смеси	Периоды		1,00%	5,00%	10,00%	20,00%	100,00%
Ежегодно	1		1,00%	5,00%	10,00%	20.00%	100,00%
За полгода	2		1,00%	5,06%	10,25%	21,00%	125,00%
Ежеквартально	4		1,00%	5,09%	10,38%	21,55%	144,14%
Ежемесячно	12		1.00%	5,12%	10,47%	21,94%	161,30%
Ежедневно	365		1,01%	5,13%	10,52%	22,13%	171,46%
. ..	…
Непрерывно	бесконечный		1.01%	5,13%	10,52%	22,14%	171,83%

Постоянно?

Да, если у вас есть все меньшие и меньшие периоды (часовые, минутные и т. Д.), Вы в конечном итоге достигнете предела, и у нас даже есть формула для этого:

Формула непрерывного смешивания
Примечание: e = 2,71828 …, что является числом Эйлера.

Пример: непрерывное смешивание до 20%

e ^0.20 — 1 = 1,2214 … — 1 = 0,2214 …

Или около 22,14%

Используется

Теперь, когда вы можете рассчитать эффективную годовую ставку (для определенных периодов или непрерывно), мы можем использовать ее в любых обычных расчетах сложных процентов.

Пример: Непрерывное компаундирование 10 000 долларов в течение 2 лет под 8%

Непрерывное смешивание для 8% составляет: e ^0,08 — 1 = 1,08329 … — 1 = 0.08329 …

То есть примерно 8,329 %

За 2 года (см. Сложные проценты ) получаем:

FV = PV × (1 + r) ⁿ

FV = 10 000 долларов США × (1 + 0,08329) ²

FV = 10 000 долларов США × 1,173511 … = 11 735,11 долларов США

Сводка

Эффективная годовая ставка = (1+ (r / n)) ⁿ — 1

Где:

• r = Номинальная ставка (ставка, которую они называют)
• n = количество составляемых периодов (пример: ежемесячно = 12)

Вычисление сложных процентов

Показывает, как составляются формулы, с примерами!

С помощью сложных процентов мы вычисляем проценты за первый период, добавляем их к общей сумме, а затем , затем вычисляем проценты за следующий период и так далее…, вот так:

Создайте формулу

Давайте посмотрим на первый год для начала:

1000 долларов США + (1000 долларов США × 10%) = 1100 долларов США

Переставить можно так:

Таким образом, прибавление 10% процентов аналогично умножению на 1,10

(Примечание: процентная ставка была преобразована в десятичную дробь путем деления на 100: 10% = 10/100 = 0,10 , прочтите Проценты, чтобы узнать больше.)

И эта формула работает для любого года:

• В следующем году мы могли бы сделать так: $ 1,100 × 1.10 = 1210 долларов США
• А затем переходите к следующему году: 1210 долларов × 1,10 = 1331 доллар
• и т.д …

Так это работает:

На самом деле, мы могли бы сразу перейти к 5-му году, если умножим на 5 умножить на :

1000 долларов США × 1,10 × 1,10 × 1,10 × 1,10 × 1,10 = 1610,51 долларов США

Но проще записать серию умножений, используя экспоненты (или степени), например:

Формула

Мы использовали реальный пример, но давайте сделаем его более общим с помощью , используя буквы вместо чисел , например:

(Сравните это с вычислением выше: PV = 1000 долларов, r = 0.10, n = 5 и FV = 1 610,5 долл. США1)

• Когда процентная ставка является годовой, тогда n — количество лет
• При ежемесячной процентной ставке n — количество месяцев
• и так далее

Примеры

Как насчет примеров …
… что, если бы кредит пошел на 15 лет ? … просто измените значение «n»:

… а если бы кредит был на 5 лет, а процентная ставка всего 6%? Здесь:

(Обратите внимание, что это 1.06 , а не 1,6)

Четыре формулы

Итак, основная формула для сложного процента:

FV = PV (1 + r) ⁿ

• FV = Будущая стоимость,
• PV = Текущая стоимость,
• r = процентная ставка (в виде десятичного числа) и
• n = Количество периодов

Таким образом, мы можем рассчитать будущую стоимость FV , когда мы знаем текущую стоимость PV , процентную ставку r и количество периодов n

И мы можем переставить формулу , чтобы найти справедливую стоимость, процентную ставку или количество периодов, когда мы знаем три других.

Вот все четыре фурмулы:

FV = PV (1 + r) n		Найдите будущую стоимость , когда мы знаем текущую стоимость, процентную ставку и количество периодов.
PV = FV / (1 + r) n		Найдите текущую стоимость , когда мы знаем будущую стоимость, процентную ставку и количество периодов.
r = (FV / PV) 1 / n — 1		Найдите процентную ставку , когда мы знаем текущую стоимость, будущую стоимость и количество периодов.
n = л. (FV / PV) пер. (1 + р)		Найдите количество периодов , когда мы знаем текущую стоимость, будущую стоимость и процентную ставку

Как мы получили эти три формулы? Читать дальше!

Расчет текущей стоимости

Пример: Сэм хочет достичь 2000 долларов через 5 лет под 10% годовых.С чего Сэму начать?

Другими словами, мы знаем будущую стоимость, а хотим знать текущую стоимость .

Мы можем просто изменить формулу так, чтобы она подходила … разделив обе стороны на (1 + r) ⁿ , мы получим:

Начать с: FV = PV (1 + r) ⁿ

Поменять местами стороны: PV (1 + r) ⁿ = FV

Разделить обе части на (1 + r) ⁿ : PV = FV (1 + р) ^п.

Итак, теперь мы можем вычислить ответ:

Пример (продолжение):

PV = 2000 долл. США / (1 + 0.10) ⁵ = 2000 долларов / 1,6 1051 = 1241,84 доллара

Итак, Сэм должен начать с $ 1 241,84

Работает так:

Другой пример: Сколько вам нужно инвестировать сейчас, чтобы получить 10 000 долларов через 10 лет под 8% процентной ставки?

PV = 10 000 долларов США / (1 + 0,08) ¹⁰ = 10 000 долларов США / 2,1589 = 4 631,93 долларов США

Итак, 4631,93 долларов США , инвестированные под 8% на 10 лет, вырастают до 10 000 долларов США

Расчет процентной ставки

Пример: У Сэма всего 1000 долларов, и он хочет, чтобы через 5 лет они выросли до 2000 долларов. Какую процентную ставку Сэм должен искать?

Нам нужна перестановка первой формулы, чтобы вычислить это:

Начать с: FV = PV (1 + r) ⁿ

Поменять местами стороны: PV (1 + r) ⁿ = FV

Разделите обе стороны на PV: (1 + r) ⁿ = FV PV

Извлечь корень n-й степени из обеих частей: 1 + r = ( FV PV ) ^{1 / п}

Вычтем 1 с обеих сторон: r = ( FV PV ) ^{1 / п} — 1

(Примечание: чтобы понять шаг «извлечения корня n-й степени», прочтите «Дробные экспоненты»)

Результат:

r = (FV / PV) ^{1 / n} — 1

Теперь у нас есть формула, достаточно «вставить» значения, чтобы получить результат:

Пример (продолжение):

r = (2000 долларов / 1000 долларов) ^1/5 — 1
= (2) ^0.2 — 1
= 1,1487 — 1
= 0,1487

И 0,1487 в процентах составляет 14,87%

Итак, Сэму нужно 14,87% , чтобы превратить 1000 долларов в 2000 долларов за 5 лет.

Другой пример: Какая процентная ставка нужна, чтобы превратить 1000 долларов в 5000 долларов через 20 лет?

r = (5000 $ / 1000 $) ^1/20 — 1 = (5) ^0,05 — 1 = 1,0838 — 1 = 0,0838

и 0.0838 в процентах составляет 8,38% . Таким образом, через 20 лет 8,38% превратят 1000 долларов в 5000 долларов.

Определение количества периодов

Пример: Сэм может получить процентную ставку только 10%. Сколько лет понадобится Сэму, чтобы получить 2000 долларов?

Когда мы хотим узнать, сколько периодов потребуется, чтобы превратить 1000 долларов в 2000 долларов при 10% -ной процентной ставке, мы можем изменить основную формулу.

Но для этого нам нужно использовать функцию натурального логарифма ln () .

Начать с: FV = PV (1 + r) ⁿ

Поменять местами стороны: PV (1 + r) ⁿ = FV

Разделите обе стороны на PV: (1 + r) ⁿ = FV / PV

Разделим обе части на ln (1 + r): n = лн ( FV / PV) пер (1 + р)

(Примечание: чтобы понять шаг «использовать логарифмы», прочтите «Работа с экспонентами и логарифмами»).

Теперь давайте «подставим» значения:

Пример (продолжение):

n = ln (2000 долларов / 1000 долларов) / ln (1 + 0.10) = ln (2) / ln (1,10) = 0,69315 / 0,09531 = 7,27

Magic! Потребуется 7,27 года , чтобы превратить 1000 долларов в 2000 долларов под 10% годовых.

Бедному Сэму придется ждать более 7 лет.

Другой пример: Сколько лет, чтобы превратить 1000 долларов в 10 000 долларов при 5% годовых?

n = ln (10 000 долл. США / 1000 долл. США) / ln (1 + 0,05) = ln (10) / ln (1,05) = 2,3026 / 0,04879 = 47,19

47 лет! Но речь идет о 10-кратном увеличении, всего под 5%.

Заключение

Знание того, как выводятся и используются формулы, упрощает их запоминание и использование в различных ситуациях.

Формула сложного процента и примеры

Сложные проценты — это когда проценты начисляются не только на первоначальную вложенную сумму, но и на любые проценты. Другими словами, проценты зарабатываются сверх процентов и, таким образом, «складываются». Формулу сложных процентов можно использовать для расчета стоимости таких инвестиций через заданный промежуток времени или для расчета таких вещей, как время удвоения инвестиций.Мы увидим примеры этого ниже.

объявление

Примеры определения будущей стоимости по формуле сложных процентов

Во-первых, мы рассмотрим простейший случай, когда мы используем формулу сложных процентов для расчета стоимости инвестиций по прошествии некоторого установленного времени. Это называется будущей стоимостью инвестиций и рассчитывается по следующей формуле.

Пример

Ежемесячный доход от инвестиций составляет 3%.Определите стоимость первоначальных инвестиций в размере 5000 долларов через 6 лет.

Решение

Определите, какие значения даны и какие значения вам нужно найти.

• Ежемесячно начисляется 3%: ставка \ (r = 0,03 \), а количество раз в год начисляется \ (m = 12 \)
• Первоначальные инвестиции в размере 5000 долларов США: начальная сумма является основной, \ (P = 5000 \)
• 6 лет: \ (t = 6 \)

Вы пытаетесь найти \ (A \), будущую стоимость (значение через 6 лет).{12 \ times 6} \\ & \ приблизительно \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2px] {5984.74} \ end {align} \)

Ответ: Стоимость через 6 лет составит 5 984,74 доллара.

Важно! Будьте осторожны при округлении в формуле. Вы должны проделать как можно больше работы на вашем калькуляторе и не округлять до самого конца. В противном случае ваш ответ может отличаться на несколько долларов.

Давайте попробуем еще один пример, подобный этому, прежде чем приступить к решению более сложных типов задач.

Пример

Какова стоимость инвестиции в размере 3500 долларов США через 2 года, если она приносит 1,5% совокупных доходов ежеквартально?

Решение

Как и раньше, мы находим будущее значение A. В этом примере нам дано:

• Значение через 2 года: \ (t = 2 \)
• Ежеквартально начисляется 3%: \ (r = 0,015 \) и \ (m = 4 \), поскольку сложный квартал означает 4 раза в год
• Руководитель: \ (P = 3500 \)

Применяя формулу:

\ (\ begin {align} A & = P \ left (1 + \ dfrac {r} {m} \ right) ^ {mt} \\ & = 3500 \ left (1 + \ dfrac {0.{4 \ times 2} \\ & \ приблизительно \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2px] {3606.39} \ end {align} \)

Ответ : Стоимость через 2 года составит 3606,39 доллара.

Есть и другие типы вопросов, на которые можно ответить, используя формулу сложных процентов. Большинство из них требует некоторой алгебры, и требуемый уровень алгебры зависит от того, какую переменную вам нужно найти. Ниже мы рассмотрим несколько различных возможностей.

Пример нахождения ставки с учетом других значений

Предположим, вам дали будущую стоимость, время и количество периодов начисления сложных процентов, но вас попросили рассчитать заработанную ставку.Это можно использовать в ситуации, когда вы берете сумму проданного дома и определяете заработанный доход, если это рассматривается как вложение. Рассмотрим следующий пример.

Пример

Миссис Джефферсон купила антикварную статую за 450 долларов. Десять лет спустя она продала эту статую за 750 долларов. Если статуя рассматривается как инвестиция, какой годовой доход она зарабатывала?

Решение

Если мы рассматриваем это как вложение в \ (P = 450 $ \), то мы знаем, что будущая стоимость равна \ (A = 750 $ \).{\ dfrac {1} {10}} = 1 + r \)

Вычислите значение слева и решите относительно \ (r \).

\ (\ begin {align} 1.0524 & = 1 + r \\ 1.0524 — 1 & = r \\ \ bbox [граница: 1 пиксель сплошной черный; отступ: 2 пикселя]
{0,0524} & = r \ end {align} \)

Таким образом, госпожа Джефферсон заработала 5,24% годовых. Неплохо! Но здесь определенно была задействована более сложная алгебра. В некоторых случаях вам, возможно, даже придется использовать логарифмы. Типичная ситуация, когда вы можете увидеть это, — это вычисление времени удвоения инвестиций по заданной ставке.

Расчет времени удвоения инвестиции по формуле сложных процентов

Независимо от первоначально вложенной суммы, вы можете определить время удвоения инвестиции, если вам будут заданы ставка и количество периодов начисления сложных процентов. Давайте посмотрим на пример и посмотрим, как это можно сделать.

Пример

Сколько лет потребуется, чтобы вложения увеличились вдвое, если они приносят 5% годовых?

Может показаться трудным решить, с чего начать, поскольку нам дана только ставка \ (r = 0.{t} \)

Чтобы найти t, возьмем натуральное логарифмическое число ln с обеих сторон. По законам логарифмов это позволит нам вывести показатель степени на передний план.

\ (\ ln (2) = т \ ln \ влево (1,05 \ вправо) \)

Наконец, мы можем разделить, а затем использовать наши калькуляторы, чтобы найти t.

\ (\ begin {align} t & = \ dfrac {\ ln (2)} {\ ln \ left (1.05 \ right)} \\ & \ приблизительно \ bbox [граница: 1 пиксель сплошной черный; отступ: 2 пикселя] {14.2 \ text {years}} \ end {align} \)

Ответ : Пройдет чуть больше 14 лет, прежде чем инвестиции увеличатся вдвое.

Тот же самый процесс можно использовать, чтобы определить, когда инвестиции увеличатся в три или даже в четыре раза. Вы бы просто использовали другое кратное \ (P \) в первой части формулы.

объявление

Сводка

Формула сложных процентов используется, когда вложения приносят проценты на основную сумму долга и ранее полученные проценты. Такие инвестиции быстро растут; насколько быстро зависит от ставки и количества периодов начисления сложных процентов.При работе с вопросом формулы сложного процента всегда обращайте внимание на то, какие значения известны и какие значения необходимо найти, чтобы ваша работа оставалась организованной.

Теперь, когда вы изучили сложный процент, вы должны также рассмотреть простой процент и его различия.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Калькулятор сложных процентов [с формулой]

Пример 3 — Расчет процентной ставки инвестиции с использованием формулы сложных процентов

А теперь давайте попробуем вопрос другого типа, на который можно ответить, используя формулу сложных процентов.На этот раз потребуются некоторые базовые преобразования алгебры. В этом примере мы рассмотрим ситуацию, в которой мы знаем начальный баланс, окончательный баланс, количество лет и частоту начисления сложных процентов, но нас просят рассчитать процентную ставку. Этот тип расчета может применяться в ситуации, когда вы хотите определить процентную ставку, полученную при покупке и продаже актива (например, собственности), который вы используете в качестве инвестиции.

Данные и вопрос Вы купили оригинальную картину за 2000 долларов.Шесть лет спустя вы продали эту картину за 3000 долларов. Если предположить, что картина рассматривается как инвестиция, какой годовой доход вы получали?

Решение Во-первых, давайте определимся с данными значениями. Начальное сальдо P составляет 2 000 долларов , а окончательное сальдо FV составляет 3 000 долларов . Временной горизонт инвестирования 6 год, а частота вычислений — 1 год. На этот раз нам нужно вычислить процентную ставку р .0,166667 — 1 = 1,069913 — 1 = 0,069913 = 6,9913%

Ответ

В этом примере вы заработали 1000 долларов из первоначальных инвестиций в 2000 долларов в течение шести лет, что означает, что ваша годовая ставка была равна 6,9913%.

Как видите, на этот раз формула не очень проста и требует большого количества вычислений. Вот почему стоит протестировать наш калькулятор сложных процентов, который мгновенно решает те же уравнения, экономя ваше время и усилия.

Калькулятор сложных процентов

Входы Текущий директор: $ Ежегодное добавление: $ Годы расти: Процентная ставка: % Сложный процент раз (а) ежегодно Вносить дополнения в Начало конец каждого периода начисления сложных процентов Результаты Будущая стоимость: $

Формула сложных процентов

Сложные проценты — это означает, что проценты, которые вы зарабатываете каждый год, добавляются к вашей основной сумме, так что баланс не просто растет, он растет с возрастающей скоростью — это одна из самых полезных концепций в финансах.

No related posts.