Облигации с постоянным купоном: Кривая бескупонной доходности государственных облигаций

Большинство корпоративных бескупонных облигаций включает условие отзыва, дающее фирме право отозвать облигацию по номинальной стоимости. В этой статье мы исследуем, оптимально ли для фирмы отозвать такую ​​облигацию для целей возмещения, принимая во внимание влияние корпоративных налогов. Мы считаем, что неоптимально возвращать облигацию, если ставка корпоративного налога составляет менее 50 процентов.Мы обнаружили, что значительно более высокая доля облигаций с бескупонным правом отзыва по сравнению с не подлежащими отзыву облигациями имеет ограничительные финансовые условия, что позволяет предположить, что функция отзыва включена для обеспечения гибкости при низких затратах для будущей рекапитализации по мере изменения инвестиционных возможностей фирмы.

Журнал финансового и количественного анализа (JFQA) издается дважды в месяц в феврале, апреле, июне, августе, октябре и декабре изданием Michael G.Фостерская школа бизнеса Вашингтонского университета в сотрудничестве со Школой бизнеса У. П. Кэри Университета штата Аризона и Университетом Северной Каролины в бизнес-школе Чапел-Хилл Кенан-Флаглер. JFQA публикует теоретические и эмпирические исследования в области финансовой экономики. Темы включают корпоративные финансы, инвестиции, рынки капитала и ценных бумаг, а также количественные методы, которые имеют особое значение для финансовых исследователей.

Cambridge University Press (www.cambridge.org) — издательское подразделение Кембриджского университета, одного из ведущих исследовательских институтов мира, лауреата 81 Нобелевской премии. В соответствии со своим уставом издательство Cambridge University Press стремится максимально широко распространять знания по всему миру. Он издает более 2500 книг в год для распространения в более чем 200 странах. Cambridge Journals издает более 250 рецензируемых академических журналов по широкому кругу предметных областей в печатном виде и в Интернете. Многие из этих журналов являются ведущими научными публикациями в своих областях, и вместе они составляют одну из самых ценных и всеобъемлющих исследовательских работ, доступных сегодня.Для получения дополнительной информации посетите http://journals.cambridge.org.

Step-Ups — Типы облигаций с фиксированным доходом

Введение в повышающие облигации:

На самом базовом уровне повышающие облигации имеют купонные выплаты, которые увеличиваются («повышаются») в течение срока действия облигации в соответствии с заранее определенным графиком. В большинстве случаев эмитент может запрашивать повышение уровня обслуживания в каждую годовщину, когда купон сбрасывается, или постоянно после начального периода без отзыва.Повышающие облигации могут сбрасываться один или несколько раз (многоступенчатые облигации) в течение срока действия облигации. Обычными эмитентами являются предприятия, спонсируемые государством (GSE), а также корпорации.

Повышающие облигации потенциально могут обеспечить:

• Более высокие купоны и увеличивающиеся потоки доходов по сравнению с альтернативами с фиксированным купоном.

• Возможность более высокой доходности по сравнению с сопоставимыми ценными бумагами без права отзыва.

Риск / вознаграждение повышающих облигаций:

Некоторые характеристики облигаций могут отличаться, например частота платежей и денежный поток.Повышение ставки обычно обеспечивает более высокий средневзвешенный купон по сравнению с облигациями с фиксированным купоном с аналогичными сроками погашения. Относительная стоимость повышающей облигации будет зависеть от периода владения, купона и ожидаемых будущих процентных ставок. Как и в случае любой облигации с правом отзыва, цена дополнительной облигации частично определяется кредитным риском эмитента, преобладающим уровнем процентных ставок и стоимостью встроенного опциона на покупку. Когда облигации повышаются (увеличивается купон), вероятность того, что эмитент исполнит требование, также возрастает.Кроме того, возможно, что при увеличении объема облигаций увеличение купона может не поспевать за преобладающими процентными ставками. Эти более высокие потенциальные риски обычно компенсируются более крупным авансовым купоном.

Пример повышающего залога:

В таблице ниже приведены 10-летние повышающие облигации с годовыми датами отзыва и повышающими купонами. В этом примере ставка купона увеличивается на 50 базисных пунктов каждый год, если эмитент не отзывает облигацию в указанную дату отзыва. Если эмитент решит отозвать облигацию, инвестор получит номинальную стоимость.

(Выше приведен гипотетический пример только в иллюстративных целях. Он не предназначен для отражения фактических показателей какой-либо ценной бумаги. Инвестиции сопряжены с риском, и вы можете получить прибыль или убыток.) ​​

Вывод:

Повышающие облигации могут привлечь инвесторов, которые ищут более высокий купон, чем существующие альтернативы с фиксированным купоном. Преимущество потенциально более высокого будущего купона снижает риск повышения процентных ставок. Купон может соответствовать или не идти в ногу с преобладающими процентными ставками; однако прогнозируемый денежный поток и доход можно измерить в течение периода владения за любой период времени.

1212 (01/2021), Руководство по инструментам с дисконтом при первоначальном выпуске (OID)

Способ определения OID для долгосрочного долгового инструмента зависит от даты его выпуска. Это также может зависеть от типа долгового инструмента. Для каждого из следующих долговых инструментов действуют разные правила.

. Если вы владели долговым инструментом OID в течение календарного года, но не получили форму 1099-OID, см. Форма 1099-OID не получена , позже, и обратитесь к разделу IA , доступному в IRS .gov / Pub1212 , щелкнув ссылку в разделе «Последние разработки». .

Долговые инструменты, выпущенные после 1 июля 1982 г. и до 1985 г.

Если вы держите эти долговые инструменты в качестве основных средств, вы должны включать часть OID в доход каждый год, когда вы владеете долговыми инструментами, и увеличивать свою базу на включенную сумму. Для получения информации о том, как указать правильный OID в вашей налоговой декларации, см. Как сообщить об OID ранее.

Форма 1099-OID.

Вы должны получить форму 1099-OID, показывающую OID за ту часть года, в которой вы владели долговым инструментом. Однако, если вы заплатили премию за приобретение, вам может потребоваться изменить OID, чтобы он отражался в вашей налоговой декларации. См. Метод постоянной доходности и обсуждение премии за приобретение ниже.

. Если вы владели долговым инструментом OID в течение календарного года, но не получили форму 1099-OID, см. Форма 1099-OID не получена , позже, и обратитесь к разделу IA , доступному в IRS .gov / Pub1212 , щелкнув ссылку в разделе «Последние разработки». .

Форма 1099-OID не получена.

Указанный OID соответствует каждой 1000 долларов выкупной цены. Вы должны скорректировать указанную сумму, если у вашего долгового инструмента другая основная сумма. Например, если у вас есть долговой инструмент с основной суммой в 500 долларов, используйте половину указанной суммы для расчета своего OID.

Если вы держали долговой инструмент в течение всего года, используйте OID, указанный в Раздел I-A .(Если ваш инструмент не указан в Разделе IA, , проконсультируйтесь с эмитентом для получения информации о цене выпуска, доходности погашения и OID, начисленных за этот год.) Если вы не владели долговым инструментом весь год, рассчитайте свои OID с помощью любого из следующих методов.

Метод 1.

1. Разделите общий OID за календарный год на 365 (366 для високосных лет).

2. Умножьте результат в (1) на количество дней, в течение которых вы держали долговой инструмент в этом конкретном году.

Метод 2.

1. Найдите ежедневный OID для первого периода начисления, который вы держали в долговом инструменте в течение календарного года. (См. Период начисления при Метод постоянной доходности , далее.)

2. Умножьте дневной OID на количество дней, в течение которых вы держали долговые инструменты в течение этого периода начисления.

3. Если вы держали долговой инструмент в течение части обоих периодов начисления, повторите (1) и (2) для второго периода начисления.

4. Складываем результаты (2) и (3). Это OID, который нужно включить в доход, если вы не заплатили премию за приобретение. (Уменьшение премии за приобретение обсуждается позже.)

Метод постоянной доходности.

Это обсуждение показывает, как рассчитать OID долговых инструментов, выпущенных после 1 июля 1982 г. и до 1985 г., с использованием метода постоянной доходности.OID распределяется в течение срока действия долгового инструмента путем корректировки цены выпуска для каждого периода начисления.

Изобразите OID, присваиваемый любому периоду начисления, как показано ниже.

1. Умножьте скорректированную цену выпуска в начале периода начисления на доходность долгового инструмента.

2. Вычтите из результата (1) любые оговоренные заявленные проценты, относящиеся к периоду начисления.

Период начисления.

Период начисления для любого долгового инструмента OID, выпущенного после 1 июля 1982 г. и до 1985 г., — это период каждого года, начинающийся с даты выпуска обязательства и каждой последующей годовщины, или более короткого периода до погашения для последнего периода начисления. Ваш налоговый год обычно включает части двух периодов начисления.

Ежедневный OID.

OID для любого периода начисления распределяется одинаково на каждый день периода начисления.Вы должны включить в доход сумму OID за каждый день владения долговым инструментом в течение года. Если ваш налоговый год включает части двух или более периодов начисления, вы должны включить правильные ежедневные суммы OID для каждого периода начисления.

Расчет ежедневного OID.

Ежедневный OID для начального периода начисления рассчитывается по следующей формуле.

Ежедневный OID для последующих периодов начисления рассчитывается таким же образом, за исключением того, что в формуле используется скорректированная цена выпуска в начале каждого периода вместо цены выпуска.

Уменьшение премии за приобретение по долговым инструментам, приобретенным до 19 июля 1984 г.

Если вы купили долговой инструмент с премией за приобретение до 19 июля 1984 г., рассчитайте OID, включаемый в доход, уменьшив дневной OID на ежедневную премию за приобретение. Рассчитайте ежедневную премию за приобретение, разделив общую премию за приобретение на количество дней в периоде, начинающемся с даты покупки и заканчивающемся за день до даты погашения.

Уменьшение премии за приобретение по долговым инструментам, приобретенным после 18 июля 1984 г.

Если вы купили долговой инструмент с премией за приобретение после 18 июля 1984 г., рассчитайте OID, включаемый в доход, уменьшив дневной OID на ежедневную премию за приобретение. Однако метод расчета ежедневной премии за приобретение отличается от метода, описанного в предыдущем обсуждении. Чтобы рассчитать ежедневную премию за привлечение в соответствии с этим методом, умножьте дневной OID на следующую дробь.

. Раздел I-A доступен на IRS.gov/Pub1212 , щелкнув ссылку в разделе «Последние изменения». .

Использование раздела I-A для вычисления накопленного OID.

Если вы купили свой корпоративный долговой инструмент в календарном году или следующем году, вы можете рассчитать накопленный OID на дату покупки, добавив следующие суммы.

1. Сумма из столбца «Общий OID на 1 января, ГГГГ» для вашего долгового инструмента.

2. OID с 1 января календарного года до даты покупки, рассчитываемый следующим образом.

   1. Умножьте дневной OID для первого периода начисления в календарном году на количество дней с 1 января до даты покупки или до конца периода начисления, если долговой инструмент был приобретен во втором или третьем периоде начисления.

   2. Умножьте дневной OID для каждого последующего периода начисления на количество дней в периоде до даты покупки или окончания периода начисления, в зависимости от того, что применимо.

   3. Сложите суммы, указанные в (2a) и (2b).

Долговые инструменты, выпущенные после 1984 г.

Если у вас есть долговые инструменты, выпущенные после 1984 года, вы должны указывать часть OID в валовом доходе каждый год, когда вы владеете долговыми инструментами. Вы должны включать OID в валовой доход независимо от того, держите ли вы долговой инструмент в качестве основного актива. Ваша база в долговом инструменте увеличивается за счет OID, который вы включаете в доход.Для получения информации о том, как указать правильный OID в вашей налоговой декларации, см. Как сообщить об OID ранее.

Форма 1099-OID.

Вы должны получить форму 1099-OID, показывающую OID за ту часть календарного года, в которой вы владели долговым инструментом. Однако, если вы заплатили премию за приобретение, вам может потребоваться изменить OID, чтобы он отражался в вашей налоговой декларации. См. Метод постоянной доходности и Уменьшение премии за приобретение , далее.

Если ваш налогооблагаемый долговой инструмент представляет собой покрытую ценную бумагу, ваш брокер рассчитает амортизацию премии за приобретение за вас.Ваш брокер может указать либо общую сумму OID в поле 1 или поле 8, в зависимости от обстоятельств, и амортизацию премии за приобретение в поле 6, либо может указать чистую сумму OID, которая отражает компенсацию OID на сумму амортизации премии за приобретение. за год в графе 1 или 8, в зависимости от обстоятельств. Как правило, ваш брокер будет использовать правила раздела 1.1272-2 (b) (4) Регламента для определения амортизации премии за приобретение. Однако вы можете использовать метод постоянной доходности для амортизации премии за приобретение, если сделаете выбор в соответствии с разделом 1 Правил.1272-3.

Вам также может потребоваться изменить OID для условного платежа или долгового инструмента, индексированного по инфляции, для которого сумма, указанная в форме 1099-OID, неточна. См. Долговые инструменты с условными выплатами или Долговые инструменты с индексированием инфляции , далее.

. Если вы владели долговым инструментом OID в течение календарного года, но не получили форму 1099-OID, см. Форма 1099-OID не получена , позже, и обратитесь к Раздел IB , доступный в IRS .gov / Pub1212 , щелкнув ссылку в разделе «Последние разработки». .

Форма 1099-OID не получена.

Указанный OID соответствует каждой 1000 долларов выкупной цены. Вы должны скорректировать указанную сумму, если у вашего долгового инструмента другая основная сумма. Например, если у вас есть долговой инструмент с основной суммой в 500 долларов, используйте половину указанной суммы для расчета своего OID.

Используйте OID, указанный в Раздел I-B для календарного года, если вы держали долговой инструмент весь год.(Если ваш долговой инструмент не указан в Разделе IB, проконсультируйтесь с эмитентом для получения информации о цене выпуска, доходности к погашению и OID, начисленных за этот год.) Если вы не владели долговым инструментом весь год, изобразите ваш OID следующим образом.

1. Найдите ежедневный OID для первого периода начисления, в котором вы держали долговой инструмент в течение календарного года. (См. Период начисления по методу постоянной доходности , далее .)

2. Умножьте дневной OID на количество дней, в течение которых вы держали долговые инструменты в течение этого периода начисления.

3. Повторите (1) и (2) для всех оставшихся периодов начисления, в которых вы держали долговые инструменты.

4. Складываем результаты (2) и (3). Это OID, который нужно включить в доход за этот год, если вы не уплатили премию за приобретение. (Уменьшение премии за приобретение обсуждается позже.)

Залог, освобожденный от налогов.

Если вы являетесь владельцем не облагаемой налогом облигации, определите свою основу для этой облигации, добавив к своей стоимости OID, который вы бы включили в доход, если бы облигация облагалась налогом.Вам необходимо внести эту корректировку, чтобы определить, есть ли у вас прибыль или убыток от более позднего отчуждения облигации. Как правило, для определения своего OID используйте следующие правила. Если ваша не облагаемая налогом облигация является покрытой ценной бумагой в соответствии с разделом 1.6045-1 (a) (15) Регламента, ваш брокер внесет эту корректировку в вашу основу и сообщит о скорректированной основе в форме 1099-B.

Метод постоянной доходности.

Это обсуждение показывает, как рассчитать OID долговых инструментов, выпущенных после 1984 года, с использованием метода постоянной доходности.(Специальные правила, которые применяются к долговым инструментам с условными выплатами и долговым инструментам, индексируемым по инфляции, объясняются позже.) OID распределяется в течение срока действия долгового инструмента путем корректировки цены выпуска для каждого периода начисления.

Изобразите OID, присваиваемый любому периоду начисления, как показано ниже.

1. Умножьте скорректированную цену выпуска в начале периода начисления на дробную часть. Числитель дроби — это доходность долгового инструмента, а знаменатель — количество периодов начисления в год.Доходность должна быть указана надлежащим образом с учетом продолжительности конкретного периода начисления.

2. Вычтите из результата (1) любые оговоренные заявленные проценты, относящиеся к периоду начисления.

Период начисления.

Для долговых инструментов, выпущенных после 1984 г. и до 4 апреля 1994 г., период начисления — это каждый 6-месячный период, который заканчивается в день, соответствующий заявленной дате погашения долгового инструмента, или дате за 6 месяцев до этой даты.Например, для долгового инструмента со сроком погашения 31 марта периоды начисления заканчиваются 30 сентября и 31 марта каждого календарного года. Любой короткий период включается в качестве первого периода начисления.

Для долговых инструментов, выпущенных после 3 апреля 1994 г., периоды начисления могут быть любой продолжительности и могут изменяться по продолжительности в течение срока действия долгового инструмента, при условии, что каждый период начисления не превышает 1 года и все платежи производятся первый или последний день периода начисления. Однако OID, указанный для этих долговых инструментов в разделе Раздел I-B , рассчитан с использованием 6-месячных периодов начисления.

Ежедневный OID.

OID для любого периода начисления распределяется одинаково на каждый день периода начисления. Рассчитайте сумму, которую нужно включить в доход, добавив OID за каждый день, когда вы держите долговой инструмент в течение года. Поскольку ваш налоговый год обычно включает части двух или более периодов начисления, вы должны указать правильный дневной OID для каждого периода начисления. Если у вашего долгового инструмента есть 6-месячные периоды начисления, ваш налоговый год обычно будет включать один полный 6-месячный период начисления и части двух других 6-месячных периодов.

Расчет ежедневного OID.

Ежедневный OID для начального периода начисления рассчитывается по следующей формуле.

Ежедневный OID для последующих периодов начисления рассчитывается таким же образом, за исключением того, что в формуле используется скорректированная цена выпуска в начале каждого периода вместо цены выпуска.

Пример 5.

1 января 1-го года вы купили 15-летний 10% -ный долговой инструмент A Corporation при первоначальном выпуске за 86 235,17 долларов. Согласно проспекту эмиссии, срок погашения долгового инструмента наступает 31 декабря 15 года по заявленной цене выкупа в размере 100 000 долларов США. Доходность к погашению составляет 12%, начисляется каждые полгода. По долговому инструменту предусмотрены оговоренные процентные выплаты в размере 5000 долларов США 30 июня и 31 декабря каждого календарного года. Периоды начисления — это 6-месячные периоды, заканчивающиеся в каждую из этих дат.Количество дней для первого периода начисления (с 1 января по 30 июня) составляет 181 день (182 для високосных лет). Ежедневный OID для первого периода начисления рассчитывается следующим образом.

Скорректированная цена выпуска в начале второго периода начисления — это цена выпуска плюс OID, ранее включенный в доход (86 235,17 доллара США + 174,11 доллара США), или 86 409,28 доллара США. Количество дней для второго периода начисления (с 1 июля по 31 декабря) составляет 184 дня.Ежедневный OID для второго периода начисления рассчитывается следующим образом.

Поскольку первый и второй периоды начисления точно совпадают с вашим налоговым годом, вы включаете в доход за год 1 OID, относящийся к первым двум периодам начисления, 174,11 доллара (0,96193 доллара × 181 день) плюс 184,56 доллара (1,00303 доллара × 184 дня) или 358,67 доллара. . Добавьте OID к проценту в размере 10 000 долларов, который вы указываете в своей налоговой декларации за 1 год.

Пример 6.

Предположим те же факты, что и в примере , пример 5 , за исключением того, что вы купили долговой инструмент при первоначальном выпуске 1 мая 1 года со сроком погашения 30 апреля 16 года.Кроме того, датами выплаты процентов являются 31 октября и 30 апреля каждого календарного года. Периоды начисления — это 6-месячные периоды, заканчивающиеся в каждую из этих дат.

Количество дней для первого периода начисления (с 1 мая по 31 октября) составляет 184 дня. Ежедневный OID для первого периода начисления рассчитывается следующим образом.

Количество дней для второго периода начисления (с 1 ноября по 30 апреля) составляет 181 день (182 для високосных лет). Ежедневный OID для второго периода начисления рассчитывается следующим образом.

Если вы держите долговой инструмент до конца 1 года, вы должны включить 236 долларов.31 OID в доходе. Это 174,11 доллара США (0,94625 долларов США × 184 дня) за период с 1 мая по 31 октября плюс 62,20 доллара США (1,01965 доллара США × 61 день) за период с 1 ноября по 31 декабря. OID добавляется к процентному доходу в размере 5000 долларов США, выплаченному 31 октября первого года. Ваша база в долговом инструменте увеличивается за счет OID, который вы включаете в доход. На 1 января 2-го года ваша база в долговом инструменте A Corporation составляет 86 471,48 доллара (86 235,17 доллара + 236,31 доллара).

Короткий первый период начисления.

Возможно, вам придется внести корректировки, если у долгового инструмента короткий период начисления. Например, долговой инструмент с 6-месячными периодами начисления, который выпущен 15 февраля и подлежит погашению 31 октября, имеет короткий первый период начисления, который заканчивается 30 апреля (остальные периоды начисления начинаются 1 мая и 1 ноября). короткий период, рассчитайте дневной OID, как описано ранее, но скорректируйте доходность в соответствии с продолжительностью короткого периода начисления. Вы можете использовать любой разумный метод сложения для определения OID в течение короткого периода времени.Примеры разумных методов начисления процентов включают непрерывное начисление сложных процентов и ежемесячное начисление сложных процентов (то есть простые проценты в течение месяца). Проконсультируйтесь со своим налоговым консультантом для получения дополнительной информации о выполнении этого расчета.

OID для окончательного периода начисления — это разница между суммой, подлежащей выплате при наступлении срока погашения (кроме выплаты оговоренных установленных процентов), и скорректированной ценой выпуска в начале последнего периода начисления.

Уменьшение премии за приобретение.

Если вы приобрели долговой инструмент с OID с премией за приобретение, вы должны амортизировать премию за приобретение в течение срока действия долгового инструмента. Если вы не выберете постоянную доходность в соответствии с разделом 1.1272-3 Регламента, рассчитайте OID, включаемый в доход, уменьшив дневной OID на ежедневную премию за приобретение. Чтобы рассчитать ежедневную премию за приобретение, умножьте дневной OID на следующую дробь.

Если ваш долговой инструмент представляет собой покрытую ценную бумагу, ваш брокер может указать общую сумму OID в поле 1 или 8 и сумму амортизации премии за приобретение в поле 6, или ваш брокер может сообщить вам чистую сумму OID в поле 1 или поле 8, а поле 6 оставьте пустым.

Если ваш брокер указывает чистую сумму OID в графе 1 или 8, не вычитайте амортизацию премии за приобретение из этой суммы. Если ваш брокер сообщает общую сумму OID в поле 1 или поле 8, а сумму амортизации премии за приобретение в поле 6, выполните шаги с 1.a по 1.c в разделе Отображение корректировки OID , ранее.

Пример 7.

Предположим те же факты, что и в примере 6 , за исключением того, что вы купили долговые инструменты 1 ноября 1 года за 87 000 долларов после его первоначального выпуска 1 мая 1 года.Скорректированная цена выпуска на 1 ноября первого года составляет 86 409,28 доллара (86 235,17 доллара + 174,11 доллара). В этом случае вы заплатили премию за приобретение в размере 590,72 доллара (87 000–86 409,28 доллара). Ежедневный OID для периода начисления с 1 ноября по 30 апреля, за вычетом премии за приобретение, рассчитывается следующим образом.

Общий OID для включения в доход за год 1 составляет 59,50 доллара (0,97533 доллара × 61 день).

Долговые инструменты условных платежей

Это обсуждение показывает, как рассчитать OID для долгового инструмента с условными выплатами, выпущенного после 12 августа 1996 года, который был выпущен за наличные деньги или публично торгуемую собственность.Как правило, долговые инструменты с условными платежами предусматривают один или несколько платежей, которые зависят от времени или суммы. Если у вас есть залог условного платежа, вы должны сообщать OID по мере его накопления каждый год.

Долговые инструменты с условными выплатами, приобретенные 1 января 2016 г. или после этой даты, являются «обеспеченными ценными бумагами». Выбытие покрытых и непокрытых ценных бумаг должно быть отражено в форме 8949 «Продажа и иное отчуждение основных средств». Прибыль или убыток по этим ценным бумагам, в отношении которых применяется метод безусловной облигации, будет скорректирован на любые суммы, указанные в столбце (g) с соответствующим кодом O в столбце (f).Как правило, прибыль от продажи этих ценных бумаг будет обыкновенной, а убытки будут обычными в пределах включений OID за предыдущий год.

Поскольку фактические платежи по долговому инструменту с условными выплатами не могут быть известны заранее, эмитенты и держатели не могут использовать метод постоянной доходности (рассмотренный ранее в разделе Долговые инструменты, выпущенные после 1984 года ) без определенных предположений о платежах по долгу. инструмент. Для расчета начислений OID по долговым инструментам с условными выплатами держатели и эмитенты должны использовать метод условных облигаций.

Метод безусловного залога.

В соответствии с этим методом эмитент должен рассчитать сопоставимую доходность для долгового инструмента и на основе этой доходности составить прогнозируемый график платежей для инструмента, который включает прогнозируемую фиксированную сумму для каждого условного платежа. Как правило, держатели и эмитенты начисляют OID в соответствии с этим прогнозируемым графиком платежей с использованием метода постоянной доходности, который применяется к долговым инструментам с фиксированной выплатой. Когда фактическая сумма условного платежа отличается от прогнозируемой фиксированной суммы, держатели и эмитенты вносят корректировки в свои начисления OID.Если фактический условный платеж превышает ожидаемый, и эмитент, и держатель увеличивают свои начисления OID. Если фактический условный платеж меньше ожидаемого, держатели и эмитенты обычно уменьшают свои начисления OID.

Форма 1099-OID.

Сумма, указанная в форме 1099-OID в графе 1, которую вы получаете по долговому инструменту с условными платежами, может быть неправильной суммой для включения в доход. Например, сумма может быть неверной, если фактическая сумма условного платежа отличалась от прогнозируемой.Если сумма в поле 1 неверна, вы должны определить OID, чтобы сообщить о своем доходе в соответствии со следующими правилами. Для получения информации о том, как указать корректировку OID в вашей налоговой декларации, см. Как сообщить об OID ранее.

Расчет OID.

Чтобы рассчитать OID для долгового инструмента с условными выплатами, вам необходимо знать «сопоставимую доходность» и «прогнозируемый график платежей» долгового инструмента. Эмитент должен сделать их доступными для вас.

Сопоставимая доходность.

Сопоставимая доходность — это, как правило, доходность, при которой эмитент выпустил бы долговые инструменты с фиксированной процентной ставкой на условиях, аналогичных условиям долгового инструмента с условными выплатами. Сопоставимая доходность определяется на дату выпуска долгового инструмента.

Планируемый график платежей.

Прогнозируемый график платежей по долговому инструменту с условными платежами включает все фиксированные платежи, подлежащие выплате по инструменту, и прогнозируемую фиксированную сумму для каждого условного платежа.Планируемый график выплат формируется эмитентом на дату выпуска долгового инструмента. Он используется для определения начислений и корректировок процентов эмитента и держателя.

Этапы определения OID.

Вычисление OID долгового инструмента с условными выплатами в два этапа.

1. Изобразите OID, используя метод с постоянной доходностью (рассмотренный ранее в разделе Долговые инструменты, выпущенные после 1984 ), который применяется к долговым инструментам с фиксированной выплатой.Используйте сопоставимую доходность в качестве доходности к погашению. Как правило, используйте прогнозируемый график платежей для определения скорректированной отпускной цены инструмента в начале каждого периода начисления (кроме начального периода). Не относитесь к какой-либо сумме к выплате как к оговоренным установленным процентам.

2. Скорректируйте OID в (1), чтобы учесть фактические условные платежи. Если фактическая сумма условного платежа превышает прогнозируемую фиксированную сумму, у вас есть положительная корректировка. Если условный платеж меньше прогнозируемой фиксированной суммы, у вас есть отрицательная корректировка.

Чистая положительная корректировка.

Чистая положительная корректировка существует для налогового года, когда сумма любых положительных корректировок, описанных в пункте (2) выше за налоговый год, превышает сумму любых отрицательных корректировок за налоговый год. Считайте чистую положительную корректировку дополнительным OID за налоговый год.

Чистая отрицательная корректировка.

Чистая отрицательная корректировка существует для налогового года, когда сумма любых отрицательных корректировок, описанных в пункте (2) выше, за налоговый год превышает сумму любых положительных корректировок за налоговый год.Используйте чистую отрицательную корректировку для компенсации OID по долговому инструменту за налоговый год. Если чистая отрицательная корректировка превышает OID долгового инструмента за налоговый год, вы можете заявить о разнице в качестве обычного убытка. Однако сумма, которую вы можете требовать в качестве обычного убытка, ограничивается OID долгового инструмента, который вы включили в доход в предыдущие налоговые годы. Вы должны перенести любую чистую отрицательную корректировку, которая превышает общий OID за налоговый год и предыдущие налоговые годы, и рассматривать ее как отрицательную корректировку в следующем налоговом году.

Базовые корректировки.

В общем, увеличьте свою базу в долговом инструменте с условными выплатами на OID, включенный в доход. Однако на ваш базис не влияют ни отрицательные, ни положительные изменения. Уменьшите свою базу на любой полученный необязательный платеж и запланированный условный платеж, который должен быть получен.

Учет прибыли или убытка от продажи или обмена.

Если вы продаете долговые инструменты с условными выплатами с прибылью, ваша прибыль будет считаться обычным доходом (процентным доходом), даже если вы держите долговые инструменты в качестве основных средств.Если вы продаете долговой инструмент с условными выплатами в убыток, ваш убыток является обычным убытком в размере ваших предыдущих начислений OID по долговому инструменту. Если долговой инструмент является капитальным активом, относитесь к любому убытку, превышающему ваши предыдущие начисления OID, как к капитальному убытку.

Исключения из этих правил см. В разделе 1.1275-4 (b) Положений.

Премия, премия за приобретение и рыночная скидка.

Правила начисления премии, премии за приобретение и рыночного дисконта не применяются к долговым инструментам с условными выплатами.См. Раздел 1.1275-4 (b) Правил, чтобы определить, как учитывать эти статьи.

Долговые инструменты, индексируемые инфляцией

Это обсуждение показывает, как вы рассчитываете OID для определенных индексированных на инфляцию долговых инструментов, выпущенных после 5 января 1997 года. Долговые инструменты, индексированные на инфляцию, обычно представляют собой долговые инструменты, по которым платежи корректируются с учетом инфляции и дефляции (например, TIPS).

В целом, если у вас есть долговые инструменты, индексированные по инфляции, вы должны указывать в качестве OID любое увеличение основной суммы долгового инструмента с поправкой на инфляцию, которое происходит, когда вы держали этот долговой инструмент в течение налогового года.Вы должны включать OID в валовой доход независимо от того, держите ли вы долговой инструмент в качестве основного актива. Ваша база в долговом инструменте увеличивается за счет OID, который вы включаете в доход.

Долговые инструменты, индексированные по инфляции, приобретенные 1 января 2016 г. или после этой даты, являются «покрытыми ценными бумагами». О отчуждении покрытых и непокрытых ценных бумаг необходимо сообщать в форме 8949.

Основная сумма с поправкой на инфляцию.

Для любой даты основная сумма с поправкой на инфляцию по долговому инструменту, индексированному на инфляцию, представляет собой непогашенную основную сумму долгового инструмента, умноженную на индексный коэффициент на эту дату.(Для TIPS умножьте номинальную стоимость на коэффициент индекса для этой даты.) Для этой цели определите непогашенную основную сумму, как если бы не было инфляции или дефляции в течение срока действия долгового инструмента.

Коэффициент индекса.

Это дробь, числитель которой является значением ссылочного индекса на дату, а знаменатель — значением ссылочного индекса на дату выпуска долгового инструмента.

Квалифицированный базовый индекс измеряет инфляцию и дефляцию в течение срока действия долгового инструмента.Его значение сбрасывается каждый месяц до текущего значения единого квалифицированного индекса инфляции (например, несезонно скорректированного индекса потребительских цен на все товары в США для всех городских потребителей (CPI-U), публикуемого Министерством труда). Значение индекса для любой даты между датами сброса определяется посредством прямой интерполяции.

. Ежедневные коэффициенты индекса для TIPS доступны в Интернете по адресу TreasuryDirect.gov/instit/annceresult/tipscpi/tipscpi.htm . .

Форма 1099-OID.

Сумма, указанная в поле 8 формы 1099-OID, которую вы получаете по долговому инструменту, индексированному по инфляции, может быть неправильной суммой для включения в доход. Например, сумма может быть неверной, если вы купили долговые инструменты, отличные от первоначального выпуска, или продали его в течение года. Если сумма, указанная в поле 8, неверна, вы должны определить OID, чтобы сообщить о своем доходе в соответствии со следующими правилами. Для получения информации об отображении корректировки OID в вашей налоговой декларации см. Как сообщить об OID ранее.

Расчет OID.

Определите OID долгового инструмента, индексированного по инфляции, используя один из следующих методов.

• Метод купонной облигации , описанный в следующем обсуждении, применяется, если долговые инструменты выпущены по номинальной стоимости (как определено в разделе 1.1275-7 (d) (2) (i) Правил), все указанные проценты, подлежащие выплате по долгу инструмент представляет собой установленную процентную ставку, и купоны не были изъяты из долгового инструмента.Этот метод применяется к TIPS, включая TIPS, выпущенные с более чем минимальной суммой премии (см. Раздел 1.1275-7 Правил).

• Метод дисконтной облигации применяется к любому долговому инструменту, индексированному по инфляции, который не соответствует критериям метода купонной облигации, например, к обнаженному долговому инструменту. Этот метод описан в разделе 1.1275-7 (e) Правил.

При использовании метода купонных облигаций определите OID, который вы должны сообщить за налоговый год, следующим образом.

Долговой инструмент на конец налогового года.

Если у вас был долговой инструмент в конце налогового года, рассчитайте свой OID за год, выполнив следующие действия.

1. Добавьте основную сумму, скорректированную на инфляцию, за день после последнего дня налогового года и любые выплаты основного долга, полученные в течение года. (Для TIPS умножьте номинальную стоимость на коэффициент индекса для дня, следующего за последним днем ​​налогового года, и добавьте все полученные платежи по основной сумме.)

2. Вычтите из (1) сверх основной суммы с поправкой на инфляцию за первый день, в который вы держали долговой инструмент в течение налогового года. (Для TIPS вычтите из приведенного выше (1) произведение номинальной стоимости на коэффициент индекса за первый день налогового года.)

Процентная ставка указывается отдельно, как обсуждается ниже в разделе Заявленная процентная ставка .

Долговые инструменты, проданные или погашенные в течение налогового года.

Если вы продали долговой инструмент в течение налогового года или он был выведен из обращения, рассчитайте свой OID за год, выполнив следующие действия.

1. Добавьте основную сумму с поправкой на инфляцию за последний день, в который вы держали долговой инструмент в течение налогового года, и любые выплаты основного долга, полученные вами в течение года. (Для TIPS умножьте номинальную стоимость на коэффициент индекса для даты продажи или выхода на пенсию и добавьте полученные платежи в счет основной суммы долга.)

2. Вычтите из (1) сверх основной суммы с поправкой на инфляцию за первый день, в который вы держали долговой инструмент в течение налогового года.(Для TIPS вычтите из приведенного выше (1) произведение номинальной стоимости на коэффициент индекса за первый день налогового года.)

Проценты указываются отдельно, как обсуждается ниже в разделе Заявленные проценты.

Пример 8.

6 февраля 9-го года вы купили старый 10-летний долговой инструмент с индексом инфляции 3,375% (срок погашения 15 января 11-го года) за 9831 доллар. Заявленная основная сумма (номинальная стоимость) составляет 10 000 долларов, а основная сумма с поправкой на инфляцию на 6 февраля 9-го года составляет 12 047 долларов.50 (номинальная стоимость $ 10 000, умноженная на индексный коэффициент 1,20475). Вы держали долговой инструмент до 29 августа 9 года, когда основная сумма с поправкой на инфляцию составляла 12 275,70 долларов (номинальная стоимость 10 000 долларов, умноженная на коэффициент 1,22757). Ваш OID для 9-го года составляет 228,20 долларов (12 275,70 долларов — 12 047,50 долларов). Ваша база в долговом инструменте на 29 августа 9-го года составляла 10 059,20 доллара (стоимость 9831 доллар + 228,20 доллара США OID) на 9-й год.

Заявленные проценты.

При использовании метода купонных облигаций вы сообщаете о любых заявленных процентах по долговому инструменту в соответствии с вашим обычным методом учета.Например, если вы используете кассовый метод, вы обычно включаете в доход за налоговый год любые процентные платежи, полученные по долговому инструменту в течение года.

Корректировка дефляции.

Если ваш расчет для определения OID долгового инструмента, индексированного по инфляции, дает отрицательное число, у вас нет никакого OID. Вместо этого у вас есть корректировка дефляции. Корректировка дефляции обычно используется для компенсации процентного дохода по долговому инструменту за налоговый год.Отобразите это смещение как корректировку в вашем Графике B (форма 1040 или 1040-SR) так же, как вы бы показывали корректировку OID. См. Как сообщить об OID ранее.

Вы уменьшаете базу долгового инструмента на дефляционную поправку, используемую для компенсации процентного дохода.

Пример 9.

Предположим те же факты, что и в примере , пример 8 , за исключением того, что вы купили долговой инструмент за 9 831 доллар 6 января 9 года, когда основная сумма с поправкой на инфляцию составляла 12 050 долларов.10, и продал долговой инструмент 1 марта 9 года, когда основная сумма с поправкой на инфляцию составила 12 011,20 долларов. Поскольку расчет OID для года 9 (12 011,20 — 12 050,10 доллара) дает отрицательное число (отрицательное 38,90 доллара), у вас есть корректировка дефляции. Вы используете эту дефляционную корректировку для компенсации заявленных процентов по долговому инструменту.

Ваша база в долговом инструменте на 1 марта 9-го года составляет 9 792,10 доллара (стоимость 9831 доллар — поправка на дефляцию 38,90 доллара).

Премия по долговым инструментам, индексированным на инфляцию.

Как правило, любая премия по долговому инструменту, индексированному на инфляцию, определяется на дату приобретения долгового инструмента, исходя из предположения, что в течение оставшегося срока долгового инструмента не будет дальнейшей инфляции или дефляции. Вы распределяете любую премию на оставшийся срок долгового инструмента, делая то же допущение. Как правило, премия, относящаяся к налоговому году, компенсирует проценты, в противном случае включаемые в доход за год. Если премия, распределяемая на год, превышает эти проценты, разница обычно компенсирует OID долгового инструмента за год.См. Раздел 1.1275-7 Положений, где приведен пример применения метода купонных облигаций к TIPS, выпущенным с премией, превышающей минимальную.

DURATIONпример

Рассчитать цены на обе облигации.

Что каковы цены на облигации в следующем году, если все останется по-прежнему?

Что произойдет с ценами этих облигаций, если доходность к погашению увеличится до 7% в в следующем году, все остальное будет так же? (Подсказка: рассчитайте цену на следующий год с доходностью 7%)

Что произойдет с ценами этих облигаций, если доходность к погашению снизится до 5% в в следующем году, все остальное будет так же? (Подсказка: рассчитайте цену за в следующем году с доходностью 5%)

Какой из двух облигаций, на основе ваших предыдущих ответов, является наиболее чувствительным к изменению процентной ставки (YTM), или, другими словами, какой из два имеет самый высокий процентный риск?

Рассчитать показатель дюрации для обеих облигаций на данный момент.

Без расчеты, что будет с дюрацией этих облигаций в следующем году и почему?

РЕШЕНИЕ (при условии номинальной стоимости 1000 долларов США)

Цена облигации A = 250 / 0,06 * (1 — (1 / 1.06 ¹⁵ ) + 1000 / 1.06 ¹⁵ = 2845,33 доллара США (премиальная облигация)

Цена Облигации B = 50 / 0,06 * (1 — (1 / 1.06 ⁵ ) + 1000 / 1.06 ¹⁵ = 957,88 долларов США (дисконтная облигация)

Цена облигации A = 250/0.06 * (1 — (1 / 1.06 ¹⁴ ) + 1000 / 1.06 ¹⁴ = 2766,05 доллара США (премиальная облигация)

Цена Облигации B = 50 / 0,06 * (1 — (1 / 1.06 ⁴ ) + 1 000 / 1,06 ⁴ = $ 965,35 (дисконтная облигация)

Без расчетов: При доходности к погашению увеличивается, цена облигации уменьшается.
Для расчетов используйте приведенную выше формула с доходностью 7%. Предположим, мы рассчитываем цену за год 1:

Цена облигации A = 250 / 0,07 * (1 — (1/1.07 ¹⁴ ) + 1000 / 1.07 ¹⁴ = 2574,18 $ (премиальная облигация)

Цена Облигации B = 50 / 0,07 * (1 — (1 / 1.07 ⁴ ) + 1000 / 1,07 ⁴ = $ 932,26 (дисконтная облигация)

Без расчетов: При доходности к погашению уменьшается, цена облигации увеличивается.
Для расчетов используйте приведенную выше формула с доходностью 7%. Предположим, мы рассчитываем цену за год 1:

Цена облигации A = 250 / 0,05 * (1 — (1 / 1.05 ¹⁴ ) + 1,000 / 1.05 ¹⁴ = 2979,73 доллара США (премиальная облигация)

Цена Облигации B = 50 / 0,05 * (1 — (1 / 1.05 ⁴ ) + 1000 / 1,05 ⁴ = 1000 долларов США (облигация по номинальной стоимости)
( Обратите внимание, что вы не нужны расчеты по этой цене, потому что доходность к погашению равна купону рейтинг ).

Без расчетов: больше времени к сроку погашения и более низкая ставка купона делают облигацию более чувствительной
до изменения процентной ставки (Доходность к погашению).

С учетом увеличения доходности к погашению на 1%, Облигация A уменьшается на (2,766.05 — 2574,18) / 2766,05 = 6,94%

С учетом увеличения доходности к погашению на 1%, Облигация B уменьшается (965,35 — 932,26) / 965,35 = 3,43%

или

Учитывая снижение доходности к погашению на 1%, Облигация A увеличивается на (2 979,73 — 2 766,05) / 2 766,05 = 7,73%

Учитывая снижение доходности к погашению на 1%, Облигация B увеличивается на (1000 — 965,35) / 965,35 = 3,59%

Очевидно, что облигация А имеет более высокий процент чувствительность к процентной ставке или более высокий процентный риск, чем по Облигации B.

Дюрация измеряет средний срок погашения облигации. Более высокая дюрация означает более высокую чувствительность к процентной ставке. Расчет дюрация 15-летней облигации утомительна, и ее не спросят экзамен. Использование электронной таблицы, финансового калькулятора или терпения даст следующая продолжительность для года 0:

D _{Связь A} = {[(250 / 1.06) * 1] + [(250 / 1.06 ² ) * 2] +. . . . . + [(1,250 / 1,06 ¹⁵ ) * 15]} / 2 845,33 = 8,11

D _{Bond B} = {[(50/1.06) * 1] + [(50 / 1.06 ² ) * 2] +. . . . . + [(1,050 / 1,06 ⁵ ) * 5]} / 957,88 = 4,53

Опять же, облигация А имеет более высокий процент оценить риск из-за большей продолжительности.

Если все остальное остается прежним, то продолжительность должна уменьшиться. Мы знаем, что более длительный срок до погашения делает облигация более чувствительна к процентной ставке. Если пройдет год, время до погашения снизилась, следовательно, снизилась чувствительность, что должно быть отражается в более низкой продолжительности.

% PDF-1.3 % 64 0 объект > эндобдж 112 0 объект > поток 2014-07-29T15: 37: 03.427-04: 00Acrobat Distiller 4.0 для Macintosh9a066448266dc6d0b6083c07da72247ff66581ba95863application / pdf2016-02-02T16: 27: 06.157-05: 00

Определение облигаций с нулевым купоном в финансах.

Примеры облигаций с нулевым купоном в следующих тематиках:

• Облигации с нулевым купоном

  • A нулевой купон — Облигация — это облигация без выплат по купону , купленная по цене ниже ее номинальной стоимости, с погашением номинальной стоимости в момент погашения.
  • Примеры нулевого — купонного облигаций включают США
  • Казначейские векселя, сбережения США облигации и долгосрочные нулевые — купон облигации .
  • Это создает предложение новых нулевых купонных облигаций .
  • Нулевой купон Облигации могут быть долгосрочными или краткосрочными вложениями.

• Оценка бездокупонных облигаций

  • Стоимость нулевого купона – облигации равна приведенной стоимости ее номинальной стоимости, дисконтированной на контрактную ставку облигации .
  • нулевой — купон облигация с погашением 100 000 долларов в течение 3 лет.
  • Нулевой купон — Облигация — это купон, по которому не выплачиваются проценты в течение срока действия облигации .
  • Ноль — купон Облигация Стоимость = номинальная стоимость Облигации / (процентная ставка 1+)
  • Важно при выполнении расчета нулевой — купон облигация , чтобы убедиться, что период времени и срок облигации выражены в аналогичных условиях.

• Процентная ставка по купону

  • Не все облигации имеют купона .
  • Нулевой — купон облигации — это облигации, которые не выплачивают купонов и, следовательно, имеют ставку купона , равную 0%.
  • Обычно для компенсации держателю облигации временной стоимости денег цена нулевого купона – облигация всегда будет меньше ее номинальной стоимости на любую дату до даты погашения.
  • Пример ноль купон облигации — сберегательные облигации серии E , выпущенные U.Правительство С.
  • Вариация ступенчатая: купон облигации с купоном , который увеличивается в течение срока действия облигации .

• Погашение при наступлении срока погашения

  • Журнальная запись для записи списания облигации : Дебет Облигации К оплате и кредиту наличными.
  • Дата погашения — это дата, когда эмитент облигации должен погасить облигацию .
  • Облигации можно отнести к купонам облигациям и нулевым купонным облигациям .
  • Для купона облигаций , эмитент облигации должен выплатить как номинальную стоимость облигации , так и последнюю выплату по купону при наступлении срока погашения.
  • В случае нулевой купон облигация , при погашении облигации выплачивается только сумма номинальной стоимости.

• Прочие виды облигаций

  • Облигации с фиксированной ставкой имеют купон , который остается неизменным на протяжении всего срока действия облигации .
  • Вариантом является ступенчатый купон облигации , чей купон увеличивается в течение срока действия облигации .
  • Нулевой — купон облигации регулярные проценты не выплачиваются.
  • Нулевой — купон Облигации могут быть созданы из облигаций с фиксированной ставкой финансовым учреждением, отделяющим («отсекая») купонов от основной суммы.
  • Другими словами, отдельные купонов и окончательный основной платеж облигации могут быть проданы отдельно.

• Риск реинвестирования

  • Например, падающие процентные ставки могут помешать выплатам по облигации по купону получить ту же норму прибыли, что и по исходной облигации .
  • Риск реинвестирования влияет на доходность к погашению облигации , которая рассчитывается исходя из предположения, что все будущие выплаты по купону будут реинвестированы по процентной ставке, действовавшей на момент первой покупки облигации .
  • Срок погашения облигации — Чем дольше срок погашения облигации , тем выше вероятность того, что процентные ставки будут ниже, чем они были во время покупки облигации .
  • Процентная ставка по облигации — Чем выше процентная ставка, тем больше купонных выплат , которые необходимо реинвестировать, и, следовательно, риск реинвестирования.
  • Нулевой Купон Облигации являются единственными инструментами с фиксированной доходностью, не имеющими риска реинвестирования, поскольку они не имеют промежуточных выплат по купону .

• Преимущества облигаций

  • В сфере финансов облигация является инструментом задолженности эмитента облигации перед держателями.
  • Это долговая ценная бумага, по которой эмитент имеет задолженность перед держателями и, в зависимости от условий облигации , обязан выплатить им проценты (купон ).
  • Большинство физических лиц, которые хотят владеть облигациями , делают это через фонды облигаций .
  • Существует также множество облигаций для удовлетворения различных потребностей инвесторов, включая облигации с фиксированным рейтингом , облигации с плавающей ставкой , нулевой купонный облигации , конвертируемые облигации и облигации с привязкой к инфляции .
  • Это долговая ценная бумага, по которой эмитент имеет задолженность перед держателями и, в зависимости от условий облигации , обязан выплатить им проценты (купон ).

• Расчет доходности к погашению с использованием цены облигации

  • Если доходность к погашению для облигации меньше, чем ставка купона облигации , то (чистая) рыночная стоимость облигации больше, чем номинальная стоимость (и наоборот).
  • Если ставка купона облигации меньше ее доходности к погашению, тогда облигация продается с дисконтом.
  • Если ставка купона по облигации превышает ее доходность к погашению, то облигация продается с премией.
  • Если ставка купона облигации равна ее доходности к погашению, то облигация продается по номинальной стоимости.
  • Рассмотрим 30-летнюю нулевую — купонную облигацию номинальной стоимостью 100 долларов.

• Виды облигаций

  • Купон Облигации содержат отделяемые купонов на выплачиваемые ими проценты.
  • Они имеют купон , который остается неизменным на протяжении всего срока действия облигации .
  • Вариация ступенчатая — купон облигации , чей купон увеличивается в течение срока действия облигации .
  • Также известные как FRN или плавающие, они имеют переменный купон , который привязан к справочной процентной ставке, такой как LIBOR или Euribor.
  • Нули не выплачивают регулярные проценты.

• Облигации с плавающей ставкой

  • Облигации с плавающей ставкой — это облигации , которые имеют переменный купон , равный справочной ставке денежного рынка (например, LIBOR), плюс котируемый спред.
  • Облигации с плавающей ставкой (FRB) — это облигации с переменным купоном , равным справочной ставке денежного рынка, такой как LIBOR или ставка федеральных фондов, плюс котируемый спред (т.е., указанная маржа).
  • В начале каждого периода купона , купон рассчитывается путем принятия фиксированной справочной ставки для этого дня и добавления спреда.
  • Существует множество вариантов облигаций с плавающей ставкой .
  • FRB имеет дюрацию, близкую к нулю , и его цена показывает очень низкую чувствительность к изменениям рыночных ставок.

для американского пут-опциона с непрерывной выплатой по облигации в рамках модели процентной ставки Васичека

Оценка американского пут-опциона с непрерывным платежом по бескупонной облигации рассматривается с помощью уравнений Кима в рамках однофакторной модели краткосрочной процентной ставки. ставка, которая следует известной модели Васичека.В срок Из цены этого опциона выводятся интегральные представления как оптимальных границ остановки, так и границ исполнения. Численный метод используется для аппроксимации оптимальных границ остановок и упражнений квадратурными формулами. Приведены численные результаты и обсуждения.

1. Введение

Несмотря на то, что существует обширная литература, посвященная численным методам для американских опционов на акции [1] и цитируемые там ссылки [2], существует не так много работ по американским опционам на облигации без дефолта, см. , например, [3–7] и так далее.По-прежнему широко используются численные методы, такие как методы конечных разностей, методы биномиального дерева и моделирование методом наименьших квадратов Монте-Карло. Однако эти методы имеют несколько недостатков, включая трудоемкость, неограниченную область определения и разрывную производную по отношению к вариации функции выигрыша. В самых последних статьях, таких как [8–11], предлагаются различные типы методов.

В этой статье мы рассматриваем альтернативную форму американского опциона, при которой покупатель платит меньшую авансовую премию, а затем постоянный поток платежей по определенной ставке за единицу времени.Таким образом, покупатель может в любой момент отказаться от внесения платежей в рассрочку, воспользовавшись опционом или прекратив действие опционного контракта. Этот вариант называется американским вариантом непрерывной рассрочки (CI). Опционы с рассрочкой платежа — это недавняя финансовая инновация, которая помогает покупателю снизить стоимость вступления в стратегию хеджирования и снизить риск ликвидности. В настоящее время опционы на рассрочку являются наиболее активно торгуемыми варрантами во всем финансовом мире, например, варранты на рассрочку на австралийские акции и 10-летние варранты с 9 ежегодными выплатами, предлагаемые Deutsche bank, и так далее.Существует очень мало литературы о расценках на рассрочку, в частности, на расценки на американские опционы CI. Ciurlia и Roko [12], а также Ben-Ameur et al. [13] предоставляют численные процедуры для оценки американских опционов CI на акции в рамках геометрической модели броуновского движения. Однако на практике опцион на облигации более полезен, чем опцион на акции, и ценообразование первого более сложное, поскольку оно зависит от переменной процентных ставок, моделируемой многими экономическими моделями.

Целью данной статьи является представление приближенного метода оценки американского пут-опциона CI на бескупонную облигацию без дефолта в соответствии с моделью процентной ставки Васичека. Этот метод основан на интегральных уравнениях Кима с использованием приближений квадратурных формул, таких как правило трапеций и правило Симпсона. Макет этой статьи выглядит следующим образом. В разделе 2 представлена ​​модель и приведены некоторые предварительные результаты. В разделе 3 мы формулируем задачу оценки для американского опциона на покупку облигаций, описываемого как задача со свободными границами, и описываем интегральные уравнения Кима.Численный метод и результаты представлены в разделе 4. Раздел 5 завершается.

2. Модель и предварительные результаты

В однофакторной модели Васичека [14] краткосрочная процентная ставка 𝑟𝑡 моделируется как гауссовский случайный процесс с возвратом к среднему на вероятностном пространстве (Ω, ℱ, 𝑃) оснащен фильтрацией (ℱ𝑡) 𝑡≥0. При нейтральной к риску вероятностной мере 𝑄 она удовлетворяет линейному стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ) 𝑑𝑟𝑡𝑟 = 𝜅∞ − 𝑟𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡, (2.1) где (𝑊𝑡) 𝑡≥0 — стандартное 𝑄-броуновское движение, 𝜅> 0 — скорость возврата к среднему, 𝑟∞> 0 — долгосрочное значение процентной ставки, а 𝜎 — постоянная волатильность.

Рассмотрим финансовый рынок без трения и арбитража, который состоит из банковского счета 𝐴𝑡 с ценовым процессом, заданным как 𝑑𝐴𝑡 = 𝑟𝑡𝐴𝑡𝑑𝑡, и бескупонной облигации без дефолта со сроком погашения 𝑇1 𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑇1) = 𝐵𝑡 с его ценой без арбитража в момент 𝑡, заданной 𝐵𝑡, 𝑟, 𝑇1 = 𝐸𝑄𝑒 − ∫𝑇1𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢ℱ𝑡 = 𝐸𝑡𝑄𝑒 − ∫𝑇1𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑠𝑑𝑠, (2.2) где 𝐸𝑄 — математическое ожидание при нейтральной с точки зрения риска вероятностной мере. Васичек [14] дает явную форму нулевой связи следующим образом: 𝐵𝑡, 𝑟, 𝑇1𝑇 = 𝑎1𝑒 − 𝑡 − 𝑏 (𝑇1 − 𝑡) 𝑟𝑡 (2.3) с участием  − 𝑅𝑎 (𝑢) = exp∞𝑢 − 𝑅∞𝜎𝑏 (𝑢) + 2𝑏4𝜅2, (𝑢) 𝑏 (𝑢) = 1 − 𝑒 − 𝜅𝑢𝜅, 𝑅∞ = 𝑟∞ − 𝜎22𝜅2. (2.4)

Из (2.3) легко получить следующее уравнение в частных производных (УЧП): 𝜕𝐵𝑡𝑟𝜕𝑡 + 𝜅∞ − 𝑟𝜕𝐵𝑡 + 1𝜕𝑟2𝜎2𝜕2𝐵𝑡𝜕𝑟2 − 𝑟𝐵𝑡 = 0 (2.5) с конечным условием 𝐵 (𝑇1, 𝑟, 𝑇1) = 1.

Выплата по опциону пут европейского типа без выплаты дивидендов, начисленных на бескупонную облигацию 𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑇1) со сроком погашения 𝑇 (𝑇 <𝑇1), а цена исполнения 𝐾 равна ℎ (𝑇, 𝑟) = max {𝐾 − 𝐵 (𝑇, 𝑟, 𝑇1), 0}. Цена без арбитража в момент времени 𝑡 (0≤𝑡≤𝑇) этого опциона обозначается 𝑝𝑒 (𝑡, 𝑟, 𝐾; 𝑇).Следуя Джамшидиану [15], цена этой опции обычно может быть выражена следующим образом: 𝑝𝑒 (𝑡, 𝑟, 𝐾; 𝑇) = 𝐸𝑡𝑄𝑒 − ∫𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑠𝑑𝑠ℎ (𝑇, 𝑟) = 𝐾𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑇) 𝑁 − 𝑑2 − 𝐵𝑡, 𝑟, 𝑇1𝑁 − 𝑑1 , (2.6) где 𝑁 (⋅) - одномерное стандартное кумулятивное нормальное распределение, а 𝑑1,2 = 1𝜎0𝐵ln𝑡, 𝑟, 𝑇1 ± 1𝐾𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑇) 2𝜎0, 𝜎0𝑇 = 𝜎𝑏1 − 𝑇1 − 𝑒 − 2𝜅 (𝑇 − 𝑡) .2𝜅 (2.7)

Теперь мы рассмотрите вариант CI, выписанный на бескупонную облигацию 𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑇1). Обозначим начальную премию этого опциона 𝑉𝑡 = 𝑉 (𝑡, 𝑟; 𝑞), которая зависит от процентной ставки, времени 𝑡 и ставки непрерывного платежа 𝑞.Применяя лемму Ито к 𝑉𝑡, динамика для начального значения этого параметра получается следующим образом: 𝑑𝑉𝑡 = 𝜕𝑉𝑡 + 1𝜕𝑡2𝜎2𝜕2𝑉𝑡𝜕𝑟2𝑟 + 𝜅∞ − 𝑟𝑡𝜕𝑉𝑡𝜕𝑟 − 𝑞𝑑𝑡 + 𝜎𝜕𝑉𝑡𝜕𝑟𝑑𝑊𝑡. (2.8)

Теорема 2.1. В модели временной структуры процентных ставок Васичека (2.1). Условное требование 𝑉 (𝑡, 𝑟; 𝑞) удовлетворяет неоднородному уравнению в частных производных 𝜕𝑉𝑡 + 1𝜕𝑡2𝜎2𝜕2𝑉𝑡𝜕𝑟2𝑟 + 𝜅∞ − 𝑟𝑡𝜕𝑉𝑡𝜕𝑟 − 𝑟𝑉𝑡 = 𝑞. (2.9)

Доказательство. Теперь рассмотрим самофинансируемую торговую стратегию 𝜓 = (𝜓1, 𝜓2), где 𝜓1 и 𝜓2 представляют позиции на банковском счете и бескупонные облигации со сроком погашения 𝑇1 соответственно.Очевидно, что процесс обогащения 𝜋𝑡 удовлетворяет 𝜋𝑡 = 𝜓1𝐴𝑡 + 𝜓2𝐵𝑡 = 𝑉𝑡, (2.10) где второе равенство является следствием предположения, что торговая стратегия 𝜓 повторяет опцион. Кроме того, поскольку 𝜓 является самофинансируемым, его процесс благосостояния 𝜋𝑡 также удовлетворяет 𝑑𝜋𝑡 = 𝜓1𝑑𝐴𝑡 + 𝜓2𝑑𝐵𝑡, (2.11) так что 𝑑𝜋𝑡 = 𝜓1𝑟𝑡𝐴𝑡𝑑𝑡 + 𝜓2𝜕𝐵𝑡𝑟𝜕𝑡 + 𝜅∞ − 𝑟𝑡𝜕𝐵𝑡 + 1𝜕𝑟2𝜎2𝜕2𝐵𝑡𝜕𝑟2𝑑𝑡 + 𝜎𝜓2𝜕𝐵𝑡𝜕𝑟𝑑𝑊𝑡. (2.12) Из (2.8) и (2.10) получаем 𝜕𝑉𝑡 + 1𝜕𝑡2𝜎2𝜕2𝑉𝑡𝜕𝑟2𝑟 + 𝜅∞ − 𝑟𝑡𝜕𝑉𝑡𝜕𝑟 − 𝑞 − 𝑟𝑉𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝜕𝑉𝑡𝜕𝑟𝑑𝑊𝑡 = 𝜓2𝜕𝐵𝑡𝑟𝜕𝑡 + 𝜅∞ − 𝑟𝑡 𝜕𝐵𝑡 + 1𝜕𝑟2𝜎2𝜕2𝐵𝑡𝜕𝑟2 − 𝑟𝐵𝑡𝑑𝑡 + 𝜓2𝜎𝜕𝐵𝑡𝜕𝑟𝑑𝑊𝑡.(2.13) Полагая 𝜓2 = (𝜕𝐵𝑡 / 𝜕𝑟) / (𝜕𝑉𝑡 / 𝜕𝑟), коэффициент при 𝑑𝑊𝑡 обращается в нуль. Из (2.5) следует, что удовлетворяет (2.9).

3. Уравнения Кима для цены опциона пут американского КИ

Рассмотрим опцион пут американского КИ, выписанный на бескупонную облигацию 𝐵𝑡 с той же ценой исполнения 𝐾 и сроком погашения 𝑇 (𝑇 <𝑇1). Хотя базовым активом является облигация, независимой переменной является процентная ставка. Подобно американскому опциону с непрерывной рассрочкой на акции [12], существует верхняя критическая процентная ставка 𝑟𝑢𝑡, выше которой оптимально остановить выплаты в рассрочку, досрочно исполнив опцион, а также более низкая критическая процентная ставка 𝑟𝑙𝑡, ниже которой она составляет Выгодно прекратить выплаты, остановив опционный контракт.Мы можем называть 𝑟𝑢𝑡 осуществляющей границей, а 𝑟𝑙𝑡 - границей остановки. Обозначим начальную премию этого опциона пут в момент 𝑡 через 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) = 𝑃𝑡, определенную в области 𝒟 = {(𝑟𝑡, 𝑡) ∈ [0, + ∞) × [0, 𝑇]}. Известно, что 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞), 𝑟𝑢𝑡 и 𝑟𝑙𝑡 являются решением следующей задачи со свободной границей [4]: 𝜕𝑃𝑡 + 1𝜕𝑡2𝜎2𝜕2𝑃𝑡𝜕𝑟2𝑟 + 𝜅∞ − 𝑟𝑡𝜕𝑃𝑡𝜕𝑟 − 𝑟𝑃𝑡 = 𝑞, ∀ (𝑟, 𝑡) ∈𝒞, 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) = 0, (𝑟 , 𝑡) ∈𝒮, 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) = 𝐾 − 𝐵𝑡, 𝑟, 𝑇1𝑃, (𝑟, 𝑡) ∈ℰ, 𝑃 (𝑇, 𝑟; 𝑞) = ℎ (𝑇, 𝑟), 𝑟≥0, 𝑡, 𝑟𝑢𝑡; 𝑞 = 𝐾 − 𝐵𝑡, 𝑟𝑢𝑡, 𝑇1, 𝑃𝑡, 𝑟𝑙𝑡 [] ,; 𝑞 = 0, 𝑡∈0, 𝑇 (3.1) где 𝒞 = {(𝑟𝑡, 𝑡) ∈ (𝑟𝑙𝑡, 𝑟𝑢𝑡) × [0, 𝑇)} - область продолжения, 𝒮 = {((𝑟𝑡, 𝑡) ∈ [0, 𝑟𝑙𝑡] × [0, 𝑇]} - область остановки, а ℰ = {((𝑟𝑡, 𝑡) ∈ [𝑟𝑢𝑡, + ∞) × [0, 𝑇]} - область упражнений.

Замечание 3.1. Из-за свойства уменьшения цены 𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑇1) по переменной состояния 𝑟, страйк-цена 𝐾 должна быть строго меньше (𝑇, 0, 𝑇1). В противном случае упражнения никогда не были бы оптимальными.

Следует отметить, что, хотя стоимость опциона пут американского КИ была выражена через использование PDE и их граничных условий, до сих пор нет явного решения для P.D.E. в (3.1). Для оценки цены американского опциона на облигации должны применяться численные методы.Далее мы решим эту задачу (3.1) с помощью метода интегральных уравнений, обсуждаемого в [8–12]. Этот метод выражает цену американского опциона как сумму цены соответствующего европейского опциона и прибыли от досрочного исполнения в зависимости от оптимальной границы исполнения. Джамшидиан [3] использует этот метод для оценки опциона на американские облигации в модели Васичека.

Теорема 3.2. Пусть короткая процентная ставка 𝑟𝑡 удовлетворяет модели (2.1). Тогда начальная премия пут-опциона американского КИ, 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞), может быть записана как 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) = 𝑝𝑒 (𝑡, 𝑟, 𝐾; 𝑇) + 𝑞𝑇𝑡𝑒0𝑥0200𝑑𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑠) 𝑁𝑟, 𝑟𝑙𝑠 + 𝑑𝑠𝑇𝑡𝑒0𝑥0200𝑑𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑠) −𝑞𝑁𝑟, 𝑟𝑢𝑠𝑟 + 𝐾𝑢𝑠 − 𝜎1𝑒𝑟, 𝑟𝑢𝑠𝑁 − 𝑒𝑟, 𝑟𝑢𝑠 + 𝐾𝜎1√ − 𝑒2𝜋exp2𝑟, 𝑟𝑢𝑠2𝑑𝑠.(3,2) Более того, оптимальные границы остановки и тренировки, 𝑟𝑢 и 𝑟𝑙, являются решениями следующей системы рекурсивных интегральных уравнений: 𝐾 − 𝐵𝑡, 𝑟𝑢, 𝑇1 = 𝑝𝑒 (𝑡, 𝑟𝑢, 𝐾; 𝑇) + 𝑞𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐵 (𝑡, 𝑟𝑢𝑐𝑟, 𝑠) 𝑁𝑢, 𝑟𝑙𝑠 + 𝑑𝑠𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐵 (𝑡, 𝑟𝑢𝑒 𝑟, 𝑠) −𝑞𝑁𝑢, 𝑟𝑢𝑠𝑟 + 𝐾𝑢𝑠 − 𝜎1𝑒𝑟𝑢, 𝑟𝑢𝑠𝑁𝑟 − 𝑒𝑢, 𝑟𝑢𝑠 + 𝐾𝜎1√ − 𝑒2𝜋exp2𝑟𝑢, 𝑟𝑢𝑠2𝑑𝑠, 0 = 𝑝𝑒𝑡, 𝑟𝑙, 𝐾; 𝑇 + 𝑞𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐵𝑡, 𝑟𝑙𝑁𝑐𝑟, 𝑠𝑙, 𝑟𝑙𝑠 + 𝑑𝑠𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐵𝑡, 𝑟𝑙𝑒𝑟, 𝑠 − 𝑞𝑁𝑙, 𝑟𝑢𝑠𝑟  + 𝐾𝑢𝑠 − 𝜎1𝑒𝑟𝑙, 𝑟𝑢𝑠𝑁𝑟 − 𝑒𝑙, 𝑟𝑢𝑠 + 𝐾𝜎1√ − 𝑒2𝜋exp2𝑟𝑙, 𝑟𝑢𝑠2𝑑𝑠, (3.3) с учетом граничных условий 𝐵𝑇, 𝑟𝑢, 𝑇1 = 𝐾, 𝐵𝑇, 𝑟𝑙, 𝑇1 = 𝐾, (3.4) где 𝑒 (𝑟, 𝑟 ∗ 𝑠) = ((𝑟 ∗ 𝑠 − 𝑟𝑡) −𝜅 (𝑟𝑡 − 𝑟∞) 𝑏 (𝑠 − 𝑡) + (1/2) 𝜎2𝑏2 (𝑠 − 𝑡)) / 𝜎1) и 𝜎21 = (𝜎2 / 2𝜅) (1 − 𝑒 − 2𝜅 (𝑠 − 𝑡)).

Доказательство. Пусть 𝑍 (𝑠, 𝑟) = 𝑒 − ∫𝑠00𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢𝑃 (𝑠, 𝑟; 𝑞) — функция дисконтированной начальной премии пут-опциона американского CI в домене. Известно, что функция 𝑍 (𝑠, 𝑟) ∈𝐶1,2 (𝒟). Мы можем применить лемму Ито к 𝑍 (𝑠, 𝑟) и написать 𝑍 (𝑇, 𝑟) = 𝑍 (𝑡, 𝑟) + 𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝜕𝑍 (𝑠, 𝑟) 𝜕𝑠𝑑𝑠 + 𝜕𝑍 (𝑠, 𝑟) 1𝜕𝑟𝑑𝑟 + 2𝜎2𝜕2𝑍 (𝑠, 𝑟) 𝜕𝑟2 𝑑𝑠. (3.5) В терминах 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) это означает 𝑒 − ∫𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑠𝑑𝑠𝑃 (𝑇, 𝑟; 𝑞) = 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) + 𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝑒 − ∫𝑠𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢𝜕𝑃𝑠 + 1𝜕𝑠2𝜎2𝜕2𝑃𝑠𝜕𝑟2𝑟 + 𝜅∞ − 𝑟𝜕𝑃𝑠𝜕𝑟 −𝑟𝑃𝑠 + 𝑑𝑠𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝑒 − ∫𝑠𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢𝜎𝜕𝑃𝑠𝜕𝑟𝑑𝑊𝑠.(3,6) Из (3.1) мы знаем, что 𝑃 (𝑇, 𝑟; 𝑞) = ℎ (𝑇, 𝑟) и 𝑃 (𝑠, 𝑟; 𝑞) = 𝑃 (𝑠, 𝑟; 𝑞) 𝟏 (𝑟, 𝑠) ∈𝒞 + 𝑃 (𝑠, 𝑟; 𝑞) 𝟏 (𝑟, 𝑠) ∈𝒮 + 𝑃 (𝑠, 𝑟; 𝑞) ⋅𝟏 (𝑟, 𝑠) ∈ℰ = 𝑃 (𝑠, 𝑟; 𝑞) 𝟏 (𝑟, 𝑠) ∈𝒞 + [𝐾 − 𝐵 (𝑠, 𝑟, 𝑇1)] 𝟏 (𝑟, 𝑠) ∈ℰ. Подставляя и принимая математическое ожидание под 𝑄 в обеих частях (3.6), получаем 𝑝𝑒 (𝑡, 𝑟, 𝐾; 𝑇) = 𝐸𝑡𝑄𝑒 − ∫𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑠𝑑𝑠𝑔 (𝑇, 𝑟) = 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) + 𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐸𝑡𝑄𝑒 − ∫𝑠𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢𝜕𝑃𝑠 + 1𝜕𝑠2𝜎2𝜕2𝑃𝑠 𝜕𝑟2𝑟 + 𝜅∞ − 𝑟𝜕𝑃𝑠𝜕𝑟 − 𝑟𝑃𝑠𝑑𝑠 = 𝑃 (𝑡, 𝑟; 𝑞) + 𝑞𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐸𝑡𝑄𝑒 − ∫𝑠𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢1𝑟𝑙𝑠 <𝑟𝑠 <𝑟𝑢𝑠𝑑𝑠 − 𝐾𝑇𝑡0𝑥0200𝑑𝐸𝑡𝑄𝑒 −∫𝑠𝑡0𝑥0200𝑑𝑟𝑢𝑑𝑢𝑟𝑠1𝑟𝑠≥𝑟𝑢𝑠𝑑𝑠. (3.7) Из (2.1) легко получить, что переменная состояния следует 𝑟𝑠 = 𝑟𝑡𝑒 − 𝜅 (𝑠 − 𝑡) + 𝑟∞1 − 𝑒 − 𝜅 (𝑠 − 𝑡)  + 𝜎𝑠𝑡0𝑥0200𝑑𝑒 − 𝜅 (𝑠 − 𝑢) 𝑑𝑊𝑢 (3.8) для любого 𝑠> 𝑡. Тогда переменная состояния 𝑟𝑠 подчиняется нормальному распределению. Кроме того, использование 𝑠-прямых мер, обсуждаемых в [16], и нормального распределения дает представление (3.2). Рекурсивные уравнения (3.3) для оптимальных границ остановки и тренировки получаются путем наложения граничных условий 𝑃 (𝑡, 𝑟𝑢𝑡; 𝑞) = 𝐾 − 𝐵 (𝑡, 𝑟𝑢𝑡, 𝑇1) и 𝑃 (𝑡, 𝑟𝑙𝑡; 𝑞) = 0 . Граничные условия (3.4) выполняются, так как ограничение для (3.3) как 𝑡 ↑ 𝑇.

Замечание 3.3. Из (3.2), когда 𝑟𝑙𝑡 и 𝑟𝑢𝑡 получены с помощью (3.3), также вычисляется стоимость американского опциона «пут». Однако (3.3) являются интегральными уравнениями Вольтерра и могут быть решены численно. Обратите внимание, что граничные функции остановки и выполнения, и 𝑟𝑢𝑡, не могут быть доказаны как монотонная функция времени 𝑡. Поэтому мы используем метод трапецеидальных правил, чтобы справиться с ними.

4. Численный метод и результаты

В этом разделе мы представляем наш метод определения цены американского пут-опциона CI путем решения уравнений Кима и представляем численные результаты.Этот метод состоит из следующих трех шагов. Первый — аппроксимировать квадратурные представления в (3.3) с помощью правила трапеций. Второй шаг необходим для нахождения численных значений границ остановки и тренировки и 𝑟𝑢𝑡 из уравнений, аппроксимированных выше с помощью итерационного подхода Ньютона-Рафсона (NR). Когда получены значения и 𝑟𝑢𝑡, третий шаг, численное интегрирование (3.2), дает стоимость данного опциона пут американского КИ. Этот метод широко используется для оценки американского опциона рядом авторов, например, [8, 11].

Теперь разделим временной интервал [0, 𝑇] на подинтервалов: 𝑡𝑖 = 𝑖Δ𝑡, 𝑖 = 0,1,2,…, 𝑁, Δ𝑡 = 𝑇 / 𝑁. Обозначим 𝑟𝑙𝑡𝑖 = 𝑟𝑙𝑖 и 𝑟𝑢𝑡𝑖 = 𝑟𝑢𝑖 для 𝑖 = 0,1,2,…, 𝑁. Поскольку 𝑇𝑁 = 𝑇, из (2.3) и (3.4) получаем

𝑟𝑙𝑁 = 𝑟𝑢𝑁 = 1𝑏𝑇1𝑎𝑇 − 𝑇ln1 − 𝑇𝐾. (4.1) Определим подынтегральную функцию (3.3) как следующие функции: 𝑓𝑡, 𝑟, 𝑠, 𝑟 ∗ 𝑠𝑒 = 𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑠) −𝑞𝑁𝑟, 𝑟 ∗ 𝑠𝑟 + 𝐾 ∗ 𝑠 − 𝜎1𝑒𝑟, 𝑟 ∗ 𝑠𝑁  − 𝑒𝑟, 𝑟 ∗ 𝑠 + 𝐾𝜎1√ − 𝑒2𝜋exp2𝑟, 𝑟 ∗ 𝑠2, 𝑔𝑡, 𝑟, 𝑠, 𝑟 ∗ 𝑠𝑐 = 𝑞𝐵 (𝑡, 𝑟, 𝑠) 𝑁𝑟, 𝑟 ∗ 𝑠. (4.2) Мы используем правило трапеций для представления системы рекурсивных интегральных уравнений (3.3) следующим образом: 𝑝𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖1, 𝐾; 𝑇 + Δ𝑡2𝑔𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑡𝑖, 𝑟𝑙𝑖 + 𝑁 − 1𝑗 = 𝑖 + 1𝑡0𝑥0200𝑑𝑔𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑡𝑗, 𝑟𝑙𝑗 + 12𝑔𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑡𝑁 , 1 + Δ𝑡2𝑓𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖 + 𝑁 − 1𝑗 = 𝑖 + 1𝑡0𝑥0200𝑑𝑓𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑡𝑗, 𝑟𝑢𝑗 + 12𝑓𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑡𝑁, 𝑟𝑢𝑁𝑡 + 𝐵𝑖, 𝑟𝑢𝑖, 𝑇1𝑝𝑡 − 𝐾 = 0, 𝑖, 𝑟𝑙𝑖1, 𝐾; 𝑇 + Δ𝑡2𝑔𝑡𝑖, 𝑟𝑙𝑖, 𝑡𝑖, 𝑟𝑙𝑖 + 𝑁 − 1𝑗 = 𝑖 + 1𝑡0𝑥0200𝑑𝑔𝑖, 𝑟𝑙𝑖 ,, 𝑟𝑙𝑗 + 12𝑔𝑡𝑖, 𝑟𝑙𝑖, 𝑡𝑁, 𝑟𝑙𝑁1 + Δ𝑡2𝑓𝑡𝑖, 𝑟𝑙𝑖, 𝑡𝑖, 𝑟𝑢𝑖 + 𝑁 − 1𝑗 = 𝑖 + 1𝑡0𝑥0200𝑑𝑓𝑖, 𝑟𝑙𝑖, 𝑡𝑗, 𝑟𝑢𝑗 + 12𝑓𝑡𝑖, 𝑟𝑙𝑖, 𝑡𝑁, 𝑟𝑢𝑁 = 0, 𝑖 = 0,…, 𝑁 − 1. (4.3) Поскольку существуют нелинейные системные уравнения, их можно решить с помощью итерации NR. Аналогичным образом числовые значения и 𝑟𝑢𝑖, 𝑖 = 𝑁 − 1, 𝑁 − 2,…, 0 могут быть получены рекурсивно из (4.3). Обозначим представление левой части в (4.3) через 𝐹1 (𝑟𝑙𝑖, 𝑟𝑢𝑖) и 𝐹2 (𝑟𝑙𝑖, 𝑟𝑢𝑖) соответственно. Тогда при итерации NR значения (𝑟𝑙𝑖, 𝑟𝑢𝑖) имеют аппроксимации (𝑟𝑙𝑖 (𝑘), 𝑟𝑢𝑖 (𝑘)) порядка 𝑘, где 𝑘 = 0,1,2,… 𝑟𝑙𝑖 (𝑟𝑘 + 1) 𝑢𝑖 = 𝑟 (𝑘 + 1) 𝑙𝑖 (𝑟𝑘) 𝑢𝑖 − ⎛⎜⎜⎜⎝ (𝑘) 𝜕𝐹1𝜕𝑥𝜕𝐹1𝜕𝑦𝜕𝐹2𝜕𝑥𝜕𝐹2⎞⎟⎟⎟⎠𝜕𝑦 − 1⋅𝐹1𝐹 (𝑥 ,) 2 | (𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) = (𝑟𝑙𝑖 (𝑘), 𝑟𝑢𝑖 (𝑘)), (4.4) где 𝜕𝐹𝑗 / 𝜕𝑥 и 𝜕𝐹𝑗 / 𝜕𝑦, 𝑗 = 1,2 являются, соответственно, частными производными функций 𝐹𝑗 (𝑥, 𝑦) по 𝑥 и 𝑦. Когда значения всех (, 𝑟𝑢𝑖) для = 𝑁,…, 0 получены, используя правило Симпсона для (3.2) мы получаем аппроксимацию, 𝑃0 (𝑟, 𝑞), стоимости в момент времени = 0 для опциона пут-облигации американского КИ следующим образом: предполагая, что — четное число, мы имеем 𝑃0 (𝑟, 𝑞) = 𝑝 (0, 𝑟, 𝐾; 𝑇) + Δ𝑡3𝑔0, 𝑟, 0, 𝑟𝑙0 + 4𝑔0, 𝑟, 𝑡1, 𝑟𝑙1 + 2𝑔0, 𝑟, 𝑡2, 𝑟𝑙2  + 4𝑔0, 𝑟, 𝑡3, 𝑟𝑙3 + ⋯ + 2𝑔0, 𝑟, 𝑡𝑁 − 2, 𝑟𝑙𝑁 − 2 + 4𝑔0, 𝑟, 𝑡𝑁 − 1, 𝑟𝑙𝑁 − 1 + 𝑔0, 𝑟, 𝑇, 𝑟𝑙𝑇 + Δ𝑡3𝑓0, 𝑟, 0, 𝑟𝑢0 + 4𝑓0, 𝑟, 𝑡1, 𝑟𝑢1 + 2𝑓0, 𝑟, 𝑡2, 𝑟𝑢2 + 4𝑓0, 𝑟, 𝑡3, 𝑟𝑢3 + ⋯ + 2𝑓0 ,, 𝑡𝑁 − 2, 𝑟𝑢𝑁 − 2 + 4𝑓0, 𝑟, 𝑡𝑁 − 1, 𝑟𝑢𝑁 − 1 + 𝑓0, 𝑟, 𝑇, 𝑟𝑢𝑇. (4.5)

В таблице 1 мы описываем параметры в этой секции. В нашем примере мы берем = 6.В таблице 2 представлена ​​начальная премия этого пут-опциона на облигацию для разных ставок взноса 𝑞 = 1,10 и 30 с разными начальными процентными ставками 𝑟0 = 0,04,0,10 и 0,15.

Таблица 2 показывает, что чем выше начальная процентная ставка, тем выше цена американского опциона «пут» по облигации.Однако чем больше размер рассрочки, тем ниже цена этой опции.

На рис. 1 показаны кривые оптимальных границ остановки и выполнения упражнений в зависимости от различных ставок взноса 𝑞. Выясняем, что две границы уменьшаются при увеличении ставки рассрочки. Это показывает, что чем больше размер рассрочки, тем выше вероятность исполнения опциона.