В чем заключается суть формулы Фишера 🚩 Наука 🚩 Другое
Математически Уравнение Фишера Уравнение выглядит следующим образом:
реальная процентная ставка + инфляции = номинальная процентная ставка;
или
R + Пи = N;
Здесь R – реальная ставка процента;
N – номинальная ставка процента;
Пи – темп инфляции;
Греческая буква Пи обычно используется для обозначения уровня инфляции. Не следует путать ее с постоянной Пи, применяемой в геометрии.
Например, если положить в банк под 10% годовых определенную сумму денег, с уровнем инфляции 7%, то номинальная ставка процента при таких условиях будет 10%. Реальная ставка составит всего 3%.
Если инфляция учитывается, то это не реальная процентная ставка, а номинальная ставка, которая регулируется или изменяется вместе с инфляцией. Уровень инфляции, используемый при оценке уравнения – это ожидаемый темп инфляции в течение всего срока кредита. В теории Фишера была высказана гипотеза, что учитываемый уровень инфляции должен быть постоянным. Уровень инфляции учитывается по-разному при определении процентной ставки кредита в пределах областей, пострадавших от текущей деятельности, технологии и других мировых событий, которые влияют на реальную экономику.
Данное уравнение может применяться как до заключения договора, так и по факту, то есть как анализ кредита. Если уравнение используется для оценки кредита постфактум. Например, это может помочь определить покупательную способность и рассчитать стоимость кредита. Оно также используется, чтобы помочь кредиторам определить, какая должна быть процентная ставка. При использовании этой формулы, кредиторы могут принять во внимание планируемую потерю покупательной способности, и поэтому устанавливать выгодные процентные ставки.
Уравнение Фишера обычно используется при оценке сумм инвестиций, доходности облигаций, а также при расчете инвестиций постфактум.
Фишеру также принадлежит формула, которая определяет зависимость цены и количества денег, находящихся в обороте. От массы денег зависят многие экономические показатели. В первую очередь, это цены и ставки по кредитам. Причем в условиях стабильности экономического развития объем денежной массы регулирует цены. В случае же структурных диспропорций возможно первичное изменение цен, а уже затем идет изменение наличной денежной массы. Получается, что в зависимости от изменения различных условий в экономике, политической жизни стран, экологии могут меняться цены, но и наоборот денежная масса может меняться в связи с ростом или уменьшением цен. Формула выглядит следующим образом:
МV = PQ;
Здесь M – масса денег в обороте;
V – скорость их оборота;
P — цена товара;
Q – объем, или количество товара
Эта формула чисто теоретическая, так как не содержит однозначного решения. Однако, можно сделать вывод, что зависимость цен и денежной массы взаимная. В странах развитой экономики (отдельно взятой стране или группе стран) с одной валютой масса денег, находящихся в обороте, должна соответствовать уровню экономики (объемам производства), уровню торговли и доходам. Иначе невозможно будет обеспечить стабильность цен, что и является главным условием определения количества наличных денег в обращении.
Количественная теория денег. Уравнение Фишера и эффект Фишера.
⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 26Следующая ⇒Количественная теория денег начинает свою историю с XVII века. Основные идеи содержатся в работах таких экономистов как Р.Кантильон, Д.Юм, Г.Торнтон, Д.Рикардо, И.Фишер.
При этом они исходили из трёх постулатов:
1) причинности, утверждая, что цены зависят от количества денег;
2) пропорциональности, то есть цены изменяются пропорционально изменению количества денег;
3) универсальности, считая, что изменение количества денег означает одинаковое воздействие на цены всех товаров.
Доказательство этих идей связано с уравнением количества денег в экономике, которое имело вид:
,
где М – количество денег в экономике,
V – скорость обращения денег, или быстрота, с которой одна единица номинального запаса денег циркулирует в обороте,
T — количество сделок в экономике,
P – средний уровень цены.
Если количество сделок представить в виде определённого количества реально произведенных товаров, то данное уравнение преобразуется в вид, получившее название уравнение Фишера:
.
Отсюда вытекает, что если скорость обращения денег и объём реального ВНП остаются неизменными, то существует прямая зависимость между количеством денег и уровнем цены.
Кембриджская школа преобразовала уравнение Фишера, введя понятие реальных денежных остатков, которое показывает какое количество товаров и услуг может быть приобретено в данный момент времени при данном уровне цен при имеющемся объёме денежных средств. С учётом этого уравнение в
,
где реальные кассовые остатки,
— коэффициентмонетизации, показывающий какую часть фактического ВНП страны можно приобрести на имеющиеся в стране деньги в данный момент времени,
Y – ВНП фактический.
В количественной теории денег утверждается, что скорость обращения денег является практически неизменной величиной и зависит от таких факторов, как изменение финансовой системы, изменение привычек, ожиданий, распределения денег между различными группами населения и финансовыми учреждениями, уровень развития экономики и других институциональных факторов. При этом утверждается, что изменение скорости обращения денег и количества денег не связаны между собой причинно-следственными связями. Денежная масса определяется экзогенно.
Анализ влияния денег на ВНП тесно связан с понятием реального и номинального ВНП. Если учитывать эти характеристики, то реальный ВНП не зависит от количества денег в экономике, а определяется производственной функцией. Номинальный ВНП определяется как количеством товаров, так и их ценой. Поэтому увеличение количества денежных средств будет приводить к росту номинального ВНП при неизменности реального ВНП.Данная зависимость может быть представлена и в другом виде через приросты:
.
В 60-е годы возрос интерес к количественной теории денег в рамках монетаризма. В результате этого классический (простой или грубый) вариант количественной теории денег несколько усовершенствовался. Были сформулированы следующие положения:
1) Изменения темпов роста денежной массы приводит через некоторый период времени к изменению темпов роста номинального ВНП;
2) При увеличении количества денег в стране изменение номинального ВНП первоначально отражает изменение реального ВНП. Затем всё большее воздействие на изменение номинального ВНП оказывает изменение уровня цен. Поэтому в краткосрочном периоде изменение количества денег быстрее сказывается на изменении реального ВНП, чем на изменении уровня цен, а в долгосрочном периоде рост количества денег вызывает только изменение уровня цен, не оказывая никакого воздействия на изменение реального ВНП.
3) Скорость обращения денег меняется во времени. Скорость обращения денег можно рассматривать как функцию от реальной ставки процента и темпа ожидаемой инфляции.
Спорным моментом является вопрос об эластичности скорости обращения денег по отношению к ставке процента. Существует два подхода к решению этого вопроса:
1) Эластичность является конечной постоянной величиной:
2) Эластичность является нулевой или близкой к нулю.
Существует зависимость инфляции с уровнем процента, который можно связать с количеством денег. Если реальная ставка процента ( r) связана с номинальной (i) через уровень инфляции и существует кембриджское уравнение спроса на деньги, то их можно связать с уровнем ожидаемой инфляции:
Рост предложения денег на 1% вызывает рост ожидаемой инфляции на 1%, а это приводит к росту номинальной ставки процента на 1%. Данная зависимость получила название эффекта Фишера.
Читайте также:
Формула Фишера — Энциклопедия по экономике
Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной экономикой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фишера. [c.227]Какая величина в формуле Фишера называется инфляционной премией [c.228]
В каких случаях можно пользоваться приближенным вариантом формулы Фишера [c.228]
Кому выгоднее использовать в контракте приближенный вариант формулы Фишера кредитору или заемщику [c.228]
Решение. Для определения искомой процентной ставки воспользуемся формулой Фишера (111) при г = 0,16 и h = ОД [c.238]
Обратим внимание, что при решении этого примера можно было воспользоваться и формулой (46). Очевидно, и формула Фишера позволяет ответить на вопросы примера. В частности, подставляя в нее значения процентной ставки и инфляции первого случая (в обозначениях формулы Фишера F = 0,45, /г=ОД5), получим уравнение 0,45 = г + ОД5 + 0,15г, откуда [c.239]
С использованием формулы Фишера определите реальную доходность финансовой операции, если ставка процента по депозитным вкладам на 12 месяцев составляет 15%, а годовая ставка инфляции — 10%. [c.228]
Стоимость акций, скорректированная на инфляцию, определяется по формуле Фишера [c.201]
Стоимость акции, скорректированную на инфляцию, определим по формуле Фишера. Сначала рассчитаем номинальную ставку доходности при рентабельности 13,75% [c.213]
Более точную связь процентных ставок и инфляции дает формула Фишера. [c.45]
Результаты подобных расчетов могут значительно отличаться. Один из методов получения единого результата состоит в построении средней геометрической из двух территориальных индексов физического объема продукции (формула Фишера) [c.222]
Для задания № 8 введем условие, что годовая реальная ставка процента составила 80%, а номинальная увеличилась до 250%. Определите темп инфляции (для выполнения задания найдите в источниках учебной литературы выражение формулы Фишера). [c.309]
Для избежания неоправданно высоких процентных выплат можно рекомендовать при заключении кредитных соглашений предусматривать пересмотр процентной ставки в зависимости от инфляции. Одной из возможностей такого рода является фиксация в кредитном соглашении не номинальной, а реальной процентной ставки (см. Приложение 1), с тем чтобы при начислении и выплате процентов увеличивать ее (по формуле Фишера) в соответствии с инфляцией, фактически имевшей место за это время. [c.97]
Номинальная процентная ставка определяется из равенства (формула Фишера) [c.294]
Рассчитаем индексы цен и объема, применив формулу Фишера [c.704]
Совершенной формулы Фишер не нашел не было ни одной средней, одновременно отвечающей предложенным тестам. Впрочем, это только подтвердило его первоначальное предположение о том, что идеальной формулы среднего индекса не существует. Лучшей же оказалась формула, представляющая собой комбинацию индексов Ласпейреса и Пааше. Она получила название идеального индекса Фишера [c.194]
В чем же тогда кроется главная причина получения странных результатов при расчете по разным формулам Фишер утверждал, что основные ошибки накапливаются на этапе группировки товаров в агрегированные группы. [c.195]
Формула Фишера неверна в условиях золотомонетного стандарта, так как игнорирует внутреннюю стоимость денег. Однако при обращении бумажных денег, неразменных на золото, она приобретает определенный смысл. В этих условиях изменение денежной массы влияет на уровень товарных цен, хотя, конечно, И. Фишер в известной мере идеализировал ценовой механизм, так как предполагал абсолютную эластичность товарных цен. Фишер, как и другие неоклассики, исходил из совершенной конкуренции и распространял свои выводы на общество, в котором господствовали монополии и цены уже в значительной мере утратили былую эластичность. [c.235]
Новое уравнение обмена является разновидностью количественной теории денег и поэтому разделяет все ее достоинства и недостатки. Конечно, платежные средства являются органической составной частью современной денежной массы, однако из формулы Фишера следует, что они прямо и непосредственно воздействуют на товарные цены, что не соответствует действительности. [c.237]
М/Р)° = /.(/, У), так как при росте дохода У увеличивается накопленное богатство индивида W, а формула Фишера / = г + jf подсказывает нам, что при повышении темпа инфляции растет номинальный процент (альтернативные издержки хранения ликвидности) и, соответственно, падает спрос на деньги. [c.459]
Формула Фишера имеет смысл только при золотомонетном стандарте, при переходе к бумажно-денежному обращению оно теряет смысл (да). [c.191]
Напоги, инфляция и наращение сложными процентами. Формула Фишера. [c.377]
Формула Фишера — так называемая идеальная формула предполагает расчет фондового индекса с использованием среднегеометрической из индексов, рассчитанных на базе формул Ласпей-ресе и Пааше. [c.366]
Метод математического моделирования основывается на описании экономического явления формализованным языком с помощью математических инструментов функций, уравнений, неравенств и т.д. При этом экономико-математические модели позволяют не просто формализовать экономическое явление, но и выявить его особенности. Например, в соответствии с так называемой формулой Фишера потребность экономики в деньгах выражается уравнением Mv = РТ, где М — объем денежной массы v — скорость обращения денег Р — общий уровень цен на товары Т— объем текущих сделок купли-продажи товаров и услуг в стра- [c.34]
Запада пользуются математической формулой, предложенной американским экономистом И. Фишером, показывающей Зависимость уровня цен от денежной массы MV = PQ, где М — денежная масса V — скорость обращения денег Р — уровень товарных цен Q — количество обращающихся товаров. В соответствии с данной формулой уровень товарных цен определяется по формуле / == Ml f/Q, т.е. произведением массы денежных знаков на скорость -Ах обращения, деленным на количество товаров объем денежной мабсы М = PQ/F. На основании этой формулы Фишер делает вывод, что стоимость денег обратно пропорциональна их количеству. Уравнение обмена И. Фишера MV = PQ выражает количественные зависимости м%жду суммой товарных цен и обращающейся денежной массой. [c.64]
Данная формула более точно отражает эффективность вложрния средств в ГКО с их последующим реинвестированием в течение всего 1[ода, однако лишь в условиях стабильного рынка и малоизменяющихся цен на облигации каждого выпуска. При инфляции и колебаниях процентных ставок реальную ставку доходности конкретного выпуска ГКО мсржно рассчитать с использованием рассмотренной ранее формулы Фишера [c.294]
Для понимания фишеровской концепции очень важно, что автор формировал ее с целью нахождения способа легкого и быстрого исчисления индексов , а одним из неформальных требований к индексной формуле Фишер считал следующее индекс должен быть прост и понятен для непосвященных . [c.193]
С расчетом инфляции связано довольно много ошибок. Паи-более часто встречающаяся из них —расчет инфляции не по формуле Фишера, а по приближенной формуле К — N—I. Рассмотрим на примере, к чему это приводит при различныху ровнях инфляции. [c.192]
Для перспективного анализа часто используют формулу Фишера как среднюю геометрическую из индексов Ласпейреса и Па-аше. Но для оперативного расчета по указанным выше причинам такой способ не подходит. Поэтому следует иметь в виду, что рассматриваемый ИПЦ завышает реальное вздорожание потребительских расходов и, следовательно, обесценение валюты, так как население при росте цен заменяет дорогие товары дешевыми, низкоэластичными (речь идет об эластичности объема потребления по ценам). Это явление усиливается при большом росте цен. [c.50]
Если по той или иной причине при дисконтировании ожидаемых от бизнеса доходов в качестве стабильной за весь срок бизнеса номинальной безрисковой нормы дохода нельзя рассматривать фактическую рыночную ставку доходности государственных облигаций (в первую очередь из-за нестабилизировавшейся инфляции, которая, как это очевидно, будет меняться) и трудно прогнозировать на этот срок среднюю ожидаемую их доходность, то для определения ставки R приходится использовать формулу Фишера. [c.32]
В чем отличие уравнения Фишера и эффекта Фишера? — Студопедия
Уравнение Фишера (также называемое эффектом Фишера и гипотезой Фишера) — уравнение, описывающее связь между темпом инфляции, номинальной и реальной ставками процента: i = r + пи, где i — номинальная ставка процента; r — реальная ставка процента; пи — темп инфляции. Названо в честь Ирвинга Фишера.
Уравнение в приближенной форме описывает явление, которое называется эффектом Фишера. Эффект состоит в том, что номинальная ставка процента может измениться по двум причинам: 1. из-за изменений реальной ставки процента; 2. из-за изменения темпа инфляции.
Уровень цен в экономике со временем меняется. Инвестор также размещает деньги под проценты на определенный срок. Поэтому он заинтересован в том, чтобы получить не только определенный доход, но и компенсировать падение покупательной способности денег в будущем.
Например, если инвестор положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.
В уравнении может использоваться как фактический темп инфляции пи, так и его ожидаемое значение пи в степени е. В первом случае, формула позволяет вычислить реальную ставку на основе полученной номинальной доходности и фактического роста цен. Во втором случае инвестор может определить для себя ожидаемую номинальную доходность, исходя из прогнозируемых значений.
ЭФФЕКТ ФИШЕРА — понятие, в котором формально учитывается воздействие инфляции на процентную ставку по займу или облигации. В уравнении, предложенном Ирвином Фишером (1867-1947), номинальная процентная ставка по займу выражается как сумма реальной процентной ставки и темпа инфляции, ожидаемого в течение срока действия займа. Так, если инфляция составляет 6% в год, а реальная процентная ставка равна 4%, то номинальная процентная ставка будет 10%. Премия за инфляцию (6%), включаемая в номинальную процентную ставку, позволяет компенсировать потери кредиторов, связанные с падением покупательной силы денег, данных взаймы, к моменту их возвращения заёмщиками.
Эффект Фишера предполагает прямую зависимость между инфляцией и номинальными процентными ставками, когда изменения годового темпа инфляции ведут к соответствующим изменениям номинальных процентных ставок.
Объясните на каком-либо примере разницу между номинальной процентной ставкой и реальной процентной ставкой.
Номинальная ставка процента (Nominal interest rate) — это рыночная процентная ставка без учета инфляции, отражающая текущую оценку денежных активов. Реальная ставка процента (Real interest rate) — это номинальная ставка процента минус ожидаемый уровень инфляции.
Например, номинальная процентная ставка составляет 10% годовых, а прогнозируемый темп инфляции — 8% в год. Тогда реальная ставка процента составит: 10 — 8 = 2%.
Отличие номинальной ставки от реальной имеет смысл только лишь в условиях инфляции или дефляции. Американский экономист Ирвинг Фишер выдвинул предположение о связи между номинальной, реальной ставкой процента и инфляцией, получившее название эффект Фишера, который гласит: номинальная ставка процента изменяется на величину, при которой реальная ставка процента остается неизменной. В виде формулы эффект Фишера выглядит следующим образом:
i = r + πe
где i — номинальная ставка процента; r — реальная ставка процента; πe — ожидаемый темп инфляции.
Например, в случае, когда ожидаемый темп инфляции будет составлять 1% в год, то номинальная ставка возрастет на 1% за тот же год, следовательно, реальная ставка процента останется без изменений. Поэтому, понять процесс принятия инвестиционных решений экономическими агентами невозможно, не принимая во внимание различие между номинальной и реальной ставкой процента.
Рассмотрим простой пример: допустим Вы намерены предоставить кому-либо ссуду на один год в условиях инфляции, то какую точную процентную ставку Вы установите? В случае, если темп прироста общего уровня цен составит 10% в год, то тогда установив наминальную ставку в 10% годовых при предоставленной ссуде в 1000 д.е., Вы через год получите 1100 д.е. Но их реальная покупательная способность уже будет не та, что год назад. Номинальный прирост дохода составляющий 100 д.е. будет «съеден» 10%-ной инфляцией. Таким образом, различие между номинальной ставкой процента и реальной важно для понимания того, как именно заключаются контракты в экономике с нестабильным общим уровнем цен (инфляцией и дефляцией).
ⓘ Уравнение Фишера, значения. Уравнение Фишера
Пользователи также искали:
как пользоваться таблицей фишера, критерий фишера для чайников, критерий фишера excel, критерий фишера онлайн, критерий фишера презентация, критерий фишера таблица, критерій фишера таблиця, Фишера, фишера, критерий, онлайн, критерий фишера онлайн, критерий фишера презентация, критерий фишера для чайников, таблица, критерий фишера excel, чайников, критерій фишера таблиця, excel, таблицей, критерій, таблиця, точный, калькулятор, презентация, Уравнение, пользоваться, как пользоваться таблицей фишера, значения, Уравнение Фишера значения, критерий фишера таблица, точный критерий фишера онлайн — калькулятор, уравнение фишера (значения), инфляция. уравнение фишера (значения),
…
Wikizero — Уравнение Фишера
Уравнение Фишера (также называемое эффектом Фишера и гипотезой Фишера) — уравнение, описывающее связь между темпом инфляции, номинальной и реальной ставками процента. Названо в честь Ирвинга Фишера.
Уравнение имеет следующий вид[1].
- i=r+π{\displaystyle i=r+\pi },
где i{\displaystyle i} — номинальная ставка процента; r{\displaystyle r} — реальная ставка процента; π{\displaystyle \pi } — темп инфляции.
Уравнение в приближенной форме (см. Вывод) описывает явление, которое называется эффектом Фишера. Эффект состоит в том, что номинальная ставка процента может измениться по двум причинам:
- из-за изменений реальной ставки процента;
- из-за изменения темпа инфляции.
Уровень цен в экономике со временем меняется. Инвестор также размещает деньги под проценты на определенный срок.{e}}. В первом случае, формула позволяет вычислить реальную ставку на основе полученной номинальной доходности и фактического роста цен. Во втором случае инвестор может определить для себя ожидаемую номинальную доходность, исходя из прогнозируемых значений.
Уравнение в приведенной выше форме является приближенным. Оно выполняется тем точнее, чем меньше по модулю значения r{\displaystyle r} и π{\displaystyle \pi }. Поэтому с математической точки зрения правильно писать приближенное равенство:
- i≈r+π{\displaystyle i\approx r+\pi },
Точная запись уравнения выглядит следующим образом:
- 1+i=(1+r)×(1+π){\displaystyle 1+i=(1+r)\times (1+\pi )}
Если раскрыть скобки, то получится следующая запись:
- 1+i=1+r+π+rπ{\displaystyle 1+i=1+r+\pi +r\pi }
или
- i=r+π+rπ{\displaystyle i=r+\pi +r\pi }
С точки зрения математического анализа, если r{\displaystyle r} и π{\displaystyle \pi } стремятся к нулю, то произведение rπ{\displaystyle r\pi } является бесконечно малой более высокого порядка. Поэтому при малых (по модулю) значениях r{\displaystyle r} и π{\displaystyle \pi } произведением rπ{\displaystyle r\pi } можно пренебречь. В результате получится упомянутая выше приближенная запись.
Пусть, например, r=π=1%{\displaystyle r=\pi =1\%}. Тогда сумма этих величин равна 2 %, а произведение — 0,01 %. Если же взять r=π=10%{\displaystyle r=\pi =10\%}, то сумма получится равной 20 %, а произведение 1 %. Таким образом, с ростом значений погрешность в расчетах становится все больше.
Точную запись можно также преобразовать к следующему виду, предложенному Фишером:
- r=1+i1+π−1=i−π1+π{\displaystyle r={\frac {1+i}{1+\pi }}-1={\frac {i-\pi }{1+\pi }}}
В тривиальных случаях при π=0{\displaystyle \pi =0} или π=i{\displaystyle \pi =i} обе формулы (точная и приближенная) дают одинаковое значение реальной процентной ставки.
- Вечканов Г. C., Вечканова Г. Р. Макроэкономика. — СПб.: Питер, 2008. — С. 55. — (Серия «Краткий курс»). — ISBN 978-5-91180-108-3.
- Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб.. — М.: Дело, 2000. — 400 с.
Номинальная и реальная процентная ставка
31.25 Уравнение Фишера: номинальные и реальные процентные ставки
Когда вы занимаете или даете ссуду, вы обычно делаете это в долларовом эквиваленте. Если вы берете ссуду, ссуда выражается в долларах, а обещанные вами платежи выражаются в долларах. Эти долларовые потоки необходимо скорректировать с учетом инфляции, чтобы рассчитать выплаты в реальном выражении. То же самое верно и для кредитора: вам нужно рассчитать процент, который вы зарабатываете на сбережениях, с поправкой на инфляцию.
Уравнение Фишера обеспечивает связь между номинальной и реальной процентной ставкой. Для перехода от номинальных процентных ставок к реальным процентным ставкам мы используем следующую формулу:
реальная процентная ставка ≈ номинальная процентная ставка — уровень инфляции.Чтобы найти реальную процентную ставку, мы берем номинальную процентную ставку и вычитаем уровень инфляции. Например, если процентная ставка по ссуде составляет 12 процентов, а уровень инфляции составляет 8 процентов, то реальная доходность по этой ссуде составляет 4 процента.
При расчете реальной процентной ставки мы использовали фактический уровень инфляции. Это уместно, если вы хотите понять реальную процентную ставку, фактически выплаченную по кредитному договору. Но на момент заключения кредитного соглашения уровень инфляции, который произойдет в будущем, с уверенностью неизвестен. Вместо этого заемщик и кредитор используют свои ожидания будущей инфляции для определения процентной ставки по ссуде. С этой точки зрения мы используем следующую формулу:
сокращенная номинальная процентная ставка ≈ реальная процентная ставка + ожидаемый уровень инфляции.Мы используем термин контрактная номинальная процентная ставка , чтобы пояснить, что это ставка, установленная во время кредитного соглашения, а не реализованная реальная процентная ставка.
Key Insight
- Чтобы скорректировать номинальную процентную ставку с учетом инфляции, вычтите уровень инфляции из номинальной процентной ставки.
Более формально
Представьте, что два человека подписывают договор о займе в размере P долларов по номинальной процентной ставке —.Это означает, что в следующем году сумма выплаты составит P × (1 + i ). Это стандартный кредитный договор с номинальной процентной ставкой —.
Теперь представьте, что люди решили подписать договор займа, чтобы гарантировать постоянный реальный доход (в виде товаров, а не долларов), обозначенный r . Таким образом, контракт предусматривает фунтов стерлингов в этом году в обмен на возврат (достаточно долларов для покупки) (1 + рублей ) единиц реального валового внутреннего продукта (реального ВВП) в следующем году.Для погашения этой ссуды заемщик дает кредитору достаточно денег, чтобы купить (1 + r ) единиц реального ВВП на каждую ссужаемую единицу реального ВВП. Таким образом, если уровень инфляции равен π, то уровень цен повысился до P × (1 + π), поэтому выплата в долларах по ссуде в размере P долларов составит P (1 + r ). × (1 + π).
Здесь (1 + π) — единица плюс уровень инфляции. Уровень инфляции π t +1 определяется, как обычно, как процентное изменение уровня цен с периода t до периода t + 1.
π t +1 = ( P t +1 — P t ) / P t .Если период равен одному году, то уровень цен в следующем году равен цене в этом году, умноженной на (1 + π):
P т +1 = (1 + π т ) × P т .Уравнение Фишера говорит, что эти два контракта должны быть эквивалентны:
(1 + i ) = (1 + r ) × (1 + π).В качестве приближения из этого уравнения следует
i ≈ r + π.Чтобы увидеть это, умножьте правую часть и вычтите 1 с каждой стороны, чтобы получить
i = r + π + r π.Если r и π — малые числа, тогда r π — очень маленькое число, и его можно безопасно игнорировать.Например, если r = 0,02 и π = 0,03, тогда r π = 0,0006, и наше приближение имеет точность около 99 процентов.
Основные области применения этого инструмента
Уравнение Фишера — Большая химическая энциклопедия
Это иногда называют кубическим уравнением Фишера и по-разному применяют в химической кинетике, популяционной биологии, а также к распространению инфекционных заболеваний или полезных генов. [Стр.295]Оценка устойчивости решений с бегущей волной отнюдь не является простым процессом, и здесь мы даже не будем пытаться делать это. Результат, заключающийся в том, что системы, управляемые квадратными уравнениями Фишера, имеют тенденцию к достижению минимально допустимой скорости, будет использован позже. [Стр.303]
Это кубическое уравнение Фишера. Последний член соответствует химической кинетике, и нам нужно установить, когда этот член обращается в ноль. Одним из решений является / = 0, что соответствует граничному условию z -> + oo.Два других нуля в кинетическом члене возникают, когда … [Pg.308]
В качестве канонической модели, представляющей реакцию A + B -> 2B (см. Раздел 3.1.3), мы рассматриваем уравнение Фишера (4.16) с адвекция (Neufeld et ah, 2002b) … [Pg.194]
Source Advances in Chemistry Series, no. 22, Физические свойства химических соединений, т. II (Вашингтон, Округ Колумбия, Американское химическое общество, 1959) и К. Х. Фишер, Уравнения коррелируют физические свойства н-алкана с длиной цепи, Химическая инженерия, 20 сентября 111-113 (1982).[Pg.31]
C. Х. Фишер, Уравнения коррелируют физические свойства н-алкана с длиной цепи, Химическая инженерия, 20 сентября 111-113 (1982). [Pg.42]
Влияние содержания ПММА на кинетические и термодинамические параметры, контролирующие изотермический сферолитный рост и общую скорость кристаллизации ПЭГ из расплавленных смесей, было проанализировано на основе модифицированного уравнения Тумбула 1-Фишера. . [Pg.81]
Уравнение Фишера, которое предшествовало существованию связанных с инфляцией рынков облигаций, утверждает, что номинальная доходность облигаций состоит из трех компонентов — инфляционных ожиданий, требуемой реальной доходности, которую требуют инвесторы сверх этих инфляционные ожидания и премия за риск.Премия за риск отражает предположение, что инвесторы хотят получить дополнительную компенсацию за принятие нежелательного инфляционного риска при держании (следовательно, неоптимальных) номинальных облигаций. [Pg.260]
Исходя из этого, очень хочется сказать, что вы не можете этого сделать, но мы должны попытаться предложить что-то более конструктивное. Никто никогда не спрашивает, какова продолжительность акции, но вопрос почти эквивалентен: линкеры, как и акции, представляют собой другой класс активов. Существуют измерения дюрации акций — чувствительность цены к изменениям доходности или дивидендной доходности — и акции могут быть связаны с номинальными облигациями с помощью уравнения Фишера, как мы показали, точно так же, как линкеры связаны с номиналами с помощью уравнения Фишера.Однако показатели дюрации капитала рассчитываются редко и никогда не будут использоваться в смешанном портфеле акций и облигаций для определения общей дюрации портфеля. [Pg.264]
Если мы подумаем об упрощенном уравнении Фишера для линкеров. [Pg.264]
Единственный математически правильный способ сообщить о продолжительности смешанного портфеля, состоящего из номиналов и линкеров, который добавляет некоторую полезную информацию, — это отказаться от стандартного значения продолжительности и вместо этого показать два новых числа длительности по отношению к реальная доходность и дюрация по отношению к инфляционным ожиданиям.Это две основные частные производные уравнения Фишера. [Pg.265]
Чтобы понять, почему, давайте приведем уравнение Фишера к более управляемой форме … [Pg.265]
Инвесторам, давно знакомым с номинальными облигациями, не стоит даже задавать этот вопрос, думая вернемся к уравнению Фишера. Если они … [Стр. 273]
Фишер — участник знаменитого уравнения Фишера — утверждал, что реальный урожай должен быть постоянным. Однако доказательства, подтверждающие эту гораздо менее известную гипотезу, по меньшей мере неоднородны.[Pg.274]
Практически параллельно с Маккендриком, Хатчинсон [215], известный эколог, предложил отложенную по времени версию уравнения логистического роста, в которой нелинейный член был отложен во времени. Диффузионное уравнение Хатчинсона, также известное как уравнение Фишера с запаздыванием. [Стр.147]
Подынтегральное выражение заметно отличается от нуля только в передней области волны, меньшее значение v соответствует более узкому, то есть более крутому фронту. Что касается уравнения Фишера (4.1), крутизна фронта волны обратно пропорциональна скорости волны V и естественным начальным условиям, т.е.е., начальные условия, которые локализованы или затухают быстрее, чем экспоненциально, релаксируют к фронту с минимальной скоростью фронта. Минимальная скорость фронта для DIRW Фишера меньше минимальной скорости фронта для уравнения Фишера, prd = 2 / d, см. Разд. 4.1.1, и приближается к последнему в диффузионном пределе. [Стр.172]
| Рис. 7.11 График результатов для скорости фронта в зависимости от параметра rr. Точки получены из моделирования случайного процесса на OCN (заполненные кружки) и открытые кружки бассейна Пеано).Линии соответствуют теоретическим значениям из уравнения Фишера (сплошные) и для бассейна Пеано (пунктирные и пунктирно-штриховые). Перепечатано из [64]. Авторские права 2006, с разрешения Elsevier … |
Fedotov, S. Распределение скорости реакции Nonumfoim для обобщенного уравнения Фишера зажигание перед фронтом реакции. Phys. Ред. E 60 (4), 4958-4961 (1999). http //dx.doi. org / 10.1103 / PhysRevE.60.4958 … [Pg.429]
Gi Ненарушенная скорость роста сферолита гомополимера, описываемая уравнением Тамбалла-Фишера … [Pg.438]
Авторы получили две полезные информации с этих фронтов.Во-первых, они обнаружили, что скорость может быть описана уравнением Фишера (Fisher, 1937) … [Pg.236]
У Фишера, как и у других поставщиков, есть уравнения для потока газа, пара и пара, которые имеют два параметра . Один параметр представляет пропускную способность, а другой параметр представляет тип клапана и его влияние на критический расход. Уравнения Фишера следующие … [Pg.44]
Уравнение Тернбулла-Фишера — Big Chemical Encyclopedia
В некоторых случаях, например, при кристаллизации вязких материалов из расплава, уравнение Фишера-Тернбулла (29) часто используется для описания нуклеации липидов (20, 30)… [Pg.104]Анализ Фишера-Тернбулла Свободная энергия активации для нуклеации, Gc, может быть найдена из уравнения Фишера-Тернбулла, приведенного в уравнении 1. Член во второй экспоненте уравнения 1 часто выражается как Gc / кТ. Комбинация уравнений (1) и (3) позволяет получить следующее уравнение … [Pg.111]
| Рис. 5. Подгонка кинетики зародышеобразования смесей пальмового стеарина в кунжутном масле в соответствии с методом Фишера-Тернбулла уравнение (из работы 9). |
| Рис. 6 Определение AGc по уравнению Фишера-Тернбулла. График In xT по сравнению с llT (ATf показывает области с разными наклонами выше и ниже 20 ° C. |
Уравнение Фишера-Тернбулла [Fq. (1)] был первоначально разработан для однокомпонентных систем, однако было доказано, что он применим к пальмовому маслу и молочному жиру, которые являются многокомпонентными системами [9,10].Достаточно хорошая линейность графиков показывает, что уравнение Фишера-Тернбулла можно использовать для исследования таких систем. [Pg.466]
Скорость гомогенного зародышеобразования J) сферических сборок может быть выражена классическим уравнением зародышеобразования (Гиббс, Волмер, 1948, Беккер и Доринг, 1939, Беккер и Доринг, 1935, Тернбулл и Фишер, 1949) … [Стр.62 ]
Уравнение скорости предсказывает экспоненциальный рост после достижения критического пересыщения, однако на практике существует оптимальная температура, ниже которой жидкость слишком вязкая для зародышеобразования и выше которой движения молекул предотвращают образование кристаллов.Это наблюдал Тамман (1925) для нескольких органических солей. Он обнаружил, что оптимальная температура зарождения была ниже, чем требуемая для максимального роста кристаллов. Аналогичное наблюдение было сделано Маллиным и Лечи (1969) для спонтанного зарождения растворов лимонной кислоты и показано на рис. 2.21. Вязкие эффекты могут быть включены в уравнение скорости, принимая во внимание вязкую свободную энергию (Тернбулл и Фишер, 1949). [Pg.46]
Расплавы часто демонстрируют аномальные характеристики зародышеобразования, как отмечалось в ранней работе Таммана (1925).Скорость зародышеобразования обычно следует экспоненциальной кривой (сплошная кривая на рисунке 5.2), поскольку переохлаждение увеличивается, но достигает максимума и впоследствии уменьшается (пунктирная кривая на рисунке 5.2). Тамман предположил, что такое поведение было вызвано резким увеличением вязкости при переохлаждении, которое ограничивало движение молекул и препятствовало образованию упорядоченных кристаллических структур. Тернбулл и Фишер (1949) количественно оценили это поведение с помощью модифицированной формы уравнения 5.9 … [Pg.186]
Скорость зародышеобразования, I, была оценена Тернбуллом и Фишером [25] по форме AG и влияние локальной вязкости, определяемой свободной энтальпией AG ,.На рис. 3.61 приведено это уравнение. Скорость I применима к случаю, когда зародышеобразование беспрепятственно. Первый показатель степени уравнения выражает замедление зародышеобразования из-за эффектов вязкости с заданными параметрами (см. Раздел 5.6). Он останавливает зарождение по мере приближения к температуре стеклования. Описанное зародышеобразование представляет собой гомогенное зародышеобразование и создает непрерывный поток новых кристаллов в оставшемся расплаве или растворе. Для полимеров требуется переохлаждение около 50 К… [Pg.244]
В 1926 году Фольмер и Вебер обнаружили, что скорость зародышеобразования показывает отрицательную экспоненциальную зависимость от критического барьера свободной энергии (Volmer and Weber 1926). Беккер и Дотинг также предложили также учитывать энергию активации диффузии молекул на короткие расстояния для перехода в кристаллическую фазу (Becker and Doring 1935). Тернбулл и Фишер вывели предварительный фактор для уравнения скорости зарождения кристаллов (Тернбулл и Фишер, 1949). Скорость зарождения кристаллов полимера i при изменении критического барьера свободной энергии может быть выражена как… [Pg.211]
Для одноатомных систем частота стационарной нуклеации на единицу объема в чистой системе (гомогенная нуклеация) без учета энергии деформации (действительно для кристаллизации жидкости) определяется уравнением (Тернбулл and Fisher (1949)), … [Pg.20]
Гомогенное зародышеобразование (спорадическое) часто выражается следующим уравнением, предложенным Тернбулл и Фишером [60]. [Pg.402]
На скорость нуклеации влияют два фактора. Один из них — критический барьер свободной энергии зародышеобразования.Его экспоненциальная зависимость была впервые предложена Фольмером и Вебером (1926). Другой — это диффузионный энергетический барьер для молекул, пересекающих границы раздела жидкость-твердое тело. Его экспоненциальная зависимость была впервые предложена Беккером и Дорингом (1935). Количественное выражение префактора в кинетическом уравнении скорости нуклеации дано Тернбулл и Фишером (1949) как … [Pg.121]
Количественное выражение префактора Iq в кинетическом уравнении скорости нуклеации имеет вид данные Тернбулл и Фишер [57] как… [Стр.249]
В уравнении. (9.164) Транспортный член представлен E AG — это свободная энергия активации, необходимая для нанесения первой полосы. Явное значение AG определяется как I. Таким образом, первый экспоненциальный член в скобках представляет собой соотношение Тернбулла-Фишера для стационарной скорости нуклеации мономеров и не свернутых полимеров. Это обычное выражение для стационарной скорости нуклеации модулируется вторым членом в скобках. Этот термин присутствует из-за основного предположения, что ядра состоят из правильно свернутых цепочек.Степень модуляции зависит от разницы между I и T. Когда эта разница велика, будет значительный эффект. Однако, когда (I — T) мало, вряд ли будет какое-либо влияние, и будет применяться обычное выражение. В этих условиях в уравнении нет указаний на то, что цепи внутри ядра правильно сложены. [Pg.96]
Эконометрический анализ уравнения Фишера
Автор
Abstract
Уравнение Фишера для определения реальной процентной ставки исследуется с новой эконометрической точки зрения.Введены некоторые новые методы описания данных для нестационарных временных рядов. Эти методы предоставляют непараметрический механизм для моделирования пространственной плотности временного ряда, который отображает случайные характеристики блуждания, такие как процентные ставки и инфляция. Также построены функционалы уровня риска, дана асимптотическая теория и показаны методы в некоторых эмпирических приложениях к реальным процентным ставкам для США. Статья заканчивается расчетом гауссовских полупараметрических оценок долгосрочной зависимости реальных процентных ставок в США с использованием новой асимптотической теории, которая охватывает нестационарный случай.Эмпирические результаты показывают, что реальная процентная ставка в США (частично) нестационарна в течение 1934–1997 годов и более поздних подпериодов 1961–1985 и 1961–1997 годов. Нестационарность единичного корня и стационарность короткой памяти категорически отвергаются для всех этих периодов.
Рекомендуемое цитирование
Скачать полный текст от издателя
Другие версии этого предмета:
Ссылки, перечисленные в IDEAS
- Питер К. Б. Филлипс, 1987. « Множественная регрессия с интегрированным временным рядом », Документы для обсуждения фонда Cowles 852, Фонд Коулза для исследований в области экономики, Йельский университет.
- Карл Э. Уолш, 1987. « Три вопроса относительно номинальных и реальных процентных ставок ,» Economic Review, Федеральный резервный банк Сан-Франциско, выпуск Fall, страницы 5-19.
- Питер К. Б. Филлипс, 1999. « Дискретное преобразование Фурье дробных процессов ,» Документы для обсуждения фонда Cowles 1243, Фонд Коулза для исследований в области экономики, Йельский университет.
- Дэвид Э.В. Лайдлер, 2016. « Золотой век количественной теории ,» Книги по экономике, Издательство Принстонского университета, выпуск 1, номер 4959, октябрь.
- Гарсия, Рене и Перрон, Пьер, 1996.
« Анализ реальной процентной ставки при смене режима ,»
Обзор экономики и статистики, MIT Press, vol.78 (1), страницы 111-125, февраль.
- Гарсиа Р. и Перрон П., 1990. « Анализ реальной процентной ставки при смене режима », Статьи 353, Принстон, Департамент экономики — Программа эконометрических исследований.
- Гарсиа Р. и Перрон П., 1991. « Анализ реальной процентной ставки при смене режима », Cahiers de recherche 9125, Центр межуниверситетских исследований и количественных исследований, CIREQ.
- Гарсия, Р. и Перрон, П., 1994. « Анализ реальной процентной ставки при смене режима », Cahiers de recherche 9428, Монреальский университет, Департамент экономических наук.
- Гарсиа Р. и Перрон П., 1994. « Анализ реальной процентной ставки при смене режима », Cahiers de recherche 9428, Центр межуниверситетских исследований и количественных исследований, CIREQ.
- Рене Гарсия и Пьер Перрон, 1995 г. « Анализ реальной процентной ставки при смене режима ,» Рабочие документы CIRANO 95с-05, CIRANO.
- Гарсиа Р. и Перрон П., 1991. « Анализ реальной процентной ставки при смене режима », Cahiers de recherche 9125, Монреальский университет, Департамент экономических наук.
- Гил-Алана, Л. А. и Робинсон, П. М., 1997. « Проверка единичного корня и других нестационарных гипотез в макроэкономических временных рядах ,» Журнал эконометрики, Elsevier, т. 80 (2), страницы 241-268, октябрь.
- Фама, Юджин Ф, 1975.» Краткосрочные процентные ставки как предикторы инфляции «, Американский экономический обзор, Американская экономическая ассоциация, т. 65 (3), страницы 269-282, июнь.
- Мишкин, Фредерик С., 1992. « Реален ли эффект Фишера?: Пересмотр взаимосвязи между инфляцией и процентными ставками », Журнал монетарной экономики, Elsevier, vol. 30 (2), страницы 195-215, ноябрь.
- Лоуренс Х. Саммерс, 1982. « Не корректировка номинальных процентных ставок: исследование эффекта Фишера «, Рабочие документы NBER 0836, Национальное бюро экономических исследований, Inc.
- Питер К. Б. Филлипс и Джун Ю. Пак, 1998. « Оценка нестационарной плотности и авторегрессия ядра ,» Документы для обсуждения фонда Cowles 1181, Фонд исследований в области экономики Коулза, Йельский университет.
- Филипс, Питер, 1999. « Дискретное преобразование Фурье дробных процессов, август ,» Рабочие бумаги 149, факультет экономики Оклендского университета.
- Роза, Эндрю Кенан, 1988. « Стабильна ли реальная процентная ставка? », Журнал финансов, Американская финансовая ассоциация, т.43 (5), страницы 1095-1112, декабрь.
- Питер К. Б. Филлипс, 1988. «Спектральная регрессия для коинтегрированного временного ряда », Документы для обсуждения фонда Cowles 872, Фонд исследований в области экономики Коулза, Йельский университет.
- Алекс Мейнард и Питер К. Б. Филлипс, 2001. « Переосмысление старой эмпирической головоломки: эконометрические данные об аномалии форвардного дисконта », Журнал прикладной эконометрики, John Wiley & Sons, Ltd., вып. 16 (6), страницы 671-708.
- Питер К. Б. Филлипс и Виктор Соло, 1989. « Асимптотика линейных процессов ,» Документы для обсуждения фонда Cowles 932, Фонд Коулза для исследований в области экономики, Йельский университет.
- Филипс, Питер Си Би, 2007. « Единичный корень логарифмической регрессии периодограммы ,» Журнал эконометрики, Elsevier, т. 138 (1), страницы 104–124, май.
Исправления
Все материалы на этом сайте предоставлены соответствующими издателями и авторами.Вы можете помочь исправить ошибки и упущения. При запросе исправления укажите дескриптор этого элемента: RePEc: cwl: cwldpp: 1180 . См. Общую информацию о том, как исправить материал в RePEc.
По техническим вопросам, касающимся этого элемента, или для исправления его авторов, названия, аннотации, библиографической информации или информации для загрузки, обращайтесь: (Мэтью Реган). Общие контактные данные провайдера: http://edirc.repec.org/data/cowleus.html .
Если вы создали этот элемент и еще не зарегистрированы в RePEc, мы рекомендуем вам сделать это здесь.Это позволяет связать ваш профиль с этим элементом. Это также позволяет вам принимать возможные ссылки на этот элемент, в отношении которого мы не уверены.
Если CitEc распознал ссылку, но не связал с ней элемент в RePEc, вы можете помочь с этой формой .
Если вам известно об отсутствующих элементах, цитирующих этот элемент, вы можете помочь нам создать эти ссылки, добавив соответствующие ссылки таким же образом, как указано выше, для каждого элемента ссылки. Если вы являетесь зарегистрированным автором этого элемента, вы также можете проверить вкладку «Цитаты» в своем профиле службы авторов RePEc, поскольку там могут быть некоторые цитаты, ожидающие подтверждения.
Обратите внимание, что на фильтрацию исправлений может уйти несколько недель. различные сервисы RePEc.
Уравнение Фишера
, но Фишер предложил лучшее приближение, которое приводится ниже. Расчетное уравнение может быть получено из предложенного уравнения:1 + i = (1 + r) (1 + pi).
Вывод
Хотя временные индексы иногда опускаются, интуиция, лежащая в основе уравнения Фишера, — это связь между номинальной и реальной процентной ставкой через инфляцию, процентное изменение уровня цен между двумя периодами времени.Итак, предположим, что кто-то покупает облигацию на 1 доллар в период t, когда процентная ставка равна i_t. Если выкуплена в период t + 1, покупатель получит (1 + i_t) долларов. Но если уровень цен изменился между периодом t и t + 1, то реальная стоимость выручки от облигации, следовательно, составляет
(1 + r_ {t + 1}) = (1 + i_t) / (1 + pi_ {t + 1})
Отсюда можно рассчитать номинальную процентную ставку.
1 + i_t = (1 + r_ {t + 1}) (1 + pi_ {t + 1})
1 + i_t = 1 + r_ {t + 1} + pi_ {t + 1} + r_ { t + 1} pi_ {t + 1}
i_t = r_ {t + 1} + pi_ {t + 1} + r_ {t + 1} pi_ {t + 1}
Предполагая, что и реальные процентные ставки, и уровень инфляции довольно мал (возможно, порядка нескольких процентов, хотя это зависит от приложения) r_ {t + 1} + pi_ {t + 1} намного больше, чем r_ {t + 1} pi_ {t + 1 } и поэтому r_ {t + 1} pi_ {t + 1} может быть отброшено, что дает окончательное приближение:
i_t приблизительно r_ {t + 1} + pi_ {t + 1}.
Пример
Рыночная ставка доходности по 4,25% -ной государственной облигации Великобритании со сроком погашения 7 марта 2036 года в настоящее время составляет 3,81% годовых. Предположим, что это можно разделить на реальную ставку ровно 2% и надбавку за инфляцию в 1,775% (без премии за риск, поскольку государственные облигации считаются «безрисковыми»):
1,02 x 1,01775 = 1,0381
В этой статье подразумевается, что вы можете игнорировать третий член (0,02 x 0,01775 = 0,00035 или 0,035%) и просто назвать номинальную ставку доходности 3.775%, на том основании, что это почти то же самое, что и 3,81%.
При номинальной доходности 3,81% годовых стоимость облигации составляет 107,84 фунтов стерлингов на 100 фунтов стерлингов. При норме доходности 3,775% в год это значение составляет 108,50 фунтов стерлингов на 100 фунтов стерлингов или на 66 пенсов больше.
Средний размер фактических сделок с этой облигацией на рынке в последнем квартале 2005 года составил 10 миллионов фунтов стерлингов. Таким образом, разница в цене в 66 пенсов за 100 фунтов стерлингов означает разницу в 66 000 фунтов стерлингов за сделку.
Приложения
Уравнение Фишера имеет важное значение для торговли облигациями, индексированными на инфляцию, где изменения купонных выплат являются результатом изменений безубыточной инфляции и реальных процентных ставок.
См. Также
* Доходность
* Кривая доходности
* Процентная ставка
* Инфляция
* Гипотеза Фишера
Ссылки
* цитировать книгу | автор = Барро, Роберт Дж. | title = Макроэкономика | год = 1997 | издатель = MIT Press | id = ISBN13 978-0262024365
* цитировать книгу | автор = Фишер, Ирвинг | title = Теория интереса | год = 1930 | издатель = Компания Macmillan | id = ISBN13 978-0879918644
О решениях дробных уравнений Бюргерса-Фишера и обобщенных уравнений Фишера с использованием двух надежных методов
Представлены два надежных метода: вейвлет-метод Хаара и метод оптимальной гомотопической асимптотики (OHAM).Вейвлет-метод Хаара — это эффективный численный метод для численного решения уравнений в частных производных произвольного порядка, таких как уравнения Бюргерса-Фишера и обобщенные уравнения Фишера. Полученные таким образом приближенные решения дробного уравнения Бюргерса-Фишера и обобщенного уравнения Фишера сравниваются с методом оптимальной гомотопической асимптотики, а также с точными решениями. Сравнение полученных решений с точными показывает, что оба представленных метода эффективны и действенны при решении нелинейных задач.Полученные результаты подтверждают применимость предложенных методов для уравнений Бюргерса-Фишера дробного порядка и обобщенных уравнений Фишера.
1. Введение
Дробное исчисление — это область прикладной математики, которая имеет дело с производными и интегралами произвольного порядка. В последние несколько десятилетий дробное исчисление широко изучается из-за его широкого применения в математике, физике и технике, таких как вязкоупругость, диффузия биологической популяции, обработка сигналов, электромагнетизм, механика жидкости, электрохимия и так далее.Дробные дифференциальные уравнения широко используются при моделировании физических явлений в различных областях науки и техники. Для этого нам нужен надежный и эффективный метод решения дробно-дифференциальных уравнений.
В последнее время основы ортогональных вейвлетов становятся все более популярными для численного решения уравнений в частных производных из-за их превосходных свойств, таких как способность обнаруживать сингулярности, ортогональность, гибкость для представления функции на разных уровнях разрешения и компактная поддержка.В последние годы растет интерес к разработке численных алгоритмов на основе вейвлетов для решения уравнений с частными производными дробного порядка. Среди них вейвлет-метод Хаара является самым простым и удобным в использовании. Вейвлеты Хаара успешно применялись для решений обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений и интегродифференциальных уравнений. Поэтому основное внимание в данной статье уделяется применению техники вейвлетов Хаара для решения задачи Бюргерса-Фишера и обобщенных уравнений Фишера.Полученные результаты численной аппроксимации этого метода затем также сравниваются с методом оптимальной гомотопической асимптотики.
Рассмотрим обобщенное одномерное уравнение Бюргерса-Фишера дробного порядка: где, и — параметры и. Это уравнение имеет широкий спектр приложений в модели гидродинамики, теплопроводности, упругости и капиллярно-гравитационных волнах. Когда и, (1) сводится к уравнению типа Фишера. Производная в (1) — это производная Капуто порядка.
Обобщенное дробное по времени уравнение диффузии биологической популяции Фишера имеет вид где обозначает плотность населения, а — непрерывная нелинейная функция, удовлетворяющая следующим условиям:. Производная в (2) также является производной Капуто порядка.
Наша цель в настоящей работе — реализовать вейвлет-метод Хаара и метод оптимальной гомотопической асимптотики (OHAM), чтобы продемонстрировать возможности этих методов при обработке нелинейных уравнений произвольного порядка, чтобы их можно было применять к различным типам нелинейности. .
2. Дробная производная и интегрирование
Существует несколько подходов к определению производных дробного порядка, например, Римана-Лиувилля, Грюнвальда-Летникова и Капуто. Дробная производная Римана-Лиувилля не подходит для реальных физических задач, поскольку требует определения начальных условий дробного порядка, которые еще не имеют физически значимого объяснения. Капуто ввел альтернативное определение, которое имеет преимущество определения начальных условий целого порядка для дифференциальных уравнений дробного порядка.