Сложные проценты на примерах
Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.
ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.
Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.
Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?
Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока
Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.
Разница составляет 4102 доллара.
Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?
Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу
Школьные задачи на сложные проценты
Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)
Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?
Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение
Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению
и решаем
Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.
Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?
Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.
На основе условия задачи получим уравнение
Его упрощение приведет к решению уравнения
откуда корни приобретут значений
Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.
Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?
Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда
X+4/100%=X+0,04
начисления во второй год.
По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X
После упрощений получим квадратное уравнение вида
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.
Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?
Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали.
После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты
После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило
.
Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение
Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей
Решаем квадратное уравнение
Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.
На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.
«Правило 72» в инвестировании. Простая формула удвоения капитала :: Новости :: РБК Инвестиции
Инструмент, основанный на принципе сложного процента, поможет узнать, сколько времени потребуется на то, чтобы инвестиция выросла в два раза. Вы удивитесь, но на самом деле — не так много, как кажется
Фото: Shutterstock
Каждый мечтает удвоить или даже утроить свой капитал. Для этого люди приходят на фондовый рынок , покупают акции, облигации и другие активы. Но прежде надо поставить цель и посчитать, через сколько она будет достигнута. Для этого и было выработано «правило 72», которое позволяет приблизительно рассчитать, через сколько лет удвоится капитал при заданной ставке.
Перед тем как мы перейдем к сути правила, разберемся, что такое сложный процент. Сложный процент — это начисление процентов и на основную сумму, и на проценты за предыдущий период. Предположим, вы положили на вклад ₽100 тыс. под 10%. За первый год вы получите ₽10 тыс. На второй год проценты будут начисляться уже на ₽110 тыс. — доход получится уже ₽11 тыс., на третий — ₽12,1 тыс. (121 000*10%) и так далее. Итого за три года доход получится ₽33,1 тыс. В случае с простыми процентами доход будет равен лишь ₽30 тыс.
Рассмотрим другой пример, где вы вложили ₽100 тыс. в акцию со стабильной полугодовой дивидендной доходностью 10%. Если вы будете реинвестировать полученные дивиденды , то почувствуете магию сложного процента. Уже через три с половиной года вы почти удвоите свой капитал, а через десять лет увеличите его в 6,7 раза. Для сравнения — без реинвестирования капитал за десять лет лишь утроится. В этом и заключается сила сложного процента.
На рынке дивидендов межсезонье. Но в России есть пара звездных акцийЭтот математический принцип позволяет быстро посчитать приблизительное количество лет, которое потребуется для удвоения капитала при инвестировании под фиксированную ставку сложных процентов. Для этого нужно найти отношение 72 к процентной ставке. К примеру, вы удвоите свой капитал за четыре года, если вложите средства под 18% годовых (72 / 18 = 4).
Обратите внимание, что делить нужно именно на 18, а не на 0,18.
Первое упоминание о «правиле 72» приписывают Луке Пачоли, известному итальянскому математику. Он описал эту закономерность в своей книге 1494 года «Сумма арифметики, геометрии, пропорции и пропорциональности», не указав, как именно было выведено число 72.
На самом деле такое соотношение, которое показывает необходимое количество лет для удвоения капитала при фиксированной ставке, можно легко вывести из формулы сложных процентов. Однако если рассчитывать, то получится не 72, а 69,3. Но математики стали использовать 72, так как оно близко по значению к 69,3, а главное — имеет больше делителей (2, 3, 4, 6, 12 и так далее), что дает простоту в расчетах.
Стратегия «60/40» разочаровала фонды. Из-за низкой доходности облигацийТакже это правило работает, если вы хотите посчитать, под сколько процентов надо инвестировать средства, чтобы удвоить капитал через n лет. Например, если вы хотите удвоить капитал через шесть лет, то вам нужно проинвестировать деньги под 12% годовых (72 / 6 = 12). Формула остается прежней, но теперь в знаменателе будет количество лет.
Помимо «правила 72», есть еще и «правило 115» — оно предназначено для определения приблизительного количества лет для того, чтобы утроить свой капитал. Если же высчитывать количество лет для увеличения вложенной суммы в четыре раза, то используется «правило 144». Суть одна и та же, но в числителе необходимо брать 115 или 144 соответственно. Важное примечание: все правила работают исключительно при начислении сложных процентов.
Следует помнить, что все расчеты приблизительны и для точности все же необходимо воспользоваться формулой. Но описанное правило позволит легко прикинуть нужное количество лет.
Естественно, что на фондовом рынке нет никаких гарантий доходности, тем более стабильной (кроме облигаций). Но если использовать среднюю доходность какого-либо индекса за определенный период, то можно оценить будущую выгоду.
Например, среднегодовая доходность с 1993 года ETF -фонда SPDR S&P 500 Trust ( тикер SPY), который наиболее точно повторяет динамику индекса S&P 500, составляет 10,48%. Тогда мы можем посчитать, за сколько лет удвоится наш капитал при инвестировании в этот ETF-фонд. При делении 72 на 10,48 получим, что нам понадобится около семи лет для удвоения капитала при инвестировании в S&P 500.
«Всегда покупайте S&P 500». Главный совет от топ-инвесторов США Анализ событий, «распаковка» компаний, портфели топ-фондов — в нашем YouTube-канале Биржевой фонд, вкладывающий средства участников в акции по определенному принципу: например, в индекс, отрасль или регион. Помимо акций в состав фонда могут входить и другие инструменты: бонды, товары и пр. Краткое обозначение акций компании, валюты или товара на бирже. Чаще всего состоит из букв, использованных в названии компании. Реже — из цифр (на азиатских биржах). В тикерах облигаций указаны базовые характеристики ценной бумаги — обычно цифрами. Тикеры валют состоят из трех букв. Первые две обозначают страну, а третья — первая буква в названии валюты (например, RUR — это российский рубль, а USD — доллар США). Долговая ценная бумага, владелец которой имеет право получить от выпустившего облигацию лица, ее номинальную стоимость в оговоренный срок. Помимо этого облигация предполагает право владельца получать процент от ее номинальной стоимости либо иные имущественные права. Облигации являются эквивалентом займа и по своему принципу схожи с процессом кредитования. Выпускать облигации могут как государства, так и частные компании. Дивиденды — это часть прибыли или свободного денежного потока (FCF), которую компания выплачивает акционерам. Сумма выплат зависит от дивидендной политики. Там же прописана их периодичность — раз в год, каждое полугодие или квартал. Есть компании, которые не платят дивиденды, а направляют прибыль на развитие бизнеса или просто не имеют возможности из-за слабых результатов. Акции дивидендных компаний чаще всего интересны инвесторам, которые хотят добиться финансовой независимости или обеспечить себе достойный уровень жизни на пенсии. При помощи дивидендов они создают себе источник пассивного дохода. Подробнее Фондовый рынок — это место, где происходит торговля акциями, облигациями, валютами и прочими активами. Понятие рынка затрагивает не только функцию передачи ценных бумаг, но и другие операции с ними, такие, как выпуск и налогообложение. Кроме того, он позволяет устанавливать справедливое ценообразование. ПодробнееГеворг Шахназарян
Формула расчета сложных процентов
Сегодня все чаще люди задумываются о своем финансовом благополучии
Такое возможно лишь при осуществлении долгосрочных вложений, которые позволят в течение некоторого запланированного времени превратить небольшой стартовый капитал в нужную сумму посредством применения сложных процентов.
В современных условиях развития экономики сложный процент считается определяющим фактором, дающим инвестору возможность заработать собственный капитал и с легкостью приумножить его. В чем же сложность сложного процента и почему он настолько важен при создании капитала?
Предположим, вы решили вложить деньги в банк или какую-то другую инвестиционную организацию денежную сумму. На этот стартовый капитал по итогам заранее оговоренного периода происходит начисление процентов. В результате размер вашего первоначального капитала увеличивается на сумму начисленных процентов. А это означает, что увеличилась сумма ваших будущих доходов.
Последующий процент за следующий период будет начислен уже не на сумму стартового капитала, который вы вложили в бизнес, а с учетом суммы процентов, прибавленной в прошлом периоде. Работает схема “процент начислен на процент” или, так называемый, сложный процент.
Рассмотрим расчет сложных процентов на конкретном примере. Так, для правильного расчета прибыли выполним ряд элементарных арифметических действий, в основе которых лежат формулы, приведенные ниже.
Сложный процент: Формула 1
Итак, вы приняли решение положить на счет в банке, к примеру, тысячу американских долларов под 15% годовых, с таким расчетом, что через 10 лет ваши дети смогут воспользоваться накопленными сбережениями, которые за это время существенно вырастут в результате капитализации.
Для расчета итоговой суммы применяется особая методика расчета сложного процента, которая подразумевает, что изначальный вклад и начисленная вам прибыль ежегодно складываются, образуя базис для последующего роста прибыли.
Для определения итоговой суммарной прибыли за весь период действия вклада (Σ) используют простую формулу:
Σ=В*(1 + Х/100)Г, где
В – первоначальный вклад,
Г – период оборота капитала, исчисляемый в годах,
Х% – годовая ставка в процентном соотношении.
Подставив конкретные значения в эту формулу, можно рассчитать, что по истечении 5 лет сумма увеличится до 2011,36 долларов, через 10 лет она составит уже 4045,56. Разве это не заманчиво?
Сложный процент: Формула 2
Можно использовать еще один метод начисления и прибавления ставки процента, являющийся наиболее выгодным и удобным для клиента: благодаря учету поквартальных или ежемесячных прибавлений ставки процента, которые в последующем периоде приобретают свойства непосредственно вклада. Такой расчет вклада с применением специальных банковских формул убеждает в том, что целесообразнее руководствоваться им, нежели в первом примере, когда к вкладу прибавляется лишь сумма годовых процентов.
Можно немного усовершенствовать схему расчета месячных выплат, прибавленных к базовой сумме вклада. В этих целях рассчитывают месячную процентную ставку (в случае, если проценты выплачиваются соответственно каждые 30 – 31 календарных дней). Итоговая суммарная прибыль (Σ) рассчитывается по следующей формуле:
Σ=В*(1+Х/100/12)М, где В – это сумма вклада (с суммированием следующих начислений ежемесячной ставки процента),
М – временной отрезок действия вклада в месяцах.
Для чего дополнительно делить процентный показатель на 12? Ответ прост – год включает 12 месяцев, а нам нужно произвести расчет ежемесячной ставки, поскольку в условиях задачи ставка дана годовая. Так, к примеру, если бы возникла необходимость использования такой формулы для расчета поквартальных начислений по вкладу, то следовало бы делить годовой процент на 4, по полугодиям – на 2.
Итак, согласно поставленным условиям, если бы в январе был сделан вклад в 1000 долларов с под 15% годовых, то уже к ноябрю мы бы получили около 1132 долларов.
Используя такую методику, как сложный процент, вы самостоятельно можете определиться с суммой стартового капитала и периодом времени, за который сможете значительно обогатиться. В любом случае, заставьте деньги работать на вас, поскольку от этого зависит исполнение ваших желаний.
P.S. Рекомендую также ознакомиться со статьей “Как рассчитать процентную ставку по вкладу”, чтобы лучше понимать методику расчёта и начисления банковских процентов.
Что означает ежедневное начисление процентов?
В финансовой терминологии «накапливается» означает то же, что и «накапливается». Проценты считаются начисленными, когда они добавляются к остатку на счете, который начисляется по ссудам, таким как ипотека, сберегательным счетам, студенческим ссудам и другим инвестициям.
Проценты могут начисляться в любое время; общие периоды включают ежедневные, ежемесячные и ежегодные. Например, ежедневное начисление означает, что суммы процентов добавляются к остатку на счете каждый день.В некоторых современных вычислениях проценты непрерывно накапливаются на основе математических формул, которые срезают время все более и более точно по мере того, как время приближается к нулю.
Ключевые выводы
- Обычными источниками ежедневного начисления процентов являются кредитные карты и маржинальные ссуды от инвестиционных брокеров.
- Потребителю гораздо выгоднее приобретать ссуды, которые накапливаются ежемесячно или ежегодно. Они более предсказуемы, а также имеют психологическую выгоду.
- В целом, должникам лучше с менее частыми периодами начисления и начисления сложных процентов, в то время как вкладчикам лучше с более частыми периодами.
Пример ежедневного начисления
Рассмотрим ипотечную ссуду на сумму 100 000 долларов с ежедневным начислением 15% годовых. Предполагая, что в контракте 365 дней в году (некоторые из них 360), дневную процентную ставку можно найти, разделив 15 на 365. Этот расчет дает дневную процентную ставку 0,0410958%.
Начисленные проценты в первый день ипотеки равны 100 000 долларов США x 0,0410958% или 41,0958 долларов США. Остаток на счете на второй день после округления составляет 100 041,10 доллара США. После второго дня начисление процентов зависит от периода начисления сложных процентов.
Ежедневное начисление процентов дает самую высокую общую сумму процентов по сравнению с другими частотами.
Есть несколько типов кредиторов, которые практически повсеместно используют ежедневное начисление. Наиболее очевидным примером этого являются компании, выпускающие кредитные карты, которые научились использовать свои зачастую непомерные годовые процентные ставки для получения максимальной прибыли для своей компании.
Другой пример — когда инвестор берет маржинальную ссуду у своего брокера. Поскольку маржинальные ссуды обычно используются для инвестиций в течение короткого периода времени, брокерская компания должна ежедневно начислять проценты, чтобы получить прибыль от своей ссуды.
Сложные проценты
Периоды начисления и начисления сложных процентов часто бывают разными. Компаундирование изменяет баланс счета, с которого производятся начисления. Если проценты складываются ежемесячно, то каждый месяц имеет «сложную дату», когда прошлые начисленные проценты суммируются и становятся новым базовым сальдо.
Возьмем предыдущий пример ипотеки на сумму 100 000 долларов. При ежемесячном начислении сложных процентов сумма ежедневного начисления, 41,0958 долларов США, одинакова для каждого дня первого месяца.В сложную дату все начисленные к этому моменту проценты добавляются к новой базовой сумме. Каждый день второго месяца используется новый составной остаток по кредиту.
Эйнштейн сказал о сложных процентах: «Тот, кто понимает это, зарабатывает; тот, кто не понимает, платит». Инвесторам жизненно важно понимать, что долги противоположны инвестициям, и часто лучше погашать долги — особенно тот тип, который ежедневно накапливается, — чем преследовать новые инвестиционные возможности.Это не так крикливо, но зачастую это лучший ход для вашей финансовой свободы.
Как рассчитать сложные проценты в Excel?
Сложные проценты — это проценты, которые рассчитываются как на первоначальную основную сумму депозита или ссуды, так и на все ранее накопленные проценты.
Например, предположим, что у вас есть депозит в размере 100 долларов, на который начисляется 10% -ная сложная процентная ставка. 100 долларов превращаются в 110 долларов после первого года, а затем до 121 доллара после второго года. Ежегодно база увеличивается на 10%.Причина, по которой прибыль за второй год составляет 11 долларов вместо 10 долларов, является результатом применения той же ставки (10% в этом примере) к более крупной базе (110 долларов по сравнению со 100 долларами, нашей отправной точкой).
Или, скажем, 100 долларов — это основная сумма кредита, а сложная процентная ставка составляет 10%. Через год у вас будет 100 долларов в качестве основной суммы долга и 10 долларов по процентам, а общая база составит 110 долларов. Во второй год процентная ставка (10%) применяется к основной сумме долга (100 долларов США, что дает 10 долларов США процентов) и накопленным процентам (10 долларов США, что дает 1 доллар США процентов), в результате чего общая сумма процентов, полученных в этом году, составляет 11 долларов США. и 21 доллар за оба года.
Это похоже на совокупный годовой темп роста (CAGR). Для CAGR вы вычисляете ставку, которая связывает доходность за несколько периодов. Для сложных процентов вы, скорее всего, уже знаете ставку; вы просто рассчитываете, какой может быть будущая стоимость дохода.
СМОТРЕТЬ: Что такое сложный процент?
Для формулы для сложных процентов просто алгебраически измените формулу для CAGR. Вам нужна начальная стоимость, процентная ставка и количество периодов в годах.{(\ text {years} \ \ times \ \ text {NCPPY)} \ = \ \ text {Future Value}} \\ & \ textbf {где:} \\ & NCPPY = \ text {количество периодов начисления сложных процентов в год} \ end {выровнен} Начальная стоимость × (1+ (процентная ставка NCPPY)) (лет × NCPPY) = Будущая стоимость
Эта формула выглядит более сложной, чем она есть на самом деле, из-за необходимости выражать ее в годовом исчислении. Имейте в виду, что если это годовая ставка, то количество периодов начисления сложных процентов в год равно единице, что означает, что вы делите процентную ставку на единицу и умножаете годы на единицу.Если начисление сложных процентов происходит ежеквартально, вы должны разделить ставку на четыре и умножить годы на четыре.
Расчет сложных процентов в Excel
Лучшие практики финансового моделирования требуют, чтобы расчеты были прозрачными и легко поддающимися проверке. Проблема с объединением всех вычислений в формулу заключается в том, что вы не можете легко увидеть, какие числа идут куда или какие числа вводятся пользователем или жестко запрограммированы.
Есть два способа настроить это в Excel. Самый простой для аудита и понимания — это собрать все данные в одной таблице, а затем разбить вычисления построчно.И наоборот, вы можете рассчитать все уравнение в одной ячейке, чтобы получить только окончательное значение. Оба подробно описаны ниже:
Руководство по формуле сложных процентов
Если вы ищете финансовые продукты с наиболее привлекательными процентными ставками, формула сложных процентов является важным уравнением, которое необходимо знать. Продолжайте читать, чтобы узнать больше об этой формуле и ее применении.
Что такое сложные проценты?
Сложные проценты — это дополнительные проценты, полученные по существующим процентным ставкам на вашем счете — проценты на проценты.Напротив, простые проценты относятся к процентам на основные средства, внесенные на ваш счет. Добавляя этот дополнительный слой интереса, сложное образование позволяет ускорить рост, чем вы могли бы увидеть с простым процентом. Вы получаете не только проценты по своей основной сумме, но также и по начисленным процентам от основной суммы.
Как рассчитать сложные проценты
Чтобы рассчитать ставку, по которой будут начисляться ваши сложные проценты, вам необходимо учесть несколько компонентов. Это включает частоту начисления сложных процентов, процентную ставку и начальную сумму депонированных денег (основную сумму).Чем больше периодов начисления сложных процентов у вас будет, тем выше будут ваши сложные проценты.
Формула сложных процентов работает путем умножения вашей первоначальной основной суммы долга на единицу плюс годовая процентная ставка, увеличенная до количества сложных периодов. (nt)
A = окончательная сумма
P = основной баланс
R = проценты ставка (в десятичном формате)
N = количество раз, когда проценты будут применяться за период времени
T = количество истекших периодов времени
В качестве примера представьте, что вы внесли основную сумму в размере 10000 долларов США с годовой процентной ставкой 5%, которая будет начисляться ежемесячно в течение пяти лет.(12×5) = 12 833,59 долл. США
Вы заработаете 2 833,59 долл. США сверх вашей первоначальной суммы инвестиций за счет сложных процентов.
Если бы вы проследили формулу сложных процентов в графической форме, вы бы увидели значительную разницу между сложными и простыми процентами. В то время как простые проценты будут показывать, что со временем накапливается одна и та же сумма процентов, сложные проценты начинают расти экспоненциально.
Может быть сложно вычислить уравнение сложных процентов вручную, но, к счастью, существует множество онлайн-калькуляторов, которые позаботятся о математической части за вас.Другой вариант — использовать Excel для расчета сложных процентов.
Важность частоты начисления сложных процентов
Количество периодов начисления сложных процентов имеет большое значение для вашей итоговой суммы. Проценты могут начисляться в соответствии с любым графиком периодичности, будь то ежедневно, еженедельно, ежемесячно или ежегодно. Для типичного сберегательного счета обычно используется ежедневный график, в то время как для бизнес-кредитов и счетов кредитных карт часто используется ежемесячный график.
В долгосрочной перспективе сложные проценты могут значительно повысить доходность ваших инвестиций.Ищите более частый график начисления сложных процентов, чтобы максимизировать прибыль. С другой стороны, если вы занимаете деньги, вам следует выбрать финансовый продукт с менее частыми графиками начисления сложных процентов.
Непрерывное начисление сложных процентов, как следует из названия, добавляет проценты к основной сумме долга на постоянной основе. На самом деле, постоянный рост интереса — это не что иное, как ежедневная частота. Однако это может быть полезно, если вы хотите заработать деньги за один день.
Чистая прибыль
Сложные проценты наиболее выгодны для инвесторов, которые могут получить более высокую доходность по банковским счетам и облигациям.Независимо от того, начисляются ли ваши проценты постоянно или ежегодно, знание тонкостей формулы сложных процентов может помочь вам лучше понять, как растет ваша основная сумма.
Мы можем помочь
GoCardless поможет вам автоматизировать сбор платежей, сократив количество администраторов, с которыми ваша команда должна иметь дело при поиске счетов. Узнайте, как GoCardless может помочь вам со специальными или регулярными платежами.
GoCardless используется более чем 60 000 компаний по всему миру.Узнайте больше о том, как вы можете улучшить обработку платежей в своем бизнесе уже сегодня.
Узнать больше Зарегистрироваться
Как рассчитать сложные проценты за внутригодовой период в Excel
Сводка
Будущая стоимость суммы в долларах, обычно называемая составной стоимостью, включает применение сложных процентов к сумме текущей стоимости. Результат — будущая сумма в долларах. Три типа компаундирования
годовое, внутригодовое и аннуитетное начисление сложных процентов.В этой статье обсуждаются внутригодовые расчеты сложных процентов.
Дополнительную информацию о годовых начислениях см. В следующей статье:
Функция БС
Расчет будущей стоимости сложных внутригодовых процентов
Сложные проценты в течение года — это проценты, которые начисляются чаще, чем один раз в год. Финансовые учреждения могут рассчитывать проценты на основе полугодовых, квартальных, ежемесячных, еженедельных или даже ежедневных периодов времени.
Microsoft Excel включает функцию EFFECT в надстройке Analysis ToolPak для версий старше 2003. Analysis ToolPak уже загружен. Функция ЭФФЕКТ возвращает сложную процентную ставку, основанную на годовой процентной ставке и количестве периодов начисления сложных процентов в год. (m * n)
, где верно следующее:
P = начальная основная сумма
k = годовая процентная ставка
m = количество раз за период (обычно месяцы) начисление процентов
n = количество периодов (обычно лет) или срок кредита
Примеры
В примерах в этом разделе используется функция ЭФФЕКТ, общее уравнение и следующие образцы данных:
Внутригодовая ставка начисления процентов | Количество периодов начисления сложных процентов в год |
|---|---|
Полугодовой | 2 |
Ежеквартально | 4 |
Ежемесячно | 12 |
Еженедельно | 52 |
Ежедневно | 360 или 365 (фактическое) |
Вложение в размере 100 долларов окупается 8.00 процентов начисляется каждые полгода. Если деньги оставить на счету на три года, сколько будут стоить 100 долларов?
Используйте функцию рабочего листа EFFECT
Из-за полугодового начисления сложных процентов необходимо дважды повторить функцию ЭФФЕКТ для расчета полугодовых периодов начисления сложных процентов. В следующем примере результат вложенной функции умножается на 3, чтобы распределить (пересчитать в год) сложную ставку на срок инвестиции:
= 100 + (100 * ЭФФЕКТ (ЭФФЕКТ (.(2 * 3)
Пример возвращает 126,53 доллара США.
Расчет процентных ставок для внутригодового расчета
Вы можете найти сложную процентную ставку с учетом годовой процентной ставки и суммы в долларах.
В функции рабочего листа ЭФФЕКТ используется следующая формула:
= ЭФФЕКТ (ЭФФЕКТ (k, m) * n, n)
Чтобы использовать общее уравнение для возврата комплексной процентной ставки, используйте следующее уравнение:
= (1+ (к / м)) ^ (м * п) -1
Примеры
Используйте функцию рабочего листа EFFECT
Инвестиция в размере 100 долларов окупается 7.50 процентов начисляются ежеквартально. Деньги остаются на счету, например, на два года. Следующая формула возвращает сложную процентную ставку:
= ЭФФЕКТ (ЭФФЕКТ (.075,4) * 2,2)
Пример возвращает 16,022 процента.
Используйте общее уравнение
Следующее уравнение возвращает процентную ставку:
= (1+ (.(4 * 2) -1
Список литературы
Для получения дополнительных сведений о сложных процентах щелкните Справка Microsoft Excel в меню Справка , введите эффект в помощнике Office или мастере ответов, а затем щелкните Поиск , чтобы просмотреть тему.
Используйте формулы сложных процентов | МАТЕМАТИКА 1314: Колледжская алгебра
Сберегательные инструменты, в которые постоянно реинвестируется прибыль, например паевые инвестиционные фонды и пенсионные счета, используют сложных процентов .Термин , складывающийся из , относится к процентам, полученным не только от первоначальной стоимости, но и от накопленной стоимости счета.
Годовая процентная ставка (APR) счета, также называемая номинальной ставкой , представляет собой годовую процентную ставку, получаемую по инвестиционному счету. Термин номинальный используется, когда начисление сложных процентов происходит несколько раз, кроме одного раза в год. Фактически, когда проценты начисляются более одного раза в год, эффективная процентная ставка оказывается на больше, чем на номинальная ставка! Это мощный инструмент для инвестирования.{nt} \\ [/ latex]
Например, обратите внимание на таблицу ниже, в которой показан результат инвестирования 1000 долларов США под 10% в течение одного года. Обратите внимание, как стоимость счета увеличивается с увеличением частоты начисления сложных процентов.
| Частота | Значение через 1 год |
|---|---|
| Ежегодно | $ 1100 |
| За полгода | $ 1102,50 |
| Ежеквартально | $ 1103,81 |
| Ежемесячно | 1104 доллара.{nt} \\ [/ latex] где
Пример 7: Расчет сложных процентовЕсли мы инвестируем 3000 долларов на инвестиционный счет с ежеквартальной выплатой 3% годовых, сколько будет стоить этот счет через 10 лет? РешениеПоскольку мы начинаем с 3000 долларов, P = 3000.{4 \ cdot 10} \ hfill & \ text {Заменить с использованием заданных значений}. \\ \ text {} \ hfill & \ приблизительно 4045,05 \ hfill & \ text {Округлить до двух десятичных знаков}. \ end {case} \\ [/ latex] Через 10 лет счет будет стоить около 4 045,05 доллара. Попробуй 7Первоначальные инвестиции в размере 100 000 долларов США под 12% годовых начисляются еженедельно (используйте 52 недели в году). Сколько будет стоить вложение через 30 лет? Решение Пример 8: Использование формулы сложного процента для определения основной суммыПланA 529 — это план сбережений в колледже, который позволяет родственникам вкладывать деньги в оплату будущего обучения ребенка в колледже; счет растет без налогов.Лили хочет открыть счет 529 для своей новой внучки и хочет, чтобы счет вырос до 40 000 долларов за 18 лет. Она считает, что на счету будет 6% начисленных процентов каждые полгода (два раза в год). С точностью до доллара, сколько теперь Лили нужно будет вложить на счет? РешениеНоминальная процентная ставка составляет 6%, поэтому r = 0,06. Проценты начисляются дважды в год, поэтому тыс. = 2. Мы хотим найти начальные инвестиции, P , необходимые для того, чтобы через 18 лет стоимость счета составила 40 000 долларов.{36}} \ hfill & = P \ hfill & \ text {Изолировать} P. \ hfill \\ P \ hfill & \ приблизительно 13 801 \ hfill & \ text {Разделить и округлить до ближайшего доллара}. \ Hfill \ end { футляры} \\ [/ latex] Лили нужно будет вложить 13 801 доллар, чтобы получить 40 000 долларов через 18 лет. Попробуй 8См. Пример 8. Сколько (с точностью до доллара) потребуется Лили, если счет будет пополняться ежеквартально? Решение Калькулятор сложных процентов [с формулой]Этот калькулятор сложных процентов — инструмент, который поможет вам оценить, сколько денег вы заработаете на своем депозите.Чтобы принимать разумные финансовые решения, нужно уметь предвидеть конечный результат. Вот почему стоит знать, как рассчитывать сложные проценты. Наиболее распространенное применение формулы сложных процентов в реальной жизни — это регулярный расчет сбережений. Прочтите, чтобы найти ответы на следующие вопросы:
Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором студенческой ссуды, где вы можете сделать прогноз своих расходов и изучить влияние различных вариантов студенческой ссуды на ваш бюджет. Определение процентной ставкиВ финансах процентная ставка определяется как сумма , взимаемая кредитором с заемщика за использование актива . Итак, для заемщика процентная ставка — это стоимость долга, а для кредитора — это норма прибыли. Обратите внимание, что в случае, когда вы делаете вклад в банк (например, кладете деньги на свой сберегательный счет), с финансовой точки зрения вы ссужаете деньги банку. В таком случае процентная ставка отражает вашу прибыль. Процентная ставка обычно выражается в процентах от основной суммы (непогашенной ссуды или суммы депозита). Обычно он представляется на годовой основе, которая известна как годовая процентная доходность (APY) или эффективная годовая ставка (EAR). Что такое определение сложных процентов?Как правило, сложные проценты определяются как проценты , которые начисляются не только на первоначальную вложенную сумму, но и на любые последующие проценты . Другими словами, сложные проценты — это проценты как на первоначальную основную сумму , так и на процентов, которые были накоплены по этому принципу до сих пор.Эта концепция добавления балансовой стоимости ускоряет рост депозита или ссуды. Вы можете использовать уравнение сложных процентов, чтобы найти стоимость инвестиции через определенный период времени или оценить ставку, которую вы заработали при покупке и продаже некоторых инвестиций. Это также позволяет вам ответить на некоторые другие вопросы, например, сколько времени потребуется, чтобы удвоить ваши инвестиции. Мы ответим на эти вопросы в приведенных ниже примерах. Простые и сложные процентыВы должны знать, что простой процент отличается от сложного процента .Он рассчитывается только на первоначальную сумму денег. С другой стороны, сложные проценты — это проценты на первоначальную основную сумму плюс накопленные проценты. Частота смешиванияБольшинство финансовых консультантов скажут вам, что сложная частота — это периоды начисления сложных процентов в году. Но если вы не уверены, что такое начисление сложных процентов, это определение будет для вас бессмысленным… Чтобы понять этот термин, вы должны знать, что частота начисления сложных процентов является ответом на вопрос Как часто ежегодно добавляются проценты к основной сумме долга? Другими словами, частота начисления процентов — это период времени, по истечении которого проценты будут начисляться сверх начальной суммы . Например:
Обратите внимание, что чем выше частота начисления сложных процентов, тем больше окончательный баланс. Однако, даже если частота необычно высока, окончательное значение не может подняться выше определенного предела.Чтобы понять математику, стоящую за этим, воспользуйтесь нашим калькулятором натурального логарифма. Поскольку основное внимание в калькуляторе уделяется механизму начисления сложных процентов, мы разработали диаграмму, на которой вы можете визуально следить за ходом годового процентного баланса. Если вы выберете более высокую частоту начисления сложных процентов, чем годовая, на диаграмме отобразятся итоговые дополнительные или дополнительной части процентов, полученные за годовое начисление сложных процентов с более высокой частотой . Таким образом, вы можете легко увидеть реальную силу сложного умножения.mt Где:
Стоит знать, что когда период начисления сложных процентов равен единице ( Как рассчитать сложные процентыНа самом деле вам не нужно запоминать формулу сложных процентов из предыдущего раздела, чтобы оценить будущую стоимость ваших инвестиций. Фактически, вам даже не нужно знать, как рассчитывать сложные проценты! Благодаря нашему калькулятору сложных процентов вы можете сделать это всего за несколько секунд, когда и где захотите. (NB: Вы уже пробовали мобильную версию наших калькуляторов?) С помощью нашего интеллектуального калькулятора все, что вам нужно для расчета будущей стоимости ваших инвестиций, — это заполнить соответствующие поля:
Вот и все! Наш калькулятор сложных процентов мгновенно выполнит все необходимые вычисления и предоставит вам результаты. Два основных результата:
Если вы задали поле дополнительного депозита, мы предоставили вам результаты для составного начального баланса и сложного дополнительного баланса . Кроме того, мы также показываем вам их вклад в общую сумму процентов, а именно процентов на начальный остаток и процентов на дополнительный депозит . Примеры сложных процентов
Следующие примеры помогут вам ответить на эти вопросы.Мы уверены, что после их изучения у вас не возникнет проблем с пониманием и практической реализацией сложных процентов. Пример 1 — базовый расчет стоимости инвестицииПервый пример — самый простой, в котором мы вычисляем будущую стоимость первоначальных инвестиций. Вопрос Вы инвестируете 10 000 долларов США на 10 лет под 5% годовых. Процентная ставка начисляется ежегодно. Какова будет стоимость ваших инвестиций через 10 лет? Решение Во-первых, давайте определим, какие значения даны и что нам нужно найти.Мы знаем, что вы собираетесь инвестировать Мы хотим рассчитать сумму денег, которую вы получите от этой инвестиции, то есть мы хотим найти будущую стоимость Ответ Стоимость ваших инвестиций через 10 лет составит 16 288,95 долларов США. Ваша прибыль составит Обратите внимание, что при выполнении вычислений вы должны быть очень осторожны с округлением. Не стоит делать слишком много до самого конца. В противном случае ваш ответ может быть неверным. Точность зависит от вычисляемых значений.Для стандартных расчетов должно быть достаточно шести цифр после десятичной точки. Пример 2 — комплексный расчет стоимости инвестицииВо втором примере мы вычисляем будущую стоимость первоначальной инвестиции, по которой ежемесячно начисляются проценты. Вопрос Вы инвестируете 10 000 долларов США под 5% годовых. Процентная ставка начисляется ежемесячно. Какова будет стоимость ваших инвестиций через 10 лет? Решение Как и в первом примере, мы должны сначала определить значения.120 = 10 000 * 1,647009 = 16 470,09 Ответ Стоимость ваших инвестиций через 10 лет составит 16 470,09 долларов США. Ваша прибыль составит Вы заметили, что этот пример очень похож на первый? Собственно, разница только в частоте начисления сложных процентов. Обратите внимание, что только благодаря более частому начислению сложных процентов на этот раз вы заработаете на 181,14 доллара больше за тот же период! ( Пример 3 — Расчет процентной ставки инвестиции с использованием формулы сложных процентовТеперь давайте попробуем вопрос другого типа, на который можно ответить, используя формулу сложных процентов. На этот раз потребуются некоторые базовые преобразования алгебры. В этом примере мы рассмотрим ситуацию, в которой мы знаем начальный баланс, окончательный баланс, количество лет и частоту начисления сложных процентов, но нас просят рассчитать процентную ставку.Этот тип расчета может применяться в ситуации, когда вы хотите определить ставку, полученную при покупке и продаже актива (например, собственности), который вы используете в качестве инвестиции. Данные и вопрос Вы купили оригинальную картину за 2000 долларов. Шесть лет спустя вы продали эту картину за 3000 долларов. Если предположить, что картина рассматривается как инвестиция, какой годовой доход вы получали? Решение Во-первых, давайте определимся с данными значениями.0,166667 — 1 = 1,069913 — 1 = 0,069913 = 6,9913% Ответ В этом примере вы заработали 1000 долларов из первоначальных инвестиций в размере 2000 долларов в течение шести лет, что означает, что ваша годовая ставка была равна 6,9913%. Как видите, на этот раз формула не очень проста и требует большого количества вычислений. Вот почему стоит протестировать наш калькулятор сложных процентов, который мгновенно решает те же уравнения, экономя ваше время и усилия. Пример 4 — Расчет времени удвоения инвестиции с использованием формулы сложных процентовВы когда-нибудь задумывались, сколько лет потребуется, чтобы ваши инвестиции удвоили их стоимость? Помимо других возможностей, наш калькулятор может помочь вам ответить на этот вопрос.Чтобы понять, как это происходит, давайте взглянем на следующий пример. Данные и вопрос Вы положили 1000 долларов на свой сберегательный счет. Предполагается, что процентная ставка равна 4% и начисляется ежегодно. Найдите количество лет, по истечении которого первоначальный баланс удвоится. Решение Приведены следующие значения: начальное сальдо Чтобы найти t, вам нужно взять натуральное логарифм (ln) с обеих сторон: Так Ответ В нашем примере требуется 18 лет (18 — ближайшее целое число, которое больше 17,67), чтобы удвоить первоначальные инвестиции. Вы заметили, что в приведенном выше решении нам даже не нужно было знать начальный и конечный сальдо инвестиций? Это благодаря упрощению, которое мы сделали на третьем шаге ( Разделите обе стороны на P ).Однако при использовании нашего калькулятора сложных процентных ставок вам необходимо будет указать эту информацию в соответствующих полях. Не волнуйтесь, если вы просто хотите узнать время, в течение которого данная процентная ставка удвоит ваши инвестиции, просто введите любые числа (например, Также стоит знать, что точно такие же вычисления могут быть использованы для вычисления, когда инвестиции утроятся (или фактически умножатся на любое число). Все, что вам нужно сделать, это просто использовать другое кратное P на втором шаге приведенного выше примера.Вы также можете сделать это с помощью нашего калькулятора. Таблица сложных процентовТаблицы сложных процентов использовались каждый день, до эры калькуляторов, персональных компьютеров, электронных таблиц и невероятных решений, предоставляемых Omni Calculator 😂. Таблицы были разработаны, чтобы упростить и ускорить финансовые расчеты (да, действительно…). Они включены во многие старые учебники по финансам в качестве приложений. Ниже вы можете увидеть, как выглядит таблица сложных процентов. Используя данные, представленные в таблице сложных процентов, вы можете рассчитать окончательный баланс ваших инвестиций.t для соответствующей процентной ставки (первая строка) и t (первый столбец). Итак, чтобы рассчитать окончательный баланс инвестиций, вам необходимо умножить начальный баланс на соответствующее значение из таблицы. Обратите внимание, что значения из столбца Коэффициент текущей стоимости используются для вычисления текущей стоимости инвестиций, когда вы знаете их будущую стоимость. Очевидно, это только базовый пример таблицы сложных процентов. Фактически, они обычно намного больше, поскольку содержат больше периодов Вам понравился наш инструмент с новыми знаниями о том, как выглядел мир финансовых расчетов до Omni Calculator? Почему бы не поделиться им с друзьями? Сообщите им об Omni! Если вы хотите быть финансово грамотным, вы также можете попробовать другие наши финансовые калькуляторы. Дополнительная информацияТеперь, когда вы знаете, как рассчитывать сложные проценты, пора вам найти другие приложения, которые помогут вам получить максимальную прибыль от ваших инвестиций: Чтобы сравнить предложения банков с разными периодами начисления сложных процентов, нам необходимо рассчитать годовой процентный доход, также называемый эффективной годовой ставкой (EAR).Это значение говорит нам, какую прибыль мы получим в течение года. Самый удобный способ выяснить это — использовать калькулятор APY, который рассчитывает EAR по процентной ставке и частоте начисления сложных процентов. Если вы хотите узнать, сколько времени потребуется, чтобы что-то увеличилось на n%, вы можете использовать наш калькулятор с правилом 72. Этот инструмент позволяет вам проверить, сколько времени вам нужно, чтобы удвоить ваши инвестиции, даже быстрее, чем калькулятор сложных процентных ставок. Вас также может заинтересовать калькулятор выплат по кредитной карте, который позволяет оценить, сколько времени потребуется, чтобы полностью освободиться от долгов. Еще один интересный калькулятор — наш калькулятор капитальной ставки, который определяет норму прибыли от покупки недвижимости. Мы также предлагаем вам попробовать калькулятор аренды, который поможет вам определить ежемесячные и общие платежи по аренде. Если вы хотите профинансировать покупку нового внедорожника (RV), наш калькулятор ссуды на RV позволяет легко определить, какое предложение будет для вас наиболее выгодным. Калькулятор амортизации позволяет использовать три различных метода для оценки того, насколько быстро стоимость вашего актива снижается с течением времени. И, наконец, почему бы не попробовать калькулятор нашей мечты. что отвечает на вопрос: сколько нужно копить, чтобы реализовать свою мечту? Сложные процентыПредставьте, что вы положили $ 100 на сберегательном счете с годовой процентной ставкой 6 % . Через год у вас есть 100 + 6 знак равно $ 106 . Через два года, если интерес просто у тебя будет 106 + 6 знак равно $ 112 (добавление 6 % от первоначальной основной суммы каждый год.) Но если это сложные проценты , то на второй год вы заработаете 6 % принадлежащий новый количество: 1.06 × $ 106 знак равно $ 112,36 Формула годового сложного процентаЕсли вы положите п долларов на сберегательном счете с годовой процентной ставкой р , а проценты начисляются ежегодно, тогда сумма А у тебя есть после т лет рассчитывается по формуле: А знак равно п ( 1 + р ) т Пример: Предположим, вы инвестируете $ 4000 в 7 % проценты, начисляемые ежегодно.Найдите сумму, которая у вас есть после 5 годы. Здесь, п знак равно 4000 , р знак равно 0,07 , а также т знак равно 5 . Подставляя значения в формулу, получаем: А знак равно 4000 ( 1 + 0,07 ) 5 ≈ 4000 ( 1.40255 ) знак равно 5610,2 Следовательно, сумма после 5 лет было бы около $ 5610,20 . Общая формула сложного процентаЕсли проценты начисляются чаще, чем один раз в год, вы получите еще более выгодную сделку. В этом случае вам необходимо разделить процентную ставку на количество периодов начисления сложных процентов. Если вы инвестируете п долларов по годовой процентной ставке р , составной п раз в год, то сумма А у тебя есть после т лет рассчитывается по формуле: А знак равно п ( 1 + р п ) п т Пример: Предположим, вы инвестируете $ 1000 в 9 % проценты, начисляемые ежемесячно.Найдите сумму, которая у вас есть после 18 месяцы. Здесь п знак равно 1000 , р знак равно 0,09 , п знак равно 12 , а также т знак равно 1.5 (поскольку 18 месяцев = полтора года). Подставляя значения, получаем: А знак равно 1000 ( 1 + 0.09 12 ) 12 ( 1.5 ) ≈ 1000 ( 1,143960 ) знак равно 1143,960 Округляя до ближайшего цента, у вас есть $ 1143.96 . . |