Формула сложного процентного роста: Урок «Формула сложного процентного роста»

03.05.1980 alexxlab

Содержание

Урок «Формула сложного процентного роста»

1 Орг. момент

2. Ты мне я тебе

3. Проверка д/з

4. Объяснение нового материала

5. Решение задач

6. Д/з

Рефлексия

Итог урока.

Объявление темы и цели урока.

1.Приветствие.

2 Обсуждение цели урока: посмотрите на тему и подумайте какова цель урока.

3. Обсуждение критериев успешности на уроке:

Тема «Действия с рациональными числами» Приём «Светофор»

№ 667, 670

В банках для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк1000 тг. и ни разу не будет брать деньги со счета:

40% от 1000 тг. составляют 0,4 * 1000 = 400 тг., и следовательно, через год на его счете будет

1000 + 400 = 1400 (тг)

40% от новой суммы 1400 тг. составляют 0,4 * 1400 = 560 тг., и следовательно, через 2 года на его счете будет

1400 + 560 = 1960 (тг.)

40% от новой суммы 1960 тг. составляют 0,4 * 1960 = 784 тг., и следовательно, через 3 года на его счете будет

1960 + 784 = 2744 (тг)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном , «лобовом» подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.

Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,4² раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4² = 1,4³раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:

1,4³ * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (тг.)

На стр.172

S_n=S (1 + p/100) ⁿ .

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задача 1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 тг?

Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:

(1 + 10/100)⁴* 2000 = 1,1⁴ * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (тг).

Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 тг.

№ 676 (2)

№662

№664

Дифференцированно

Задачи	Уровень учащихся
№	«I»	«II»	«III»
658(3)	+	+	+
676(1)		+	+
666			+

Приём «Светофор»

Выставление оценок.

Записывают тему урока

Задают вопросы

Решают задание

Решают задачи

Записывают в дневник

Поднимают карточки

Математика — 7

Формулу называют формулой сложного процентного роста.

Здесь S_n — конечная сумма, S₀ — начальная сумма, r – число, показывающее процентный рост на некоторое время, n – срок хранения суммы.

Исмаил утверждает, что 700 манатов, вложенные в банк с годовым процентным доходом в 10% от суммы предыдущего года, через 2 года составят 800 манатов. Верно ли его утверждение?

Архитектор решил гонорар в сумме 100 000 манатов, полученный за проект моста, вложить в два банка. Половину этой суммы он вложил на 3 года в государственный банк с годовым процентным ростом 7% от вложенной суммы, а вторую половину — на 2 года в коммерческий банк с годовым процентным ростом 10% от суммы предыдущего года. Какой банк дал больше дохода?

Определённая сумма, вложенная в банк с годовым процентным ростом 25% от суммы предыдущего года, через 3 года составила 100 млн манатов. Какой была первоначальная сумма, вложенная в банк?

Основываясь на таблицу, ответьте на следующие вопросы:

Проведите вычисления с помощью калькулятора.

Сколько составит в конце срока сумма, вложенная в I и II банк на условиях простого процентного роста?
Сколько составит в конце срока сумма, вложенная в III и IV банк на условиях сложного процентного роста?
Какая сумма получится через два года при условии как простого, так и сложного процентного роста, если в банк с годовой ставкой 15% вложить сумму в 4 000 манатов? Какое из этих условий выгоднее?
Какую сумму составит через 3 года 5 000 манатов, вложенных в банк с годовым простым процентным ростом в 10%?

Составляя любую задачу, примените как формулу простого процентного роста, так и формулу сложного процентного роста.

Открытый урок по дисциплине «Математика для экономистов» на тему «Банковские операции: начисление простых и сложных процентов»

Открытый урок по дисциплине «Математика для экономистов» на тему «Банковские операции: начисление простых и сложных процентов»

Тип урока: Комбинированное занятие (КЗ)

Цель урока: практическое применение раздела математики для экономической отрасли и развитие техники вычислений

Задачи урока:

образовательная: усвоение формул простого и сложного процентного роста; устранение пробелов в знаниях обучающихся по теме «Проценты»; закрепление методов работы с процентами; формирование умений оперировать экономическими терминами и решать задачи практической направленности.

развивающая: развитие логического мышления, интереса к предметам математики и экономики; развитие информационной культуры обучающихся.

воспитательная:воспитывать чувство ответственности за свои знания; способствовать формированию математической и экономической культуры личности (математически и экономически правильной устной и письменной речи), привитие интереса к выбранной профессии.

Методы обучения: репродуктивный, частично – поисковый.

Межпредметные связи: экономика, статистика

Материально-техническое оснащение урока: интерактивная доска, презентация к уроку

Ход урока

1. Организационный момент (приветствие студентов, проверка присутствующих и их готовности к уроку)

2. Целеполагание и мотивация

2.1 просмотр видеофрагмента из к/ф «Республика Шкид»

2.2 фронтальный опрос

Какие деловые отношения продемонстрированы в данном фрагменте?

Почему вы так решили?

Какие отношения называются кредитными?

В данном сюжете, что являлось товаром для кредита?

Что является ценой товара в данных отношениях?

Перейдём к терминам, которые вы изучали ранее. Итак, что такое кредит?

Какие бывают виды кредитов по срокам займа?

Какова цена кредита в современной экономике?

Что такое процентная ставка?

И сегодня наш урок посвящён теме: «Банковские операции: начисление простых и сложных процентов» (записываем тему в тетради). Мы познакомимся с формулами простого и сложного процентного роста, закрепим умения оперировать экономическими терминами, будем учиться решать задачи практической направленности, работая при этом с математическими формулами.

3. Актуализация и коррекция опорных знаний.

Проценты —одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Можно прочитать или услышать, например, что, в выборах приняли участие 57 % избирателей, банк начисляет 17 % годовых, уровень инфляции составил 9% и т.д.

Ясно, что без понимания такого рода информации в современном обществе просто трудно было бы существовать.

Как оказывается, большая часть населения знает, что такое процент, но не все понимают, как он работает.

В практической жизни полезно знать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина- 50% , четверть- 25%, три четверти- 75%, пятая часть- 20%, три пятых- 60% и т.д.

Увеличить в 2 раза – это значит увеличить на 100%, уменьшить в 2 раза – это значит уменьшить на 50%. Современная жизнь снова и снова делает нам задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Везде – в СМИ, по телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т.п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Всё это требует умений производить хотя бы несложные процентные расчёты для сравнения и выбора более выгодных условий. Особый интерес представляют проценты в банковских операциях.

Следовательно, если при вычислении каких — либо данных проценты упрощают математические расчёты, то есть необходимость их изучения.

Из курса математики мы знаем, что процент – это?

Назовите различные обозначения процента

Как найти процент от числа?

Нужно разделить число на 100 и умножить на количество нужных процентов

Решение задачи у доски: В группе Бух 16 20 студентов. На 2 апреля в группе 15,5% 18-летних, 65,5% 17-летних, остальные студенты в возрасте 16-ти лет.

Определите число 18-летних и 16-летних студентов в группе. (соответственно 3 и 4 студента)

Как найти число по его процентам?

Нужно это число разделить на проценты и умножить на 100.

Выполнение интерактивного упражнения в приложении LearningApps.org

Как найти процентное отношение двух чисел?

Нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100

Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а необходимо определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой.

Подумайте, в каких экономических задачах встречаются подобные отношения?

В задачах, где необходимо определить процент выполнения плана, на сколько процентов снизилась или повысилась заработная плата, на определение роста цен и т.д.

Решение задачи у доски: Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?

Решение:

Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах: 45:36×100%=1,25×100%=125%.

4. Изучение нового материала

Какие основные функции выполняют банки?

Банки – огромное достижение цивилизации. В современной рыночной экономике банки находятся в центре всей хозяйственной жизни, выполняя следующие основные функции:

Сбор сбережений граждан для организации выгодного вложения этих сбережений в коммерческую деятельность.
Предоставление кредитов.
Помощь организациям и гражданам в организации платежей за товары и услуги.
Создание новых форм денег для ускорения и облегчения платежей (чек, вексель кредитная карта)
Купля и продажа ценных бумаг.

На каких условиях банки осуществляют кредитование? Или другими словами, каковы принципы кредитования?

Принципы кредитования.

Срочность. Кредиты выдаются на строго определённый срок. Банки используют для кредитования средства, переданные им на хранение вкладчиками (депозиты).
Возвратность. Кредит должен быть возвращён. Для соблюдения этого принципа банки оценивают заёмщиков, их способность вернуть кредит, делают экономический анализ их деятельности.
Гарантированность. Чтобы защитить себя и вкладчиков от потерь, наряду с анализом кредитоспособности заёмщика, банки придумали ещё один способ подстраховки. Они стали требовать с заёмщика доказательств наличия у него собственности, которая может быть продана, чтобы обеспечить возврат кредита.
Целенаправленность. Заёмщик указывает, на какие цели берётся кредит.

Платность. Банки осуществляют кредитование ради платы, которая берётся с заёмщика. Эта плата называется процент за кредит или ссудный процент. Устанавливается эта плата обычно в процентах к сумме кредита и в расчете на один год использования заёмных средств.

Часть этой платы уходит на выплату процентного дохода владельцам сбережений, а часть остаётся самим банкам и составляет доход банка, называемый «маржой».

Простые проценты – метод начисления, при котором проценты начисляются на первоначальную сумму займа

Задача Клиент взял в банке кредит 20000 тг под 15% годовых. Определите сумму кредиторской задолженности через год, два, три.

Вывод формулы простых процентов.

Сложные проценты— метод начисления, при котором каждое новое начисление процентов осуществляется с учетом накоплений за предыдущий период.

В условиях предыдущей задачи рассчитать сумму кредиторской задолженности через год, два и три займа у банка.

Вывод формулы сложных процентов

Построение графика. Формулировка выводов.

6.Закрепление знаний и умений

6.1Определить в каком из банков самая высокая процентная ставка и рассчитать ее (простые проценты) Ответ: АТФБанк – 18,49%

6.2Рассчитать сумму кредиторской задолженности через год залога ювелирного изделия массой 10гр. Определить годовую процентную ставку.

7. Подведение итогов урока:

7.1. Обобщение и систематизация знаний.

Решение задачи: Через сколько лет банковский вклад в 10000 тенге при процентной ставке 10% годовых вырастет в миллион?

Переведите высказывание. Объясните его смысл

7.2. Оценивание знаний. Рефлексия


Материал был урока был мне полезен, я его переработаю и буду использовать в будущей профессиональной деятельности	Полученные знания мне были интересны, но применять их не стану	Считаю материал урока бесполезным

7.3. Домашнее задание.

Студент гр. Бух 16 положил стипендию на депозит «Образовательный» в Народный банк РК под 11,2% годовых. Рассчитайте сумму дохода, если вклад не снимается в течение всего срока обучения в колледже (сложные проценты)

Элективный курс Проценты — Элективный курс Процент О! Мания!

С этим файлом связано 3 файл(ов). Среди них: Внеклассное мероприяти1.doc, 1Системы числения.doc, Разделы и темы по физике.docx.
Показать все связанные файлы

Подборка по базе: готовая курсовая на печать полностью.doc, 3 курс 5 семестр 36.03.02 Зоотехния ФОО.pdf, СИТУАЦИОННЫЕ ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ЧАСТНОМУ КУРСУ (ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ)., 2021 3 Курс Лекция №8 Стабилизация.pdf, 1 курс магистратура Жерге орналастыру _алиева Мадина.docx, отчет по произ. Катя. 1 курс.docx, 4 курс студенттеріне ЕМТИХАН КАЗ.docx, 1 курс силл.docx, 8 тема курсовая мысленный эксперимент в преподавании физики.docx, 4 курс 7 сем 2021 жыл Педиатрия тесттер медбике.odt

1 2 3 4 5 6 7 8 9
Элективный курс «Процент – О! Мания!»
Пояснительная записка

Элективный курс предназначен для профильной подготовки учащихся 10-х классов общеобразовательной школы. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа элективного курса применима для различных групп школьников, независимо от выбранного ими профиля в старшей школе. В основной школе представление о процентах учащиеся получают, но решать задачи, как правило, не умеют.

Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдатель -ности, творческих способностей, интереса к предмету и формированию умений решать практические задачи.
Цель курса: научить учащихся решать задачи на проценты.
Ожидаемые результаты

Учащиеся должны знать:

• что такое процент;

• алгоритм решения задач на проценты составлением уравнения;

• формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;

• что такое концентрация, процентная концентрация.

Учащиеся должны уметь:

• решать типовые задачи на проценты;

• применять алгоритм решения задач составлением уравнений к решению более сложных задач;

• использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста при решении задач;

• решать задачи на сплавы, смеси, растворы.
Содержание курса
Что такое «Процент — О! Мания!» (2 ч)

Понятие процента. Нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление процентного отношения. Решение типовых задач на проценты.
Проценты и уравнения (3 ч)

Алгоритм решения задач методом составления уравнений. Решение простых задач на проценты. Решение более сложных задач.
Правило начисления «сложных процентов» (4 ч)

Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста. Решение задач на применение этих формул.
Задачи на сплавы, смеси, растворы (4 ч)

Понятие объемной (массовой) концентрации, объемной (массовой) процентной концентрации. Решение задач, связанных с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

Процентные расчеты в различных сферах деятельности (2 ч)

Методические рекомендации по изучению курса
Тема 1. Что такое «Процент — О! Мания!»

Начать занятие следует с краткого изложения содержания элективного курса. Акцентировать внимание на том, что учащимся предстоит изучить проценты более глубоко, чем это было на уроках, указать на практическую направленность курса.

Так как на занятиях по данной теме могут быть учащиеся из разных классов и школ, с разным уровнем подготовки, то начать нужно с повторения основных соотношений, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения и т.д.

Тема 2. Проценты и уравнения

Текстовые задачи осознаннее решаются учащимися, если их решению предпослать ряд задач на числа с постепенным обобщением решения и постановкой вопросов, ответы на которые проверяются расчетами. Вот серия задач, которые можно решить на занятиях.

Задача 1. Букинистический магазин приобрел книгу стоимостью 100 р. со скидкой 10% стоимости, а продал ее по номинальной стоимости. Сколько процентов прибыли он получил?

После решения задачи предлагается заменить 100 р. на а р. и задать вопрос: «Изменится ли при этом процент прибыли?» Затем изменить процент скидки и

предложить решить задачу уже без подробной записи решения.

Задача 2. Купили книгу со скидкой 20%, а продали по номинальной цене. Какой процент прибыли получили?

При решении полезно узнать у учащихся, будет ли этот процент больше 20% или меньше и почему. Этот вопрос поможет учащимся более глубоко осознать зависимости в задачах подобного рода.

Полезно рассмотреть следующие задачи.

Задача 3. Магазин купил книгу со скидкой 10% от номинала, а продал с наценкой 10% от закупочной цены. Будет продажная цена больше номинала или меньше? На сколько? Какой процент продажная цена составит от номинала?

Задача 4. Книгу купили со скидкой 10% от номинала. Больше или меньше 10% должна быть наценка на закупочную цену, чтобы книга продавалась по номинальной цене?

После рассмотрения ряда подобных задач можно предложить более сложные задачи.

Задача 5. Букинистический магазин при продаже книги по номиналу запланировал определенный процент прибыли. Продал же книгу со скидкой 10% от номинальной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

В конце изучения темы следует провести проверочную работу.
Задачи для самостоятельного решения

1.Себестоимость продукции повысилась сначала на 10%, а затем понизилась на 20% На сколько процентов понизилась себестоимость продукции?

2. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличилось на 20%, а другое — на 40% ?

3. Антикварный магазин, купив два предмета ‘за 225 р., продал их, получив 40% прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго — 50% ?

4. Вкладчик положил на счет 8000 р. За один год банк начислил 14% годовых, а за второй банк начислил на новую сумму 18% годовых. Какова будет сумма вклада через 2 года?

5. В течение года завод трижды уменьшал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что общий процент снижения после трех изменений составил 65,7%.

6. Цена товара снижена на 40%, а зарплата дважды увеличивалась на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара после снижения цены и

повышения зарплаты?

7. Комиссионный магазин продал автомобиль со скидкой 25% от назначенной цены и получил при этом 5% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

Тема 3. Правило начисления «сложных процентов»

Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезно решить несколько задач, аналогичных следующей.

Задача. В сберкассу положили 200 р., на которые начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения?

Решение полезно провести на конкретных числах

и в общем виде:

Начальный капитал, р.	200	а
Процент прибыли, %	3	р
Прибыль, р.	200 · 0,03
Конечный капитал	200 + 200. 0,03 = 200 • (1 + 0,03)	k = a ·

В итоге получилась формула зависимости k =a·, дающая возможность решить три типа задач на денежные расчеты: на нахождение одного из параметров, зная два других.

Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?

Отвечая на него, получим: k =a·

А третьего? А n-ro? В итоге получается формула k =a· (1)

где а — начальный капитал, р — процент прибыли за один промежуток времени; n — число промежутков.

Эта формула называется формулой «сложных процентов».

Полученная формула показывает, что значение величины k растет как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии 1+ . Формула (1) является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять формулу простого процентного роста: k =a· (2) где а, р и n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом случае процент каждый раз берется от одного и

того же числа а).

Следует уделять много внимания решению задач, в которых используются формулы (1) и (2). Вот два примера таких задач.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Структура и органы управления

Структурных подразделений и филиалов нет.

Наблюдательный совет

Коптев Владимир Петрович, консультант отдела общего образования департамента образования админитрации города Нижнего Новгорода

Евстафьева Анна Евгеньевна, ведущий экономист финансового отдела ПАО «Завод «Красное Сормово»

Крупина Оксана Сергеевна, главный специалист отдела по работе с МП, МУ и АО управления приватизации и муниципально-частного партнерства комитета по управлению городским имуществом и земельными ресурсам администрации города Нижнего Новгорода

Шумилков Николай Михайлович, депутат Законодательного собрания Нижегородской области, генеральный директор ДУК «УправдомЪ» Сормовского района

Толстова Любовь Викторовна, учитель МАОУ «Лицей № 82»