Разное

Пример факторинга: Факторинг в примерах | Retail.ru

14.07.1981

Содержание

Расчет факторинга ✓ блог Совкомбанк Факторинг

Совкомбанк Факторинг Контакты:

Адрес: ул. Кожевническая, д. 14 115114 Москва, Телефон:(495) 787-53-37, Телефон:(495) 995-21-31, Электронная почта: [email protected]

Адрес2: ул. Рокоссовского, д. 62, БЦ «ВолгоградСИТИ», оф. 15-21 400050 г. Волгоград, Телефон:(8442) 43-44-00, Электронная почта: [email protected]

Адрес3: ул.Свободы, д. 73, офис 311 394018 Россия, г. Воронеж, Телефон:(473) 228-19-78, 228-19-79, Электронная почта: [email protected]

Адрес4: ул. Хохрякова, 10, оф. 504-505 620014 Свердловская область, г. Екатеринбург, Телефон:(343) 310-14-55, Электронная почта: [email protected]

Адрес5: ул. Рабочая, д. 2а, офис 29А (3952) 486 331 г. Иркутск, Телефон:(3952) 486 331, Электронная почта: [email protected]

Адрес6: ул. Декабристов, 85б, офис 409, 410 420034 г. Казань, Телефон:(843) 200-09-47, 200-10-35, Электронная почта: [email protected]

Адрес7: Ленинский пр., д. 30, офис 508 236006 г. Калининград, Телефон:(4012) 53-53-87, Электронная почта: [email protected]

Адрес8: ул. Красная д. 152 г. Краснодар, Телефон:(861) 226-42-52, 226-45-54, Электронная почта: [email protected]

Адрес9: ул. Алексеева, д. 49, офис 6-14. 660077 г. Красноярск, Телефон:(391) 200-28-20, Электронная почта: [email protected]

Адрес10: ул. Нижегородская, 24 603000 г. Нижний Новгород, Телефон:(831) 288-02-89, Электронная почта: [email protected]

Адрес11: ул. Ленина, 52, офис 505 630004 г. Новосибирск, Телефон:(383) 212-06-18, 212-06-19, Электронная почта: [email protected]

Адрес12: ул. Николая Островского, 59/1 614007 г. Пермь, Телефон:(342) 211-50-28, Электронная почта: [email protected]

Адрес13: ул. Красноармейская, д. 200, 8 этаж, оф. 803 344000 г. Ростов-на-Дону, Телефон:(863) 263-88-30, Электронная почта: [email protected]

Адрес14: пр.К.Маркса, д.201 «Б» (бизнес-крепость «Башня») 443080 г. Самара, Телефон:(846)993-61-62, 993-61- 64, 993-61-63, Электронная почта: [email protected]

Адрес15: ул. Восстания, 18, офисы 405-407 191014 Санкт-Петербург, Телефон:(812) 644-40-71, Электронная почта: [email protected]

Адрес16: ул.Танкистов, д.37, оф.304, 305 410019 г. Саратов, Телефон:(8452) 57-27-63, Электронная почта: [email protected]

Адрес17: ул. Крупской, д. 9, офис 727, 728, 729 450000 Республика Башкортостан, г. Уфа, Телефон:(347) 273-50-78, Электронная почта: [email protected]

Адрес18: ул. К. Маркса, д.38, офис 319 454091 г. Челябинск, Телефон:(351) 239-93-90, 239-93-91, 239-93-92, Электронная почта: [email protected]

Адрес19: ул. Республиканская, д.3, корпус 1, офис 404 150003 г. Ярославль, Телефон:(4852) 58-11-88, Электронная почта: [email protected]

Стороны факторинговой сделки — фактор, клиент, дебитор, все о сторонах факторинговой сделки

Чтобы эффективно использовать возможности факторинга, нужно хорошо понимать механизм взаимодействия участвующих в сделке компаний: клиента, его контрагента и фактора (финансирующей организации). О том, кто и как заключает факторинговую сделку, читайте в нашем материале. 

Три стороны факторинговой сделки

Факторинг – это вид финансирования, суть которого и структура сделки принципиально отличаются от более привычных кредитов и займов. Среди основных отличий то, что в факторинговой сделке участвуют не две, а три стороны – исполнитель контракта, его заказчик и факторинговая компания.

·        Поставщик или подрядчик (исполнитель контракта) – поставляет товар, оказывает услуги, выполняет работы по контракту с заказчиком.

·        Заказчик (покупатель) – согласно контракту с исполнителем обязан произвести оплату товара, работ или услуг денежными средствами.

·        Факторинговая компания (фактор) – выплачивает финансирование поставщику или подрядчику, погашая денежные обязательства заказчика. Взамен у фактора появляется право требовать от заказчика оплату обязательств, а в качестве вознаграждения за свои услуги компания получает факторинговую комиссию.

Таким образом, в стандартном контракте между заказчиком и исполнителем появляется третья сторона. Факторинговая компания вначале оплачивает вместо заказчика исполнителю товар, работы или услуги, а затем заказчик рассчитывается не с поставщиком или подрядчиком, а с оплатившей обязательства факторинговой компанией.

Подробнее о сути сделок под уступку денежных требований – в статье «Что такое факторинг?»

Заметим, что при оформлении факторинга права и обязанности сторон контракта не меняются – поставщик все так же обязан качественно исполнить контракт, а заказчик – оплатить его. Меняется только кредитор по уступленным денежным требованиям и (по согласованию сторон) срок оплаты этих обязательств – с помощью факторинга заказчик может увеличить отсрочку платежа.

Три роли в договоре факторинга

Испытывать потребность в факторинговом финансировании может как исполнитель контракта, так и его заказчик:

·        Поставщик или подрядчик с целью быстро пополнить оборотный капитал, закрыть кассовые разрывы привлекает досрочную оплату дебиторской задолженности заказчика.

·        Заказчик может быть инициатором факторинга, чтобы оплатить аванс поставщику, удлинить отсрочку платежа или иметь более удобный график погашения задолженности.

Именно та сторона, которая инициирует получение финансирования, и будет являться клиентом факторинговой компании. А значит, роли в договоре факторинга могут не совпадать с определением сторон факторинговой сделки:

·        Клиент (поставщик или заказчик, инициатор сделки) – подает заявку на финансирование, заключает договор факторинга и оплачивает комиссию.

·        Дебитор (контрагент клиента, вторая сторона финансируемого контракта) – согласует уступку денежного требования.

·        Фактор (факторинговая компания) – осуществляет финансирование.

Таким образом, если речь о классическом факторинге – когда поставщик уступает факторинговой компании денежные требования к заказчику по уже исполненному контракту – клиентом будет поставщик, а дебитором – заказчик. Если речь, например, о факторинге аванса (когда фактор вместо заказчика выплачивает поставщику предоплату по контракту) – то клиентом будет заказчик, а дебитором поставщик.

О том, как заключить договор и получить онлайн-финансирование, читайте в статье «Схема выдачи бездокументарного факторинга»


Заинтересовала услуга онлайн-факторинга? Чтобы узнать индивидуальные условия финансирования для вашей компании, подайте заявку в личном кабинете на GetFinance или свяжитесь со специалистом компании по телефону 8 (800) 500 55 52.

 


Факторинг онлайн — 44-ФЗ, 223-ФЗ, 615 ПП, Коммерческие закупки

Пример факторинга существующих денежных требований

Один из наиболее распространенных видов факторинга – досрочная оплата исполненных контрактов (этапов контракта), по которым предусмотрена отсрочка платежа. Пример: поставщик заключил контракт на поставку текстильной продукции в течение года. При этом поставка осуществляется ежемесячно по заявкам заказчика, а оплата происходит в конце срока – 31 декабря. Таким образом, поставщик ежемесячно привозит товар и получает закрывающий документ на поставленный объем и сумму. Поставщик может уступить задолженность заказчика по закрывающему документу факторинговой компании и сразу же получить до 90% от суммы поставки. Выплата финансирования производится на расчетный счет поставщика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований.

В согласованный срок заказчик оплачивает свои обязательства по контракту, но не поставщику, а факторинговой компании, так как была оформлена уступка задолженности.

Пример факторинга аванса

Подрядчик заключил контракт на строительство больницы, при этом предусмотрена выплата аванса в размере 30% от цены контракта. У заказчика нет возможности оплатить аванс, из-за чего подрядчик не приступает к исполнению контракта. Заказчик может обратиться в факторинговую компанию и оформить факторинг аванса. Факторинговая компания выполняет обязательства заказчика и выплачивает подрядчику до 100% от суммы предусмотренного аванса, выплата средств производится на расчетный счет подрядчика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований. Подрядчик приступает к исполнению контракта. Заказчик в согласованный и удобный для него срок погашает задолженность перед факторинговой компанией, возвращая ей сумму финансирования.

В факторинге аванса клиент (заказчик) уступает права будущего требования возврата аванса. Если поставщик не исполнит свои обязательства по контракту в срок, то он будет обязан вернуть выплаченный ему аванс. Но так как была оформлена уступка, то он вернет его не заказчику, а факторинговой компании, профинансировавшей контракт.

Пример факторинга качества

Поставщик заключил контракт на поставку нефтепродуктов в течение года. При этом поставка осуществляется ежемесячно по заявкам заказчика, а оплата происходит поквартально за весь объем продукции, отгруженной в течение 3 месяцев. Поставщик ежемесячно, с января по март, поставлял нефтепродукты, но 1 апреля заказчик не смог оплатить свои обязательства. Поставщик приостановил исполнение контракта до получения просроченной задолженности.

Чтобы расплатиться с поставщиком и возобновить поставки, заказчик обращается в факторинговую компанию и заключает договор факторинга качества. Факторинговая компания оплачивает обязательства заказчика перед поставщиком. Выплата средств производится на расчетный счет поставщика в течение 24 часов с момента подписания сторонами реестра денежных требований. В согласованный и удобный для него срок заказчик погашает задолженность факторинговой компании.

В факторинге качества клиент (заказчик) уступает права будущего требования возврата денежных средств, которые могут возникнуть из-за претензий к качеству товара. Если поставщик поставит некачественный товар, то он обязан вернуть полученные по контракту средства. Но так как была оформлена уступка, то он вернет их не заказчику, а факторинговой компании, профинансировавшей контракт.

Пример интеграции ЭДО в банке «Кольцо Урала» — Диадок

Задача

Сократить срок доставки документов, подтверждающих факт поставки

Факторинговой компании для оказания услуг финансирования требуются документы, подтверждающие факт поставки (выполнения работ или оказания услуг). При бумажном документообороте процесс обмена документами занимает до нескольких дней, в зависимости от удаленности клиента. В условиях рыночной конкуренции преимуществом Фактора является высокая скорость принятия решений и выдачи финансирования. Обмен скан-копиями документов через электронную почту не решает данную проблему, так как они не имеют юридической значимости.

Решение

Для упрощения документооборота с Клиентами, делая ставку на современные технологии ведения бизнеса, Факторинговая компания «КОЛЬЦО УРАЛА», подключилась к системе электронного документооборота Контур. Диадок оператора СКБ Контур. Определяющими условиями при выборе оператора стали:

  • успешный опыт внедрения системы в факторинговых компаниях;
  • получение бесплатной помощи службы технической поддержки круглосуточно;
  • возможность бессрочного бесплатного хранения информации на серверах оператора даже после окончания договорных отношений.

Сотрудники Факторинговой компании «КОЛЬЦО УРАЛА» быстро освоили работу через веб-интерфейс Контур. Диадок, а наличие функционала согласования и распределения документов по подразделениям позволило организовать внутреннюю работу с электронными документами.

Затем Компания начала работу по привлечению своих клиентов к обмену электронными документами, при этом, все расходы по подключению контрагентов Факторинговая компания «КОЛЬЦО УРАЛА» взяла на себя, поэтому для клиентов использование Контур.Диадока стало не только удобным, но и бесплатным. Благодаря этому повысились клиентская лояльность и конкурентоспособность компании.

Результаты

Сегодня клиентская база компании составляет сотни контрагентов, и большинство из них работают через Контур. Диадок. Ежемесячно Факторинговая компания «КОЛЬЦО УРАЛА» получает более 1 000 электронных документов.

У клиентов компании появилась возможность отказаться от физической доставки документов для получения сумм финансирования. Направление через систему ЭДО и подписание электронной подписью обеспечивает юридическую силу и мгновенную доставку таких документов, а выплата финансирования происходит в течение двух часов.

Кроме того, Факторинговая компания «КОЛЬЦО УРАЛА». через Контур. Диадок передает своим клиентам акты об оказании услуг, счета-фактуры, счета на оплату и другие документы, связанные с исполнением договоров.

Договор факторинга. Образец заполнения и бланк 2021 года

Договор факторинга (или договор финансирования) подразумевает двухстороннее соглашение, в силу которого один участник договора (финансовый агент), передает своему контрактуальному партнеру (клиенту) деньги в обмен на право денежных требований к третьему лицу – должнику.

Файлы в .DOC:Бланк договора факторингаОбразец договора факторинга

Суть договора и правовое регламентирование

Правовое регулирование правоотношений факторинга осуществляется на основании статьи 824 ГК РФ. В соответствии со смыслом статьи, под договором факторинга подразумевается финансирование под уступку материального (денежного) требования.

Само финансирование при этом подразумевает возмездность услуги. Условиями договора, таким образом, становятся следующие действия контрагентов:

  1. Финансовый агент передает своему контрагенту (клиенту) финансовые средства в виде займа или аванса.
  2. Контрагент (клиент) уступает финансовому агенту имеющееся у него право требовать возврата денег у третьего лица (должника).

Обязанности и права финансового агента

К обязанностям и правам финансового агента как субъекта договора факторинга относятся следующие действия, которые ему надлежит выполнить в рамках договора:

  • передать деньги клиенту в размере, соразмерном праву истребования долга с третьего лица;
  • принять на себя обязанности по учету требований клиента к должникам;
  • предпринять меры по обеспечению возврата должниками денежных средств;
  • воплотить свое право требования, то есть предъявить должникам претензии по выплатам долга;
  • принять от должников платежи.

Также договор может предусматривать обязанность финансового агента вести бухгалтерский учет в интересах клиента и предоставлять ему другие услуги по предмету договора, то есть по долговым обязательствам должников.

Выступать в качестве финансового агента может любое кредитное учреждение, в частности, при попытке клиента получить кредит в банке.

Если банк усомнится в платежеспособности клиента, но положительно оценит имеющиеся у клиента права по истребованию долгов, то кредит может быть выдан на основании договора факторинга, причем долговые обязательства клиент предоставит банку в качестве залога или гарантий.

Если клиент сможет закрыть кредит, то права требования долгов вернутся к нему, если же нет, то эти права перейдут в собственность кредитора.

Предмет договора факторинга

Услуга, оказываемая финансовым агентом своему клиенту, является тем стержнем, на котором основываются все условия договора факторинга. Причем оказываемая услуга является разноплановой и включает в себя несколько форм гражданско-правовых отношений, к примеру:

  • уступку права требования;
  • заем или кредитования;
  • аванс;
  • оказание услуг и т.д.

Легче будет рассмотреть договор факторинга на небольшом примере.

Прикладной факторинг

В качестве субъекта примера будет удобно взять некую крупную компанию «А», среди заказчиков которой имеется большое количество должников.

Несмотря на обширный фронт работ и заказов, у компании «А» начинаются финансовые проблемы, связанные с задержкой оплаты ее товаров или услуг.

Помочь такой компании сможет организация «Б», специализирующаяся на истребовании долгов за вознаграждение. Она переведет на счет компании денежные средства, в которых та нуждается, а взамен получит от нее право истребовать долг с должников.

Оформляться эта помощь будет в виде договора факторинга, по условиям которого «А» получит деньги для продолжения своей деятельности, а «Б» – должника, от которого будет требовать возврата долга.

Содержание договора и особые услуги

В тексте договора контрагенты оговаривают:

  1. вид факторинга;
  2. объем денежных средств, получаемый клиентом от финансового агента;
  3. объем комиссионного вознаграждения финансового агента;
  4. гарантии, предоставляемые контрагентами друг другу;
  5. ответственность за неисполнение условий договора;
  6. другие условия, которые стороны пожелают закрепить в договоре.

К другим (дополнительным) услугам, устанавливаемым на усмотрение сторон договора факторинга, может относиться осуществление бухгалтерских операций по учету долговых требований.

Подобная услуга будет актуальной в случае, если клиент передает финансовому агенту право требования по долговым обязательствам в отношении многих или нескольких должников.

Виды факторинга

Под видом договора факторинга подразумевается способ уступки денежных требований. Так, клиент по договору может:

  • обменять право денежных требований на денежное финансирование со стороны финансового агента;
  • передать право денежных требований финансовому агенту в виде залога, призванного обеспечить возврат финансирования. Право требования в таком случае перейдет к финансовому агенту только в случае, если клиент не сможет вернуть сумму, полученную от финансового агента в порядке финансирования по договору факторинга.

Другое разделение по видам факторинга осуществляется в силу реальности либо консенсуальности договорных обязательств.

В зависимости от подобного деления можно говорить о потенциальной возможности либо невозможности принудить финансового агента к выдаче кредита клиенту, а клиента принудить к передаче права требования долговых обязательств.

Если договор факторинга является консенсуальным, то права и обязанности контрагентов возникнут после достижения ими соглашения по условия договора. При реальном характере договора права и обязанности возникнут только при передаче предмета договора, то есть денег и долговых обязательств.

Консенсуальный договор даст сторонам право принудить своего контрагента к передаче предмета договора. При реальном характере договора такого права у контрагентов не будет.

Часть 1 статьи 824 ГК позволяет сторонам заключение договора с осуществлением передачи предмета договора как в реальном времени, так и в будущем.

Риски факторинга

Как и любые кредитные правоотношения, договор факторинга относится к типу договоров с повышенными рисками.

Поэтому до момента заключения договора финансовому агенту требуется проведение тщательного анализа финансового положения контрагента и должника (должников) с тем, чтобы убедиться в возможности возврата затраченных кредитных средств.

Анализ производится по нескольким позициям:

  • ликвидность баланса;
  • срок задолженности;
  • состав задолженности;
  • конкурентоспособность и возможность реализации выпускаемой клиентом или должником продукции;
  • рынок, на котором сбывается продукция клиента или должника;
  • конъюнктура рынка сбыта;
  • платежеспособность клиента и должника и т.д.

Проведение анализа осуществляется аналитиками финансового агента на основании:

  • бухгалтерской документации клиента или должника;
  • кредитных историй клиента или должника;
  • информация в средствах массовой информации, касающаяся клиента или должника и т.д.

При наличии заявки клиента на кредит на условиях договора факторинга кредитная организация обязана осуществить анализ в течение двух недель.

При положительных выводах по результатам проведения анализа кредитная организация (банк) заключает с клиентом договор факторинга с обязательным включением в текст договора следующих позиций:

  • верхний лимит кредитной суммы, выдаваемой клиенту;
  • верхний лимит долговых обязательств, принимаемых на инкассо.

Лимит кредитной суммы определяется исходя из объема долговых обязательств, право на которые имеет клиент по договору факторинга.

Сроки

Закон не регламентирует срок, на который может быть заключен договор факторинга, то есть длительность договора всецело оставляется на усмотрение контрагентов. Практика показывает, что минимальный срок действия договора факторинга не может быть менее одного года.

Основы факторинговых операций – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Факторинг всегда являлся отличным инструментом финансирования рабочего капитала, управления рисками, развитием сети поставщиков и покупателей. Особенно важно это сейчас, в период высокой рыночной волатильности и общей неопределённости. Однако, для наиболее эффективного применения факторинга, необходимо хорошо понимать базовую структуру операции, юридическую основу, различные формы и варианты использования. Поэтому для успешного внедрения этого инструмента крайне полезно получить системные знания обо всех аспектах применения.

Использование факторинга решает задачи сразу нескольких подразделений: коммерческого направления и закупок, казначейства, направления кредитного риск-менеджмента. Поэтому предлагаемый учебный курс может быть интересен достаточно широкому кругу специалистов. Но, в первую очередь, он предназначен для казначеев, как людей, отвечающих за финансирование рабочего капитала. Причём хорошо проработанная программа и подача материала с разных сторон привлечёт людей с разным уровнем опыта. Курс поможет и получить глубокие знания по вопросу, и взглянуть на уже знакомые моменты с новой стороны.

Важным отличием курса является не только структура программы, но состав преподавателей – это и сотрудники НИУ ВШЭ, и представители Факторов, и действующие корпоративные казначеи. Проходящие курс получат не только теоретическую базу, но и смогут обсудить живые кейсы, получив практические примеры из жизни и рекомендации по конкретным вопросам.

При оплате курса «Казначейство: фокус на платежеспособность и ликвидность» на данный курс предоставляется скидка 15% (скидки не суммируются).

10-24 апреля 2021 г. состоялся первый запуск курса

По итогам курса были подготовлены следующие статьи:

Целевая группа

Программа будет интересна широкому кругу специалистов с разным опытом.

Курс особенно рекомендован казначеям и специалистам, отвечающим за финансирование рабочего капитала.

С курсом вы получите:

Удостоверение о повышении квалификации

от единственного российского вуза, входящего в международный рейтинг QS по профилю Accounting and Finance

Все материалы от преподавателей

презентации, таблицы, шаблоны, к которым можно обратиться в любое время и адаптировать для своих задач

Рекомендации и новые контакты в отрасли

вы получите ответы преподавателей на свои вопросы, рекомендации Школы финансов по продолжению образования и не только

Преподаватели

Елена Макеева

Заместитель руководителя Школы финансов факультета экономических наук НИУ ВШЭ, к.э.н., доцент

Практический опыт работы: более 15 лет работы финансовым директором в среднем сегменте бизнеса; консалтинг проектов по анализу эффективности операционной деятельности компаний; разработка моделей для оценки вероятности банкротства компаний реального сектора. Автор (соавтор) более 25 публикаций в международных и отечественных журналах. Руководитель проекта «Политика финансирования» научно-учебной Лаборатории корпоративных финансов факультета экономических наук НИУ ВШЭ.

Виктор Пинчук

Управляющий директор по работе с клиентами, ВТБ Факторинг (ГК)

Опыт работы на рынке факторинга более 10 лет. За это время разработал и впервые вывел на российский рынок многие инновационные факторинговые решения. Среди них такие «бестселлеры» как агентский факторинг и комплексные программы финансирования поставщиков (Supply Chain Finance — SCF).  Виктор любит нестандартные решения и подходы. В работе руководствуется принципом: «Не говори клиенту, что это невозможно, придумай как сделать». В рамках курса он расскажет об очередном прорывном инструменте управления оборотным капиталом – программах ABL финансирования.

Дмитрий Кулинич

Управляющий директор по работе с клиентами, ВТБ Факторинг (ГК)

Присоединился к команде ВТБ Факторинг в 2013 году. Отвечает за взаимодействие с ключевыми клиентами ВТБ Факторинг в сегменте транспорта, транспортного машиностроения, нефтехимической промышленности.  Дмитрий расскажет о целях и практике структурирования факторинговых сделок при работе с кредиторской задолженностью, влиянии факторинга на чистый рабочий капитал, а также об опыте реализации программ финансирования поставщиков.

 

Ксения Качкина

Управляющий директор по региональным продажам, ВТБ Факторинг (ГК)

Ксения работает в отрасли более 15 лет, из которых 10 лет в ВТБ Факторинг. Специализируется на региональных рынках, где проникновение факторинга в экономику традиционно ниже, чем в центральной части страны. Имеет весомый опыт структурирования нестандартных и международных сделок. Ксения расскажет о современной практике применения классического факторинга дебиторской задолженности и его актуальных производных, появление которых продиктовано потребностями рынка.

Юрий Левин

Директор юридической дирекции ВТБ Факторинг (ГК)

Юрий руководит юридическим подразделением ВТБ Факторинг более 8 лет, имеет совокупный опыт работы в факторинге более 11 лет. За указанный период проанализированы терабайты судебной практики, с учётом которой постоянно совершенствуются процессы в факторинге и его договорные конструкции. Юрий расскажет о собственной практике изменения юридических конструкций с учетом законодательных возможностей и ограничений для решения нестандартных бизнес-задач, а также о юридических аспектах реализации рисковых событий в рамках факторинговых сделок.

Виктория Фалина

Начальник отдела по работе с дебиторами ВТБ Факторинг (ГК)

Виктория имеет 11-летний опыт взаимодействия с федеральными сетями и работает в ВТБ Факторинг практически со дня основания компании. Первой на рынке разработала методологию и регламент финансирования поставщиков на площадке FactorPlat с ГК Х5. В целом она имеет опыт работы практически со всеми действующими в России цифровыми факторинговыми платформами (FactorPlat, Factorin, GetFinance, Контур факторинг). В рамках курса Виктория подробно расскажет об особенностях этих и других платформ, представленных на российском рынке факторинга, об их функционале, возможностях, отличиях, преимуществах и недостатках.

Игорь Маймин

Начальник Управления структурирования и экспертизы рисков ВТБ Факторинг (ГК)

Игорь имеет 15-летний опыт работы в области оценки кредитоспособности заемщиков юридических лиц. В ВТБ Факторинг со дня основания компании в 2009 году. Оценивал не только крупнейшие сделки и проекты, но и портфели сторонних факторов, а также участвовал в их миграции. Игорь расскажет о принципах финансового анализа участников факторинговых сделок (клиентов и дебиторов), об особенностях оценки в сравнении с классическими кредитными продуктами, о видах рисков, оцениваемых факторинговыми компаниями и способах их минимизации.

 Для членов НП «Ассоциация корпоративных казначеев» и клиентов ООО ВТБ Факторинг действует скидка 50%

 обучения

общая трудоемкость

 ак. часов онлайн с преподавателями

 старт занятий

 слушателей в группе

Отзывы

Хочу поблагодарить организаторов данной программы за возможность как можно больше узнать о практическом применении факторинговых сделок. Это был очень интересный и увлекательный курс. Для меня, как для казначея, факторинг является именно тем инструментом, тем флагманом, который управляет кредитными рисками и рисками ликвидности, улучшает платежную дисциплину компании. Я рекомендую данный курс специалистам в области финансов, финансовым менеджерам, казначеем. Спасибо большое за предоставленный материал

Программа очень понравилась своей полезностью и углублением знаний в области факторинга. На мой взгляд, курс удачно структурирован — вначале с экономической (и даже почти научной) точки зрения разобрали необходимость факторинга, далее прошлись по основам, уточнили риски, финансовые и юридические аспекты, и дальше разбирались с узкими продуктами, цифровизацией, параллельно разбирая конкретные кейсы применения и использования факторинга в различных отраслях. Организаторы и выступающие, на мой взгляд, хорошо понимают задачи пришедших на обучение «студентов», интересно преподносят материал, поэтому я с готовностью рекомендую данное обучение заинтересованным в применении факторинга коллегам

Стоит отметить практикоориентированность курса. Материал подготовлен таким образом, что сложно что-то сократить, при этом он охватил максимально широкий спектр вопросов и тонкостей работы с оборотным капиталом. Лекторы не только раскрыли все основные детали и особенности использования факторинга, но и разобрали кейсы с объяснением в каких ситуациях какие финансовые инструменты использовать более целесообразно. Благодаря полученным знаниям шаблонное принятие решений полностью исключается в пользу подробного разбора ситуации и оценки всех возможных решений. Крайне полезный курс, рекомендую к изучению

При небольшом количестве часов курса материал Школы факторинга очень ёмкий, грамотно и логично структурирован, даёт возможность расширить знания в области факторинговых операций, даже тому, кто отлично знаком с этим инструментом. Преподавательский состав подобран таким образом, что позволяет рассмотреть тему факторинга с самых различных ракурсов. Лекторы Школы являются практикующими специалистами, ориентируются в том числе на собственную многолетнюю практику, которую не найти ни в одном учебнике. Интересный и полезный курс

Спасибо большое за актуальную программу обучения и интересный курс, который позволил систематизировать знания и навыки, а также найти полезные акценты для себя, за возможность в неформальной обстановке обсудить вопросы, поделиться опытом

Условия поступления

При поступлении на программу «Основы факторинговых операций» необходимо предоставить сканы/фото следующих документов:

  • Основных страниц паспорта (с фото и с регистрацией)
  • Диплома о высшем/среднем специальном образовании либо справки об обучении
  • Свидетельства о смене фамилии (если в паспорте и дипломе фамилия не совпадает)

Отправить заявку на обучение

Как с нами связаться:

Вы можете позвонить нам по телефону: +7 (495) 621-91-92

Вас может заинтересовать

Пример факторинга

В большинстве, факторингом пользуются небольшие компании, т.е. компании, которые не имеют возможности получить кредитное финансирование от Банков.

Рассмотрим порядок действий на примере факторинга, при котором осуществляется финансирование от факторинговой фирмы.

  • 1. Поставщик обращается в факторинговую фирму за предоставлением финансирования по предстоящей отгрузке и предоставляет факторинговой компании все необходимые документы:
    • a. Юридические и уставные документы,
    • b. бухгалтерские отчеты, включающие в себя несколько периодов,
    • c. заполненная Анкета на свою компанию,
    • d. заполненная Анкета на покупателя, которого поставщик хочет передать на факторинг,
    • e. копия договора поставки с данным покупателем.
  • 2. По договору с отсрочкой платежа сроком от 30 до 120 дней, поставщик отгружает покупателю продукцию.
  • 3. Покупатель фиксирует факт получения товара и фиксирует это в отгрузочных документах поставщика.
  • 4. Поставщик после отгрузки письмом уведомляет покупателя о том, что оплата за отгруженную продукцию должна быть переведены на расчетный счет факторинговой компании.
  • 5. Факторинговая компания, на основании факта передачи поставщика покупателю письма, выдает поставщику денежные средства в сумме до 90% от объема поставленного покупателю товара.
  • 6. По окончании отсрочки платежа, то есть срока от 30 до 120 дней, покупатель перечисляет сумму своей кредиторской задолженности не поставщику, а факторинговой фирме.
  • 7. По факту оплаты задолженности от покупателя, факторинговая фирма начисляет комиссию поставщику.
  • 8. Поставщик оплачивает факторинговой компании комиссию за предоставленное финансирование.
  • 9. Факторинговая фирма, в случае возникновения разницы, перечисляет ее поставщику. Разница состоит из:
    • a. СУММА за отгруженный товар покупателя, МИНУС
    • b. СУММА, выплаченного финансирования поставщику, и МИНУС
    • c. СУММА комиссии, оплаченная поставщиком факторинговой компании.

Комиссия начисляется от суммы предоставленного финансирования и зависит от:

  • формы передачи дебиторской задолженности;
  • срока отсроченного платежа.

В описанной схеме используется один из примеров факторинга, когда поставщик уверен в платежеспособности покупателя.

Какие же формы передачи дебиторской задолженности существуют?

Есть две формы:

Регрессивная

Поставщик уверен в том, что покупатель оплатит товар и обязуется в случае неуплаты вернуть факторинговой компании полученное финансирование. Срок отсроченного платежа здесь может быть 30-45 дней.

Без регресса

Поставщик не уверен в платежеспособности покупателя и передает факторинговой фирме дебиторскую задолженность покупателя.

В случае неуплаты покупателем задолженности, факторинговая фирма сама предпринимает действия по возврату задолженности от покупателя.

Срок предоставленного финансирования в этом случае составляет 30-120 дней. Размер комиссии при этой форме финансирования значительно больше.

Комиссия состоит из следующих частей, и облагается НДС:

  • Комиссия за финансирование, которая начисляется в процентах годовых;
  • Комиссия за обслуживание в факторинговой фирме, которая начисляется в процентах от объема отгруженной продукции;
  • Сбор за обработку документов.

Читайте также

Факторинговая квадратичная система

«Факторинг» (или «Факторинг» в Великобритании) Квадратичный равен:

найти, что умножить, чтобы получить квадратичный

Это называется «факторинг», потому что мы находим факторы (коэффициент — это то, на что мы умножаем)

Пример:

Умножение (x + 4) и (x − 1) вместе (так называемое Расширение) дает x 2 + 3x — 4 :

Таким образом, (x + 4) и (x − 1) являются множителями x 2 + 3x — 4

На всякий случай проверим:

(х + 4) (x − 1) = x (x − 1) + 4 (x − 1)

= х 2 — х + 4х — 4

= х 2 + 3х — 4

Да, (x + 4) и (x − 1) определенно являются множителями x 2 + 3x — 4

Вы видели, что расширение и факторинг — противоположности?

Расширение обычно легко, но факторинг часто бывает сложным .


Это все равно что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это сложно понять!

Итак, давайте попробуем пример, где мы еще не знаем факторов:

Общий коэффициент

Сначала проверьте, есть ли общие факторы.

Пример: каковы множители 6x

2 — 2x = 0?

6 и 2 имеют общий множитель 2 :

2 (3x 2 — x) = 0

И x 2 и x имеют общий множитель x :

2x (3x — 1) = 0

И мы это сделали! Коэффициенты: 2x и 3x — 1 ,

.

Теперь мы также можем найти корни (где он равен нулю):

  • 2x равно 0, когда x = 0
  • 3x — 1 равно нулю, когда x = 1 3

А это график (посмотрите, как он равен нулю при x = 0 и x = 1 3 ):

Но это не всегда так просто…

Угадай и проверь

Может, ответ дадим?

Пример: каковы множители 2x

2 + 7x + 3?

Нет общих факторов.

Давайте попробуем угадать ответ, а затем проверим, правы ли мы … нам может повезти!

Мы могли угадать (2x + 3) (x + 1):

(2x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 2x + 3x + 3
= 2x 2 + 5x + 3 (НЕПРАВИЛЬНО)

Как насчет (2x + 7) (x − 1):

(2x + 7) (x − 1) = 2x 2 — 2x + 7x — 7
= 2x 2 + 5x — 7 (СНОВА НЕПРАВИЛЬНО)

Хорошо, как насчет (2x + 9) (x − 1):

(2x + 9) (x − 1) = 2x 2 — 2x + 9x — 9
= 2x 2 + 7x — 9 (СНОВА НЕПРАВИЛЬНО)

О нет! Мы можем долго гадать, прежде чем нам повезет.

Это не очень хороший метод. Так что давайте попробуем что-нибудь еще.

Метод для простых случаев

К счастью, есть метод, который работает в простых случаях.

С квадратным уравнением в этой форме:

Шаг 1 : Найдите два числа, которые умножаются, чтобы получить ac (другими словами, a на c), и сложить, чтобы получить b.

Пример: 2x 2 + 7x + 3

ac равно 2 × 3 = 6 , а b равно 7

Итак, мы хотим, чтобы два числа, которые умножались вместе, давали 6 и в сумме давали 7

Фактически это делают 6 и 1 (6 × 1 = 6 и 6 + 1 = 7)

Как найти 6 и 1?

Это помогает составить список факторов ac = 6 , а затем попытаться добавить некоторые, чтобы получить b = 7 .

Факторы 6 включают 1, 2, 3 и 6.

Ага! 1 и 6 складываются с 7 и 6 × 1 = 6.

Шаг 2 : Перепишите середину с этими числами:

Перепишите 7x с 6 x и 1 x:

2x 2 + 6x + x + 3

Шаг 3 : Разложите на множители первые два и последние два термина по отдельности:

Первые два члена 2x 2 + 6x разложить на 2x (x + 3)

Последние два члена x + 3 в данном случае фактически не меняются

Получаем:

2х (х + 3) + (х + 3)

Шаг 4 : Если мы сделали это правильно, два наших новых члена должны иметь четко видимый общий множитель.

В этом случае мы видим, что (x + 3) является общим для обоих терминов, поэтому мы можем пойти:

Начать с: 2x (x + 3) + (x + 3)

Что составляет: 2x (x + 3) + 1 (x + 3)

И так: (2x + 1) (x + 3)

Готово!

Проверить: (2x + 1) (x + 3) = 2x 2 + 6x + x + 3 = 2x 2 + 7x + 3 (Да)

Намного лучше, чем гадать!

Давайте снова посмотрим шаги с 1 по 4 за один раз :

2x 2 + 7x + 3
2x 2 + 6x + x + 3
2x (x + 3) + (x + 3)
2x (x + 3) + 1 (x + 3)
(2x + 1) (x + 3)

Хорошо, давайте попробуем другой пример:

Пример: 6x

2 + 5x — 6

Шаг 1 : ac равно 6 × (−6) = −36 , а b равно 5

Перечислите положительные множители ac = −36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Одно из чисел должно быть отрицательным, чтобы получилось −36, поэтому, играя с несколькими разными числами, я обнаружил, что −4 и 9 работают хорошо:

−4 × 9 = −36 и −4 + ​​9 = 5

Шаг 2 : перепишите 5x с −4x и 9x:

6x 2 — 4x + 9x — 6

Шаг 3 : Разложите на множители первые два и последние два:

2x (3x — 2) + 3 (3x — 2)

Шаг 4 : Общий множитель (3x — 2):

(2x + 3) (3x — 2)

Проверить: (2x + 3) (3x — 2) = 6x 2 — 4x + 9x — 6 = 6x 2 + 5x — 6 (Да)

В поисках чисел

Самая трудная часть — найти два числа, которые умножаются, чтобы получить ac, и складывать, чтобы получить b.

Это отчасти предположение, и помогает перечислить все факторы .

Вот еще один пример, который может вам помочь:

Пример: ac = −120 и b = 7

Какие два числа умножают на -120, и добавляют к 7 ?

Множитель 120 (плюс и минус):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120

Мы можем попробовать пары множителей (начнем с середины!) И посмотреть, прибавят ли они к 7:

  • −10 x 12 = −120 и −10 + 12 = 2 (нет)
  • −8 x 15 = −120 и −8 + 15 = 7 (ДА!)

Попрактикуйтесь

Почему фактор?

Что ж, одно из больших преимуществ факторизации состоит в том, что мы можем найти корней квадратного уравнения (где уравнение равно нулю).

Все, что нам нужно сделать (после факторинга), это найти, где каждый из двух множителей становится равным нулю

Пример: каковы корни (нули) у 6x

2 + 5x — 6?

Мы уже знаем (сверху) коэффициенты

(2x + 3) (3x — 2)

И мы можем выяснить, что

(2x + 3) равно нулю, когда x = −3/2

и

(3x — 2) равно нулю, когда x = 2/3

Итак, корни 6x 2 + 5x — 6 равны:

−3/2 и 2/3

Вот график 6x 2 + 5x — 6, видите, где он равен нулю?

И мы также можем проверить это с помощью небольшой арифметики:

При x = -3/2: 6 (-3/2) 2 + 5 (-3/2) — 6 = 6 × (9/4) — 15/2 — 6 = 54/4 — 15 / 2-6 = 6-6 = 0

При x = 2/3: 6 (2/3) 2 + 5 (2/3) — 6 = 6 × (4/9) + 10/3 — 6 = 24/9 + 10/3 — 6 = 6-6 = 0

Графики

Мы также можем попробовать построить квадратное уравнение.Увидев, где он равен нулю, мы можем понять.

Пример: (продолжение)

Начиная с 6x 2 + 5x — 6 и только этот участок:

Корни равны около x = −1,5 и x = +0,67, поэтому мы можем предположить , что корни равны:

−3/2 и 2/3

Что может помочь нам определить факторы 2x + 3 и 3x — 2

Всегда проверяйте! На графике значение +0.67 может и не быть 2/3

Общее решение

Существует также общее решение (полезно, когда описанный выше метод не работает), в котором используется формула корней квадратного уравнения:

Используйте эту формулу, чтобы получить два ответа x + и x (один для случая «+», а другой для случая «-» в «±»), и мы получим это факторинг :

а (х — х + ) (х — х )

Давайте воспользуемся предыдущим примером, чтобы увидеть, как это работает:

Пример: каковы корни у 6x

2 + 5x — 6?

Подставляем a = 6, b = 5 и c = −6 в формулу:

x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

= −5 ± √ (5 2 — 4 × 6 × (−6)) 2 × 6

= −5 ± √ (25 + 144) 12

= −5 ± √169 12

= −5 ± 13 12

Итак, два корня:

х + = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,

x = (−5 — 13) / 12 = −18/12 = −3/2

(Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ, что и при факторинге ранее.)

Теперь поместите эти значения в (x — x + ) (x — x ):

6 (х — 2/3) (х + 3/2)

Мы можем немного изменить это, чтобы упростить:

3 (х — 2/3) × 2 (х + 3/2) = (3x — 2) (2x + 3)

И мы получаем те же факторы, что и раньше.

362, 1203, 2262, 363, 1204, 2263, 2100, 2101, 2102, 2103, 2264, 2265

(Спасибо «mathsyperson» за части этой статьи)

Триномиальное разложение на множители — Метод и примеры

Владение алгеброй — ключевой инструмент в понимании и усвоении математики.Для тех, кто стремится повысить свой уровень в изучении алгебры, факторинг является фундаментальным навыком , необходимым для решения сложных задач, связанных с многочленами.

Факторинг используется на каждом уровне алгебры для решения многочленов, построения графиков функций и упрощения сложных выражений.

Как правило, факторизация — это операция, обратная раскрытию выражения.

Например, 3 (x — 2) — это факторизованная форма 3x — 6, а (x — 1) (x + 6) — факторизованная форма x 2 + 5x — 6.В то время как расширение — сравнительно простой процесс, факторинг — немного сложная задача, и поэтому ученик должен практиковать различные типы факторизации, чтобы научиться их применять.

Если и есть какой-либо урок алгебры, который вызывает недоумение у многих студентов, то это тема факторизации трехчленов.

Эта статья поможет вам шаг за шагом понять, как решать проблемы, связанные с факторингом трехчленов. Следовательно, иллюзия того, что эта тема является самой сложной, будет вашей историей прошлого.

Вы узнаете, как разложить на множители все виды трехчленов, в том числе с ведущим коэффициентом, равным 1, и с ведущим коэффициентом, не равным 1.

Прежде чем мы начнем, полезно вспомнить следующие термины:

Коэффициент — это число, которое делит другое заданное число, не оставляя остатка . У каждого числа есть коэффициент, который меньше или равен самому числу.

Например, множители числа 12 сами по себе равны 1, 2, 3, 4, 6 и 12.Мы можем сделать вывод, что все числа имеют множитель 1, и каждое число является множителем само по себе.

До изобретения электронных и графических калькуляторов факторизация была самым надежным методом нахождения корней полиномиальных уравнений .

Хотя квадратные уравнения давали решения, которые были более прямыми по сравнению со сложными уравнениями, они были ограничены только для
полиномов второй степени.

Факторинг позволяет нам переписать многочлен в более простые множители , и, приравняв эти множители к нулю, мы можем определить решения любого полиномиального уравнения.

Существует несколько методов факторизации полиномов . В этой статье мы сосредоточимся на том, как разложить на множители различные типы трехчленов, например, трехчлены с ведущим коэффициентом, равным 1, и трехчлены с ведущим коэффициентом, не равным 1.

Прежде чем мы начнем, мы должны ознакомиться со следующими терминами.

Общий множитель определяется как число, которое можно разделить на два или более разных числа, не оставляя остатка.

Например, общие множители чисел 60, 90 и 150 равны; 1, 2, 3,5, 6,10, 15 и 30.

    • Наибольший общий фактор (GCF)

Наибольший общий делитель чисел — это наибольшее значение множителей данных чисел . Например, учитывая общие множители 60, 90 и 150: 1, 2, 3,5, 6,10, 15 и 30, поэтому наибольший общий множитель равен 30.

GCF. для трехчлена — это наибольший одночлен, который делит каждый член трехчлена. Например, чтобы найти GCF выражения 6x 4 — 12x 3 + 4x 2 , мы применяем следующие шаги:

  • Разбиваем каждый член трехчлена на простые множители.

(2 * 3 * x * x * x * x) — (2 * 2 * 3 * x * x * x) + (2 * 2 * x * x)

  • Ищите факторы, которые появляются в каждом один термин выше.

Вы можете обвести или раскрасить множители следующим образом:

(2 * 3 * x * x * x * x) — (2 * 2 * 3 * x * x * x) + (2 * 2 * x * x )

Следовательно, GCF для 6x 4 — 12x 3 + 4x 2 равно 2x 2

Полином — это алгебраическое выражение, содержащее более двух членов, таких как переменные и числа , обычно объединены операциями сложения или вычитания.

Примеры многочленов: 2x + 3, 3xy — 4y, x² — 4x + 7 и 3x + 4xy — 5y.

Трехчлен — это алгебраическое уравнение, состоящее из трех членов и обычно имеющее форму ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты. Число «a» называется старшим коэффициентом и не равно нулю (a 0).

Например, x² — 4x + 7 и 3x + 4xy — 5y являются примерами трехчленов. С другой стороны, бином — это алгебраическое выражение, состоящее из двух членов.Примеры биномиального выражения включают; x + 4, 5 — 2x, y + 2 и т. д.

Фактор трехчлена означает разложение уравнения на произведение двух или более биномов. Это означает, что мы перепишем трехчлен в виде (x + m) (x + n).

Ваша задача определить значение m и n. Другими словами, мы можем сказать, что факторизация трехчлена — это процесс, обратный методу фольги.

Как разложить на множители трехчлены с ведущим коэффициентом 1

Давайте рассмотрим следующие шаги, чтобы разложить множители x 2 + 7x + 12:

  • Сравнение x 2 + 7x + 12 со стандартной формой ax 2 + bx + c, получаем, a = 1, b = 7 и c = 12
  • Найдите парные множители числа c, сумма которых равна b.Парный множитель 12 равен (1, 12), (2, 6) и (3, 4). Следовательно, подходящей парой является 3 и 4.
  • В отдельных скобках добавьте каждое число пары к x, чтобы получить (x + 3) и (x + 4).
  • Запишите два бинома рядом, чтобы получить результат с разложением;

(х + 3) (х + 4).

Как разложить на множители трехчлены с помощью GCF?

Чтобы разложить на множитель трехчлена с ведущим коэффициентом, не равным 1, мы применяем концепцию наибольшего общего множителя (GCF) как , показанную на шагах ниже:

  • Если трехчлен находится в неправильном порядке, перепишите это в порядке убывания, от наибольшей к наименьшей степени.
  • Вынесите GCF за скобки и не забудьте включить его в свой окончательный ответ.
  • Найдите произведение старшего коэффициента «a» и константы «c».
  • Перечислите все факторы произведения a и c из шага 3 выше. Определите комбинацию, которая в сумме даст число рядом с x.
  • Перепишите исходное уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями из шага 4.
  • Разложите уравнение на множители, сгруппировав его.

Подводя итог этому уроку, мы можем разложить на множители трехчлен вида ax 2 + bx + c, применив любую из этих пяти формул:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + б) 2 = (a + b) (a + b)
  • a 2 — 2ab + b 2 = (a — b) 2 = (a — b) (a — b)
  • a 2 — b 2 = (a + b) (a — b)
  • a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )
  • a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )

Давайте теперь разложим на множители пару примеров трехчленных уравнений.

Пример 1

Фактор 6x 2 + x — 2

Решение

GCF = 1, поэтому это бесполезно.

Умножьте старший коэффициент a на константу c.

⟹ 6 * -2 = -12

Перечислите все множители 12 и определите пару, которая имеет произведение -12 и сумму 1.

⟹ — 3 * 4

⟹ -3 + 4 = 1

Теперь перепишите исходное уравнение, заменив термин «bx» выбранными множителями

⟹ 6x 2 — 3x + 4x — 2

Разложите выражение на множители путем группировки.

⟹ 3x (2x — 1) + 2 (2x — 1)

⟹ (3x + 2) (2x — 1)

Пример 2

Фактор 2x 2 — 5x — 12.

Решение

2x 2 — 5x — 12

= 2x 2 + 3x — 8x — 12

= x (2x + 3) — 4 (2x + 3)

= (2x + 3 ) (x — 4)

Пример 3

Фактор 6x 2 -4x -16

Решение

GCF для 6, 4 и 16 равно 2.

Выносим за скобки ЗКФ.

6x 2 — 4x — 16 ⟹ 2 (3x 2 — 2x — 8)

Умножьте старший коэффициент «a» на константу «c».

⟹ 6 * -8 = — 24

Определите парные множители 24 и сумму -2. В данном случае факторы 4 и -6.

⟹ 4 + -6 = -2

Перепишите уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями.

2 (3x 2 — 2x — 8) ⟹ 2 (3x 2 + 4x — 6x — 8)

Факторизуйте, группируя и не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ.

⟹ 2 [x (3x + 4) — 2 (3x + 4)]

⟹ 2 [(x — 2) (3x + 4)]

Пример 4

Фактор 3x 3 — 3х 2 — 90х.

Решение

Поскольку GCF = 3x, множите его;

3x 3 — 3x 2 — 90x ⟹3x (x 2 — x — 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

⟹ 3x [(x 2 — 6x) + (5x — 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

= 3x (x — 6) (x + 5)

Пример 5

Фактор 6z 2 + 11z + 4.

Решение

6z 2 + 11z + 4 ⟹ 6 z 2 + 3 z + 8 z + 4

⟹ (6 z 2 + 3 z ) + (8 z + 4)

⟹ 3z (2z + 1) + 4 (2z + 1)

= (2 z + 1) (3 z + 4)

Практические вопросы

Разложите на множители каждое из следующих трехчленов.

  1. x 2 + 5x + 6
  2. x 2 + 10x + 24
  3. x 2 + 12x + 27
  4. x 2 + 15x + 5
  5. x 2 + 19x + 60
  6. x 2 + 13x + 40
  7. x 2 — 10x + 24
  8. x 2 — 23x + 42
  9. x 2 — 17x + 16
  10. x 2 — 21x + 90
  11. x 2 — 22x + 117
  12. x 2 — 9x + 20
  13. x 2 + x — 132
  14. x 2 + 5x — 104
  15. y 2 + 7y — 144

Ответы

  1. (x + 3) (x + 2)
  2. (x + 6) (x + 4)
  3. (x + 9) (x + 3)
  4. (x + 8 ) (x + 7)
  5. (x + 15) (x + 4)
  6. (x + 8) (x + 5)
  7. (x — 6) (x — 4)
  8. (x — 21) ( x — 2)
  9. (x — 16) (x — 1)
  10. (x — 15) (x — 6)
  11. (x — 13) (x — 9)
  12. (x — 5) (x — 4)
  13. (x + 12) (x — 11)
  14. (x + 13) (x — 8)
  15. (y + 16) (y — 9)
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Факторинг квадратных уравнений — методы и примеры

Есть ли у вас представление о факторизации многочленов ? Поскольку теперь у вас есть базовая информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.

Прежде всего, давайте быстренько рассмотрим квадратное уравнение . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0. Термин «a» означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x).

Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно называемых корнями уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давайте разберемся.

Как разложить квадратное уравнение на множители?

Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.

Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации используются следующие шаги :

  • Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
  • Переместите все члены в левую часть знака равенства.
  • Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
  • Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения

Пример 1

Решите: 2 (x 2 + 1) = 5x

Решение

Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства.

⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0

⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0

⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим

⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ x = 2 или x = 1212

Следовательно, решения x = 2, 1/2.

Пример 2

Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0

Решение

3x 2 — 9x + x — 3 = 0

⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0

⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0

⟹ x = 3 или x = -13

Пример 3

Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3) 2 = 25

Решение

Разверните уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить;

⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0

⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0

Разделите каждый член на 4, чтобы получить;

⟹ x 2 — 3x — 4 = 0

⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 или x = -1

Существует множество методов факторизации квадратных уравнений.В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1.

Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.

Факторинг, когда коэффициент x

2 равен 1

Чтобы разложить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.

СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны

Пример 4

Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0

Перечислите множители 10:

1 × 10, 2 × 5

Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:

1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.

Проверьте множители, используя свойство распределения умножения.

(x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10

Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x + 2 = 0 ⟹x = -2

x + 5 = 0 ⟹ x = -5

Следовательно, решение x = — 2, x = — 5

Пример 5

х 2 + 10х + 25.

Решение

Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.

5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10

Проверьте факторы.

x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25

= x (x + 5) + 5x + 25

= x (x + 5) + 5 (x + 5)

= (x + 5) (x + 5)

Следовательно, x = -5 — это ответ.

СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно

Пример 6

Решите x 2 + 4x — 5 = 0

Решение

Запишите множители -5.

1 × –5, –1 × 5

Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.

1 — 5 ≠ 4
–1 + 5 = 4

Проверьте факторы, используя свойство распределения.

(x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5
(x — 1) (x + 5) = 0

x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
x + 5 = 0 ⇒ x = -5

Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.

ВАРИАНТ 3: Когда b и c отрицательны

Пример 7

x 2 — 5x — 6

Решение

Запишите множители — 6:

1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:

1 + (–6) = –5

Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство.

(x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;
(x + 1) (x — 6) = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
x — 6 = 0 ⇒ x = 6

Следовательно, решение x = 6, x = -1

СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно

Пример 8

x 2 — 6x + 8 = 0

Решение

Запишите все множители 8 .

–1 × — 8, –2 × –4

Определите факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6

Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.

(x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;

(x — 2) (x — 4) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 4 = 0 ⇒ x = 4

Пример 9

Разложить на множители x 2 + 8x + 12.

Решение

Запишите множители 12;

12 = 2 × 6 или = 4 × 3
Найдите множители, сумма которых равна 8:

2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8

Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители;

= x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

= x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;

(x + 6) (x + 2)

x = -6, -2

Факторинг, когда коэффициент x

2 больше 1

Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.

Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.

Пример 10

Решите 2x 2 — 14x + 20 = 0

Решение

Определите общие множители уравнения.

2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10)

Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:

–1 × –10, –2 × –5

Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:

1 + (–10) ≠ –7
–2 + (–5) = –7

Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.

2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10)
= 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
2 (x — 2) (x — 5) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 5 = 0 ⇒ x = 5

Пример 11

Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0

Решение

Запишите множители 7 и 11.

7 = 1 × 7

11 = 1 × 11

Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:

(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11

(7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;

7x 2 + 18x + 11 = 0
(7x + 11) (x + 1) = 0

x = -1, -11/7

Пример 12

Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3

Решение

2x 2 — 7x + 3 = 0

(2x — 1) (x — 3) = 0

x = 1/2 или x = 3

Пример 13

Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0

Решение

Разложите на множители, чтобы получить:

(3x + 1) (3x + 1) = 0

(3x + 1) = 0,

Следовательно, x = −1 / 3

Пример 14

Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0

Решение

6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0

Разложите выражение на множители;

⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ x = 2/3 или x = ½

Пример 15

Факторизация x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0

Решение

Разверните уравнение;

x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0

Разложить на множители;

⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x — 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

⟹ x = -4 или x = 3y

Таким образом, x = -4 или x = 3y

Практические вопросы

Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:

  1. 3x 2 -20 = 160 — 2x 2
  2. (2x — 3) 2 = 49
  3. 16x 2 = 25
  4. (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
  5. 2x 2 + x — 6 = 0
  6. 3x 2 = x + 4
  7. (x — 7) (x — 9) = 195
  8. x 2 — (a + b) x + ab = 0
  9. x 2 + 5 x + 6 = 0
  10. x 2 -2 x -15 = 0

Ответы

  1. 6, -6
  2. -2, 5
  3. — 5/4, 5/4
  4. -3, 3
  5. -2, 3/2
  6. -1 , 4/3
  7. -6, 22
  8. a, b
  9. –3, –2
  10. 5, — 3
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Ищете пример финансового факторинга?

Некоторым может быть трудно понять необходимость факторинга.В United Capital Funding мы сочли важным подавать пример для всех. Не все компании растут с одинаковой скоростью. Вы заслуживаете роста как компания и не боитесь, сможете ли вы заплатить своим сотрудникам в этом месяце. Итак, что вы можете с этим поделать? Факторинг может быть лучшим вариантом для вашей компании! Позвольте нам показать вам пример факторинга в финансах, чтобы увидеть, как все это работает.

Что такое факторинг?

Факторинг прост. Когда ваш клиент должен вам деньги за услугу или продукт, это дебиторская задолженность (счета-фактуры).Эти неоплаченные счета необходимо оплатить, но могут пройти недели или даже месяцы, прежде чем вы получите свои деньги. Так почему бы не продать эти счета тому, кто сможет получить ваши деньги раньше?

И как это связано с финансами?

Финансы — это особая отрасль экономики. Эта область занимается управлением деньгами, кредитом и инвестициями. В сфере финансов работа сотрудников заключается в том, чтобы находить лучшие сделки и методы управления для развития своего бизнеса.

Имея это в виду, как эти два отношения связаны? Поскольку факторинг — это управление деньгами ради бизнеса, факторинг — это идеальный путь вниз.Благодаря факторингу рост компании может ускориться еще до того, как они об этом узнают.

Наш пример финансового факторинга

Теперь давайте рассмотрим пример финансового факторинга, чтобы все поняли:

TechCo имеет трех основных клиентов: MouseTech, MassMedia и HardSoftware. TechCo регулярно поставляет продукцию этим компаниям. Однако их оплата происходит через тридцать дней после каждой отправки. Это плохо работает для TechCo, которая не растет быстро и нуждается в деньгах, чтобы платить своим сотрудникам.

Затем их финансовый директор предлагает вариант продажи этой непогашенной дебиторской задолженности или факторинга. Без промедления TechCo связывается с факторинговой компанией, такой как UC Funding, чтобы начать процесс.

Для начала TechCo предоставляет нам в UC Funding копии своих счетов. Как только мы одобряем их заявку, UC Funding предоставляет TechCo 80% их счета в течение нескольких дней. Теперь мы выступаем в роли отдела дебиторской задолженности и сами обслуживаем счета.После того, как клиент оплачивает 100% счета, мы отправляем оставшуюся часть счета в TechCo и снимаем с него комиссию.

Это простой процесс! Через несколько дней у вас будет большая часть денег, которые вам причитаются. Никогда больше не беспокойтесь о заработной плате и одновременно расширяйте свой бизнес.

Нужен еще один пример финансового факторинга?

Поскольку мы являемся частью банка, UC Funding обеспечивает более низкие комиссии, если вы учитываете нас. Есть вопрос или два? Не стесняйтесь обращаться к нам по телефону 866.647.2680, чтобы наши специалисты ответили на любой ваш вопрос. Вас интересует бесплатная консультация? Посетите нас здесь, чтобы начать. Имея под рукой пример финансового учета, вы сможете увидеть, чего вам не хватает! Свяжитесь с UC Funding сегодня и получите свои деньги сегодня.

Мы здесь для вас

Свяжитесь с нашей командой, чтобы узнать, как мы можем помочь вашему бизнесу.

Связаться с нами

уроков по факторингу — Wyzant Lessons

Введение

Предыдущие уроки факторинга, каждый из которых был посвящен факторизации многочлена с использованием одного шаблона, такого как

Уроки, ссылки на которые приведены выше, дают систематические методы факторизации определенных типов многочленов.На практике решение уравнений с использованием факторинга часто требует использования более сложного процесса, называемого «полный факторинг». Этот урок объясняет, как полностью разложить на множитель
, комбинируя три основных метода, перечисленных выше.

Во-первых, давайте подробнее рассмотрим, зачем нам нужен процесс полного факторинга. Изучите выражение ниже:

2 + 1) (х + 1) (х — 1)

Если упростить это выражение, получим:

(x 2 + 1) (x 2 + x — x — 1)
(x
2 + 1) (x 2 — 1)
(x
4 + x 2 — х 2 — 1)
х
4 — 1

Теперь вы должны распознать это выражение как разницу между двумя квадратами.Используя технику, представленную в уроке

Разница между двумя квадратами, мы можем разложить это на

(x 2 + 1) (x 2 — 1)

Но обратите внимание, что это выражение не совпадает с факторизованным выражением, с которого мы начали. Нам нужен еще один шаг, чтобы учесть это в выражении, с которого мы начали. Именно здесь на помощь приходит факторинг.

Процесс

Полностью факторинг представляет собой трехэтапный процесс:

  1. По возможности разложите GCF на множители.
  2. Разложите на множители трехчлены, если это возможно.
  3. Множьте разницу между двумя квадратами как можно больше раз.

Первый пример

Давайте посмотрим, как это применимо к нашему первоначальному примеру:

(x 4 — 1)

Шаг 1

Шаг первый — фактор GCF. Поскольку GCF x 4 и 1 равно 1, мы пропускаем этот шаг.

Шаг 2

Поскольку в выражении всего два члена, мы не можем разложить трехчлен на множители.

Шаг 3

Факторинг (x 4 — 1) как разница между двумя квадратами дает

(x 2 + 1) (x 2 — 1).

Теперь обязательно запомните ключевую фразу «как можно больше раз». Теперь мы должны посмотреть, есть ли еще где-нибудь, где мы можем разложить еще одну разницу между двумя квадратами. В (x 2 + 1) оба члена положительны, поэтому это не может быть учтено. Однако,
in (x 2 — 1), второй член отрицательный, а в противном случае оба члена являются точными квадратами.Таким образом, (x 2 — 1) делится на (x + 1) (x — 1). В результате наш пример выражения окончательно преобразован в

2 + 1) (х + 1) (х — 1)

с полным факторингом.

Чем это отличалось от нашей первой (и неудачной) попытки разложить пример на множители? При полном разложении на множители мы использовали метод «Разница между двумя квадратами» более одного раза.

Второй пример

Давайте попробуем другой пример, который требует учета в шагах 1 и 2:

5x 3 — 10x 2 — 15x

Опять же, три этапа полного факторинга:

  1. По возможности разложите GCF на множители.
  2. Разложите на множители трехчлены, если это возможно.
  3. Множьте разницу между двумя квадратами как можно больше раз.

Шаг 1

Мы видим, что члены в нашем примере имеют наибольший общий множитель 5x. В соответствии с инструкциями мы исключим этот GCF:

5x (x 2 — 2x — 3)

Шаг 2

Мы видим, что (x 2 — 2x — 3) является факторизуемым трехчленом, поэтому мы факторизуем его:

5х (х + 1) (х — 3)

Переходя к шагу 3, мы можем просмотреть наше выражение и увидеть, что ни 5x, ни (x + 1), ни (x — 3) не могут быть разложены на множители как разность между двумя квадратами.Мы полностью разложили 5x
3 — 10x 2 — 15x.

Заключительный пример

В нашем последнем примере мы будем использовать все три этапа полного факторинга.

12x 4 — 3x 2 — 54

Шаг 1

Мы вычитаем наибольший общий множитель 3.

3 (4x 4 — x 2 -18)

Шаг 2

3 (4x 2 -9) (x 2 + 2)

Шаг 3

Наконец, мы идентифицируем (4x 2 -9) как бином, который можно разложить на (2x + 3) (2x — 3).Таким образом, полностью факторизованный результат

3 (2x + 3) (2x — 3) (x 2 + 2).

Полностью факторинг ресурсов

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени. Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком.Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения суммы или разности членов в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
  2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем случае факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий делитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них.Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий множитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это процесс, обратный тому, что мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами, «Удали ли мы все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3 (х 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Перемножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. F Выражение должно быть полностью разложено на множители .

Пример 2 Фактор 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы каждого семестра. Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура для подражания — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву.Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Скажите себе: «Каков наибольший общий делитель 12, 6 и 18?»
Затем «Какой наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, что это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно разложили на множители.

Опять же, умножаем как чек.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы отдельно.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно называется простым .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

Прежде всего мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), который можно множить как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y) (a + 2) и посмотрите, получите ли вы исходное выражение.
Опять умножаем как чек.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы перегруппируем члены, поместив третий член после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно было бы расположить термины.

Во всех случаях важно убедиться, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти члены.
Умножение как проверка.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» даст -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРИНГ ТРИНОМИАЛОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Мысленно перемножьте два бинома.
  2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена, равным 1.
  3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих проблем будет связано с факторизацией трехчленов как произведения двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x 2 + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (- 4).

Теперь у нас есть следующая часть узора:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Для любых двух биномов у нас теперь есть эти четыре произведения:

  1. Первый семестр за первый семестр
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Этот метод умножения двух биномов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last.

Это сокращенный метод умножения двух биномов, и его полезность станет очевидной, когда мы разложим на множители трехчлены.

Вы должны запомнить этот образец.

Опять же, возможно, вам поможет запоминание слова FOIL.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик также должен научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше вы будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Так как это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для факторизации.

Фактически мы будем работать в обратном порядке, как в предыдущем наборе упражнений.

Сначала укажите проблему в круглых скобках.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов бинома дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики.
  1. Произведение двух нечетных чисел является нечетным.
  2. Произведение двух четных чисел четное.
  3. Произведение четного и нечетного числа — четное.
  4. Сумма двух нечетных чисел четная.
  5. Сумма двух четных чисел четная.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетна.
Следовательно, когда мы разлагаем на множители такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов в биномах должно быть 24, что является четным, и их сумма должна быть 11, что является нечетным.
Таким образом, будут работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конце концов, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов незначительный.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

  1. Когда знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
  2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, теперь вы готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Вы, конечно, можете попробовать каждый из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, метод проб и ошибок может занять очень много времени.

Даже несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает сократить количество попыток.

Сначала найдите числа, которые дают правильные первое и последнее члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего срока.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
  4. Исключите как слишком большое произведение 15 на 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически даст слишком большой средний член.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Решение

Анализировать:

  1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
  2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5, а большее число отрицательно.
  3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, попробуйте мысленно различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга «методом проб и ошибок». Практикуясь, вы станете более опытным в этом процессе.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, не принимайте это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы почувствуете себя гораздо более комфортно при факторинге трехчлена.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первым частным случаем, который мы обсудим, является разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется суммой , аддитивно инверсией другого.
Например: (+ 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивным обратным значением -3, также -3 является аддитивным обратным значением +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b) (a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной при факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты, разделенные знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забывайте понимать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разложима.

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели абсолютного квадрата четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) — это идеальный квадрат. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

  1. Первый член — это полный квадрат.
  2. Третий член представляет собой полный квадрат.
  3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.
Для целей факторинга более полезно записать отчет как

Решение

  1. 25x 2 — это полный квадратный корень с главным квадратным корнем = 5x.
  2. 4 — точный квадратный корень из главного квадрата = 2.
  3. 20x — это дважды произведение квадратных корней 25x 2 и
  4. 20x = 2 (5x) (2).

Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена , сформируйте бином с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите двучлен в квадрат для проверки правильности среднего члена.

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ БЛОКИРОВКИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ И ФАКТОРИРОВАНИЯ ОШИБОК

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте ключевой номер для разложения трехчлена на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые сокращения для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в использовании этих ярлыков является поиск номера ключа . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, подлежащем разложению, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.


Произведение этих двух чисел и есть «ключевой номер».»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы дать произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
Поместите эти факторы в первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же множители.Самое главное — иметь систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+ 2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).
Помните, что если трехчлен факторизуем, существует только один возможный набор факторов.

Если не удается найти множители ключевого числа, сумма которых является коэффициентом средних членов, то трехчлен является простым и не множится.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые добавят к коэффициенту среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

Step 4 Разложите эту проблему на множители, начиная с шага 3, с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2


Теперь это становится обычным факторингом с помощью задачи группировки.

Следовательно,
Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которая может быть получена из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

  1. Первый взгляд на общие факторы.
  2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

  1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
  2. Все ли факторы просты?
После того, как общий множитель был найден, вы должны проверить, можно ли разложить полученный трехчлен на факторизацию.

Если у трехчлена есть общие множители, обычно проще, если они сначала разложены на множители.

Хорошая процедура, которой следует придерживаться при факторинге, — всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, разложить на множители то, что осталось.

СВОДКА

Ключевые слова

  • Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.
  • Факторинг — это процесс, который изменяет сумму или разность условий на произведение факторов.
  • Простое выражение не может быть разложено на множители.
  • Наибольший общий множитель является наибольшим общим множителем для всех терминов.
  • Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
  • Возможность разложения на множители путем группирования существует, когда выражение содержит четыре или более терминов.
  • Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
  • Частные случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
  • Ключевой номер является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

  • Чтобы удалить общие множители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
  • Триномы можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон умножения, чтобы найти факторы, которые дадут исходный трехчлен.
  • Чтобы разложить на множитель разность двух квадратов, используйте правило
  • Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена, сформировать двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и указать квадрат этого бинома.
  • Используйте ключевое число как вспомогательное средство для определения факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

Квадратичное разложение на множители — примеры, квадратное уравнение разложения на множители

Квадратичное разложение на множители — это метод выражения многочлена как произведения его линейных множителей. Это процесс, который позволяет нам упростить квадратные выражения, найти их корни и решить уравнения. Квадратичный многочлен имеет вид ax 2 + bx + c, где a, b, c — действительные числа. Факторинг квадратичного уравнения — это метод, который помогает нам найти нули квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.

В этом мини-уроке давайте узнаем об увлекательной концепции разложения квадратичных уравнений, формуле факторизации квадратных уравнений по некоторым решенным примерам для лучшего понимания.

Что такое квадратичный фактор?

Квадратичное разложение на множители — это метод выражения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 как произведение его линейных множителей в виде (x — k) (x — h), где h, k — корни квадратичного уравнения. уравнение ax 2 + bx + c = 0.Этот метод также называется методом факторизации квадратных уравнений. Факторизация квадратных уравнений может быть произведена с использованием различных методов, таких как разбиение среднего члена, использование формулы квадратов, заполнение квадратов и т. Д.

Факторинговая квадратичная система Значение

Теорема о факторах связывает линейные множители и нули любого многочлена. Каждое квадратное уравнение имеет два корня, скажем, \ (\ alpha \) и \ (\ beta \). Это нули квадратного уравнения.Рассмотрим квадратное уравнение f (x) = 0, где f (x) — многочлен степени 2. Предположим, что x = \ (\ alpha \) — один из корней этого уравнения. Это означает, что x = \ (\ alpha \) является нулем квадратичного выражения f (x). Таким образом, (x — \ (\ alpha \)) должно быть множителем f (x).

Аналогично, если x = \ (\ beta \) — второй корень f (x) = 0, то x = \ (\ beta \) — это ноль f (x). Таким образом, (x — \ (\ beta \)) должно быть множителем f (x). Следовательно, квадратичное разложение на множители — это метод выражения квадратных уравнений как произведения их линейных множителей, то есть f (x) = (x — \ (\ alpha \)) (x — \ (\ beta \)).Давайте рассмотрим несколько примеров квадратичного факторинга:

Примеры квадратичного факторинга

1. Рассмотрим квадратное уравнение x 2 + 5x + 6 = 0

-3 и -2 — корни уравнения. Проверьте, подставив корни в данное уравнение, и проверьте, равно ли значение 0.

Фактор 1: (x + 3)

LHS = x 2 + 5x + 6 = (-3) 2 + 5 × -3 + 6 = 9-15 + 6 = 0 = RHS

Фактор 2: (x + 2)

LHS = x 2 + 5x + 6 = (-2) 2 + 5 × -2 + 6 = 4-10 + 6 = 0 = RHS

Таким образом, уравнение имеет 2 фактора (x + 3) и (x + 2)

2.Рассмотрим x 2 — 9 = 0

3 и -3 — два корня уравнения. Проверьте, подставив корни в данное уравнение, и проверьте, равно ли значение 0.

3 2 — 9 = 9 — 9 = 0

(-3) 2 — 9 = 9 — 9 = 0

Таким образом, уравнение имеет 2 фактора (x + 3) и (x-3)

Методы квадратичного факторинга

Факторинговая квадратичная формула дает нам корни квадратного уравнения.Существуют различные методы факторизации квадратных уравнений. Квадратичный факторинг осуществляется четырьмя способами:

  • Разложение GCD
  • Разделение среднего срока
  • Использование алгебраических тождеств (завершение квадратов)
  • Использование квадратной формулы

Факторинг квадратичных вычислений путем исключения GCD

Квадратичный разложение на множители может быть выполнено путем нахождения общего числового множителя и алгебраических множителей, общих для членов квадратного уравнения, а затем их извлечения.Давайте решим пример, чтобы понять квадратные уравнения разложения на множители, убрав НОД.

Рассмотрим это квадратное уравнение: 3x 2 + 6x = 0

  • Числовой коэффициент равен 3 (коэффициент x 2 ) в обоих терминах.
  • Общий алгебраический множитель в обоих терминах равен x.
  • Общие множители — 3 и x. Следовательно, мы их вынимаем.
  • Таким образом, 3x 2 + 6x = 0 факторизуется как 3x (x + 2) = 0

Разделение среднего срока для квадратичного факторинга

  • Сумма корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 определяется как \ (\ alpha + \ beta \) = -b / a
  • Произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равно \ (\ alpha \ beta \) = c / a

Мы разбиваем средний член b квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, когда мы пытаемся факторизовать квадратные уравнения.Мы определяем факторные пары произведения a и c так, чтобы их сумма была равна b.

Пример: f (x) = x 2 + 8x + 12

Разделите средний член 8x таким образом, чтобы множители произведения 1 и 12 в сумме составляли 8. Пары множителей из 12 равны (1, 12), (2, 6), (3, 4). Теперь мы видим, что факторная пара (2, 6) удовлетворяет нашей цели, поскольку сумма 6 и 2 равна 8, а произведение равно 12. Следовательно, мы разделяем средний член и записываем квадратное уравнение как:

x 2 + 8x + 12 = 0

⇒ x 2 + 6x + 2x + 12 = 0

Теперь объедините термины в пары как:

(x 2 + 6x) + (2x + 12) = 0

⇒ х (х + 6) + 2 (х + 6) = 0

Вычитая общий множитель (x + 6), получаем

(х + 2) (х + 6) = 0

Таким образом, (x + 2) и (x + 6) являются множителями x 2 + 8x + 12 = 0

Тождества для квадратичного факторинга

Процесс разложения квадратичных элементов может быть выполнен путем заполнения квадратов, которые требуют использования алгебраических тождеств.Основные алгебраические тождества, которые используются для заполнения квадратов:

  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • (а — б) 2 = а 2 — 2ab + b 2

Шаги по факторизации квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 с использованием метода завершения квадратов:

  • Шаг 1: Разделите обе части квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a.Теперь полученное уравнение: x 2 + (b / a) x + c / a = 0
  • Шаг 2: Вычтем c / a из обеих частей квадратного уравнения x 2 + (b / a) x + c / a = 0. Полученное уравнение: x 2 + (b / a) x = -c / a
  • Шаг 3: Добавьте квадрат (b / 2a) к обеим сторонам квадратного уравнения x 2 + (b / a) x = -c / a. Полученное уравнение: x 2 + (b / a) x + (b / 2a) 2 = -c / a + (b / 2a) 2
  • Шаг 4: Теперь можно записать левую часть квадратного уравнения x 2 + (b / a) x + (b / 2a) 2 = -c / a + (b / 2a) 2 в виде полного квадрата и при необходимости упростить правую часть изображения.Полученное уравнение: (x + b / 2a) 2 = -c / a + (b / 2a) 2
  • Шаг 5: Могут быть получены корни данного квадратного уравнения и, следовательно, мы можем сформировать множители уравнения.

Другое алгебраическое тождество, которое используется для разложения квадратичных множителей, — это a 2 — b 2 = (a + b) (a — b). Давайте посмотрим на примере, чтобы понять.

Пример 1: f (x) = 9x 2 — 4 (разность 2 полных квадратов)

9x 2 — 4 = (3x) 2 -2 2

Мы замечаем, что это имеет вид a 2 — b 2 = (a + b) (a — b)

Следовательно, мы факторизуем уравнение 9x 2 — 4 = 0 как (3x + 2) (3x-2)

9x 2 — 4 = (3x + 2) (3x-2)

Пример 2: f (x) = 4x 2 + 12x + 9

4x 2 + 12x + 9 = (2x) 2 + 2 (2x) (3) + (3) 2
Мы замечаем, что это имеет вид (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(2x) 2 + 2 (2x) (3) + (3) 2 = (2x + 3) 2
Следовательно, мы имеем (2x + 3), (2x + 3) как линейные множители f (x) = 4x 2 + 12x + 9

Формула квадратичного факторинга

Квадратичное разложение на множители также осуществляется с использованием формулы, которая дает нам корни квадратного уравнения и, следовательно, множители уравнения.2-4 \ times 1 \ times 4}} {2 \ times 1} \\\\ & = \ dfrac {-5 \ pm \ sqrt {25 -16}} {2} \\\\ & = \ dfrac { -5 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\\\ & = \ dfrac {-5 \ pm 3} {2} \\ & = \ dfrac {-5 + 3} {2} \ text {и } \ dfrac {-5-3} {2} \\\\ & = \ dfrac {-2} {2} \ text {и} \ dfrac {-8} {2} \\\\ x & = (- 1) \ text {and} (-4) \ end {align} \]

Таким образом, множители равны (x + 1) и (x + 4).

Связанные темы по квадратичному факторингу

Важные замечания по квадратичному факторингу

  • Линейные множители имеют форму ax + b, и их нельзя разложить на множители.
  • Квадратичным многочленом называется многочлен степени 2.
  • Сумма корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 определяется как \ (\ alpha + \ beta \) = -b / a
  • Произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равно \ (\ alpha \ beta \) = c / a

Часто задаваемые вопросы о квадратичном факторинге

Что такое квадратичные разложения в алгебре?

Квадратичное разложение на множители — это метод выражения многочлена как произведения его линейных множителей.Это процесс, который позволяет нам упростить квадратные выражения, найти их корни и решить уравнения.

Как решить квадратные уравнения, используя квадратичные множители?

Факторинговая квадратичная формула дает нам корни квадратного уравнения. Существуют различные методы факторизации квадратных уравнений. Квадратичный факторинг осуществляется четырьмя способами:

  • Разложение GCD
  • Разделение среднего срока
  • Использование алгебраических тождеств (завершение квадратов)
  • Использование квадратной формулы

Определив факторы, мы можем получить корни квадратного уравнения и, следовательно, его решение.

Какие методы используются для факторизации квадратных уравнений?

Методы факторизации квадратных уравнений заключаются в разделении среднего члена с использованием алгебраических тождеств, использовании формулы квадратичного уравнения и факторизации НОД.

Что такое метод факторинга квадратных уравнений?

Разделение среднего члена и использование квадратной формулы являются наиболее эффективными методами факторизации квадратных уравнений.

Факторинговая квадратичная система — это то же самое, что и ее решение?

Когда мы разлагаем квадратное уравнение на множители, мы получаем линейные множители, которые делят квадратный многочлен поровну.Следующим шагом является нахождение нулей уравнения путем приравнивания множителей к нулю.

Каков кратчайший способ разложить квадратное уравнение на множители?

Использование квадратичной формулы — самый короткий способ разложения квадратичных множителей.

Какие уловки для квадратичного разложения?

Найдите сумму корней и произведение корней или, определив любое известное алгебраическое тождество, мы можем факторизовать квадратные уравнения.

Что такое форма квадратного уравнения с факторизацией?

(x — \ (\ alpha \)) (x — \ (\ beta \)) — это факторизованная форма квадратного уравнения, где \ (\ alpha \) и \ (\ beta \) — корни квадратного уравнения .

Как решить квадратное уравнение?

Существуют различные методы, которые можно использовать для факторизации квадратных уравнений и решения квадратных уравнений. Квадратичный факторинг осуществляется четырьмя способами:

  • Разложение GCD
  • Разделение среднего срока
  • Использование алгебраических тождеств (завершение квадратов)
  • Использование квадратной формулы

Как легко разложить квадратные уравнения на множители?

Мы разбиваем средний член b квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, когда мы пытаемся факторизовать квадратные уравнения.Мы определяем факторные пары произведения a и c так, чтобы их сумма была равна b. Вычеркивая общие множители, мы можем легко разложить квадратные уравнения на множители.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.